高一数学必修4 向量的概念及表示

高一数学必修4 向量的概念及表示
一．教学目标：
（一）知识目标：了解 向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量 、相等向量、共线向量等概念；并会
区分平行向量、相等向量和共线向量.
（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的
本质区别.
（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事
物的数学本质 的能力.
二．教学重点、难点；
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，
会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
难点突破：借助原有的位移、力 等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物
区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
三．教学方法与教学手段：
教学方法：启发式教学
教学手段：多媒体教学
四．教学过程，
（一）情景设置
一个质量m=60kg的物体放在光滑的
水平面上，在与水平方向成α=60 °角斜向
上的拉力F=10N的作用下向左运动了5m ，求拉力所做的功。

物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。
问：再举出一些向量和数量
数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、 肺活量等
向量：位移、力、速度、加速度等
（二）新课学习
1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2．向量的表示方法：
（ 1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向
量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）用字母等表示；
a

A(起点)
B（终点）
①用有向线段字母表示：
AB
（A为起点、B为终点）
；
②用小写 字母表示：
a
、
b
、
c
；（印刷用a，书写用
a< br>）
注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。
3．向量的有关概念：
（1）大小：
①向量的模：向量
AB
的大小称为向量的长度（或称为模）， 记作|
AB
|.
②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
.
思考：
0
与0的含义与书写区别.
③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位
O
1 x
y

向量.
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么
图形？
（2）方向：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作
a

b
。
规定：
0
与任一向量平行.
思考：若
a

b
，
b

c
，则
a

c
？
（3）大小与方向：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作
a
=
b
。
如：平行四边形ABCD中，
AB
=
DC
.
向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.
②相反向量：与
a
向量长 度相等，方向相反的向量叫做
a
的相反向量，记作-
a
。
规定：-
0
=
0
。
0
的相反向量仍是
0
。
对于任一向量
a
有-（-
a
）=
a
。
a
与-
a
互为相反向量 。
相等向量和相反向量都是平行向量。
概念辨析：向量平行与直线平行
两条直线平行不包括重合的情况，而向量的平行包括两个向量 在同一条直线上
（同向或反向）的情形
这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

③共线向量：平行向量就是共线向量。
规定：
0
与任一向量共线.
（三）理解和巩固：
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与
FE
共线的向量；
（2）确定与
FE
相等的向量；
（3）
OA
与
BC
相等吗？
解：（1）与
FE
共线的向量有
BC
和
OA
； < br>引申：除
FE
外，图中所给7点的连线中，与
FE
共线的向量有几个？ 9个
（2）
BC
与
FE
长度相等且方向相同，故
BC=
FE
；
引申：除
FE
外，图中所给7点的连线中，与
FE
相等的向量有几个？ 3个
（3）虽然
OA

BC
，且|
OA
|=|
BC
|，但它们方向相反，故这两个向量并不相等。 引申：除
OA
外，图中所给7点的连线中，与
OA
互为相反向量的向量有 几个？
4个
例2 在图中的4×5方格纸中有一个向量
AB
，分别以 图中的格点为起点和终点作
向量，其中与
AB
相等的向量有多少个？与
AB< br>长度相等的共线向量有多少个（
AB
B
F
E
D
O
C
A
B
除外）？
解：当向量
CD
的起点C是图中所圈的格点时，
A












C








D

可以作出与
AB
相等的向量。
这样的格点共有 8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与
AB
相等。
与
AB
长度相等的共线向量（
AB
除外）共有7×2+1=15（个）
例3 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
（1）把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P；
（2）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；
（3）把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P。
解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；
（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
（3）直线L
B E


1．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长
A

为1）。


2．判断下列命题是否正确，若不正确，简述理由.
课堂练习：
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②模相等的两个平行向量是相等的向量；
③若
a
和
b
都是 单位向量，则
a
=
b
；
④两个相等向量的模相等；




C









D







F
⑤向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、 C、D四点必在一直线上；
⑥任一向量与它的相反向量不相等；

⑦向量a
和
b
不共线，则
a
和
b
都是非零向量。
解：①不正确。向量相等只要长度相等、方向相同，与起点和终点的位置无关。
②不正确。也可以是相反向量。
③不正确。方向不一定相同。
④正确。
⑤共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量
AB
、
AC< br>在同一直线上.
⑥不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的
⑦正确。假若
a
和
b
不都是非零向量，即
a
和
b
至少有一个是零向量，而由零向量
与任一向量都共线，可有
a
和
b< br>共线，不符合已知条件，所以
a
和
b
都是非零向量.
动动手：
某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.
BC、CD
；（1）作出向量
AB、
（2）求
DA
的模.
解：（1）略；（2）
DA
=450m.
合作探究：
以正方形的四个顶点为端点的向量中，可得到多少种不同的模？有多少种不同
的向量？
解：2种不同的模，8种不同的向量。
（四）小结

1．向量的概念；
2．向量的表示：代数表示、几何表示；
3．研究向量的两个方面：
大小：零向量、单位向量；
方向：共线向量、平行向量；
大小与方向：相等向量、相反向量
4．数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对
0
的讨论）。
四、课后作业：
书本59页习题2.1第1、3、4题
五、板书设计


多媒体投影



六、课堂反思与作业反馈





向量的概念和表示
1.向量的概念：
2.向量的表示方法：
3.向量的有关概念：
大小：向量的模，零向量，
单位向量
方向：平行向量，共线向量
大小与方向：相等向量，相
反向量


画图

教学设计的说明：
向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成 为中学数学知识的
一个交汇点，成为多项内容的媒介．既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。
本节课是一节概念教学课。依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的
理念， 因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研
究向量不仅是数学本身发展的 必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求
知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以 解决，为学生理解向量的数量
积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。
本节课所涉及到的概 念都是让学生去探索而得到的，为了让学生很好的完成这
个探究活动，始终引导学生抓住大小与方向两个 方面，让学生去发现结论，再由学
生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养 了学生的创
新意识。
在应用这个环节中，主要让学生消化本节课所学的概念。除了教材中提供 的两
个例题，加了一个例题弥补不足，通过观察、问答等方式掌握学生的学习状况。配
合教材中 的两个练习，还加了一个学生自己动手的练习，巩固向量的概念，通过练
习对学生的掌握情况做出适当的 评价。
在小结这个环节中，主要是让学生从知识的发生、发展去回顾本节课的内容以
及注意点 ，并对本节课所涉及到的思想方法加以总结，达到提高认识，形成体系的
目的。

以上就是我对本节课设计的简单说明。