高考数学题与高中教材例习题的血缘关系-新课标[整理]

高考数学题与高中教材例习题的血缘关系
江苏省赣榆县 王怀学222124顾绍习222125
从多年的高考试题看，教材是产生高考题的主要来源，相当数 量的高考题源于教材.即使是
综合题，也是基本题组合、加工、发展，教材是知识、方法、思想的重要载 体.本文仅对似曾相
识的高考题的研究，让事实说话，阐述高考试题与教材例、习题的血缘关系。
一、
对例、习题的进行简单改装

对教材例、习题的数量关系进行简单变 式是高考基础知识、基本技能考查的一种最简单形
式，注重的是基础知识的考查，突出的是对中学数学知 识主干内容的考查。
例1、（2004四川卷）曲线
y?x
3
?3x2
?1
在点（1，－1）处的切线方程为（B ）
A．
y?3x?4
B．
y??3x?2
C．
y??4x?3
D．
y?4x?5

本题考查导数几何 意义、点斜式方程。人教版高三课本（以下简称教材）
P
38
有一道题：求
曲 线
y?x
3
?3x
2
?1
在点P(2,-3)处的切线方程 ？高考题只是把点的坐标换了,曲线方程没变.
例2、（2004四川卷）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程（ B ）
A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5
C．
x?2y?5
D．
x?2y?5

本题考查了轨迹方程的求法 技能。高二教材上
P
69
有一道例题2：设A、B两点坐标是（-1，
-1） 、（3，7），求线段AB方程。高考题只是改了点的坐标。

二、例、习题思想方法、结论直接或间接应用
高考题对基本技能考查，除了对教材直接反映 的基本方法、基本技能熟练程度的考查，还
考查教材知识所蕴涵的丰富的思想方法资源。
例3、（2000天津卷）从含有500个个体的总体中，一次性的抽取25个个体，假定其中
每个个体 抽取的概率相等，那么总体中每个个体被抽取的概率为0.5
高三教材
P
23
有一题：从含有N个个体的总体中，一次性的抽取n个个体，假定其中每个
个体抽取的概率相等，求证 总体中每个个体被抽取的概率为
n
.
N
例4、（2002天津卷）平面直角 坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）B（-1，3），
，
若点C满足
OC ?
?
OA?
?
OB,
其中
?
、
?
?R,且
?
?
?
?1
则点C的轨迹方程为（D）
A、3x?2y?11?0
B、
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5
C、2x-y=0
D、x?2y?5?0

本题考查向量、共线向量的基础知识 ，轨迹方程的基本概念。高一教材下实数与向量的积
、OB
不共线，
AP?tAB(t ?R)
，用
OA、OB
表示
OP
。结果是一节例5：如图，
OA
OP
=
(1?t)OA?tOB
。进一步反思后发现，A、B、P三点共 线条件是
OP
=
(1?t)OA?tOB
。

类比例题 ，不难得出点C的轨迹是直线AB。
例5、（2004四川卷）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方 式将这8支球队分为A、B两
组，每组4支
.求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件 和互斥事件等概率的基本计算，运用
C
3
2
C
5
2
C
3
2
C
5
2
6
数学知识解决问题的能力。（Ⅰ） 有一组恰有两支弱队的概率
??.
（Ⅱ）A组
7
C
8
4C
8
4
31
C
3
2
C
5
2< br>C
3
C
5
1
中至少有两支弱队的概率
??
。和本题相似的题目在高二教材下
P
146
有一道
44
2
C
8
C
8
题：8个球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两组（每组4个队 ）进行比赛，这两个强
队被分在一组内的概率为？高考题把强队变成弱队，2换成了3，问题难度有所提 高，但研究方
法没变。
高考不仅仅直接考查知识结论的应用，试题中还有大量的考查例习题所 反映的思想方法考
题。教师应坚定不移地把复习重点放在数学问题的最基本的思想方法上，重视对知识的 反思，
引导学生把握最基本的知识和技能上来。没有扎实的基础，就没有能力的提高。
三、对例、习题研究的继续
教材例、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法 和研究资源。加强对例、
习题的反思教学，多角度、多层次的研究问题，巩固和加深对知识的理解水平， 把握知识方法
的深度和广度，培养学生的适应能力。

例6、（2004北京卷理）从 长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法
共有n种。在这些取法中，以取出的 三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则
（ B ） A.
m
等于
n
1132
B. C. D.
551010
高二教材下
P
144
有一道题：五根细木棒，它们的长度分别是 1、3、5、7、9，从中任选三根，
能构成一个三角形的概率是？高考题（理）加强了一下三角形的条 件，兼顾考查余弦定理。
例7、(2004辽宁卷)甲、乙两人独立地解同一个问题.甲解决这个问题 的概率是
p
1
,乙解决这
个问题的概率是
p
2
,那 么恰好有一个人解决这个问题的概率是 ( B )
A、
p
1
?p
2
B、
p
1
(1?p
2
)
+
p
2
(1?p
1
) C、1-
p
1
?p
2
D、
1?(1?p
1
)(1?p
2
)

高二教材下
P
乙两人独立地解同一个问题.甲解决这个问题的
141
复习小结中例2选择 题: 甲、
概率是
p
1
,乙解决这个问题的概率是
p
2,那么其中至少有一个人解决这个问题的概率是( D )
A、
p
1
?p
2
B、
p
1
?p
2
C、1-
p
1
?p
2
D、
1?(1?p
1
)(1?p
2
)

例8（20 04重庆卷）一元二次方程
ax?2x?1?0,(a?0)
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ C ）
2

A
a?0
B
a?0
C
a??1
D
a?1

本题考查了命题的 充要条件、一元二次方程根的性质、简单不等式。高一教材上
P
43
有题：
方程
ax?2x?1?0
至少有一个负根的充分条件是（C ）
A、
0?a?1
B、
a?1
C、
a?1
D、
0?a?1或a<0


四、教材所研究问题背景改装
近来高考命题，更加注重开发教材，研究教材，挖掘教材知识的 考查价值和功能。复习时要
充分发挥教材功能，从繁重的复习资料中跳出来，研读教材、吸取营养，更好 地提高数学素养。
2
例9、（2004江苏卷) 二次函数y=ax+bx+c(x∈R)的部分对应值如下：

x 0 1 2 3 4
-3 -2 -1

y 6 0 0 6
-4 -6 -6 -4

则不等式ax
2
+bx+c>0的解集是
?
??,?2< br>?
?
?
3,??
?
.
本题考查了函数与不等式的关 系、一元二次不等式求解原理。高一教材在推导一元二次不
等式的解法时,有一道引例: 二次函数y=x
2
-x-6(x∈R)的部分对应值如下表：

x 0 1 2 3 4
-3 -2 -1

y 6 0 0 6
-4 -6 -6 -4

则不等式x
2
-x-6>0的解集是
?
??,?2
?
?
?
3,??
?

例10、（2004上海卷）教材中“坐标平面上直线”与“圆锥曲线”，体现了解析几何的
本质
高二教材分别在
P（坐标法）研究几何问题，在
P
128
复习小结中两次提到用代数方法
8 4
与
P
33
引
言中提到用坐标法研究图形。阅读过这些内容的学生不 难得出答案：用代数方法研究图形的几
何性质
2
五、例、习题所反映的思想方法再发展
高考一个命题原则：“源于课本，但高于课 本；遵循大纲，又不拘泥于大纲”。不少试题
所涉及的思想方法，都源于教材，源于对教材的深入研究。 脱离课本的复习，不注重在课本提
供的知识进行深化，搞题海战术，疲于奔命，实际上收效并不大。对课 本知识一知半解，没有
达到一种整体的高度，基础知识掌握的不牢，能力培养不出来，学生就没有信心和 勇气去进行
探索性研究。
x
2
?1
f(2)
例11、（ 2004重庆卷）函数
f(x)?
2
, 则
?
( B )
1
x?1
f()
2
A 1 B -1 C
33
D
?

55
本题考查了函数值 的概念，问题计算很简单，属于考技能题，但是同时也是对学生研究性学
x
2
?1,
求 习的一次小小尝试 。 高一教材
P
106
有一道题可以很好的说 明这个问题：
f(x)?
2
x?1

（1）
f()?< br>；（2）
f()?
。对本题反思可以发现，
f()?f()?
0，即< br>b
a
a
b
b
a
a
b
ba
f ()?
-
f()
。
ab
x
2
,
例12 、（2002全国卷）函数
f(x)?
1?x
2
计算
f(1)?f( 2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()
=
3
1
2
1< br>3
1
4
1

2
本题考查了函数值的计算，思想方法从何而来？从教材中来。高一教材上
P
105
：
11
1?x
2
f()??f(x)f()?f(x)?0
，启发我们 解高考题，是否可以研究
f(x)?,
求证。即
2
xx
1?x
11
f()?f(x)
的结果，得
f()?f(x)
=1。
xx
总之，高考数学复习，教师和学生都要过例习题关。教材中的每一道例、习题都要熟练
地求解， 掌握它的通性通法，掌握它的答题规范，掌握它的思路分析，掌握它的知识内涵。研
究教材，不放过那些 可能作为知识考查的载体的题目，深入探讨可能被拔高的题目，充分发挥
例、习题潜在的功能。
作者：王怀学 男 36岁 15年教龄 中学高级
whx196910200@
邮编：222124地址：赣榆县赣马中学
电话：
作者：顾绍习 男 50岁 28年教龄 中学高级
职务：教导主任
邮编：222124地址：赣榆县赣马二中
电话：