人教版高中数学必修一教材《指数函数》教案

指数函数

第二课时
提问：
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质？
a
n
?a?a?a???a,a
0
?1(a?0),0
0
无意义

a
?n
?
1
a
n
(a?0)

a
m
?a
n
?a
m?n
;(a
m
)
n
?a
mn

(a
n
)
m
?a
m n
,(ab)
n
?a
n
b
n

什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
2．观察以下式子，并总结出规律：
a
＞0
①
③
5
a
a
10
?
5
(a)?a?a
②
343
12
4
5
252
10
5
a?( a)?a?a

10
8424
8
2
4
12
?
4
(a)?a?a
④
a?(a)?a?a

5
252
10
5
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以 写成分数作为指数的形式，
（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
3
a?a?(a?0)

b?b?(b?0)

1
2
2
2
3
4
c?c?(c?0)
n
m
5
5
4
即：
a
m
n
?a (a?0,n?N
*
,n?1)

m
n
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
a
?
m
n
?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N
*< br>)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定 好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的
一种新的写法，而不是
a
n
m
?a?a???a(a?0)

1
m
1< br>m
1
m

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指 数幂是有意义的，整数指数幂
的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
a?a?a
rS
rsr?s
(a?0,r,s?Q)

（2）
(a)?a(a?0,r,s?Q)

（3）
(a?b)?ab(Q?0,b?0,r?Q)

若
a
＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课
本P
62< br>——
P
62
.
即：
2
的不足近似值，从由小于2
的方向逼近
2
，
2
的过剩近似值从大于
2
的
方向逼近
2
.
所以，当
2
不足近似值从小于
2< br>的方向逼近时，
5
2
rrr
rs
的近似值从小于
5< br>2
的方向逼近
5
2
.
当
2
的过剩似值从大 于
2
的方向逼近
2
时，
5
2
的近似值从大于
5
2
的方向逼近
5
2
，(如课本图所示)
所以，
5
2
是一个确定的实数.
p
一般来说，无理数指数 幂
a(a?0,p是一个无理数)
是一个确定的实数，有理数指数
幂的性质同样适用于 无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过
剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：
2
的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数 幂有意义，且它们运算性质相同，实
数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
3
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r?R,s?R)

(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r?R,s? R)

(a?b)
r
?a
r
b
r
(a?0 ,r?R)

3．例题
（1）．（P
51
，例2）求值
解：①
8?(2)?2
②
25
?
1
2
2
3
2
3
3
3?
2
3
?2
2
?4

1
2?(?)
2
?(5)
2
?
1
2
?5
1
?5
?1
?

5

③
()
1
2
?5
?( 2
?1
)
?5
?2
?1?(?5)
?32

)
16
?
3
2
4?(?
3
227
44< br>?()
?3
?
④
()?()

81338
（ 2）．（P
51
，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（
a
＞0）
解：
a.a?a?a?a

a?

a
3
33
1
2
3?
1
2
?a

2< br>3
7
2
2
3
a?a?a?a
1
3
2 2
2
3
2?
?a

4
1
3
2
2

3
8
3
a?a?a?a?(a)?a
4
3
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
课堂练习：P
54
练习 第 1，2，3题
补充练习：
1
(2
n?1
)
2
?()
2n?1
2
1. 计算：的结果
n?2
48
a
10
1
2. 若
a
3
?3,a
10
?384,求a
3
?[()
7
]
n ?3
的值

a
3
小结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业：P
59
习题 2.1 第2题