高一数学必修四各章知识点总结讲解学习

高中数学必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向 旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
< br>?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合 ，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象
限，则称
?
为第 几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k? 360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k? 360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角 的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k? ?
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?< br>??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??< br>
oooo
oooo
oooo
o
oo
o
o< br>4、已知
?
是第几象限角，确定
?
n??
?
所在象限 的方法：先把各象限均分
n
等
?
n
*
份，再从
x< br>轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来
是第几象限 对应的标号即为
?
终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
．
r
?
180?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1
?
，
1?
?
?57.3
o
．
?
180
?
?
?
o
o
?
o
8、若扇形的圆心 角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长 为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
..

11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S? lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个任 意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y?
，它与原点
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
yxy
，
c os
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限
正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

y
P< br>T
OM
A
x
?
sin
2
?
?1?c os
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?
1?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin< br>?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
??
?tan
?
?
k??
?
．
?
2< br>?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?< br>??sin
?
，
cos
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan< br>?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
??
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限． < br>?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?
sin
?
．
?
2
?
?
2
?
?
?
?
??
?
?
6sin?
?
?cos
?
cos
，
??
???
??
?
??
sin
?
．
?
2
??
2
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度， 得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩
. .

短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
?
y?s in
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到 原来的
?
倍（横坐标不
变），得到函数
y??sin
?
?< br>x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移
1
倍（纵坐标不变），
?
?
个单
?
位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到 函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,?
?0
?
的性质：
①
振幅：
?
；
②
周期：
??
2
?
?
；
③
频率：
f ?
1
?
；
④
相位：
?
x?
?
；< br>⑤
初相：
?
?2
?
?
．
函数
y? ?sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x< br>1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得
最大值为
y
max
，则
??
11?
?< br>y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：



性
质
函
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图
象

定

R

义
R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
..

域
值
域
当
x?
2
k
?
?
?
?1,1
?

?
2
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

R

最
时，
y
max
?1
；当
值
x?2k
?
?
既无最大值也无最小
值
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
2
?

2
?

?

??
??
在
?
2
k
?
?
,2
k
??
?

22
??
单
调
在
?
2 k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
k
?
?
,
k
?
?
上是增函数；在
在
k??
上是增函数；在
??
??
< br>22
??
?
3
?
??
2k
?
?,2 k
?
?

?
性
?
22
??
?< br>2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对
对
称
对
性
x?k
?
?
称中心
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
?
2
?
k??
?

无对称轴
..

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等 式：
a?b?a?b?a?b
．
r
r
r
rr
r< br>r
r
rr
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合律 ：
a?b?c?a?b?c
；③
????
r
rr
rr
a?0?0?a?a
．
C

r
r
r
r< br>⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
a

r
b

?

r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标 分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x< br>2
,y
2
?
，则
???
?
x
1?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量 的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

r
r
?
a?
?
a
；
r
rr②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方 向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的 方向相反；当
r
r
r
r
r
?
?0
时，?
a?0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵ 运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?< br>b
．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?< br>?
x,
?
y
?
．
rr
rr
rrr
r
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线， 当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
..

bb?0
设
a?
?
x< br>1
,y
1
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x< br>1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量< br>a
、
b?
?
x
2
,y
2
?
，
共线．
r
r
r
r
r
rr
?
r
?
uruur
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
uruururuurr
r
内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
??
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作
为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1< br>?
，
?
x
2
,y
2
?
，
u uuruuur
?
x?
?
x
2
y
1
??
y
2
?
,
当
?
1
??
?< br>??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与 任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
a?b?ab
；⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
r
r
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b ?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c< br>．
r
rr
r
r
r
?
r
r
?
r
??
r
?
r
r
?
rrr
r< br>r
r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?
22
r
r2
r
x
2
?y
2
．
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?
．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
..

⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
t an
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
）．
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
．
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
， 其中
tan
?
?
?
?
．
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑 的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不 可思议。

..
，