高中数学选修2-2公式-石家庄高中数学辅导老师招聘
任意角
一、知识概述
1、角的分类:正角、负角、零角.
2、象限角:(1)象限角.
(2)非象限角(也称象限间角、轴线角).
3、终边相同的角的集合:所有与角终边相同的角,连同α角自身在内,都可以写成α+k·360°(k∈Z)的形式;反之,所有形如α+k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同.
4、准确区分几种角
锐角:0°<α<90°;
0°~90°:0°≤α<90°;
第一象限角:.
5、弧度角:弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角(1 rad).
1
rad=,1°=rad.
6、弧长公式:l=αR.
7、扇形面积公式:
二、例题讲解
.
例1、写出下列终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式
来:
(1)60°;(2)-21°;(3)363°14′.
解:
(1)
S中满足的元素是
,
的元素写出
1
(2) ,
S中满足的元素是
(3) ,
S中满足的元素是
例2、写出终边在y轴上的角的集合.
解析:
∴.
注:
终边在x轴非负半轴:.
终边在x轴上:.
终边在y=x上:.
终边在坐标轴上:.
变式:角α与β的终边关于x轴对称,则β=_______.
2
答案:.
角α与β的终边关于y轴对称,则β=_______.
答案:
任意角的三角函数
一、知识概述
1、定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α的终边与圆心在坐标原点的
单位圆交于
点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=.
注:①对于确定的角α,其终边上取点
.
,令,则
②α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角
所在的位置.
2、公式一:
3、三角函数线
角α的终边与单位圆交
于P点,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP(正弦线),cosα=OM
(余弦线).过A作单
位圆的切线,则α的终边或其反向延长线交此切线于点T,则tanα=AT
(正切线).
,
,其中.
,
注:若,则.
3
二、例题讲解
例1、已知角α的终边上一点,且,求的值.
解:
,
∴,.
当时,,∴;
当时,,∴;
当时,,∴.
例2、化简下列各式
(1);
4
(2)
解:
(1)
.
(2)
同角三角函数的基本关系
一、知识概述
1、平方关系:.
2、商数关系:
二、例题讲解
.
例1、已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα,cosα.
解:
∵,,∴.
5
∴,即有,
又∵为非零实数,∴为象限角.
当在第一、四象限时,即有,
从而,
;
当在第二、三象限时,即有,
从而,
.
例2、已知,试确定使等式成立的角α的集合.
例3、已知,求sinx,cosx的值.
解:
6
由等式两边平方:
.
∴,即,
∴为一元二次方程的两个根,
解得.
又∵,∴.因此.
例4、化简:.
解法一:
原式=
.
解法二:
原式=.
解法三:
7
原式
=
例5、已知,则
.
(1)____________________.
(2)
(3)
解:
____________________.
____________________.
(1);
(2);
三角函数的诱导公式
一、知识概述
诱导公式一:
.
诱导公式二:
.
诱导公式三:
,,.
8
诱导公式四:
,,.
诱导公式五:
,.
诱导公式六:
,.
引申:
诱导公式七:
,.
诱导公式八:
,.
记忆公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”.
二、例题讲解
例1、化简:
(1);
(2)
(3).
(4)
9
(5).
解:
(1)原式.
(2)原式=.
(5)
例2、已知求的值.
解:
由得,所以
例3、已知则________.
10
解:
.
正弦函数、余弦函数的图象与性质(一)
一、知识概述
1、正弦函数、余弦函数的图象
2、性质:①定义域:x∈R
②值域:[-1,1]
③周期性:都是周期函数,且最小正周期为
二、例题讲解
.
例1、作函数的简图.
(2)描点连线(图象见视频).
例2、求下列函数的周期
(1)
解:
;(2);(3);(4).
11
(1)令,则.
∵f(x+T)=f(x)恒成立,
∴周期为4.
.
注:.
(2).
注:
(3)T=π.
.
(4)T=
得<
br>.假设
,
,使
,与时
令x=0,
矛盾.
∴T=.
例3、求下列函数的定义域:
(1)
解:
; (2)
y=lg(2sinx+1)+.
(1),∴,∴.
(2) ,∴.
∴其定义域为.
12
正弦函数与余弦函数的图象与性质(二)
一、知识概述
1、图象(见视频)
2、性质:(1)定义域:都为R.
(2)值域:都为[-1,1].
(3)周期性:都是周期函数,且T=2π.
(4)奇偶性:y=sinx是奇函数,y=cosx是偶函数.
(5)对称性:y=sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),对称轴为.
y=cosx的对称中心为,对称轴为.
(6)单调性:y=sinx在
上单调递减.
y=cosx在
递增.
二、例题讲解
上单调递减;在
上单调递增;在
上单调
例1、在
是( )
A.
C.
解:
中,,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的
B.
D.
∵,∴,.
所以.
13
答案:C
例2、求下列函数的单调递增区间:
(1);(2);
(3);(4)y=-|sin(x+)|
解:
(1)法一:图象法(图象见视频).
法二:令,
∴.
所以,函数单调递增区间为.
(2)令,∴,
所以,函数单调递增区间是.
(3)令.
所以,函数单调递增区间是.
法二:∵,
令,,
所以,函数的递增区间是.
14
(4)函数的递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).(图象见视频)
法二:
令.
解得.
∴函数的递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
正切函数的图象与性质
一、知识概述
1、图象:
2、性质:
(1)定义域:
(2)值域:R;
(3)周期性:
;
;
15
(4)奇偶性:奇函数;
(5)对称性:y=tanx的对称中心为.
(6)单调性:在
二、例题讲解
例1、求下列函数的定义域:
内单调递增.
(1)
解:
;(2);(3).
(1)由,得,∴.
∴的定义域为.
(2)令
∴定义域为R.
,∵sinx∈[-1,1]且,
(3)由已知,得,∴,
∴原函数的定义域为
写有误,后面一个应该是半开半闭区间).
(备注:视频中区间书
例2、求函数的定义域,周期和单调区间.
16
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、知识概述
的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到:
①将y=sinx的图象向左(右)平移个单位得到的图象;
②将的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长(缩短)到原来的
的图象;
倍,得到
③将的图象保持横坐标不变,纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍,得到
的图象.
A表示振幅,
二、例题讲解
为周期,为频率,为初相,为相位.
例1、函数
解:
的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到.
①将的图象向左平移个单位,得到的图象;
17
②将的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
的图象;
,得到
③将的图象保持横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍,得到
的图象.
变式1:y=sinx的图象由
解:
的图象经过怎样的变换得到.
横坐标不变
,纵坐标缩短到原来的,得到的图象;
再将的图象向右平移个单位,得到y=sin2x的图象;再将y
=sin2x的图
象纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sinx的图象.
变式2:函数y=f(x)的图象先向右平移
原来的,得到
个单位,再保持纵坐标不变,横坐标
缩短到
的图象,求f(x)的解析式.
答案:
例2、已知函数
求函数的一个解析式.
.
(,)一个周期内的函数图象,如下图所示,
解:
18
由图知:函数最大值为
又∵,∴
,最小值为
,
,
由图知,
∴,∴,
法一:∴,∴,
∴.
,代入上面两式检验,得满足条件.
∴.
法二:.
.
法三:令,.
三角函数模型的简单应用
例1、已知电流
(1)根据图中数据求的解析式.
在一个周期内的图象如图:
19
(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流
那么ω的最小正整数值是多少?
都能取得最大值和最小值,
例2、某港口水的深度y(米)是时间
下面是某日水深的数据:
,单位:时)的函数,记作,
t时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察,的曲线可以近似地看成函数
的近似表达式;
的图象.
(1)试根据以上数据,求出函数
(2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以
上时认为是安全的(船
舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.
5米,如果
该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时<
br>间)?
解:
(1)由已知数据,易知函数
(视频板书中应为f(t)).
的周期T=12,振幅A=3,b=10,
(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,
20
,解得:
,在同一天内,取
.
∴该船可在当日凌晨1时进港,17时出港,在港口内最多停留16个小时.
例3、如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮按
逆时针方向
每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)
时开始计时:
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米.
解:
(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立直角坐标系,在t秒内摩天轮转过的
角
为,∴此人相对于地面的高度为(米).
(2)令
,
,则
,
,
故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.
例4、某商品一年
内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高
价格8元,7月份价格最低为4
元.该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦
曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9
月份销售价最低为6元.
(1)试建立出厂价格、销售价格的模型,并求出函数解析式;
(2)假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,试写出该商品的月利润函数.
21
三角函数的综合应用
例1、求下列函数的值域:
(1);(2);(3);
(4)
解:
(1)∵
;(5).
,
∴,∴,
所以,值域为.
(2).
.
另解:,∴,∴,
22
解得,.
(3)
(4)由题意
,
,
.
,
∴,
∵,∴时,,但,∴,
∴原函数的值域为.
(5)∵,又∵,
∴,∴,
∴函数的值域为.
例2、是否存在α、β,α∈(-,),β∈(0,π),
使等式sin(3π-α)=
cos(π+β)同时成立?若存在,求出α、β的值;cos(-β),
cos(-α)=-
若不存在,请说明理由.
解:
由条件得
①+②得sinα+3cosα=2,∴cosα=
22222
,∴.
23
∵α∈(-,),∴,α=或-.
由②得cosβ=.又β∈(0,π),∴β=,又.
∴存在α=
例3、已知函数
,β=满足条件.
上的偶函数,其图象关于点
上是单调函数,求的值. 对称,且在区间
解:
由
是偶函数,得
或
,即,
对任意x∈R恒成立.
,,.
又f(x)图象关于对称,.
,则k=1时,,满足条件.
当k=2时,,此时,满足条件.
当k≥3时,不合要求.
综上.
24
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