人教A版高中数学必修四必修4综合测试题

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22 、（本题满分1４分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以20kmh的速度向北偏西
?
方向移动（其中
cos
??
19
）,台风当前影响半径为10km，并
20
以10kmh的速度不 断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？














人教A版数学必修4综合测试题参考答案
1． C2. D3．B
4、B
5、B
6、C
7、A8、
D
9、
C
. 10、B11、A12、D
１３、
17
?
2k
??
2k
?
7
?
?
?,?,k?Z
15．－8 16． ④②或②⑥ ， 14、
??
12336
?
39< br>?
3
17、解：设D坐标为（x,y），依题意，可能出现右图两种情形，
uuuruuur
由图（1）有
AB?DC

uuur
uu ur
?
4?x?2
而
AB?(2,15)
，
DC?(4?x ,5?y)
， 则
?
，
5?y?15
?
A

D

B

C

图（
1
）

C

A

D

B

?
x?2
解得
?
，故D坐标为(2,－10)
?
y??10
uuuruuur
uuuruuur
?
2?x?4
由图（ 2）有
AC?DB
，
AC?(4,14)
，
DB?(2?x,6?y )
，则
?

6?y?14
?
图（
2
）

?
x??2
解得
?
，故D坐标为(-2,－8)
y??8
?
综上所述，D点的坐标为(2,－10)或(-2,－8)。
信达

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?3?

???
44
???3?4
∴
?????
又
cos(??)??
∴
sin(??)?

45
2445
?3?3?3?5
∵
0???
∴
?????
又
sin(??)?

444413
3?12
∴
cos(??)??

413
?3?
∴sin( + ) = sin[ + ( + )] =
?sin[(??)?(??)]

44
?3??3?4123563

??[sin(??)cos(??)?cos(??)sin(

??)]??[? (?)??]?
444451351365
3xx3xx
１９解：（Ⅰ）由
a ?b
，得
a
?
b?0
，即
coscos?sinsin?0
．…………4分
2222
k
ππ
则
cos2x?0
，得
x??(k?Z)
．…………………………………5分
24
18. 解：∵
∴
?
x|x?
（ Ⅱ）
|a?c|?(cos
2
?
?
k
ππ
?
?，k?Z
?
为所求．…………………………………6分
24
?
3x3x3x
π
?3)
2
?(sin?1)
2
?5?4si n(?)
，……………10分
2223
所以
|a?c|
有最大值为3．……………………………………………………12分
２０解：（I）
f(x)?2sinx?sin2x?1?sin2x?(1?2sinx)?sin2 x?cos2x

=
2sin(2x?

22
?
4
)
………………………………………………5分
所以
f(x)
的最小正周期是
?
…………………………………………………… 6分
?x?
R，所以当
2x?



3
?
(k?
Z）时，
f(x)
的最大值为
2
.
4 28
3
?
即
f(x)
取得最大值时
x
的集合为{x|x?k
?
?,k?
Z}……………………8分
8
?2k
?
?,即x?k
?
?
（II）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3 点）
1．最小值
f(
??
3
?
)?2
，
8
7
?
)??2
.………………10分 最小值
f(
8
3
?
7
?
],[,
?
];
2．增区间< br>[0,
88
3
?
7
?
,]
…………………… 12分 减区间
[

88
3
?
??
,?1),(
?
,?1)
………14分 3．图象上的特殊点：（0，－1），（
,1
），（
,1
），
(
4
42

[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]
信达

-------- -------------------------------------------------- ---------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------------- ----------------------------



21、 解：（1）A、B、C三点共线知存在实数
?
,使OC?
?
OA?(1??
)OB





即
(a?b)?
?
a?(1?
?
)tb
，………………………………………………… 4分
1
3
11
,实数t?
……………………………………………… ………………6分
32
1
?
（2）
a?b?|a|?|b|cos 120??,

2
则
?
?
?|a?xb|?a?x?b?2 x?a?b?x
2
?x?1,
……………………………9分
当
x??时,|a?xb|取最小值
2
2
2
2

1
2
3
…………………………………………12分
2
22 、解：如右图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，则t小时后台风经过的路程PC＝（20t）< br>km，台风半径为CD＝（10+10t）km，需满足条件：CD≥AC
D
北

uuur
2
uuuruuur
2
u uur
2
uuur
2
uuuruuur
AC?(PC?PA)?PC ?PA?2PA
g
PC

uuur
2
uuur
2< br>uuur
2
uuuruuur
|AC|?|PC|?|PA|?2|PA|g
|PC|
g
cos
?
22
10+10t
C< br>20t
θ
P
A

?200?(20t)?2g20 0g20tg
2
19
?40000?400t
2
?7600

20
2
200
E
10
∴
40000?400t?7 600t?CD?(10?10t)

整理得
300t?7800t?39900?0

即
t?26t?133?0
解得
7?t?19

∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。
2
2
2
信达