两点间公式(完整版)考研数学公式推导

积化和差
积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2（注意此公式前的负号）
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2

证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-12[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-12[-2sinαsinβ]
其他的3个式子也是相同的证明方法。

作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式 ，
所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利
用三角函数表。
运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的
反三 角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数
的值 ，并最后利用加减算出结果。
对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
和差化积

正弦、余弦的和差化积
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)2]·sin[(α-β)2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)2]·cos[(α-β)2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)2]·sin[(α-β)2]

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，









sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
设 α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)2, β=（θ-φ）2
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sin(θ+φ)2 cos(θ-φ）2
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)(cosα·sinβ)
tanα- cotβ=-cos(α+β)(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)(cosα·cosβ)
=sin(α±β)(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立

注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导 公式化
为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
sinx*siny=? 正余弦的和差化积和积化和差公式
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的 余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈ Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 “一全正；二正弦；三为切；四
余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系： 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下
面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2 cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)
1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)
2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
万能公式推导
附推导：
sin2α=2 sinαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) < br>＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α) －cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cos
α)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导
附推导： 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sin a*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]
cosθ- cosφ=-2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
和差化积公式由积化和差公式变形得到。
积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ
把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2
这样，得到了积化和差的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2
有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们
把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β 设为φ,
那么α=(θ+φ)2,β=(θ-φ)2
把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]
sinθ- sinφ=2cos[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]
cosθ- cosφ=-2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]

正余弦公式
三角函数的积化和差公式
sinαcosβ= 12［sin(α+β)+sin(α-β)］
cosαsinβ= 12［sin(α+β)-sin(α-β)］
cosαcosβ= 12［cos(α+β)+cos(α-β)］
sinαsinβ=- 12［cos(α+β)-cos(α-β)］
三角函数的和差化积公式
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
cosθ- cosφ = -2sin[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
有相关的口诀
正加正，正在前，正减正，余在前
余加余，余并肩，余减余，负正弦
反之亦然
360°=2π
360°用角度表示的一个圆周角的角度,而2π是用弧度表示的圆周角（ 即该角度所在的弧长
是半径的多少倍：弧长半径。如360°是整圆，所在的弧长是2πr,半径是r, 所以弧度为：2
πrr=2π）
两者是相同的量不同单位的表示形式
在公式里看具 体是用弧度还是角度,如果前面是用弧度就应用2π,如果用的是角度就应用
360°
详细讲解正余弦诱导公式
[解题过程]
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα


sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα


sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα


sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
(其中k∈Z)


两角和与差的三角函数公式 万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)(1－tanα ·tanβ)

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)


半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式


二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2α

sin3α＝3sinα－4sin^3α

cos3α＝4cos^3α－3cosα

3tanα－tan^3α
tan3α＝——————
1－3tan^2α


三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin———·cos———
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos———·sin———
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos———·cos———
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin———·sin———
1 2 2
sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2
1
cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2
1
cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
2
1
sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]
2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）