高中数学必修4两角和与差的三角函数范文

两角和与差的三角函数

【知识要点回顾】
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切
cos(
?
?
?
)= ; sin(
?
?
?
)= tan(
?
?
?
)
cos(
?
?
?
)= sin(
?
?
?
)= tan(
?
?
?
)
2. 二倍角的正弦、余弦、正切
sin2α= ；
cos2α= = = ;
tan2α= .
3. 公式的推导与联系.
【例题讲解】
例1 ：求下列三角函数的值：
3
?
（1） 若θ 为锐角，
sin
?
?
，求
cos(
?
?)
的值；
56
?
3
（2） 若α为锐角，
sin(
?
?)?
，求 cosα的值。
65






例2：利用已知角和特殊角表示下列角：
（1）已知角α+β、α-β，则2α= ，2β= ；
?
3
?
?
?
，则α+β= ； （2）已知角
?
?,
44
A?C
（3）△ABC的三内角A、B 、C成等差数列，已知
?
?
，则A= ，
2
C= 。



?
例3：（1）已知
0?
?
? ?
?
?
?
,求
?
?
?
，
?
?
?
的范围
；
2

（2）已知
cos(
?
?





?
3
?
3
??
)?,?< br>?
?,求sin(
?
?)

45224
例4：已知α、β为锐角，
cos
?
?






41
,tan(
?
?
?
)??,求cos
?
的值。

53
例5： ?
3
???
33
?
5
设
?
?(,),
?
?(0,),且cos(
?
?)?,sin(?
?
)?, 求sin(
?
?
?
)的值。

44445413





例6：
已知cos(
?
?





?
3
?
3
??
)?,?
?
?, 求cos(2
?
?)的值。

45224
例7：利用向量的方法证明两角和的余弦公式：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ





【考点针对训练】
一.选择题

1．已知tan（
?
?
?
）=
,tan(
?
?
1
?
)?,则tan(
?
?)?
( )
444
131333
A． B． C． D．
2
5
?
18
22
18
2．若
1?t anA
1?tanA
?5
，则
cot(
?
4
?A)
的值为
A.
?5

B.
?
5
5

C.
5

D.
5
5

3.已知
cot
?
?2
，
tan(
?
?
?
)??
2
5
，则tan(
?
?2
?
)
的值为：(
A.
1111
6
B.
?
6
C.
12
D.
?
12

4．
sin15??sin30??sin75?
值为
A.

3
4

B.

1
8

C.

3
1
8

D.

4

5.
sin
2
??
12
?cos< br>2
12
的值为（ ）
A.
?
1
2
B.
1
2
C.
?
33
2
D.
2

6．sin7??cos15?sin8?
cos7??sin15?sin8?
的值为（ ）
A.
2?3

B.
2?3
2

C.
2?3

D.
2?3
2

7. 若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)的值等于 （ ）
A．
1
2
B．－
1
2
C.
3
2
D．－
3
2

8.已知
sin< br>?
2
?
5
13
，
cos
?
2
??
12
13
，则角
?
所在的象限是：( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9．已知< br>sin(
?
4
?x)?
3
5
，则
sin2x
＝ （ ）
A．
19
25
B．
16
25
C．
7
25
D．
14
25

第 3 页 （共 6 页）
22
)

10．
21?sin8?2?2cos8
等于（ ）
A.2sin 4—4cos4 B.-2sin4-4cos4 C.-2sin4 D.4cos4-2sin4
11.已知锐角θ满足：
sin
?
2
?
x?1
则tanθ等于（ ）
2x
A. x B.
x?1
x?1
C.
x
2
?1
D.
x
x
2
?1

12．若
0?
?
?
?
，
sin
?
?cos
?
?
1
， 则
cos2
?
的值为（ ）
2
A.
1
77
7

B.
?

C.
?

D.
?

4
44
4
二.填空题
13.< br>cos(31
?
?x)cos(29
?
?x)?sin(31
?
?x)sin(29
?
?x)?

14．已知sin
?
?
15．若
sin(
?
?
15
，
?
?(,
?
)
则
cos(?
?
)=
2
3
17
3
，则
cos2
?
＝
25
cos20??sin20?
16．计算：的值是___________. < br>cos25?
?
?
)?
11
17.若α，β均为锐角，且si nα－sinβ=－ ,cosα－cosβ= 则tan(α－β)的值为：
22
___________。
三．解答题
18．已知sina=
,
?
?(,
?
),cos
?
??
?
3
5
?
2
123
?
,
?< br>?(
?
,),求sin(
?
?
?
),tan(
?
?
?
)

132

19． 化简：
2sin50??cos10?(1?3tan10?)
2cos5?












20．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块
空地上划出一个内接矩形 ABCD辟为花园绿地，使其一边
AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，
已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A、D
的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？



















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21.已知
A,B,C
坐标分别为
A(3,0),B(0,3),C(cos
?
,sin
?
),
?
?(
（1）若
AC?BC
，求角
?
的值；
?
3
?
2
,
2
)

2sin2
?
?sin2
?
（2）若
AC?BC??1
，求的值 。
1?tan
?








22． 已知
?
11
?
?
?
?
,?
?
?
?
?0,tan
?
??,tan
?
??

237
（1）求
2
?
?
?
的范围；
（2）求
tan(2
?
?
?
)
的值；
（3）求
2
?
?
?
的值。