最新人教版高中数学必修四教师资格试讲教案全套

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课题1 任意角
一、教学目标
（一） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与象限角的概念.
（二） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合
（三）情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
二、教学重点：任意角概念的理解；终边相同的角的集合的表示
三、教学难点：终边相同角的集合的表示
四、教学过程
（一）引入
1、回顾角的定义（在初中我们学习过角，那么请同学们回忆一下角的概念）
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
2、讨论实际生活中出现一系列关于角的问题 < br>一只手表慢了5分钟，另外一只快了5分钟，你是怎么校准的？校准后，两
种情况下分针旋转形成 的角一样的吗？
那么我们怎样才能准确的描述这些角呢？这就不仅需要我们知道角的形成
结果 ，还要知道角的形成过程。（今天同学们就跟着老师一起来学习角的新知
1

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识）
（二）新课讲解：
1．角的有关概念：(在原来初中学习的角的概念基础上，我们重新给了角一
个定义)
（1）角的定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成
的图形叫做角。
一条射线绕着它的端点0，从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，
点O是角的顶 点，射线OA、OB是角α的始边、终边
29
始
终
顶
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36



（2）角的分类：
30
31
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40
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正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成
负角：按顺时针方向旋转形成

(3)注意：
①为了简单起见，在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成
“α ”；
②零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
2

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③角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
（4）练习：老师举一些例子让同学说出角α、β、γ各是多少度?

2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么 角
的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边
在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何一个象限。
②课堂练习，初步理解象限角
在直角坐标系中，下列各角的始边与x轴的非负半轴重合，请指出它们是第
几象限的角
⑴ 30°； ⑵ -120°； ⑶ 180°；
3．终边相同的角
讨论 ：对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果
不唯一，那么终边相同的角有什 么关系呢？
（1）终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α
+ k·360

° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个
周角的和．
注意：
⑴ k∈Z
3

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⑵ α是任一角；
⑶ 终边相 同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有
无限个，它们相差360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720

°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
4、例题精讲
例1．在 0°到360°范围内，找出与－950°12＇角终边相等的角，并判断它
们是第几象限角．
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例2．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
例3．写出终边在< br>y?x
上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜
720°的元素β写出来 ．
五、课堂小结
①与角相关的概念；
②象限角；
③终边相同的角的表示方法；
六、课后作业：
①教材P
5
练习第1-5题；
②预习弧度制
七、板书设计



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一、教学目标：
课题2 任意角的三角函数
1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
二、教学重点：三角函数的定义；

三、教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的三角函数表示
出来
四、教学过程

（一）复习引入

在初中，我们已经学过锐角三角函 数，它是在直角三角形中进行定义的，知
道它们都是以锐角为自变量，以直角三角形三边的比值为函数值 的函数。

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新
定义.
如图,设锐角
?
的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的正 半轴重合,那么它的终边
在第一象限.在
?
的终边上任取一点
P(a,b)< br>,它与原点的距离
r?a
2
?b
2
?0
.过
P
作
x
轴的垂线,垂足为
M
,则线段
OM
的长度为
a
,线段
MP
的长度为
b
.
则
sin
?
?
MPb
?
;
OPr
Y
P(a,b)
?
OM
x
6

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tan
?
?

MPb
?
.
OMa
思考1：对于确定的角
?
，这三个比值是否会随点
P
在
?
的终边上的位置的改
变而改变呢？为什么?
根据相似三角形的知识，对于确定的角
?
，三个比值不以点P在
?
的终边
上的位置的改变而改变大小.我们就可以得到 一个结论，确定的角α，它的三
角函数值是确定的。
思考 2：我们能不能用直角坐标系中的点来表示三角函数？
我们可以将点P取在使线段
OP的长
r?1
的特殊位置上，这样就可以得到用
直角坐标系内的点的坐标表示锐角三 角函数：
sin
?
?
MPOMMPb
?b
;
cos
?
??a
;
tan
?
??
.
OPOPOMa
思考3：还有那些点可以用它的横纵坐标来表示三角函数值呢?
在引 进弧度制时，我们用到了半径等于单位长度的圆，在直角坐标系中,我们
称以原点
O
为 圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是
?
的终边
与单位圆的交点, 锐角
?
的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
（二）新课讲解
1.任意角的三角函数的定义
结合上述锐角
?
的三角函数值的求法, 显然,我们可以利用单位圆来定义任意
角的三角函数.
如图,设
?
是一个任 意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:
7

142 (1)
y
叫做
?
的正弦(sine),记做
sin
?
,
P(x,y)
Y
143
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146
即
sin
?
?y
；
（2）
x
叫做
?
的余弦(cossine),记做
cos
?
,
即
cos
?
?x
；
y
（3）叫做
?
的正切(tangent),记做
tan
?
,
x
?
O
A(1,0)
x
147 即
tan
?
?
说明:(1)当
?
?
y
(x?0)
.
x
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?
2
?k
?
(k?Z)
时，
?
的终边在
y
轴上，终边上任意一点的横坐
y
无意义。
x
标
x
都等于
0
，所以
tan
?
?
(2)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比
值为函数值的函 数，我们将这种函数统称为三角函数.
2.练习利用定义求角的三角函数值
例1
例2．已知角
?
的终边过点
P
0
(?3,?4)
，求角?
的正弦,余弦和正切值。
思考：如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？
得出规律：三角 函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我
们只需计算点到原点的距离，即可求出三角 函数值。
五、课堂小结
任意角的三角函数
六、布置作业
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练习1、2、3、4
七、板书设计


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一、教学目标：
课题3 同角三角函数的基本关系

1、掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法；
2、会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行化简、求值及恒等式证明；
3、培养学生观 察发现能力，提高分析问题能力、逻辑推理能力．增强数形结
合的思想、创新意识 。
二、教学重点：同角三角函数的基本关系式推导及其应用
三、教学难点：同角三角函数的基本关系式与变式的灵活运用
四、教学过程
（一）引入
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1、什么是三角函数？
正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值
为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
问题：数学中很多量 之间都具有特定的联系，比如直角三角形的勾股定理。那
么三角函数之间是否也具有某种关系呢？
2、探究活动：
sin30?
=？ ，
cos30?
=？ ，
sin
2
30??cos
2
30??
？
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sin45?
=？ ，
cos45?
=？ ，
sin
2
45??cos
2
45??
？
3、由上情况初步得出什么结论？
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（二）新课讲解
1. 同角三角函数之间的关系
三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,现在我们还是利用直角坐标
系中的单位圆来探讨同一个角不同三角函数之间的关系。
如图:以正弦线
MP
, 余弦线
OM
和半径
OP
三者的长构成直角三角形,而且
OP?1.由勾股定理由
MP
2
?OM
2
?1
,因此
x
2
?y
2
?1
,即
sin
2
?
? cos
2
?
?1
.显
然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成 立。根据三角函数的定义,当
a?k
?
?
?
2
(k?Z)< br>时,有
sin
?
?tan
?
.
cos
?










通过上面一系列的推证，我们可以得到，同一个角
?
的正弦、余弦的平方和等
于1，商等于角
?
的正切，这就是我们同角三角函数的基本关 。
2. 例题讲评
3
例6.已知
sin
?
??
,求
cos
?
,tan
?
的值.
5
通过例题，我 们可以知道
sin
?
,cos
?
,tan
?
这三者知一求二,我们要熟练掌
握.

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例7.求证:
cosx1?sinx
.
?
1?sinxcosx
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的常用方法.
①我们可以从等式一边证到等式另一边，得等式右边与左边相等，或者
等式左边与右边相等。
② “两面夹击,中间会师”，即左右归一，将等式两边的“异”化为“同”。
5.巩固练习P20页第4,5题
五、学习小结
（1）同角三角函数的关系式的前 提是“同角”，因此
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
?
sin
?
．
cos
?
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222
（2）利用平方关系时，往往要开方，我们要注意α角的取值范围， 要先
根据角所在象限确定符号。
六、课后作业布置
作业：习题1.2 A组第10,13题.
七、板书设计

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一、教学目标

课题4 正弦函数、余弦函数的图像

1、了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图象
2、掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征
3、掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系
4、掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图
5、通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系
6、 体会数形结合的思想
二、教学重点：正余弦函数图象的做法及其特征
三、教学难点：正余弦函数图象的做法，及其相互间的关系
四、教学过程

（一）复习引入
学习函数我们往往要研究它的图像与性质，前面我们已经对正弦函数、
余弦函数有了一个初步的了解，那么它们的图像是什么呢？今天我们就来
研究正弦函数和余弦函数的图 像。我们知道物理中简谐运动的图像就是“正
弦曲线”或“余弦曲线”，现在我们来看一个沙摆实验的视 频，来看看图像
的形状是怎样的。
（二）讲授新课
1、正弦函数y=sinx的图象
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下面我们利用正弦线来一起画一个比较精确的正弦函数图象。
先建立一个直角坐标系，它的坐 标原点为o，再在直角坐标系的x轴上取一点
o1，以o1为圆心作单位圆，从圆o1与x轴的交点A起 将圆12等分，过各等分
点向x轴作垂线，分别得到 等的正弦线。再把x
轴从0-2π这一段等分成12等分，把这些角的正弦线平移到对应的点上，再把< br>这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到 的图像。
P31（设计意图：通过按步骤自己画图，体会如何画正弦函数的图象，对图像
理解更加透彻。）
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因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 的图像
与 的图像时完全一致的。于是我们只要将
的图像每次左右平移2π个单位长度就可以得到正弦函数的图像。

图
2、余弦函数y=cosx的图象
探究：是否能够根据正弦函数图象，通过适当的图形变换得到余弦
函数的图
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象？
根据诱导公式< br>cosx?sin(x?)
,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移
2
?
?
单位即得余弦函数y=cosx的图象.
2



图


正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和
余弦曲线．
思考：利用正弦线画正弦函数的图象比较繁琐，那么我们还能够用什么更简
单的方法画出图像吗 ？
通过观察，在正弦函数0-2π的图像上，起关键作用的点有五个：（0,0)
(,1) (
?
2
,0) (
3
?
2
,-1) (2,0)。余弦函数0-2π的图像上，起关键作用
,-1) (
3
?
2
的点也有五个：(0,1) (
?
,0) (
2
,0) (2,1)。事实上，描出
这五个点后，函数的图像就基本确定了。因此 在精确度不太高时，常采用
五点法作正弦函数和余弦函数的简图．
3、 例题讲解
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， （2）y=-COSx
【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画
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300
法步骤。
探究1：如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平
移、 翻转等）来得到y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；
小结：函数值加减一个常数，图像上下移动
探究2：如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平
移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：如果函数值互为相反数，函数的图像就是原函数关于X轴对称的图像。
【设计意图】通过四个探究问题，对画图法以及正弦余弦函数及其图象的
性质有更深刻的认识。
五 、学习小结
对本节课所学内容进行小结
【设计意图】在梳理本节课所学的知识 点归纳的过程中进一步加深对正
弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体
系。
六、课后作业
课后练习1,2
【设计意图】将课堂延伸，使学生将 所学知识与方法再认识和升华，进一步
促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生 都有所进步。
七、板书设计
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一、教学目标

课题5 正切函数的性质和图像

1、探索并掌握正切函数的性质；
2、能根据正切线画出正切函数的图象
二、教学重点：掌握正切函数的基本性质

三、教学难点:利用正切函数的性质画出其图像，特别是对正切函数图像的渐
近线的认识。
四、教学过程

(一)引入

问题1：前面我们学习过正切函数，它是怎么样定义的呢？
对于任意的一个实数x都有唯一确 定的tanx与它对应，按照这个对应关系建
立的函数关系y=tanx，就叫做正切函数（x不等于k π+12π）。
问题2：作函数图像常用的方法有哪些？ （遇到一个函数，我们自然而然就
想到作它的图像）
（1）描点法：它是作函数图像最基本的方法
（2）利用基本初等函数图像的变换（主要包括平移变换）
问题3：正切函数应该选用哪种作图法呢？
描点法（因为的图像不能通过我们熟悉的函数图像平移得到）
（二）新课讲解

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画正切函数的 图像要通过描点法来画，那么我们应该选那些点来描？点描好
了如何连线呢？这些都需要结合函数的性质 。所以，我们先来探究一下函数的
性质。
1、正切函数的性质
（1）定义域（我们知道研究函数首先要考虑的就是定义域，定义域是首要因
素）

（2）周期性（根据周期函数的定义）

（3）奇偶性

（4）单调性（正切线的变化规律）




（5）值域（正切线的大小）

2、正切函数的图像
想一想，我们是怎么 得到正弦函数图像的呢?正切函数可以用同样的方法得到
?
??
?
它的图像吗 ？同学们可以动手画一画在一个周期
?
?,
?
上正切函数的图像。
?
22
?
341
342


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?
??
?
从前面我们得出的正切函数的性质我们可以知道在
?
?,
?
内函数是单调递
?
22
?
增的，且是函 数的一个周期，那样我们就得出了正切函数一个周期的函数图像。
根据我们得到到正切函数的周期性，只 要把图像左右扩展就可以得到正切函数
的图像了。





-8-6
4
3
2
1

3、例
例六
-2
?
-
3
?
2
- 4
-
5
?
4
-
?
-
3
?
4
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-
?
2
-
?
4
O
-1?
4
?
2
2
3
?
4
?
45
?
3
?
2
7
?
4
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4< br>2
?
-2
-3
-4
题讲解
-5
-6
-8
五、学习小结：学生总结，老师补充
六、布置作业：P45练习1-6
七、板书设计

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一、教学目的：

课题6平面向量的实际背景及基本概念

1了解平面向量的实际背景；
2掌握向量的几何表示；
3理解向量的有关概念；
4逐步培养学生观察、分析、综合类比能力、“知识重组”意识和“数形结合”
能力。
二、教学重点：向量、相等向量和共线向量的概念；向量的几何表示。
三、教学难点：向量的概念和共线向量的概念。
四、教学过程：

（一）引入

同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工 具。
实际上，数学的很多理论也是由其它学科的一些知识抽象而来的。比如同学们
学习的物理， 它与数学就有非常密切的关系。
（二）新课讲解

1、向量的物理背景与概念

提问：请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？（力、
位移）
指导阅读：P74相关内容
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401
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向量的概念：
数学中，我们把既有大小 又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）。而把
那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、 面积、体积、质量等，称
为数量（物理学中常称为标量）。
注意：
数量与向量的区 别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比 较大小。
2、向量的几何表示

（1）有向线段

由于实数与数 轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而
且不同的点表示不同的数量。对于向量，我 们常用带箭头的线段来表示，这种
带有方向的线段叫有向线段。如图2.1-5，

图
①以A为起点、B为终点的有向线段记作
AB
，
或简记为a，< br>起点写在终点的
前面。
403
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406
②已知
AB
，线段AB的长度也叫做有向线段
AB
的长度，也叫做模 ，记作
【
AB
】
问题1：:联系物理中力的三要素：大小、方向、作用点， 请同学们想一下有
向线段有三要素吗？有的话，分别是是什么？
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③有向线段的三要素：起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、 方向和
长度，它的终点就唯一确定。
问题2： “向量就是有向线段，有向线段就是向量。” 的说法对吗？（不对，
向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段）
①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和
方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不 同，尽管大小和方向相同，
也是不同的有向线段）
（2）零向量、单位向量概念
①长度为0的向量叫零向量，记作0。
注意0与0的区别（及书写方法）。
②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
3、平行向量、共线向量与相等向量

（1）平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行。
③平行向量可以在同一直线上
（2）共线向量定义：
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平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上
注意：平行向量和 共线向量就是指同一种概念（只有平行向量才可以平移到
同一条直线上，而平行向量有包含共线向量的）
（3）相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明：（1）向量a与b相等，记作a=b
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相 等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向
线段的起点无关。在平面上，两个长度相等且 指向一致的有向线段表示同一个
向量，因为向量完全由它的方向和模确定。
问题3：两个向量 是否可以比较大小？（向量不能比较大小，我们知道，长度
相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但 是当长度相等，方向不同的时候
我们就无法比较它的大小了，所以两个向量之间只有相等关系，没有大小 之分.）
4、例题讲解
例1
例2
五、课堂小结：教师自结，教师总结
六、课后作业：P77练习1-4
七、板书设计

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课题7 向量减法运算及其几何意义

一、教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解
事物间可以相互转化的辩证思想.
二、教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法
三、教学难点：减法运算时方向的确定.
四、教学过程
（一）复习引入
前面我们学习了向量的加法，两个向量和的运算就叫 做向量的加法。数与数
之间是可以相加减的，那么向量是否具有减法运算呢？是否能和数一样进行相减呢？向量的加减法是不是还是像数的加减法一样是一组逆运算呢？如果是，
那么向量的减法是否与 数的减法有类似的法则呢？
（二）新课讲解
1、相反向量（p85）：（我们知道数是有相反数的，与数x的相反数是- x类似）
我们把与a长度相同、方向相反的向量就叫做相反向量，记作
具有以下几种性质：
（1）-（-a）=a
（2）任一向量与其相反向量的和是零向量（前进5步后退5步）
a。相反向量
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a+（-a）=（-a）+a=0
（3）如果a、b互为相反向量，那么
a=-b b=-a a+b=0
根据这几条性质，我们可以得到减去一个向量就等于加上这个向量的相反向
量。
2、 向量减法的定义
向量a加上它的相反向量b，叫做a与b的差，求两个向量差的运算叫做向量
的减法，向量的减法就是向量加法的逆运算。
3、向量减法的几何意义 P85







探究：如果从向量a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？（b
a）
4、例题讲解
例3
例4
图
25

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491
492


思考：变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a
菱形）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）
b垂直？（|a| = |b|
493 变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？（不可能，∵
494 五、课堂小结：向量减法的定义、作图法|
495 六、作业：练习1-3
496 七、板书设计
26
对角线方向不同）

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课题8平面向量基本定理

一、教学目标：

掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量
分解为两个向量．
二、教学重点：

平面向量的基本定理及其应用．
三、教学难点：

平面向量的基本定理．
四、教学过程：

（一）引入
在物理学中 如何对合力进行分解的？我们知道力在数学中我们可以把它看成
是向量，那么，向量也能像力一样进行分 解吗？带着这个问题请同学们跟老师
一起来探究今天的课题。
（二）新课讲解
1、平面向量基本定理
e
1
，
e
2
是不共线向量 ，
a
是平面内任一向量

27

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518
519
520

由这个过程，我们可以得到平面内任一 向量都可以由这个平面内不共线的向量
表示出来。当这两个向量
出任意的一个向量了。

e
1
，
e
2
e
1
，
e
2
确定之后，我们就可以通过它们表示
521 由此，得到平面向量基本定理：
如果< br>e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向
量
a
，有且只有一对实数
λ
1
，
λ
2
使
a
＝λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
理解这个定理要注意几个问题：
（1）
e
1< br>,
e
2
必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；
（2） λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，e
2
唯一确定的数量．
2、向量的夹角（直线与直线之间是有夹角的，向量与向量之间肯定也是有夹
角的）
OB?b
，已知两个非零向量
a
、作
OA?a
，则∠
AOB
＝θ（0°
?
θ
?
180°），
b
，
52 2
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535
叫做向量
a
与
b
的夹角．
3、垂直向量
当
θ
＝0°，
a
与
b
同向；当
θ
＝180°时，
a
与
b
反向，如果
a
与
b
的夹角
为90°，我们说
a
与
b
垂直，记作：
a
⊥
b
．
4、例题讲解
例1
28

536
537
五、课堂小结
平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不
538 共线向量的线性组合．
539 六、课后作业
540 复习本节，预习下节知识
541 七、板书设计
542

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课题9平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教学目标

1、理解平面向量的数量积、投影的定义．
2、掌握平面向量数量积的性质．
3、了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题．
二、教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.
三、教学难点：平面向量数量积性质的探究.
四、教学过程

(一)复习引入 p103
在物理中，我们都学过物体在力f的作用下是怎么做功。 我们都知道f、s都是两个向量，那么我们是不是可以把“功”看成是两个向
量的一种运算结果呢？



(二)新课讲解
?
?
如果把
F
和
S
这两个向量推广到一般的向量，就引出向量数量积的定义．
1、数量积的定义：
30

565
566
567
?
?
?
?
?
?
abcos
?
b
已知两个非零向量
a
和，把数量叫做
a
与
b
数量积（或内积），记
?
?
作
a?b
（注意：两个向量的运 算符号是用“
?
”表示的，且不能省略），即
?
?
?
?
a?b?abcos
?
（
0??
?
?180?）

?
??
注：我们规定 ，零向量与任意向量的数量积都为零，即
0?a?0
?
a为任意向量
?
. 568
569
570
571
2、投影（同学们请回忆一下，物 理中是怎样理解力f做功的?是不是把它理
解为力f在位移s上的一个分力f1所做的功呢？也就是W= F1 X S ）

?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?abcos
?
是由
W?FScos
?
的 引出来的，而
W?FScos
?
是
F
1
所做的
?< br>??
?
?
F?Fcos
?
S
572 功，
1
是
F
在方向上的分力，那么在数量积中
acos
?
叫做什么 呢？
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581
582
这是我们今天要学的第二个新概念：

?
?
?
?
?
?
a
cosθ（
b
cosθ）叫做向量
a
在
b
方向上(
b
在
a
方向上）的投影.
3、数量积的几何意义
根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：
?
??
??
?
?
数量积
a?b等于a的长度a与
b
在
a
方向上的投影
bcos
?
的乘积．
思考：接下来，请同学们思考一个问题：
根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
180?
?
，根据余弦函数的知识我们可以我们前面已经提到两个向量的夹角在
?
0?，知道:
?
?
当
?
?
?
0?,90?
?
时，
cos
?
?0
，
a?b?0
；
?
?
当
?
?
?
90?,180?
?
时，cos
?
?0
，
a?b?0

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4、向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量， 是a与e的夹角。
有如下性质：
（1）e.a=a.e=
（2）a⊥b互推a.b=0
（3）当a与b同向时，a.b=
当a与b反向时，a.b=
特别的，a.a=
或
5、向量数量积的运算律
运算律和运算紧密相连，学习了向量数量积的运算之后 ，引进向量数量积后，
自然要看一看它满足怎样的运算律，同学们能推导下列运算律吗？
（1）a.b=b.a 交换律 (2) 不满足向量之间的结合律
（3）（a+b）.c=a.c+b.c分配律
5、例题讲解
例1
例2
例3
例4
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五、课堂小结
1 向量数量积的定义及投影的定义．
2 向量数量积的几何意义．
3 向量数量积的性质
4向量数量积的运算规律．
六、课后作业
(1)复习今天所讲的知识，预习下节课所讲内容；
(2)必做题：教科书P
108
，习题2.4 A组 2、6题；
(3)选做题:教科书P
108
，习题2.4 B组 5题.
七、板书设计

平面向量数量积的物理背景及其含义
1、数量积的定义 4、向量数量积的运算律
5、课堂小结
2、投影的定义
3、数量积的几何意义 6、课后作业

4、向量数量积的性质
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课题10两角差的余弦公式

一、教学目标
掌握两角差的余弦公式及运算；
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642
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二、教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式，并应用公式解题
三、教学难点：探索两角差的余弦公式过程的组织和引导
四、教学过程：
（一）新课导入
我们知道
cos45?
2
，
cos30 ?
3
，那么像cos15这种非特殊角我们怎么
2
2
求呢？
cos15?cos
?
45?30
?
??

cos45?cos30
呢？

通过运算可知我们的猜想是错误的！那么两 角差的余弦到底是什么呢？这就
是我们本节课探究的主要内容。
（二）新课讲授：
思考1：(前面我们探究同角三角函数的基本关系的时候利用的是三角函数线，
那么我们现在也用三角函 数线来探究两角差的余弦公式)怎样联系单位圆上的
三角函数线来探求公式？(学生自学p125) < br>思考2：（我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题）两角差余弦
公式我们能否用向量 的知识来证明？（老师引导学生一起探究）






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（三）例题讲解
例1、利用差角余弦公式求
cos15
的值.
总结：把一个具体角构造成两个角的差的形式，有很多种构造方法，要学会
灵活运用.
5
4
?
?
?
，
?
?
?
,
?
?
,cos
?
??,
?
是第三象限角，求
co s
?
?
?
?
?
的
13
5
?
2
?
658
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660
661
662
例2、已知
sin
?
?
值.
注意：例2是一个常见的题型 ，在计算的过程中往往要进行开方运算，开方
后就涉及到去争取负的问题，大家要注意角
?、
?
的象限。
五、课堂小结
663 （1）牢记公式
C(
?
?
?
)
?C?C?S?S．

（2）注意角
?
、
?
的象限，也就是符号问题.
六、课后作业
练习1-4
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666
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667 七、板书设计
两角差的余弦公式

一、两角差的余弦公式 三、课堂小结
二、例题讲解 四、课后作业

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37