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高中数学必修五知识点整理【经典最全版】

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 19:30
tags:高中数学必修五

高中数学曲线方程公式-高中数学相关系数的计算公式


《必修五知识点整理》
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
正弦定理推论:①
abc
??
.
sinAsinBsinC
abc
???2R

R
为三角形外接圆的半径)
sinAsinBsinC
asinAbsinBasinA

a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

?

,?,?
bsinBcsinCcsinC
abca?b?c

a:b:c?sinA:sinB:sinC

???
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

2、解三 角形的概念:一般地,我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。
任何一个三角形都有六 个元素:三条边
(a,b,c)
和三个内角
(A,B,C)
.在三角形中,已 知三
角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

3、正弦定理确定三角形解的情况

图 形 关 系 式

a?bsinA


a?b


解 的 个 数
一 解
A




bsinA?a?b


两 解




a?bsinA

无 解
A







a?b


一 解
a?b


无 解


4、任意三角形面积公式为:

111abc
S
ABC
?bcsinA?acsinB?absinC?
2224R
r
2?p(

p
余弦定理
?a)(p?b
1.1.2
)(p?c)?(a?b?c)?2RsinAsinBsinC
2
5、余弦定理:三角形中任 何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍,即
222222

a?b?c?2bccosA

b?a?c?2 cacosB

c?a?b?2abcosC
.
222
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
余弦定理推论:
cosA?

cosB?

cosC?

2bc2ac2ab

6、不常用的三角函数值

15° 75° 105° 165°
sin
?

6?2

4
6?2

4
6?2

4
6?2

4
6?2

4
?6?2

4
?
6?2

4
6?2

4
cos
?

tan
?

2?3

2?3

?2?3

?2?3

1.2 应用举例(浏览即可)
1、方位角:如图1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。
2、方向角:如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。(指定方向线是指
正北或正南 或正西或正东)
3、仰角和俯角:如图3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标
视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角。






(1)方位角 (2)方向角 (3)仰角和俯角 (4)视角
4、视角:如图4,观察物体的两端,视线张开的角度称为视角。
5、铅直平行:与海平面垂直的平面。
6、坡角与坡比:如图5,坡面与水平面所成的夹角叫 坡角,坡面的铅直
高度与水平宽度的比叫坡比
?
i?
?
?
h
?
?
.
l
?
(5)坡角与坡比


第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法
1、数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都 叫做这个数列
的项。数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项 ),
排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第
n
位的数称为这个数列的第< br>n
项。所以,
数列的一般形式可以写成
a
1

a2

a
3
,…,
a
n
,…,简记为
?
a
n
?
.
2、数列的通项公式:如果数列
?
a< br>n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系可以用一个式子来 表示,
那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、数列的递推公式:如果已知数列的第1项 (或前几项),且从第2项(或某一项)开始
的任一项
a
n
与它的前一项a
n
?1
(或前几项)(
n?2
)间的关系可以用一个公式表示 ,那
么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为
a
n
?2a
n? 1
?1

n?1

4、数列与函数:数列可以看成以正整数集N
*
(或它的有限子集
?
1,2,3,4,…,n
?
) 为定
义域的函数
a
n
?f
?
n
?
,当自变 量按照从大到小的顺序依次取值时,所对应的一列函数值。
通项公式可以看成函数的解析式。
5、数列的单调性:若数列
?
a
n
?
满足:对一切正整数
n
,都有
a
n
?1?a
n
(或
a
n
?1?a
n
),
则称数列
?
a
n
?
为递增 数列(或递减数列)。
判断方法:①转化为函数,借助函数的单调性,求数列的单调性;
②作差比较法,即作差比较
a
n?1

a
n
的大小;
2.2 等差数列
1、等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的差等于同
一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常 用字母
d
表示。定义式为
a
n
?a
n?1
?d
n?2

n?
N
*
)或
a
n?1< br>?a
n
?d

n?
N
*

2、等 差中项:由三个数
a

A

b
组成的等差数列可以看成最简 单的等差数列。这时,
A
叫做
a

b
的等差中项。

A

a

b
的等差中项
?
A ?
a?b
?
2A?a?b
?
A?a?b?A
.
2
*
3、等差中项判定等差数列:任取相邻的三项
a
n?1

a
n

a
n?1

n?2,n?
N
),则

a
n?1

a
n

a
n?1
成等差数列
?
2a
n
?a
n?1
?a
n? 1

n?2

?
?
a
n
?
是等差 数列。


4、等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
,其中
a
1
为首项,变 形为:
d
为公差。
d?
5、通项公式的变形:
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
,其中
a
m
为第
m
项。变形为
d?
*
a
n
?a1
.
n?1
a
n
?a
m
.
n?m
6、等差数列的性质:(1)若
n

m

p
q
?
N
,且
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

(相同数量下,项数之和相等,项之和相等)
(2)若
m?n?2p
,则< br>a
m
?a
n
?2a
p

(3)若
m

p

n
成等差数列,则
a
m

a
p

a
n
成等差关系;(等距等差)
(4)若
?
a
n
?
为等差数列,
S
k,
S
2k< br>?S
K
,S
3k
?S
2k
,?
也成等差数列 (片段等差)
(5)若
?
a
n
?
成等差数列
?< br>a
n
?pn?q
(公差为
p
,首项为
p?q
);
(6)若
?
c
n
?
成等差数列,则
?
a
n
?
也成等差数列;
(7)如果
?
a
n??
b
n
?
都是等差数列,则
?
pa
n
?q
?

?
pa
n
?qb
m
?
也是等差数列。
2.3 等差数列的前
n
项和
?
S
?
n?1
?
1、一般数列
a
n

s
n< br>的关系为
a
n
?
?
1
.
?
Sn
?S
n?1
?
n?2
?
n
?
a1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na1
?d

22
n
?
n?1
?
dd??
3、等差数列前
n
项和公式的函数特征:(1)由
S
n?na
1
?d?n
2
?
?
a
1
??
n
,令
222
??
2、等差数列前
n
项和的 公式:
S
n
?
A?
dd
2

B?a
1
?
,则
?
a
n
?
为等差数列
?
S
n
?An?B
n

A、B
为常数,其中
d?2 A

22
a
1
?a?b
). 若
A?0
, 即
d?0
,则
S
n
是关于
n
的无常数项的二次函数 。 若
A?0
,即
d?0
,则
S
n
?na
1
.
(2)若
?
a
n
?
为等差数列,< br>?
?
S
n
?
也是等差数列,公差为
d
?
2
?
n
?
(3)若
S
n
?m

S
m
?n
,则
S
m?n
??
?
m?n
?
(5)若
S
m
?S
n
,则
S
m?n
?0

(4)若
?
a
n
??< br>b
n
?
是均为等差数列,前
n
项和分别是
A
n

B
n
,则有
a
m
A
2m?1

?
b
m
B
2m?1
(5)等差数列
?
a< br>n
?
中,
a
1
?0

d?0
,则< br>S
n
有最大值,
a
1
?0

d?0
,则
S
n
有最小值。


2.4 等比数列 < br>1、等比数列:一般地如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那
么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母
q
表示
?
q?0
?
.
定义式:
a
n
?q
,(
n?2
,
a
n
?0
,
q?0
).
a
n?1
Gb
??G
2
?ab?G??ab
. < br>aG
2、等比中项:如果在
a

b
中间插入一个数
G
,使
a

G

b
成等比数列,那么
G叫做
a

b
的等比数列。
a

G

b
成等比数列
?
两数同号才有等比中项,且有2个互为相反数。
3、通项公式:
a
n
?a< br>1
q
n?1
?
a
1
n
?q
其中首相为
a
1
,公比为
q
.
q
*
4、 等比数列的性质:
a
n
?a
m
q
n?m

n

m
?N
).
2.5 等比数列的前
n
项和
?
na
1
?
q?1
?
?
1、等比数列的前
n
项和的公式:
S
n
??
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
2、等比数列的前
n
项和的函数特征:当
q?1
时,
Sn
?
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a
1
a
?
1
q
n
.记
1?q 1?q
A?
a
1
,即
S
n
??Aq
n?A
.(帮助判断等比数列)
1?q
3、等比数列的前
n
项和的性质: 在等比数列中:
(1 )当
S
k

S
2k
?S
k

S< br>3k
?S
2k
,…均不为零时,数列成等差数列。公比为
qk
.
nm
(2)
S
n?m
?S
n
?qS
m
?S
m
?qS
n

(3)
a
m
? q
m?n

a
m
?a
n
?q
m?n

m

n
?N
*

a
n
(4 )若
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

(5)若
?
a
n
?
为 等差数列,则
C
??
为等比数列
a
n
(6)若
?
a
n
?
为正项等比数列,则
?
log
C
a
n
?
是等差数列


(7)若
?
a
n
?

?
b
n
?
均为等比数列,则
?
?
a
n
?
?
?
?
??
a
n?
k
?
?0、a、a、a?b、
?
?
n
??
n
?
?
nn
?
??

?
?
?
a
n
??
b
n
?
q
q
2
q、q、q
1
q
2

1
. 仍是等比数列。公比 分别为:
q、、
1
q
k
?
a
1
?0
?
a
1
?0
?
a
1
?0
(8)等比数列
?
a
n
?
的增减性:当
?
,或
?
时,当
?
?
a
n
?
为递增数列;
q?1
0 ?q?1
?
??
0?q?1

?
?
a
1< br>?0
时,
?
a
n
?
为递增减数列。
?
q?1
4、由递推公式求数列通向法:(具体步骤参考金字塔教材)
(1 )累加法:
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?< br> 变形:
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?

(2)累乘法:
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
变形:
a
n?1
?f
?
n
?

a
n
(3)取倒数法:
a
n?1
?
pa
n

qa
n
?p
(4)构建新数列法:
a
n?1
?pa
n
?q
(其中
p

q
均为常数,
?
pq( p?1)?0
?

?

a
n?1
?k?p
?
a
n
?k
?
?
?
a
n
?k< br>?
为等比数列。









第三章 不等式
3.1 不等式关系与不等式
1、不等式定义:用不等号(
?

?

?

?

?
)表示不等关系的式子叫不等式,记作
f
?
x?
?g
?
x
?

f
?
x
?< br>?g
?
x
?
等。用“
?
”或“
?
” 连接的不等式叫严格不等式,用不“
?

或“
?
”连接的不等式叫非 严格不等式。
2、实数的基本性质

a?b?a?b?0

a ?b?a?b?0

a?b?a?b?0
.
实数的其他性质
a?0
?
a?0
?
a?0
?

?
?ab?0

?
?a?b?0,ab?0

?< br>?a?b?0,ab?0

b?0
?
b?0
?
b?0
?
3、不等式的基本性质
(1)对称性:
a?b?b?a
(2)传递性:
a?b,b?c?a?c

(3)可加性:
a?b?a?c?b?c
推论1:
a?b?c?a?c?b
(移向法则)
a?b
?
推论2:
?
?a?c?b?d
(同向不等式的相加法则)
c?d
?
(4)可乘性:
a?b
?
a?b
?

?ac?bc
??
?ac?bc

c?0
?
c?0
?
a?b?
a?b
?
;异向可减:
?a?c?b?d
??
?a? d?b?c

c?d
?
d?c
?
a?b?0
?a?b?0
?
ab
;异项可除:
?ac?bd
?
???

c?d?0
?
0?d?c
?
dc
nn< br>(5)同向相加:
(6)同向可乘:
(7)乘方法则:
a?b?0
?a ?b

n?N

n?1

(8)可开方性法则:
a?b?0?
(9)倒数法则:
n
a?
n
b

n? N

n?2

a?b
?
11
?
??

ab?0
?
ab

3.2 一元二次不等式及其解法
1 、一元二次不等式定义:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式,称为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解,
一元二次 不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集。


2、
3、二次函数,一元二次方程,一元二次不等式三者之间的关系
??b
2
?4ac


??0


??0


??0

ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的图像




两个不相等的实数根

两个相等的实数根


ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根


?
x
1
?x
2
?

?
x
1
?x
2
?


没有实数根
ax
2
?bx?c?0
?
xx?x或x?x
?

12
?
a?0
?
的解集

ax
2
?bx?c?0
?b?
xx??
??

2a
??
R

?
a?0
?
的解集
?
xx
1
?x?x
2
?

?

?


附:韦达定理

bc
2

在函数
ax?bx?c?0
?
a?0
?
,则
x
1
?x
2
??

x
1
x
2
?
.
aa

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1、平面区域:一般地,在平面直角坐标 系中,二元一次不等式
Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C?0
某一 侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括
边界。不等式
Ax?By? C?0
表示的平面区域包括边界,把边界画成实线。
2、平面区域的判定:一般地,当
y?kx?b
时,表示
y?kx?b
的上方区域;

y?kx?b
时,表示
y?kx?b
的下方区域。
3.3.2 简单的线性规划问题


3、线性规划有关概念:①在线性约束条件下求线性目标函数的最 大值或最小值问题,统称
线性规划问题。②若约束条件是关于变量的一次不等式(方程),则成为线性约 束条件。③
要求最大(小)值所涉及的关于变量
x

y
的一次解析式 叫做线性目标函数。④满足线性约
束条件的解(
x

y
)叫做可行解 ,⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。⑥使目标函数
取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
3.4 基本不等式:
ab?
a?b

2
22
1、主要不等式:设
a

b
?R
,则
a?b?2ab(当且仅当
a?b
时取“=”)
2、基本不等式:设
a?0

b?0
,则
a?b
?ab
(当且仅当
a?b
时取“ =”)
2
即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形:
a?b?2ab
.
22< br>2aba?ba
2
?b
2
?
a?b
?
a?b
3、应用:(
a

b
?R

?ab??
?ab?
??
?
2
a?b22
?
2
?
2< br>(调几算方)

4、基本不等式的应用
S
2
S
( 1)如果和
x?y
是定值
S
,那么当且仅当
x?y?
时,积
xy
有最大值;
4
2
(2)如果积
xy
是定值< br>P
,那么当且仅当
x?y?P
时,和
x?y
有最小值
2P
.
应注意以下几点:
①各项或各因式必须为整数;
②各项或各因式的和(或积)必须为常数;
③各项或各因式能够取相等的值;
④多次使用均值不等式时必须同时取等号。

以上三个条件简称为“一正,二定,三相等,四同时”



















其他补充内容
1、两点间的距离公式:设
P
12
?
2
?
x
2
,y
2
?
,则
PP
1
?
x
1
,y
1
?

P
?
x
1
?x
2
?
?
?
y
1
?y
2
?
22< br>.
2、点到直线的距离公式:设
P
?
x
0
,y0
?
,直线
l
的方程为
Ax?By?C?0

A

B
不同时
为零),则
P
到直线
l
的距 离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22< br>.
3、两平行线间的距离公式:两平行直线
Ax?By?C
1
?0< br>和
Ax?By?C
2
?0
间的距离
d?
C
1
?C
2
A?B
22
.
4、点斜式方程:
k?y?y
0
,即
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

x?x
0
5、斜截式方程:
y?kx?b
, 其中
k
为斜率,
b
为截距。
6、直线方程的一般形式:
A x?By?C?0

A

B
不同时为零),当
B?0
时,方程可
化为
y??
AC
AC
x?
,表示斜率为
?
,在
y
轴上的截距为
?
的直线。
BB
BB< br>22
2
7、圆的标准方程:
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
. 其中圆心为
C
?
a,b
?
,半径为
r
.

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