高中数学必修4第一章知识点总结

高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数
?
正角: 按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
?
零角:不作任何旋转形成的角

2、角
?
的顶 点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角．
?
?
第一象限角的集合为
?
?
第二象限角 的集合为
k?360?
?
?k?360?90,k??
????
?? ?
?

?

?
k?360?90?k?360?180,k ??
???
?
?
第三象限角的集合为
?
?
第四象限 角的集合为
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
????
?

?

k?360?270?
?
?k?360? 360,k??
?
?
??
?k?180,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
??
?
y
终边在轴上的角的集合为?k?180?90,k??
?
??
?

?

?
??
?k?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
?k?360?
?
,k??
?
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
?
?
lr
．
?
180
?
?
?
1??57.3
1?
??
?
180
，
?
?
?
6、弧度制 与角度制的换算公式：
2
?
?360
，．
7、若扇形的圆心角为< br>?
?
?
为弧度制
?
S?
1
2
lr?
1
2
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C< br>，面积为
S
，则
2
l?r
?
，
C?2r?l
，
?
r
．
8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
rr?
?
x,y
?
，它与原点的距离是
?0
?
?
x?y?0
22
?
，则
sin
?
?
y
r
，
cos
?
?
x
r
，
tan
?
?
y
x
?
x
y
．
O
PT
M
A
x
9、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、角
2
三角函数
2
的
n?
2
基本
2
关
c
?
?o
?
系
s?< br>2
：
?
1
?
sin
2
?
sin?
?cos
?
?1
?
s
?
i?
?1
?
,
；
cos
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
??tan
?
?
?
2
?
?
tan
??
．
?
cos
?
12、函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
? sin
?
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
，
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
cos?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan< br>?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?k??
?
．
，
tan
?
?
?
??
?tan
?
．
cos
?
?
?
?< br>?cos
?
，
tan
?
?
?
?
?? tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
?
?
?
co s
?
?
?
?
?sin
?
?
2
?< br>?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
?
5
?
sin
?
，．
?
6
?
sin
?
，
?
?
?
cos
?< br>?
?
?
??sin
?
?
2
?
．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移
y? sin
?
x?
?
?
?
个单位长度，得到函数
y?s in
?
x?
?
?
1
的图象；
再将函数的图象上所有 点的横坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（纵坐标不
的图象；再将函数
y?si n
?
?
x?
?
?
变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐
的图象． 标伸长（ 缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?< br>x?
?
?
1
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐 标伸长（缩短）到原来的
?
倍（纵坐标不变），得到
函数
?
y?s in
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象 上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸

< br>长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
14、函数
y?? sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0< br>?
2
?
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
的性质：
f?
1
?
?
①振幅：
?
；②周期：
函数
??
?
2
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?
；③频率：
y??sin
?
?
x?
?
?
??
1
2< br>，当
x?x
1
时，取得最小值为
1
2
y
mi n
?
；当
x?x
2
时，取得最大值
为
y
max
??
，则
?
y
max
?y
min
?
??
，
?
y
max
?y
min
?
，
2
?x
2
?x
1
?
x
1
?x< br>2
?
．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?sin
数
x

性
质
y?cosx

y?tanx

图
象

定
义
域
值
域
R

R


?
?
?
?
xx?k
?< br>?,k??
?
2
??

R

?
?1,1
?

x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
2
当
最
值
x?2k
?
?
?< br>k??
?
；当
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
时，
y
ma x
?1
；当
x?2k
?
?
?

??1
?
2

?
k??
?
时，
y
min
既无最大值也无最小值
．
?
k??
?
时，
y
min
周
期
性
奇奇函数
偶
性
2
?

??1
．
2
?

?

偶函数 奇函数

??
??
2k
?
?,2k
??
?
22
?
?
在
?
单
调
?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
?
2k
?
?,2k
?
?
?< br>22
?
??

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上

性
?
是增函数；在
?
2k
?
,2k
?< br>?
?
?
??
??
k
?
?,k
??
??
22
??
在
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对
称
性
?
k
?
,0
??
k??
?
对称中心对
x?k
?
?
对称中心
对称中心
称
?
2
轴

?
k??
?
?
??
k
?< br>?,0
??
?
k??
?
2
??

?
k
?
?
,0
??
?
k??
?
?< br>2
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
??
??
?
?
a?b?a?b?a?b
⑶三角形不等式：．
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； ?
②结合律：
?
??
?
??
a?b?c?a?b?c< br>??
?
??
??
?
；③
a?0?0?a?a
．
C

⑸坐标运算：设
?
a?
?
x
1
,y
1
?
，
?
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
?
?
a?b?
?
x< br>1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?
?
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
a?
?
x
1< br>,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
⑵坐标运算：设，，则．
????
?x
2
y,
1?y
2
?
?
x,y
?
?
x,y
?则
???
?
x
1
设
?
、
?
两 点的坐标分别为
11
，
22
，．
19、向量数乘运算：
??
?
a
?
a
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘， 记作．
?
a

?
b

?

?

?
?
????????????
a?b??C?????C

①
?
a?
?
a
??
；
????
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
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的方向相 同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向 相反；当
?
?
?
?0
时，
?
a?0
． < br>⑵运算律：①；②；③
??
a?
?
x,y
?
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
⑶坐标运算：设，则．
??
?
aa?0
? ?
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
???
?
?
?
?
?
a?
?
a ?
?
a
?
?
?
?
?
a?b?
?< br>a?
?
b
??
．
20、向量共线定理：向量
??< br>?
?
?
?
?
?
bb?0
a?
?x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
, y
2
?
xy?x
2
y
1
?0
设，，其中< br>b?0
，则当且仅当
12
时，向量
a
、
?
?
?
?
与
b
?
共线，当且仅当有唯一一个实数
?，使
b?
?
a
．
??

共线．
21、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面< br>??
???
?????
?
?
?
?
e
e
a?
?
1
e
1
?
?
e
22．内的任意向量
a
，有且只有一对实数
1
、
2
，使（不 共线的向量
1
、
2
作
为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
????????
?
1
??
?
??
2
?
1
?
2
??
e< br>1
、
???
e
2
上的一点，
1
、
?
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，
当
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
??
1?
?
1?
?
??
．
?
时，点的坐标是（当
?
?1时，就为中点公式。）

23、平面向量的数量积：
⑴
?
?
?
?
?
?
?
?
??
a?b?abcos
?
a?0,b ?0,0?
?
?180
??
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
?
?
?
?
??
?
??
??
?
a?b?ab
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，；
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
2
?
2
?
?
a?b??aba?b?ab
a?a?a?a< br>a?a?a
a
b
当与反向时，；或．③．
?
?
?< br>?
?
??
?
???
?
?
??
??< br>a?b?c?a?c?b?c
?
?
a
?
?b?
?a?b?a?
?
b
a?b?b?a
⑶运算律：①；②；③．
?
?
?
?
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
a?b?x1
x
2
?y
1
y
2
⑷坐标运算：设两个非零向 量，，则．
?
?
??
?
2
22
22
a? x?y
a?x?y
a?
?
x,y
?
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y< br>2
?
若，则，或． 设，，则
?
?
a?b?xx?yy?0
1212
．
??
??
??
b?x,y
a?x,y
??
??
2 2
11
设
a
、
b
都是非零向量，，，
?
是
a
与
b
的夹角，则
?
?
x
1
x< br>2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?< br>?
?
?
2222
ab
x
1
?y
1< br>x
2
?y
2
．
??????

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
⑶
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
sin
?
?
?
?
?< br>?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>tan
?
?
?
?
?
?
tan
??tan
?
1?tan
?
tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
；⑵
；⑷
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
c os
?
?sin
?
sin
?
；
；
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
⑸
tan
?
??
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
??
1?tan
?
tan
?
?
）． ⑹
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2si n
?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)

222
⑵
cos2?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1? 1?2sin
?

1?cos
?
?2cos
2
22 22
?
2
?
升幂公式
,1?cos
?
?2sin< br>2
?
2

?
降幂公式
cos
?
?< br>2
cos2
?
?1
2
sin
?
?
2
1?cos2
?
2
，．
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
?
．
:
2
万能公式:
2tan
α
1?tan
2
⑶
α
26、
半角公式

2
;cosα?

α1?cosαα1?cosα
2
α
cos??;sin??
1?tan1 ?tan
2222

2

α

1

?

cos

sin

1

?

cos

α

αα
tan????

2

1

?

cos

α

1

?

cos

α

sin

α

?
（后两个不用判断符号，更加好
用）
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
sinα?
y?Asin(
?
x?
?
)?B
2< br>2
α
2
?sin
?
??cos
?
?
形式。
???sin
?
?
?
?
?
22
ta n
?
?
?
?
． ，其中
28、三角变换是运算化简的过程中 运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，
灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技 能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现 较多的相异角，可根据角
与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中 角的差异，
使问题获解，对角的变形如：
???
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
2
的二倍；
2
是
4
的二倍；

15
o
?45?30
oo
?60
o
?45
o
?
30
o
②
?
?
?< br>?
2
；问：
?(
sin
?
12
?cos?
12
?
； ；
?
2
?
4
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
4
?
?
)
；
?
4
?< br>?
)2
?
?(
?
?
?
)?(
??
?
)?(
?
4
?
?
)?(
⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余
弦是 基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将 常数转化为三角函数值，例
如常数“1”的代换变形有：

1?sin?
?cos
?
?tan
?
cot
?
?sin9 0
22o
?tan45

o
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用 方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处
理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时
需要升幂，如对无理式
1?cos< br>?
常用升幂化为有理式，常用升幂公式
有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
1?tan
?
?_______________
1?tan
?
? ______________
如：
1?tan
?
；
1?tan
?
；
_
；
_
；
tan< br>?
?tan
?
?__________
tan
?
?t an
?
?__________
__
；
1?tan
?
tan
?
?__________
__
；
1?tan
?< br>tan
?
?__________
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20tan40
oo< br>?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
asin
?
?bcos
?
?
= ；（其中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，
特殊值与特殊角的三角函数互化 。
如：

sin50(1?
o
3tan10)?
o
；

tan
?
?cot
?
?
。