南通高中数学教育名师-怎样在高中数学中举一反三
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数 学 试 题(有难度)
一、选择题:(每题5分,满分60分)
1.集合
M?{x|x?
k1k1
?,k?Z},N?{x|x??,k?Z}
, 则 (
)
2442
A、
M?N
B、
M?N
C、
N?M
D、
MIN??
2.若?是第二象限角,则???是
( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角
D.第四象限角
3. 下列命题正确的是( )
A 若
a
·b
=
a
·
c
,则
b
=
c
B 若
|a?b|?|a?b|
,则
a
·
b
=0
C 若
a
b
,
b
c
,则
a
c
D
若
a
与
b
是单位向量,则
a
·
b
=1
4.函数y= | lg(x-1)| 的图象是
( )
C
5.设
sin
?
??,cos
?
?
??
????????
???
?
????
3
5
4
,那么
下列各点在角
?
终边上的是 ( )
5
A.
(?3,4)
B.
(?4,3)
C.
(4,?3)
D.
(3,?4)
6.方程
2
x?1
?x?5
的解所在的区间是
( )
A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)
7. 已知
a?log
2
0.3
,
b?2
,
c?0.3
,则
a,b,c
三者的大小关系是 ( )
A、
b?c?a
B、
b?a?c
C、
a?b?c
D、
c?b?a
8.把函数y=si
nx的图象上所有点向右平移
?
个单位,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的
3<
br>0.30.2
1
(纵坐标不变),所得解析式为y=sin(?x??),则
( )
2
A.?=2,?=
????
11
B.?=2,?=- C.?=,?= D.?=,?=-
63612
22
111
??
?
9.设
??
?
?3,?2,?1
,?,,,1,2,3
?
,则使
y?x
为奇函数且在(0,+
?)上单调递减的
?
值的
232
??
个数为
( )
A、1 B、2
C、3 D、4
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10.已知sinx+cosx=
A.-
1
且x?(0,?),则tanx值
( )
5
43434
B.- C.-或-
D.
34343
二、填空题:(每题6分,满分24分)
11.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形面积是_______.
12.函数
y?log
1
(x
2
?2x)
的单调递
减区间是________________________.
2
13.已知tanx=2
,则
3sinx?4cosx
=_____________
4sinx?cosx
x
2
?1
(x?0,x?R)
有下列命题: 14.关于函数
f(x)?lg
|x|
①函数
y?f(x)
的图象关于
y
轴对称; ②在区间
(??,0)
上,函数
y?f(x)
是减函数;
③函数
f(x)
的最小值为
lg2
;
④在区间
(1,?)
上,函数
f(x)
是增函数.
其中正确命题序号为_______________.
15.电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数
I = Asin(?t+
?
)
(
?
?0,A?0)
的图象如图所示,
I
10
O
1
300
7
则当t = (秒)时的电流强度为_______安培.
120
4
300
t
?10
(第15题图)
三、解答题:(本题满分76分,要求写出必要的步骤和过程)
16(本小题满分12分)已知全集U={x|1
A.
17(本小题12分)已知
?
?
33?5
?3?
??)?
,求,
0???
,
co
s(?
?
)??
,
sin(
???
4
413
45
44
sin
?
?
?
?
?
的值.
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18.(本小题12分)二次函数
f
(
x
)满足
f
(
x
+1)-
f
(
x
)=2
x
且
f
(0)=1.
⑴求
f
(
x
)的解析式;
⑵当
x?
[-1,1]时,不等式:
f
(
x
)
?2x?m
恒成立,求实数
m
的范围.
19(本小题满分14分)
r
已知
a?(1,2)
,
b?
(?3,2)
,当
k
为何值时,
r
r
r
r
(1)
ka?b
与
a?3b
垂直?
rrrr
(2)
ka?b
与
a?3b
平行?平行时它们是同向还是反向?
20. (本小题12分)已知函数y=
4cos
2
x+4
3
sinxcosx-2,(x∈R)。
(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的最大值及其相对应的x值;
(3)写出函数的单调增区间;(4)写出函数的对称轴。
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21 (本小题满分13分)
某港口的水深
y
(米)是时间
t
(
0?t?24
,单位:小时)的函数,
下面是每天时间与水深的关
系表:
t
y
0
10
3
13
6
9.9
9
7
12
10
15
13
18
10.1
21
7
24
10
经过长期观测,
y?f(t)
可近似的看成是函数
y?Asin
?
t?b
(1)根据以上数据,求出
y?f(t)
的解析式
(2)若船舶航行时,水
深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的
进出该港?
22.已知函数
f(x)?log
a
1?mx
(a?0,
a?1,m?1)
是奇函数.
x?1
(1)求实数
m
的值;
(2)判断函数
f(x)
在
(1,??)
上的单调性,并给出证明;
(3)当
x?(n,a?2)
时,函数
f(x)
的值域是
(
1,??)
,求实数
a
与
n
的值
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参考答案
一、选择题:(每题5分,满分60分)
题号 1 2 4
5
3
答案 B D C
B C
二、填空题:(每题6分,满分24分)
三、解答题:(满分76分)
16.{x|3≤x<5} {x|1
6
C
7
A
8
B
9
B
10
A
11.18;
12.
?
2,??
?
; 13.
52
14.①③④ 15.0
63
65
22
18、解:
(1)设f(x)=ax+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax+bx+1.
22
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)+b(x+1)+1-(ax+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以
?
2
?
2a?2
?
a?1
2
,∴f(x)=x-x+1.-------------6分
,?
?
?
a?b?0
?
b??1
2
(2)由题意得x-x+1
>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
3
2
设g(x)= x-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x= ,所以g(x)
在[-1,1]上递减.
2
故只需g(1)>0,即1-3×1+1-m>0,解得m<-1
.-------------------------12分
2
r
r
19
.解:
ka?b?k(1,2)?(?3,2)?(k?3,2k?2)
r
r
a?3b?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)
r
r
r
r
(1)
(ka?b)?(a?3b)
,
r
r
r
r
得
(ka?b)
g(a?3b)?10(
k?3)?4(2k?2)?2k?38?0,k?19
r
r
r
r
1
(2)
(ka?b)(a?3b)
,得
?4(k?3)?10(2
k?2),k??
3
r
r
1041
此时
ka?b
?(?,)??(10,?4)
,所以方向相反。
333
20.(1)T=
?
(2)
y?
(3)
[?
?
6
?k
?
(k?Z),y
max
?
4
k
?
,(
k?Z)
3662
13
?713?7
21.解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为13,最小值为7,
h??
10
,
A??3
22
?k
?
,?k
?
],(k?Z)
(4)对称轴
x??
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??
?
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br>且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9,因此
T?
故
f(t)?3sin<
br>2
?
?
?9
,
?
?
2
?
,
9
2
?
t?10
(0?t?24)
9
2
?
t?10?11.5
9
2
?1
?
2
?
5
?
315
∴
sint?<
br>
2k
?
??t??2k
?
解得:
9k??t??9k
k?Z
9269644
又
0?t?24
333333
当
k?0
时,
?t
?3
;当
k?1
时,
9?t?12
;当
k?2
时,
18?t?21
44
4444
(2)要想船舶安全,必须深度f(t)?11.5
,即
3sin
故船舶安全进港的时间段为
(0:45
?3:45)
,
(9:45?12:45)
,
(18:45?21:45)<
br>
22.解:(1)由已知条件得
f(?x)?f(x)?0
对定义域中的<
br>x
均成立.…………………………………………1分
?
log
amx?11?mx
?log
a
?0
?x?1x?1
mx?11?mx
即
??1
…………………………………………2分
?x?1x?1
?
m
2
x
2
?1?x
2
?1
对定义域中的
x
均成立.
m
2
?1
即
m?1
(舍去)或
m??1
.
…………………………………………4分
1?x
x?1
x?1x?1?22
设
t?
,
??1?
x
?1x?1x?1
(2)由(1)得
f(x)?log
a
?
当
x
1
?x
2
?1
时,
t
1
?t
2
?
2(x
2
?x
1
)
22
??
x
1
?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2<
br>?1)
?
t
1
?t
2
.
…………………………………………6分
当
a?1
时,
log
a<
br>t
1
?log
a
t
2
,即
f(x
1
)?f(x
2
)
.……………………………………7分
?
当
a?1
时,
f(x)
在
(1,??)
上是减函数.
…………………………………………8分
同理当
0?a?1
时,
f(x)<
br>在
(1,??)
上是增函数. …………………………………9分
(3)Q
函数
f(x)
的定义域为
(1,??)?(??,?1)
,
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?
①
n?a?2??1
,
?
0?a?1
.
?
f(x)
在
(n,a?2)
为增函数,
要使值域为
(1,??)
,
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