高中数学必修四第一、二章

第一章：三角函数
任意角
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。
（1）按逆时针方向旋转所成角叫做正角；
按顺时针方向旋转所成角叫做负角；
没有作任何旋转所成的叫做零角
（2）象限角、轴线角
当角的顶点与坐标原点重合 ，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在第几象限，就说这个角是第几象限
角；
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的
角叫做轴线角
（3）终边相同角
?
??
?
?
? 2k
?
,k?Z
?
与角
?
终边相同的角的集合：
第一象限角的集合为 第四象限角的集合为
终边在x轴上的角的集合为
终边在y轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
与角α终边相同的角的集合为
弧度制
（1）角度定义制
规定周角的
1
为一度的角，记做1°，
360

用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制
（2）弧度制定义
长度等于 半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度
记做1 rad。
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径 为r的圆的圆
心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
|α|?
l< br>r

（3）弧度制与角度制的换算公式：π rad=180°，
1?
（4）弧长
l?
?
r
、扇形面积
s?
1
lr?1
?
r
2

22
?
180
rad，< br>1rad?(
180
?
)
?
?57.3?

（5）特殊角的弧度
角
度
弧
0
度
0
°
30
°
45
°
60
°
90
°
120
°
135
°
150
°
180
°
270
°
360
°
?

6
?

4
?

3
?

2
2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

3
?

2
2
?

任意角的三角函数
（1）设α是一个任意角，它 的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
，那么
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y

x
（2）设点
A
?
x,y
?
为角α终边上任意一点，那么： （设
r?x
2
?y
2
）

sin
?< br>?
y
，
cos
?
?
x
，
tan?
?
y
，
cot
?
?
x

rrx
y
（3）三角函数线的定义：
设任意角
?
的顶点在 原点
O
，始边与
x
轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P
(x,y)
，
过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M< br>；过点
A(1,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向延长线 交与点
T

正弦线：MP；余弦线：OM；正切线：AT

由四个图看出：
当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
于是有
yy
??y?MP

r1
xx
??x?OM

r1
OM?x,MP?y
sin
?
?
cos
?
?
yMPAT
???ATxOMOA

tan
?
?
特别地，当
α
的终边 在x轴上时，点A与点T重合，
tan
?
?AT?0
；当
α
的终边落在y轴上时，OP与垂线平行，正切线不存在

（4）特殊角的三角函数值
?

sin
?



















cos
?

tan
?



















同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
（2）商数关系：
tan
?
?
sin
?
.
cos
?
（3）倒数关系：
tan
?
cot
?
? 1

说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如
sin4
?
?cos4
?
?1
等；
22
②注意这些关系式都是对于 使它们有意义的角而言的，如
tan
?
?cot
?
?1(
?
?
k
?
,k?Z)
；
2

③对这些 关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
22
cos
?
??1?sin
2
?
，
sin
?
?1?cos< br>?
，
cos
?
?
sin
?

tan
?
三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
（1）诱导公式一：
cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
tan
?
?
??
?
?tan
?
.
sin
?
?
??
?
?sin
?
,
sin
?
?
??
??sin
?
,
tan
?
?
?
?< br>??tan
?
.
（2）诱导公式二：
cos
?
??
?
?
??cos
?
,
（3）诱导公式三：
c os
?
?
?
?
?cos
?
,

?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
（4）诱导公式四：
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
（5）诱导公式五：
?
2

?
?
?
tan
?
?
?
?
?< br>??tan
?
.
cos
?
?
?
?
? sin
?
.
?
2
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
（6） 诱导公式六：
?
2

?
?
?
cos
??
?
?
??sin
?
.
?
2
?
正弦、余弦函数的图象和性质
（1）正弦、余弦函数图象：
y=sinx









-4
?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2
-2
?
-3
?
-
?
2
-
?
2
y
1
-1
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?3
?
2
7
?
2
4?
x
y=cosx
-4
?
-7
?
2
- 5
?
-3
?
2
-
?
-2
?
-3< br>?
2
-
?
2
y
1
-1
o
?
2
?
3
?
2
2
?5
?
2
7
?
3
?
2
4
?
x

（2） 五点法作图.
?
3
?
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关键点为：
（0，0）（，，1）（，
?
，0）（ ，，-1）（，2
?
，0）.

22
正切函数的图象与性质
（1）正切函数、余切函数的图象
y
y
y=tanx
y=cotx
3
?
-
2
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
x
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
2
?
x

周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.


图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
R

[-1,1]
R

[-1,1]
{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

值域
R

x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
max
?1



无
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时， y
min
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1
周期性
奇偶性
T?2
?

奇
在
[2 k
?
?
?
,2k
?
?
?
]
上单调 递增
22
T?2
?

偶
T?
?

奇
单调性
在
[2k
?
?
?
,2k?
]
上单调递增
在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)
上单调递增
22
在
[2k?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
k?Z

在
[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?
]
上单调递减
22
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?
?
2

对称轴方程：
x?k
?
无对称轴
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象
（1）对于函数：
对称中心
(k
?
?
?
2
,0)
对称中心
(
k
?
2
,0)

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0
?
有：振幅A，周期
T?
2
?
?
，初相
?
，相位
?
x?
?
，频率
f?
1
T?
?
2
?
.
（2）能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩：
平移：
②先伸缩后

（3）三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x ?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?)
，x∈R(A,
?
,
?
为常数，且A≠0)的周期
T ?
2
?
；函数
|
?
|
y?tan(
?x?
?
)
，
x?k
?
?
?
?
.
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
2
|
?
|
对于
y?Asin(
?
x?
?< br>)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来说，对称 中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)
图像的对称轴与对称中心，只需令
?
x?
?
?k
?
?
解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
（4）由图像确定三角函数的解析式
?
2
(k?Z)
与
?
x?
?
?k
?
(k?Z)

利用图像特征：
A?
y
max
?y
min
y?y
min
，
B?
max
.
22
?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
（2）
sin
?
?
?
?
?< br>?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>
cos
?
?
?
?
?
?cos
?< br>cos
?
?sin
?
sin
?
（3）
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
（4）
tan
?
? tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
1 ?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
（5）. （6）.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）
sin2
?
?2sin?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
.
2
s in2
?

（3）
tan2
?
?
2tan?
.
1?tan
2
?
（4）
tan
?
?
sin2
?
1?cos2
?
?
1?cos2
?
sin2
?




辅助角公式
y?a sinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
（其中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,tan
?
?
b
a



1．若 ，则 的值为（ ）．
2． A． B． C． D．
3．2． 的值等于（ ）．
4． A． B． C． D．
5．3．在△ 中，下列各表达式为常数的是（ ）．
6． A． B．
7． C． D．
8．4．如果 ，且 ，则 可以是（ ）．
9． A． B． C． D．
10．5．已知 是方程 的根，那么 的值等于（
11． A． B． C． D．

）．

6．计算 ．
7．7．已知 ， ，则 ， ．
8．8．若 ，则 ．
9．9．设 ，则 ．
10．10．
11．11．求值：
12．





．

12．已知角 终边上一点 的坐标为 ，
（1）化简下列式子并求其值： ；
（2）求角




的集合．
13．已知




，求证： ．

14．若 ，
求



15．已知、、为△ 的内角，求证：
的值．
16． （1）




；（2） ．
16．已知


为锐角，并且，，求 的值．
第二章：平面向量
向量的物理背景与概念
（1）了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
（2）既有大小又有方向的量叫做向量.
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小

向量的几何表示
（1）带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 （2）向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
AB
；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1
个单位的向量叫做单位向量.
（3）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
相等向量与共线向量
（1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
（2）平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
．．．．．．．．．．．
说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系
向量加法运算及其几何意义
（1）三角形加法法则和平行四边形加法法则

（2）

a?b
≤
a?b
.
向量减法运算及其几何意义
（1）与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
（2）三角形减法法则和平行四边形减法法则
向量数乘运算及其几何意义

< br>（1）规定：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数 乘.记作：
?
a
，它的长度和方向规定如下：
①
?
a?
?
a
,
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
（2）平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
平面向量基本定理
??
（1）平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
， 有且只
有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?< br>?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
平面向量的正交分解及坐标表示
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
平面向量的坐标运算 < br>（1）设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b ?
?
x
2
,y
2
?
，则：
①
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

②
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
?
③
?
a ?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
④
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
（2）设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?.
平面向量共线的坐标表示
设
A
?
x
1
, y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?,C
?
x
3
,y
3
?
，则①线段AB中点坐标 为
平面向量数量积的物理背景及其含义
?
x
1
?x
22
y
2
，②△ABC的重心坐标为
,
y
1
?< br>2
?
?
x
1
?x
2
?x
3
3
,
y
1
?y
3
2
?y
3
. < br>?
（1）
a?b?abcos
?
.
（2）
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
（3）
a? a
.（4）
a?
2
2
a
.（5）
a?b?a?b? 0
.
2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
（1）设
a??
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则：

22
a?x?y
a?b?xx?yy
11
1212
①②
③
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
④
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y< br>1
?0

（2）设
A
?
x
1
,y< br>1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
.
（3）两向量的夹角公式

cos
?
?
a?b
?
ab
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>x?y?x
2
?y
2
2
1
2
1
22

（4）点的平移公式
x
?
?x?h
平移前的点为
P(x,y)
（原坐标），平移后的对应点为
P
?
(x
?
,y
?
)
（新坐标），平移向量为
PP
?
?(h,k)，则
?
?
?
y
?
?y?k.
函数
y? f(x)
的图像按向量
a?(h,k)
平移后的图像的解析式