高中数学必修5知识点总结

必修5
第一章 解三角形
一、正弦定理
1.定理
abc
???2R.

sinAsinBsinC
其中
a< br>，
b
，
c
为一个三角形的三边，
A
，
B，
C
为其对角，
R
为外接圆半径.
变式：
a
=2
R
sin
A
，
b
=2
R
sin
B
，
c
=2
R
sin
C

二、余弦定理
1.定理
a
2
=
b
2
+
c
2< br>-2
bc
cos
A
、
b
2
=
a< br>2
+
c
2
-2
ac
cos
B
、< br>c
2
=
a
2
+
b
2
-2
a b
cos
C

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b< br>2
?c
2
变形：
cosA?
、
cosB?
、
cosC?

2bc2ac2ab
2.可解决的问题
①已知三边，解三角形；

②已知两边及其夹角，解三角形；
③已知两边及一边的对角，求第三边.
三、三角形面积公式
111
（1）
S
?
?ah
a
?bh
b
?ch
c
.
222
其中
ha
，
h
b
，
h
c
为
a
，b
，
c
三边对应的高.
（3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面 任一项与前面的项之间关系式，这种给出数
列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式.
（4）一个重要公式：对任何数列，总有
?
?
a
1
?S
1
,

?
a?S?S(n?2).
n
?
n?1
?
n
注：数列是特殊的 函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化.
二、等差数列
（1）定义：如果一个数列从 第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列 的公差.
（2）递推公式：
a
n
+1
=
a
n＋
d
.

（3）通项公式：
an
=
a
1
+(
n
-1)
d
.
（4）求和公式：
S
n
?
（5）性质：
①若
m< br>+
n
=
p
+
q
，则
a
m
+
a
n
=
a
p
+
a
q
；
②若
m
+
n
=2
p
，则
a
m
+< br>a
n
=2
a
p
；
③
a
n
=
a
m
+(
n
-
m
)
d
.
（6）等差中项：
n(a
1
?a
n
)
n(n?1 )
?na
1
?d.

22
①若
m
+
n
=
p
+
q
，则
a
m
a
n=
a
p
a
q
；
②若
m
+
n
=2
p
，则
a
m
a
n
=
a
p
；
③
a
n
=
a
m
q
.
（6）等比中项：
n
-
m
2
a
，
b的等比中项
G??ab.

a
，
b
，
c
成等比数列
(a,b,c?0)?b
2
?ac.

注：①
a
1
和
q
叫做等比数列的基本元素，把
S
n
和a
n
都用
a
1
和
q
表示往往能使问题简化.< br>②注意方程思想的应用，在
a
1
，
q
，
n
，
S
n
，
a
n
五个数中，知道三个可求剩下的两个.③使用< br>求和公式时，要注意
q
≠1的条件.
四、数列求和

主要求和方法有：
（1）公式法：主要用于等差数列与等比数列，这是首先应该考虑的方法.
（2）分组求和法 ：将数列的每一项拆分成几项，然后重新组合成几组，使每一组都能
求和.如数列{
n
+2
n
}.
（3）并项求和法：将相邻几项合并，使合并后有规律，便于求和.如1 －2＋3－4＋…
＋(－1)
n
－1
n
.
（4）裂项相消 法：将每项分成两项的差，并且正负能抵消.如求
111
??...?.

1 ?22?3n(n?1)
2
2222
（5）错位相减法：设{
a
n< br>}是等差数列，{
b
n
}是等比数列，求
S
n
=a
1
b
1
+
a
2
b
2
+???
+
a
n
b
n
时用
错位相消法.做法：将 上式两端乘以{
b
n
}的公比，错一位相减，中间
n
－1项构成等比 数列，
可以求和.注意将
n
=1，2，3代入检验.


性质8
a
>
b
>0，
n
∈N，
n?1 ?
n
a?
n
b.

二、一元二次不等式
1.一元二次不等式的标准形式
ax
2
+
bx
+
c
>0(
a
>0)
ax
2
+
bx
+
c
<0(
a
>0)
ax
2
+
bx
+
c
≥0(
a
>0)

ax
2
+
bx
+
c
≤0(
a
>0)
2.一元二次不等式的解集
不等式 Δ＞0
(-∞ ,
x
1
)∪(
x
2
, +∞)
(
x
1
，
x
2
)
(-∞ ,
x
1
]∪[
x
2
, +∞)
[
x
1
,
x
2
]
Δ＝0
{
x
|
x
≠
x
1
}
Δ＜0
R
ax
2
+
bx
+
c
>0
ax
2
+
bx
+
c
<0
ax
2
+
bx
+
c
≥0
ax
2
+
bx
+
c
≤0
?

R
{
x
1
}
?

R
?

说明：①表中内容不需死记硬背，可结合二次函数图象灵活掌握.
②表 中
x
1
，
x
2
是方程
ax
+
bx
+
c
＝0的根，且
x
1
<
x
2
.
③当Δ＞0时，解集有口诀：大于0取两边，小于0取中间.
2
三、二元一次不等式和线性规划
1.直线划分平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式
Ax
＋
By
＋
C < br>>0(＜0)表示直线
Ax
+
By
＋
C
=0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线，以表示区域不包括边界．不等式
Ax
＋
By
＋
C


先画出直线
ax
+
by< br>=0作为参考直线，然后向上或下平移参考直线，使其与可行域有公共点且
到达最上（或最下）的 位置，此时
z
即取得最大或最小值.当
b
>0时，最上方的为最大值，
最下方的最小值；当
b
<0时则相反.

四、基本不等式
1.基本不等式
22
（1）
a
+
b
≥2
ab
(
a
，
b
∈R). （2）
a?b?2ab
(
a
>0，
b
>0).
a
2
?b
2
?
a?b
?
变式：（3）
ab? (a,b?R).
（4）
ab?
??
(a,b?R).

2
?
2
?
2
以上各不等式当且
a
=
b
时等号成立.
2.用基本不等式求最值