新ces高中数学视频-高中数学(理)立体几何题型
江苏省赣马高级中学 高中数学回归课本校本教材
2009-3-20
高中数学回归课本校本教材6
——献给2009年赣马高级中学高三考生
直线和圆的方程
(一)基础知识
1. 定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜
率
k
,即
k
=tan
?
(
?
≠90°);
倾斜角为90°的直
线没有斜率;直线的倾斜角
?
的范围是
[0,
?
)
;在平面直角坐标系中,对于一条与
x
轴相交的直线
l
,
如果把
x
轴绕着交点按
逆时针方向转到和直线
l
重合时所转的最小正
角记为
?
,那么
?
就叫做直线的倾斜角。当直线
l
与
x
轴重合或平行时,规定倾
??
斜角为0;异面直线所成角
(0,]
;直线与平面所成角
[0,]
;二面角和两向量的夹角
[0,
?
]
;平面向量的夹角:
[0,
?
]
;直线的
22
?<
br>倾斜角
[0,
?
)
;
l
1
到
l2
的角
[0,
?
)
;
l
1
与
l
2
的夹角
(0,]
.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2
22
若圆(x-1)+(y+1)=R上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于
1,则半径R的取值范围是 (1,3) 。
2.直线方程五种形式:
⑴点斜式:已知直
线过点
(x
0
,y
0
)
斜率为
k
,则直线
方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,它不包括垂直于
x
轴的直线.
⑵斜截式:已知直线在
y
轴上的截距为
b
和斜率
k
,则直线方程为
y?kx?b
,它不包括垂直于
x
轴的直线.
y?y
1
x?x
1
,它不包括垂直于坐标轴的直线.
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
⑶两点式:已知直线经过
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
两点,则
直线方程为
⑷截距式:已知直线在
x
轴和
ab
⑸一般式:任何直线均
可写成
Ax?By?C?0
(
A,B
不同时为0)的形式.
提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
0
.直线两截距相等
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点;直线两截距互为相
y
轴上的截距为
a,b
,则直线方程为
??1
,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
xy
反数
?
直线的斜率为
1
或直线过原点;直线两截距绝对值相等
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等
?
直线的斜率为
或直线过 ;直线两截距互为相反数
?
直线的斜率为 或直线过
;直线两
截距绝对值相等
?
直线的斜率为 或直线过 。
如: 已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点,则点P到AC、
BC的距离乘积的最大值是 3;
过点
A(1,4)
,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条
y
轴上4.直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
的位置关系:⑴平行
?
A
1
B<
br>2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
(在
截距);⑵相交
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
;(3)重合
?
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
且
B
1
C
2
?B
2
C
1
?0
.
已知直线
l
1
:x?ay?
6?和l
2
:(a?2)x?3y?2a?0,则l
1
l
2
的充要条件是 (a=-1)
5.直线系方程:
①过两直线交点的直线系方
程可设为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
;
②与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线系方程可设为
Ax?By?m?0(m?
c)
;
③与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线系方程可设为
Bx?Ay?n?0
.
C?C
2
Ax?By
0
?C
6.点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C
?0
距离公式
d?
0
;
Ax?By?C
1
?0<
br>与
Ax?By?C
2
?0
平行线距离是
d?
1
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
x
?x?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
; 设三角形
?ABC
三顶点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
C(x
3
,y
3
)
,则重心
G(
12
33
7.
圆的方程:
⑴圆的标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.⑵圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?
Ey?F?0
DE1
D
2
?E
2
?4F
的圆(二元二提醒:只有当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
才表示圆心为
(
?,?)
,半径为
222
次方程
Ax
2
?Bxy?Cy2
?Dx?Ey?F?0
表示圆
?A?C?0
,且
B?0,D<
br>2
?E
2
?4AF?0
).
⑶圆的参数方程:
?<
br>?
x?a?rcos
?
(
?
为参数),其中圆心为
(
a,b)
,半径为
r
.
?
y?b?rsin
?
?
???????
圆的参数方程主要应用是三角换元:
x
2
?y
2?r
2
?x?rcos
?
,y?rsin
?
;. ⑷以
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2<
br>,y
2
)
为直径的圆的方程
(x?x
1
)(x?x<
br>2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(
A
P?BP?0
);
如:过(1,2)总能作出两条直线和已知圆
x
2
?y
2
?kx?2y?k
2
?15?0
相切,求
k
的取值范围
k?(?
8383
,?3)?(2,)
33
8点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点
P(x
0
,y<
br>0
)
及圆的方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
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1
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①
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P
在圆外;②
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P
在圆内;
③
(x
0
?
a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点
P
在圆上.
9圆上一点的切线方程:点
P(x
0
,y
0
)
在圆
x
2
?y
2
?r
2上,则过点
P
的切线方程为:
x
0
x?
;
y
0
y?r
2
(
OP
0
?P
0
P?
0
)
?????????
过圆
(x?a)
2
?(y?b)<
br>2
?r
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
切线方程为
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?
b)?r
2
.
过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一
条就是与
x
轴垂直的直线.
10直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关
系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.
①
d?r?
相离
②
d?r?
相切 ③
d?r?
相交
11.圆与圆的位置关系,经
常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为
d
,两圆的半径分别为r,R
:
d?R?r?
两圆相离;
d?R?r?
两圆相外切;
|R?r|?d?R?r?
两圆相交;
d?|R?r|?
两圆相内切;
d?|R?r|?
两圆内含;
d?0?
两圆同心.
12.过圆C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x
?E
1
y?F
1
?0
,
C
2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆(相交弦)系方程为
(x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
)?
?
(x2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2<
br>)?0
.
?
??1
时为两圆相交弦所在直线方程.
13.解
决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线
长定理、
割线定理、弦切角定理等等). (注意利用几何性质)
(二)基本计算
1. 求倾斜角:定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.;直线方程法
:ax+by+c=0的斜率
k??
方向向量法:
a?(1,k)
若
a
=(
m
,
n
)为直线的方向向量,则直线的斜率
k
=
?
a
。直线的
b
n
.过两点
(x
1<
br>,y
1
)(x
2
,y
2
)
的直线
m
x
2
y
2
y
2
?y
1
b
2
x
0
的斜率
k?
;求导数;点差法:如
2
?2
?1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中
点的弦所在直线斜率
k??
2
ab
x
2
?x
1
ay
0
2.
设直线方程的一些常用技巧:
(1)知直线纵截距
b
,常设其方程为
y?kx?b
;
(
2)知直线横截距
x
0
,常设其方程为
x?my?x
0
(它
不适用于斜率为0的直线);
(3)知直线过点
(x
0
,y
0)
,当斜率
k
存在时,常设其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
,当斜率
k
不存在时,则其方程为
x?
(4)与直
线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可表示为
Ax?By?C
1
?
0
;
(5)与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
B
x?Ay?C
1
x
0
;
?0
.
提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解;
3. 点
?
x
0
,y
0
?
关于直线
Ax?By?C?0
的对称点
?
x,y
?
的求法:
?
y
0
?yB
?
?
?
x
0
?xA<
br>点A关于直线L对称的点B:1)AB中点在L上;2)AB垂直直线L;
?
x?xy
?y
?
A
00
?B?C?0
?
22
?
如:
点A(4,5)关于直线
l
的对称点为B(-2,7),则
l
的方程是___
______;
已知一束光线通过点A(-3,5),经直线
l
:3x-4y+4=
0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方
程是_________ 注意:⑴点
(a,b)
关于
x
轴、
y
轴、原点、直线<
br>y?x
的对称点分别是
(a,?b)
,
(?a,b)
,
(?a,?b)
,
(b,a)
.
f(x,y)?0
关于下列点和直线对称的曲线方程为:
①点
(a,b)<
br>:
f(2a?x,2b?y)?0
;②
x
轴:
f(x,?y)
?0
;③
y
轴:
f(?x,y)?0
;
④原点:
f(?x,?y)?0
;
⑤直线
y?x
:
f(y,x)?0
;
⑥直线
y??x
:
f(?y,?x)?0
;
⑦直线
x?a
:
f(2a?x,y)?0
.
⑵曲线
3.
圆的方程的求法:⑴待定系数法:设一般方程、设标准方程;⑵几何法;⑶圆系法。
4.求弦长:直线
x?2y?0
被曲线
x
2
?y
2
?6x?2y?15?0
所截得的弦长等于 ;
5.
求切线方程:抓住圆心到直线的距离等于半径
22
26
如:椭圆
x
?
y
?1
内有一点
P(1,1)
,F为右焦点,椭圆上的点M使得<
br>MP?2MF
的值最小,则点M的坐标为
(,1)
43
3
<
br>22
如:椭圆
x
?
y
?1
内有一点
P(1,
1)
,F为右焦点,椭圆上的点M使得
MP?MF
的值最小
43
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2
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圆锥曲线方程
(一)基础知识
1.椭圆:①定义
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为椭圆;
PF1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹;
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以<
br>F
1
,F
2
为端点
x
2
y
2
x
2
y
2
?
x?acos
?
22
的线段
。②椭圆方程
2
?
2
?1
(a>b>0);
?
;一般方程:
Ax?By?1(A?0,B?0)
如:
已知椭圆
??1
,P在椭圆
ab169
?
y?bsin
?<
br>上,若P、F
1
、F
2
是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴距
离为
9
(证明不存在以点P为直角顶点的三角形)
4
③几何性质:顶点:
A
(a,0)
,B
(?a,0)
,C
(0,b)
和D
(0,?b)
.轴:对称轴:x轴,
y
轴;长轴长
AB
=
2a
,短轴长
CD
=
2b
.
焦点:
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,
0)
焦距:
F
1
F
2
?2c
,
a
2
?b
2
?c
2
.离心率:
e?
c
(0?
e?1)
.
a
2.双曲线 :①
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线.PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹
,
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1<
br>,F
2
端点一条射线
22
y
2
x
2
②一般方程:
Ax
2
?Cy
2
?1(AC?0)
,中心在
原点,焦点在x轴上:
x
2
?
y
2
?1(a,b?0),焦点在
y
轴上:
2
?
2
?1(a,b?0)
ab
ab
③几何性质:i. 焦点在
x
轴上:顶点:
(a,
0),(?a,0)
;焦点:
(c,0),(?c,0)
;渐近线方程:
ii
. 焦点在
y
轴上:顶点:
(0,?a),(0,a)
;焦点:
(0
,c),(0,?c)
;渐近线方程:
轴:
x,y
为对称轴,实轴长为2a,
虚轴长为2b,焦距2c.;离心率
e?
x
2
y
2
xy??0
或
2
?
2
?0
;
ab
ab<
br>y
2
x
2
yx
??0
或
2
?
2
?0
,
ab
ab
cc
参数关系
c
2
?a
2
?b
2
,e?
. <
br>aa
③特殊双曲线:等轴双曲线:双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线,其渐近线方程为
y??x
,离心率
e?<
br>(1)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.<
br>(2)互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
2
.
x
2
y
2
x
2
y
2
??
?
???
?<
br> 与
a
2
b
2
a
2
b
2
x
2
y
2
??0
.(3) 双曲线
xy?k
y?ax?b
(c?0,ad?bc)
的图像是双曲线:
cx?d
a
2
b
2
①两渐近线分别直线
x??
d
(由分母为零确定)
和直线
c
(4)共渐近线的双曲线系方程:
y?
a
(由分子、分母中
x
的系数确定);②对称中心是点
(?
d
,
a
)<
br>;
ccc
22
xy
xy
x
2
y
2<
br>?
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
2
?
2
?0
如果双曲线的渐近线为
??0
时,它的双曲线
方
2
ab
ab
ab
x
2
y
2
程可
设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
若<
br>k?R
,则
k
ab
?
x
2
y
23
是方程
??1
表示双曲线的 条件.充分不必要
k?3k
?3
11
x
2
x
2
y
2
2
?1<
br>. 例如:若双曲线一条渐近线为
y?x
且过
p(3,?)
,求双曲线
的方程?令双曲线的方程为:
?y?
?
(
?
?0)
,
?
4
82
22
3.抛物线 ①定义:|PF|=d
准;
;
②方程y=2px③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴?焦点F(
④焦半径
AF?
x
A
?
p
2
;
y
1
y
2
=-p, x
1
x
2
=
2
2
pp
,0),准线x=-,
22
p
2
其中A(x,y)、B(x,y) 如:抛物线
y
2
?2x
上的两点A、B到焦点的距离之和
1122
4
1
2
m
x(m?0)
的焦点坐标是 (0,)
m4
▲
是5,则线段AB中点到y轴的距离是 2;抛物线
y?4.直线与双曲线的位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;
区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
F
1
y
4
3
2
1
F
2
x
5
3
3
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江苏省赣马高级中学
高中数学回归课本校本教材 2009-3-20
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域
⑤:过原点,无切线,无与渐近线平行直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一交点,可作直线数可有0、
2、3、4条.
5.圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭
圆
x
2
y
2
??1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为
a
2
b
2
2
bx<
br>x
2
y
2
b
2
x
中点的弦所在直线斜率k??
2
0
;在双曲线
2
?
2
?1
中
,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线斜率
k
?
2
0
;在抛物
ab
ay
0
ay
0
线
y
2
?2px(p?0)
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率
k?
p
.
y0
x
0
2
y
0
2
P(x
0
,
y
0
),
必
??1
。抛物线
a
2
b
2
x
2
y
2
22
22
6. 若
m?n?
r
,则点
P
?
m,n
?
在圆
x?y?r
的
内部;椭圆
??1
,内部任意一点
a
2
b
2
x2
?2py(p?0)
内部一点
p(x
0
,y
0
)
,
x
0
2
?2py
0
。
已知对<
br>k?R
,直线
y?kx?1?0
与椭圆
x
2
y
2
??1
恒有公共点,则实数
m
的取值范围是
[1,5)?(5,
??)
5m
已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的中线.如:M为椭圆
????????
x
2
2
PF?P
F
上任意一点,P为线段OM中点。则
?y?1
12
=
3
8.特殊的双曲线:
(二)基本计算
1.求圆锥曲线方程:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误
②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法
过两点椭圆、双曲线标准方程可设为:
mx
2
;
?ny
2
?1
(
m,n
同时大于0表示椭圆,
mn?0
时表示双曲线)
③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程 2
22
y
0
2
b
xy
共渐近线
y??
x
双曲线标准方程可设为
??
?
(
?
为参数,
?<
br>≠0);抛物线y=2px上点可设为(,y
0
);
a
2
p
a
2
b
2
如:中心在原点,焦点坐标为
(0,?52)<
br>椭圆被直线
3x?y?2?0
截得弦的中点横坐标为
cb
2
2
.求离心率:i公式法;e=
?1?
2
,ii方程法:建立关于
a,c
的齐次;
a
a
1
,则椭圆方程
2
x
2
y
2
??1
2575
22
如:已知点F是双曲线
x
?
y
?1(a?0,b?0)
的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于
x
轴的直线与双曲线
a
2
b
2
交于A、B两点,若△ABF是直角三角形,则该双曲线的离心率是
2;
以等边三角形顶点AB为焦点的椭圆经过两腰的中点,求其离心率:
;
3?1
a
2
b
x
2
y
23,求渐近线:渐近线
y??x
或
2
?
2
?0
;求准线方程:x=
?
a
c
ab
4.求最短距离:①椭圆
a-c,远地a+c;②抛物线y
2
=2px(p>0),对称轴上一定点
A(a,0
)
,则:当
0?a?
小,最小值为
a
;当
a?p
时
,有关于
x
轴对称的两点到点A距离最小,最小
2ap?
p
时,顶点
到点A距离最
p
2
。③函数最值问题
p
2
5弦长 ⑴焦半径:椭圆:
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
(e为离心率); (左“+”右“-”);抛物线:
PF?x
0
?
2
⑶通径
2b
,
2p,焦点弦
AB
=x
1
+x
2
+p; 2)弦长
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x2
]
?1?
1
?y?y?(1?
1
)?[(y?y)<
br>2
?4yy]
211212
a
k
2
k2
6焦点三角形面积:公式:
S
?PF
1
F
2
=
b
2
cot
7.直线与圆锥曲线问题解法:
?
2
⑦
S
?PF
1
F
2
=b
2
tan
?
2
;定义、余弦定理、面积公式等;
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联
立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程?②直线斜率不存在时考虑了
吗?③判别式验证了吗?⑵设而
AB
不求(代点相减法):--------处理弦中点问题:
步骤如下:①设点A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
);②作差得
k
8.求轨迹的常用方法:
(1)定义法:
(2)直接法;(3)转移法;⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
?
y
1
?y
2
???
;
x
1
?x
2
2009-3-12 编写:王怀学
审核: 高三27班全体同学 版权个人所有 翻印复制上传必究
4
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