新课标人教A版高中数学必修4完整版教案

第一章 三角函数
4-1.1.1任意角（1）
教学目标：要求学生掌 握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立
适当的坐标系来讨论角；并进而理解 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”
的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角 函数值、
研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学
中有着非 常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出 的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，
但它的弊端在于“狭隘”
○○
师：初中时，我们已学习了0～360角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆
B
时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线

OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
o
α
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即
o
O A
转体2周），“转体1080”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，
图1
现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校
正？
00
生：逆时针旋转30；顺时针旋转30.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水 运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成
了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有 的认识范围。本节课将在已掌握

～

角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，
就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角， 如图2中的角为正角，它
00
等于30与750；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角， 那么同学们猜猜看，负角怎
么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如 果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成
了一个零角。
00
师：如图3，以OA为 始边的角α=-150，β=-660。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这是形成了 一个角，并把这个角称为零角。

1

师：好，角的概念经过这样的 推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说
明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下 ，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标 系内讨论
角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已
经经过预习，请一位同学回答什么叫 ：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负
半轴重合。那么，角的终边（ 除端点外）在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可 以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面
请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三 个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行， 为什
么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就 认为这
个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理 、性质要斟字酌句，每个字
都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
00000
师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60
0
角，都是第四象限角；585角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明 ，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是
锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
0
师：（2）锐角就是小于90的角吗？
0
生：小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
00
师：（3）锐角就是0～90的角吗？
000000
生：锐角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.
学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作
出下列各 角，并指出它们是哪个象限的角？
0000
（1）420； （2）-75； （3）855； （4）-510.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现? 390? ?330? 30? 1470? ?1770?
生:终边重合.
0
师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？

生：图中 发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；
000
与30角同终边的角还有750，-690等。
0
师：好！这位同学 发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360的整数倍。例
0000000
如：7 50=2×360+30；-690=-2×360+30。那么除了这些角之外，与30角终边相同的角
还有：
0000
3×360+30 -3×360+30

2

4×360+30 -4×360+30
……， ……，
000
由此，我们可以用S={β|β=k×360+30，k ∈Z}来表示所有与30角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
0
生：S={ β|β=α+k×360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数
个周角的和 。
6.例题讲评
0000
{第一象限的角｝
，例1 设
E?{小于90的角｝　F?{锐角｝，G＝

，那么有（ D
o
）．
（

） D．

A．
例2用集合表示：
B． C．
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在

ooo
轴右侧的角的集合．
解：(1) 第一象限角：｛α|k360
π＜α＜k360
+90,k∈Z｝
oooo
第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝
oooo
第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝
ooo
第四象限角：{α|k360+270
o
＜α＜k360+360 ,k∈Z｝
（2）在

后，得

．
说明：一个角按顺、逆时针旋转

内的角，按顺逆时针旋转

例3 （1）如图，终边落在

o
～

中，

轴右侧的角可记为

，

，故

，同样把该范围“旋转”
轴右侧角的集合为

（

（

）后与原来角终边重合，同样一个“区间”
）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
位置时的角的集合是__{α|α
位置，且在

＝k360+120
o
,k∈Z }；终边落在

内的角的集合是_{－45
o
,225
o
}_ ；终边落在阴影
部分（含边界）的角的集合
ooo
是_{α|k360－45
o
＜α＜k360+120 ,k∈Z}．
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
①

～

间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于

角．
解答（1）①


； ②

；
3

③

（2）分别写出：
①终边落在

； ④


轴负半轴上的角的集合； ②终边落在

轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（2）①

； ②

；
③

； ④

．
说明：第一象限角未必是锐角，小于

课本约定它包括

例4在
（1）
～
，但不包含

．
的角不一定是锐角，

～

间的角，根据
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
；（2） ；（3） ．
解：（1）∵

∴与

（2）∵

∴与

（3）

所以与


角终边相同的角是


终边相同的角是

，它是第四象限的角；

角终边相同的角是

，它是第二象限角．
角，它是第三象限的角；

总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以


，按通常除去进行；负的角度除以

，
商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．

4

练习：
（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o
_．
（2）集合M＝{α=k
?90
，k∈Z}中，各角的终边都在（C ）
A．轴正半轴上， B．
C．
（3）设

oo
轴正半轴上，
轴正半轴或
，



轴或 轴上， D． 轴正半轴上


C＝{α|α= k180+45
,
k∈Z}

，




则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．
三.本课小结
本 节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴
上，就认为这个 角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角

么

是第几象限角，只要把

改写成

与角

，

适合关系：

，

，那
，

，
在第几象限，

，则

、

就是第几象限角，若角

与

终边相同；若角

适合关系：

则

、

终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把
，

这种模式（

），然后只要考查

的相关它们化为：

问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
四.作业:
4-1.1.1任意角（2）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义 角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立
适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角” “象限角”“终边相同的角”
的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还 学习了
象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略

5

师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
0
S={β|β=α+k×360，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
00
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360≤β<720的元素β
写出来：
000，
（1）60； （2）-21； （3）36314
0000
解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中适合-360≤β<72 0的元素是
000 000 000
60+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.
0000
（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z} S中适合-360≤β<720的元素是
000 000 000
-21+0×360=-21 -21+1×360=339-21+2×360=699
0 000
说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。
0，000
（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z} S中适合-360≤β<720的元素是
0，00， 0，00， 0，00，
3 6314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360= 36314
说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析 ：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个
0
角即α ，然后在后面加上k×360即可。
○○0
解：（1）∵在0～360间，终边在x轴负半轴 上的角为180，∴终边在x轴负半轴上
00
的所有角构成的集合是{β|β=180+k×3 60，k∈Z }
○○000
（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和 270，∴与90角终边相
00
同的角构成的集合是S
1
={β|β=90+ k×360，k∈Z }
000
同理，与270角终边相同的角构成的集合是S
2< br>={β|β=270+k×360，k∈Z }
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
0000
S
1
={β|β=90+k×360，k∈Z }={β|β=90+2k×180，k∈Z }………………（1）
00000
S
2
={β|β=270+k×360，k∈Z }={β|β=90+180+2k×180，k∈Z }
00
={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z } …………………（2） 0
师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是< br>00
180的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和 （2）式
00
可统一写成90+n×180（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为
0000
S= S
1
∪S
2
={β|β=90+2k×180，k∈Z }∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z }
00
={β|β=90+n×180，n∈Z }
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
00
（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z },{β|β=k×90，k∈Z }
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
00
答：{β|β=45+n×180，n∈Z }
0
推广：{β|β=α+k×180，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。
例1 若
?
是第二象限角，则
2
?
，
师：
?
是第 二象限角，如何表示？
??
，分别是第几象限的角？
23

6

解：（1）∵
?
是第二象限角，∴90+k×360<
?<180+k×360（k∈Z）
0000
∴ 180+k×720<2
?
<360+k×720
∴2
?
是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。
．．．． ．．．．
0000
（2）∵
k?180?45?
??
?
2< br>?k?180
?
?90(k?Z)
，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：
?
是第一象限的角；
2
2
?
?
????
当
k?2n?1(n?Z)
时，
n?360?225??n?360?270(k?Z )
，是第三象限的
2
2
当
k?2n(n?Z)
时，
n?360?45?
??
?
?n?360
?
?90
?
(k?Z)
，
角。
∴
?
是第一或第三象限的角。
2
?
是第一或第二或第四象限的角）
3
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（
进一步求
?
?
是第几 象限的角（
?
?
是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结
1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
0
θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习

练习2 若
?
的终边在第一、三象限的角平分线上，则
2
?
的终边在y轴的非负半轴上.
练习3 若
?
的终边与60角的终边相同，试写出在（ 0，360）内，与
000
?
角的终边相同的
3
120
0< br> y

O
x
250
0
角。 （20，140，260）

（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
0，
的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。
0000
（{α| 120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）


探究活动
经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A组:
1．与

000
终边相同的角的集合是________ ___，它们是第____________象限的角，其中
最小的正角是___________，最 大负角是___________．

7

2．在0
o< br>~360
o
范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265
?
（2）－1000
o
（3）－843
o
10’ （4）3900
o
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适 合不等式－360
o
≤β＜360
o
的元素
写出来：
(1)60
o
(2)－75
o
(3) －824
o
30’ (4) 475
o
(5) 90
o
(6) 270
o
(7) 180
o
(8) 0
o

C组：若

是第二象限角时，则

，

，

分别是第几象限的角？
4-1.1.2弧度制（1）

教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制 与角度制互化，并进而建立角的集合与
实数集
R
一一对应关系的概念。
教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
定
B C l=2
义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1
r
r
2rad
1rad
A
r
A
弧度的角。
o o
如
图：?AOB=1rad

?AOC=2rad

周角=2?rad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 角?的弧度数的绝对值
?
?
l
（
l
为弧长，
r
为半径）
r
3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360?=2?rad ∴180?=? rad
∴ 1?=
?
180
rad?0.01745rad

?
?
180
?
??

1rad?
??
?57.30?5718'

?
?
?

8

例一 把
6730'
化成弧度
?
?
13
?
1
?
?
解：
67
?
30'?
?
67
?
∴
6730'?rad?67?
?
rad

18028
?
2
?
例二 把
?
rad
化成度
解：
?
3
533
?
rad??180
?
?108
?

55
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3
表示3rad sin?表示?rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4 ．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能
在角的集合与实数的集合之间建 立一种一一对应的关系。




正角
零角
负角
正实数
零
负实数
任意角的集合 实数集R
四、练习（P11 练习1 2）
例三 用弧度制表示：1?终边在
x
轴上的角的集合 2?终边在
y
轴上的角的集
合 3?终边在坐标轴上的角的集合
解：1?终边在
x
轴上的角的集合
S
1
?
?
?< br>|
?
?k
?
,k?Z
?

2?终边在
y
轴上的角的集合
S
2
?
?
?
|
?
?k
?
?
?
?
?
?
,k? Z
?

2
?
3?终边在坐标轴上的角的集合
S
3
?
?
?
|
?
?
五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
六、作业：

?
?
k
?
?
,k?Z
?

2
?
4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。


9

二、由公式：
?
?
ln
?
r
简单
?

l?r?
?
比相应的公式
l?
r180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
1
lR
其中
l
是扇形弧长，
R
是圆的半径。 例一 利用弧度制证明扇形面积公式
S?
2
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
1
?
R
2
2
?

R
o
弧长为
l
的扇形圆心角为
l
rad
S
l
R

∴
S?
l11
R
?
2
?
?
?
R
2< br>?
2
lR

比较这与扇形面积公式
S
n
?
R
2
扇
?
360
要简单
例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
4
?
?
3
⑵
165

解：
r?10cm
⑴：
l?
?
?r?
4
?< br>3
?10?
40
?
3
(cm)

⑵：
165
?
?
?
180
?165(
rad
)?
11
?
12
rad

l?
11
?
12
?10?
55
?
6
(cm)

例三 如图，已知扇形
AOB
的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
A B
解：设扇形的半径为r，弧长为
l
，则有
o
?
?
2r?l?6

?
l
?
r?2< br>1
?
?
r
?1
?
?
∴ 扇形的面积
?
l?2
S?
2
2
rl?2(cm)

例四 计算
sin
?
4

tan1.5

解：∵
?
?
4
?45
∴
sin
?
4
?sin45
?
?
2
2

1.5rad?57.3 0
?
?1.5?85.95
?
?85
?
57'

∴
tan1.5?tan85
?
57'?14.12

例五 将下列各角化成0到
2
?
的角加上
2k
?
(k?Z)
的形式
⑴
19
?
⑵
?315
?
3

解：
19
?
3
?
?
3
?6
?


10
∴

?315
?
?45
?< br>?360
?
?
?
4
?2
?

60
R=45
例六 求图中公路弯道处弧AB的长
l
（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
60?
∴
l?
三、练习：
四、作业：
?
?
3

?
?R?
?
3
?45?3.14?15?47(m)

4-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分
析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度 （自变量）与
比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦 、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各
象限的符号），以及这三种函数的第一 组诱导公式。公式一是本小节的另一个重
点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将 任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他
们的集合形式表示出来.
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边 为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依
次为
sinA?
aba
,cosA?,tanA?
．
ccb
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α 终边上任意一点
P
（除了原点）的坐标为
(x,y)
，
它与原点的距 离为
r(r?|x|?|y|?
22
x
2
?y
2
? 0)
，那么

11

y
y
叫做α的正弦， 记作
sin
?
，即
sin
?
?
；
rr
xx
（2）比值叫做α的余弦，记作
cos
?
，即
c os
?
?
；
rr
y
y
（3）比值叫做α的正切， 记作
tan
?
，即
tan
?
?
；
xx
xx
（4）比值叫做α的余切，记作
cot
?
，即
c ot
?
?
；
yy
rr
（5）比值叫做α的正割，记作sec
?
，即
sec
?
?
；
xx
r r
（6）比值叫做α的余割，记作
csc
?
，即
csc
?< br>?
．
yy
说明：①α的始边与
x
轴的非负半轴重合，α的终 边没有表明α一定是正角或负角，以及α
（1）比值
的大小，只表明与α的终边相同的角所在的 位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点
P(x,y)
在α的终边上
的位置的改变而改变大小；
③当
?
?
?
2< br>?k
?
(k?Z)
时，α的终边在
y
轴上，终边上任意一点的 横坐标
x
都等
x
yr
与
sec
?
?
无意义；同理，当
?
?k
?
(k?Z)
时，
coy
?
?
与
y
xx
于
0
，所以
tan
?
?
csc
?
?
r
无意义；
y
xr< br>r
y
x
y
、、、、、分别是一
yy
rx
rx
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值
个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正 割、余割是以角为自变量，一比值为
函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域

函 数 定 义 域 值 域
y?sin
?

y?cos
?

R

R

{
?
|
?
?
[?1,1]

[?1,1]

y?tan
?

?
2
?k
?
,k?Z}

R

注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与
x
轴的非
负半轴重合.
(2) α是任意角，射线
OP
是角α的 终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox
转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关. (3)sin
?
是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这 样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是 任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形
的性质，“r”同为正值. 所不 同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角
函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐 标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定
义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的 定义是由特殊到一般的认识和研

12

究过程.
(5)为 了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面
直角坐标系的第一象限， 使一锐角顶点与原点重合，一直角边与
x
轴的非负半轴重合，利用
我们熟悉的锐角三角 函数类比记忆.
3．例题分析
例1．已知角α的终边经过点
P(2,?3)
，求α的六个函数制值。
解： 因为
x?2,y??3
，所以
r?2
2
?(?3)
2
?13
，于是
sin
?
?
y?3313
r
?< br>13
??
13
；
cos
?
?
x2213r
?
13
?
13
；
tan
?
?y
x
x
??
3
2
；
cot
?
?
2
y
??
3
；
sec
?
?
r13
r
x
?
2
；
csc
?
?
y
??
13
3
．

例2．求下列各角的六个三角函数值：
（1）
0
； （2）
?
； （3）
3
?
2
．
解：（1）因为当
?
?0
时，
x?r
，
y?0，所以
sin0?0
，
cos0?1
，
tan0?0
，
cot0
不存在，
sec0?1
，
csc0
不存在。
（2）因为当?
?
?
时，
x??r
，
y?0
，所以
sin
?
?0
，
cos
?
??1
，
tan
?
?0
，
cot
?
不存在，
sec
?
??1
，
csc
?
不存在。
（3）因为当
?
?
3
?
2
时，
x?0，
y??r
，所以
sin
3
?
2
??1
，
cos
3
?
2
?0
，
tan
3
?
2
不存在，
cot
3
?
2
?0
，
sec
3
?
2
不存在，
csc
3
?
2
??1
．

例3．已知角α的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求α的六个三角函数值。
解：因为过点
(a,2a)(a?0)
，所以
r?5|a|
，
x?a,y?2a

当
a?0时，sin
?
?
y< br>r
?
2a
5|a|
?
2a
5a
?
2 5
5
；

cos
?
?
xa5 a
r
?
5a
?
5
；
tan
?
?2 ;cot
?
?
15
2
;sec
?
?5;csc?
?
2
；
当
a?0时，sin
?
?
y 2a2a25
r
?
5|a|
?
?5a
??
5
；


13

cos?
?
xa5a
???
r
?5a
5
；
1 5
tan
?
?2;cot
?
?;sec
?
??5; csc
?
??
．
22
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
y
对于第一、二 象限为正（
y?0,r?0
），对于第三、四象限为负（
y?0,r?0
）；
r
x
②余弦值对于第一、四象限为正（
x?0,r?0
），对于第二 、三象限为负（
x?0,r?0
）；
r
y
③正切值对于第一、三象 限为正（
x,y
同号），对于第二、四象限为负（
x,y
异号）．
x
①正弦值
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。


sin
?
csc
?
为正 全正
正弦、余 割
余弦、正割
正切、余切
y
y
y
tan
?
cot
?
为正
cos
?
sec
?
为正

5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
，
+
o
-
+
-
x
-
-
o
+
+
x
-
+
o
x
+
-
cos(
??2k
?
)?cos
?
，其中
k?Z
．
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问
题．
三、巩固与练习
1 确定下列三角函数值的符号：
（1）
cos250
； （2）
sin(?
2 求函数
y?
o
?
4
)
； （3）
tan(?672
o
)
； （4）
tan
11
?
．
3
cosx
cosx
?
tanx
的值域
tanx
解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，
x?0,y?0
cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,
x?0,y?0
|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0
…………ⅢⅣ………,
x
|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0
?0,y?0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；

14

2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
五、课后作业：
补充：1已知点
P
(3r,-4r)(r?0)
，在角
?< br>的终边上，求
sin
?
、
cos
?
、
tan
?
的值。
2已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值
解：由定义 ：
r?5
sin?=?
六、板书设计：
342
cos?= ∴2sin?+cos?=?
555
4-1.2.1任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的 线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、
值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习 1：已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
，且
sin
?< br>?
2m
，求
cos
?
,sin
?
的值。 < br>4
2222
解：由题设知
x??3
，
y?m
，所以< br>r?|OP|?(?3)?m
，得
r?3?m
2
，
从而sin
?
?
2m
mm
2
??
，解得
m ?0
或
16?6?2m?m??5
．
4
r
3?m
2
当
m?0
时，
r?3,x??3
，
xy
cos
?
???1,tan
?
??0
；
rx
当
m?5
时，
r?22,x??3
，
cos
?
?
x6y15
??,tan
?
???
；
r4x3
当
m??5
时，
r?22,x??3
，
x6y15
??,tan
?
??
．
r4x3
cos
?
?
2．三角函数的符号：
练习2：已知
sin
?
?0
且
tan
?
?0
，
（1）求角
?
的集合；（2）求角
???
?
终边所在的象限；（3 ）试判断
tan,sincos
的符
222
2
15

号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）
cos
9
?
11
?
9
?
， （2）
tan(?
．
)
， （3）
sin
462
二、讲解新课：
当角的终边上一点
P( x,y)
的坐标满足
x
2
?y
2
?1
时，有三角函 数正弦、余弦、正切
值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点
O
，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角
?
的顶点在原点
O
，始边与
x
轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交与点
P
(x,y)
，
过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点
A(1,0)
作单位圆的切线，它与角< br>?
的终边或其反向
延
长线交与点
T
.
y

y


T


P

P



A

A

x


o

M

o

M

x


（Ⅱ）
（Ⅰ）

T


y


y

T




M

M

A

A

x

x

o

o



P

（Ⅲ）
（Ⅳ）
P


T


由四个图看出： < br>当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
yyxx
??y?MP
，
cos
?
???x?OM
，
r1r1
yMPAT
tan
?
????AT
．
x OMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
sin
?
?
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为
?< br>的终边与单位圆的交点到
x
轴的垂直线段；余弦
线在
x
轴上 ；正切线在过单位圆与
x
轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单
位
圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向
?
的终 边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
垂
足；正切线由切点指向与
?
的终边的交点。

16

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与
x
轴或
y
轴同向的为正 值，与
x
轴或
y
轴反向
的
为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）
5
?
?
2
?
13
?
； （2）； （3）
?
； （4）
?
．
6
3362
?
4
?
2
?
4
?
2
?4
?
与
sin
2? tan与tan 3? cot与cot
353535
解：图略。
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1?
sin
解： 如图可知：
S
2
S
1
B

P
2
P
1
sin
T
2

2
?
4
?
?
sin

35

o

A
2
?
4
?
?
tan
35
2
?
4
?
cot
?
cot
35
tan
例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角
1? sin?≥
T
1
3
1
2? tan?
?

3
2
y
y
解： 1? 2?

30?

T
P
2
P
1


o x
o x
A


210?

30?≤?≤150? 30?
?
?
?
90?或 210?
?
?
?
270?

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角
x
的范围。
11
； （2）
cosx?
；
22
11
（3）
0?x ?
?
,sinx?
且
cosx?
；
22
11
（4）
|cosx|?
； （5）
sinx?
且
tanx??1
．
22
7
?
11
?
??
答案：（1）（2）
??2k
?
?x? ?2k
?
,k?Z
；
?2k
?
?x??2k
?< br>,k?Z
；
6666
?
5
?
????
,k? Z
；（3）
?x?
（4）
???k
?
?x???k
?
,k?Z
；
366262
（1）
sinx??

17

（5）
?
2
?2k
?
?x?
3
?
?2k
?
,k?Z
．
4

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较
cos64,cos285
的大小；
2．若
o o
?
4
?
?
?
?
2
，则比较
si n
?
、
cos
?
、
tan
?
的大小；
3．分别根据下列条件，写出角
?
的取值范围：
（1）
cos
?
?
六、板书设计：
33
； （2）
tan
?
??1
； （3）
sin
?
??
．
22
4-1.2.1任意角的三角函数（3）
教学目的：
知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
能力目标：1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.
3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
授课类型：复习课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导
公式第一组.
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
3. .
x
取什么值时,
4．若三角形的两内角 ?，?满足sin?cos?
?
0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin?+cos?
?
0 B：tan??sin?
?
0
C：cos??cot?
?
0 D：cot?csc?
?
0
6．已知?是第三象限角且
cos

sinx?cosx
有意义?
tanx
?
2
?0
，问
?
是第几象限角？
2
18

二、讲解新课：
1、求下列函数的定义域：
（1）
y?2cosx?1
； （2）
y?lg(3?4sin
2
x)

?
1
?< br>2、已知
??
?
2
?
sin2
?
?1
，则?为第几象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)cos(sinθ)的符号；
（2）若tan(cosθ )cot(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出
?
的取值范围. 2
4、求证角
θ
为第三象限角的充分必要条件是
?
证明：必要性 ：∵
θ
是第三象限角，
∴
?
?
sin
?
?0

tan
?
?0
?
?
sin
?
?0

?
tan
?
?0
充分性：∵sin
θ
＜0，
∴
θ
是第三或第四象限角或终边在
ｙ
轴的非正半轴上
∵tan
θ
＞0，∴
θ
是第一或第三象限角.
∵sin
θ
＜0，tan
θ
＞0都成立.
∴
θ
为第三象限角.
5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．
三、巩固与练习
cosx
tanx|cotx|sinx
1 求函数
y?
的值域
???
|sinx|cosxtanxcotx
2 设?是第二象限的角，且
|cos
?
2
|??cos
?
2
,求
?
2
的范围.
四、小 结：
五、课后作业：
1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：
(1) sinα2、
若0?x?
?
2
,求证：sinx?x?tanx.

3、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称
(ab?0)
，角β的终边上的 点Q与A关于
直线y=x对称.求sinαescβ+tanαcotβ+secαcscβ的值.
六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）
教学目的：
知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

19

能力目标： （1）牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学
生分析、解决三角的思维能力；
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角
?
是一个任意角，
?
终 边上任意一点
P(x,y)
，
它与原点的距离为
r(r?|x|
2
?|y|
2
?x
2
?y
2
?0)
，那么：
sin
?
?
xr
yxyr
，
cos
??
，
tan
?
?
，
cot
?
?
，
sec
?
?
，
csc
?
?
．
yy
rrxx
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα、ctgα的符 号分别是怎样的？
3．背景：如果
sinA?
3
，A为第一象限的角，如何 求角A的其它三角函数值；
5
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关
系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
?
sin
?
? csc
?
?1
?
（1）倒数关系：
?
cos
??sec
?
?1

?
tan
?
?cot
?
?1
?
sin
?
?
tan
?
?
?
cos
?
（2）商数关系：
?
cos
?
?< br>cot
?
?
sin
?
?
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
22
（3）平方关 系：
?
1?tan
?
?sec
?

?
1? cot
2
?
?csc
2
?
?
2. 给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数
的基本关系吗？
（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒
数关系。
（2）带有阴影的 三个倒置三角形中，上面两个三角函数
值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平

sinAcosA
tgA1
ctgA
secA
cscA
20

方关系。
（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上 的函数值的乘积。
可演化出商数关系。
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关 重要，如
sin4
?
?cos4
?
?1
等；
②注 意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
22
tan
?
?cot< br>?
?1(
?
?
k
?
,k?Z)
；
2
sin
?
等。
tan
?
③对这些关系式不仅要 牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos
?
??1?sin
2
?
，
sin
2
?
?1?cos
2
?
，
cos
?
?
3．例题分析：
例1．（1）已知
sin?
?
（2）已知
cos
?
??
12
，并且?
是第二象限角，求
cos
?
,tan
?
,cot?
．
13
4
，求
sin
?
,tan
?
． 5
22
解：（1）∵
sin
?
?cos
?
?1
，
12
2
5
222
∴
cos
?
?1?sin
?
?1?()?()
，
1313
又∵
?
是第二象限角，
5
∴
cos?
?0
，即有
cos
?
??
，从而
13
sin
?
1215
tan
?
???
，
cot
?
???
．
cos
?
5tan
?
12

（2）∵
si n
2
?
?cos
2
?
?1
， ∴
sin
2
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
? ()
2
，
4
5
3
5
4
?0
， ∴
?
在第二或三象限角。
5
3sin
?
3
当?
在第二象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin?
?
，
tan
?
???
；
5cos
?
4
3sin
?
3
当
?
在第四象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin
?
??
，
t an
?
??
．
5cos
?
4
又∵
cos
?
??
总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值
中， 确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解
的情况不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方
关系 开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知
tan
?
为非零实数，用
tan
?
表示
sin
?
,cos
?
．
解：∵
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
?
222
22
sin
?
，
cos
?< br>2
2
∴
(cos
?
?tan
?
)?cos< br>?
?cos
?
(1?tan
?
)?1
，即有
cos
?
?
又∵
tan
?
为非零实数，∴
?
为象限角。
1
，
1?tan
2
?

21 < /p>

11?tan
2
?
当
?
在第一、四象限时，即 有
cos
?
?0
，从而
cos
?
?
， < br>?
22
1?tan
?
1?tan
?
tan
?
1?tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
?
； < br>1?tan
2
?
11?tan
2
?
当
?在第二、三象限时，即有
cos
?
?0
，从而
cos
?
??
，
??
1?tan
2
?
1?tan
2
?
tan
?
1?tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
??
．
2
1?tan
?
例3．已知
cot
?
?m
（
m?0
），求
cos
?

cos
?
cos
?
解： ∵
cot
?
?
， 即
sin
?
?
， sin
?
cot
?
22
又∵
sin
?
?cos
?
?1
，
cos
2
?
1m
2< br>1
222
2
?cos
?
?cos
?
(1?) ?1
，即
cos
?
(1?
2
)?1
，
co s
?
?
∴，
22
cot
?
cot
?1?m
2
m
又∵
m?0
，∴
?
为象限角。 < br>m
2
当
?
在第一、四象限时，即有
cos
?
?0
，
cos
?
?
；
2
m?1
m
2
当
?
在第二、三象限时，即有
cos
?
?0
，
cos
?
??
．
2
m?1
4．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
三、巩固与练习
第27页 练习1，2，3，4
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终 边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，
则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余 切，则可构造方程组来求值。
五、课后作业：六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：

22

1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：
sin
?
?csc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1
，
tan
?
?cot
?
?1
． （2）商数关系：
sin
?
cos
?
?tan
?
，
cot
?
?
cos
?
sin
?
． < br>（3）平方关系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
1?tan
2
?
?sec
2
?
，< br>1?cot
2
?
?csc
2
?
．
（练习） 已知
tan
?
?
4
3
，求
cos
?

2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例1．化简
1?sin
2
440
o
．
解：原式< br>?1?sin
2
(360
o
?80
o
)?1?sin
2
80
o
?cos
2
80
o
?cos80
o
．

例2．化简
1?2sin40
o
cos40
o
．
解：原式
?sin
2
40
o
?cos
2
40
o
?2sin40
o
cos40
o

< br>?(sin40
o
?cos40
o
)
2
?|cos4 0
o
?sin40
o
|?cos40
o
?sin40
o
．
例3、已知
sin??2cos?
，求
sin??4cos ?
5sin??2cos?
及sin
2
??2sin?cos?的值。

解：
?sin??2cos??tan??2

?
sin??4 cos?
5sin??2cos?
?
tan??4
5tan??2
?
?21
12
??
6

2
sin
2
??2sin?cos??
sin??2sin?cos?
sin
2
??co s
2
?
?
tan
2
??2tan?
tan
2
??1
?
4?2
4?1
?
6
5

强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2?“化1法”

例4、已知
sin??cos??
3
3
，求
tan??cot?及sin??cos?的值。

解：将
sin??cos??
3
3
两边平方，得：
sin?cos???
1
3

?tan??cot??
1
sin?cos?
??3

(s in??cos?)
2
?1?2sin?cos??1?
2
3
?5
3

?sin??cos???
15
3

例5、已知
tan??cot??
25
12
,

求 tan??cot?,tan
2
??cot
2
?,tan
3
??cot
3
?,sin??cos?


23

解：由题设：
tan
2
??cot
2
??
625
144
?2,

∴
tan??cot???625
144
?4??
7
12

tan
2??cot
2
??(tan??cot?)(tan??cot?)?
25712
?(?
12
)??
175
144

tan
3
??cot
3
??(tan??cot?)(tan
2
? ?cot
2
??tan?cot?)

?
25

1 2
?(
337
144
?1)?
251934825
12?
144
?
1728
sin??cos???1?2sin?cos?? ?1?2?
12
25
??
7
5

(
?ta n??cot??
12512
sin?cos?
?
12
?sin?c os??
25
)
例6、已知
sin??cos??
1
(0 ????)
，求
tan?及sin
3
??cos
3
5
?的值。

解：1? 由
sin?cos???
12
25
,0????,得：cos??0???(
?
2
,?)

由(sin??cos?)
2
?
497
25
,得：sin??co s??
5
联立
?
?
1
?
?
sin ??cos??
?
5
?
sin??
4
7
?
?
5
3
?tan???
4

?
?
?
sin??cos??
5
?
?
cos???
3
5
2?
sin
3
??cos
3
??(
4
)
3
?(?
3
)
3
?
91
55125
例7、已知
sin??
4?2mm?3
m?5
,cos??
m? 5
,?是第四象限角，
求
tan?的值。

解：∵sin
2
? + cos
2
? = 1 ∴
(
4?2m
2
m?3
2
m?5
)?(
m?5)?1

化简，整理得：
m(m?8)?0?m
1
?0,m2
?8

当
m
= 0时，
sin??
45
,cos???
3
5
，(与?是第四象限角不合）

当
m
= 8时，
sin???
12512
13
, cos??
13
，?tan???
5

三、巩固与练习
1：已知12 sin
?
+5 cos
?
=0，求sin
?
、cos
?
的值.
解：∵12 sin
?
+5 cos
?
=0 ∴sin
?
=
?
5
12
cos
?
，又< br>sin
2
?
?cos
2
?
?1


：
24

则（
?
5
12
cos< br>?
）+
cos
2
2
?
=1，即
cos
?
=
2
144
169

5
?
5
?
sin
?
??sin
?
?
?
12
??< br>13
?
13
∴cos
?
=± ∴
?
< br>或
?
13
?
cos
?
?
12
?cos
?
??
12
??
??
1313
4sin
?
?2cos
?
2.已知
tan
?
?3
， 求（1）
5cos
?
?3sin
?

5
；原式=
7

9
（2）
2sin
2?
?sin
?
cos
?
?3cos
2
?
；原式=
5

说明：（1）为了直接利用
tan
?
?3< br>，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、
分母同除以
cos
?< br>,将分子、分母转化为
tan
?
的代数式；
（2）可利用平方关系< br>sin
?
?cos
?
?1
，将分子、分母都变为二次齐次式， 再利用商数
关系化归为
tan
?
的分式求值；
3
22< br>1
(1)tg
2
A?sin
2
A?tg
2
A ?sin
2
A(2)设sinx?cosx?,求sin
3
x?cos
2
x
5

14cosx?5sinx
(3)ctgx?,求(1) ;(2)8sin
2
x?9cos
2
x.
46cosx?7sinx
(4)化简(1)sec
2
30??1(2)cos
2
x?6cos x?9
(3)sin
2
10??2sin10?cos10??cos
210?
1?sin
4
x?cos
4
xctgA?tgAsecA
(4)(5)?
1?sin
6
x?cos
6
xsin
2
A?cos
2
A
sinA
4.已知secα—tgα=5，求s inα。
解1：∵secα—tgα=5=5×1=5（sec2α—tg2α）=5（secα+t gα）（secα—tgα），故 sec
α+tgα=15，
则secα=135，tg α=—125；sinα=tgα·cosα=
?
解2：由已知：

12

13
1?sin
?
?5,?sin
?
?1,?cos
?
?0

cos
?
12
2
则
1?sin
?
?51?sin
?
?sin
?
? 1,orsin
?
??

13
5.已知
sin
?< br>?sin
?
?1
，求
cos
?
?cos
?< br>值；
226

25

解：可求
sin
?
?
5?1
2
cos
2
?
?cos
6< br>?
?sin
?
?sin
3
?
?sin
??(1?cos
2
?
)sin
?
?2sin
?
?sin
2
?
?3sin
?
?1
?3?
5?135 ?5
?1?
22
2
分析：本题关键时灵活地多次运用条件
sin?
?sin
?
?1
从而结合同角三角函数关系式达到
降次求解的 目标；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最< br>低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数
值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，
如：1=sin
?
?cos
?
?sec
?
?tan
?< br>?csc
?
?cot
?

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：习题
4.4
第5，7，8题

思考:已知si n
?
=2sinβ，tan
?
=3tanβ，求
cos
2< br>?
的值.
解：sinβ=
sin
?
2
222222
tanβ=
tan
?
3
，

又1+ tan
2< br>β=
1
cos
?
2
∴1+
tan
?
9
?
1?
1
sin
?
4
2
，即8?
1
cos
?
2
?
36
3?cos
?
2< br>
即8
cos
?
?11cos
?
?3?0，解得co s
?
?1或cos
?
?
六、板书设计：
4222
3
8

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；

26

德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：
sin
?
?c sc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1< br>，
tan
?
?cot
?
?1
．
sin
?
cos
?
．
?tan
?
，cot
?
?
cos
?
sin
?
222222< br>（3）平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
，
1?tan
?
?sec
?
，
1?cot
?
?cs c
?
．
4
（练习）已知
tan
?
?
，求
cos
?

3
（2）商数关系：
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例8．已知
1?sin
?
1?sin
?
???2tan
?
，试确定使等式成立的角
?
的集合。 1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin< br>?
(1?sin
?
)
2
(1?sin
?
)< br>2
|1?sin
?
||1?sin
?
??
?
解：∵=
?
22
1?sin
?
1?sin
?
|c os
?
||cos
?
|
cos
?
cos
?
1?sin
?
?1?sin
?
2sin
?
==．
|cos
?
|
|cos
?
|
1?sin
?
1?sin
?
???2tan
?
，
1?sin
?
1?sin
?
2sin
?
2sin
?
∴
? ?0
， 即得
sin
?
?0
或
|cos
?
|??cos
?
?0
．
|cos
?
|
cos< br>?
?
3
?
所以，角
?
的集合为：
{
?
|
?
?k
?
或
2k
?
??
?< br>?2k
?
?,k?Z}
．
22
例9．化简
(1?c ot
?
?csc
?
)(1?tan
?
?sec
?< br>)
．
cos
?
1sin
?
1
解：原式=< br>(1??)(1??)

sin
?
sin
?
cos< br>?
cos
?
sin
?
?cos
?
?1cos
?
?sin
?
?11?(sin
?
?cos
?)
2
1?1?2sin
?
?cos
?
??

?
??2
．
sin
?
cos
?
sin< br>?
?cos
?
sin
?
?cos
?
又∵说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
cosx1?sinx
?
．
1?sinxcosx
证法一：由题义 知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
c osx(1?sinx)cosx(1?sinx)
1?sinx
?
∴左边=
??
右边．
2
(1?sinx)(1?sinx)cosx
cosx
例10．求证：
∴原式成立．

27

证法二：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
又∵
(1?sinx)(1?sinx)?1?sinx?cosx?cosx?cosx
，
22
cosx1?sinx
．
?
1?sinxcosx
证 法三：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
∴
cosx1?sinx
cosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)< br>cos
2
x?1?sin
2
x
??0
，
?
?
(1?sinx)cosx
(1?sinx)cosx
1?sinxcos x
cosx1?sinx
∴．
?
1?sinxcosx

例11．求证：
sinx?tanx?cosx?cotx?2sinx?cosx?tanx?cot x
．
证明：左边
?
sinx?
22
sinx1
? cos
2
x??2sinx?cosx

cosxtanx
sin< br>3
xcosx
?cos
2
x??2sinx?cosx

?
cosxsinx
sin
4
x?cos
4
x?2 sin
2
xcos
2
x(sin
2
x?cos
2< br>x)
2
1
?
?

?
， sinx?cosxsinxcosxsinxcosx
sinxcosxsin
2
x?cos
2
x1
???
右边
?
．
cosxsinxsinxcosxsinxcosx
2
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常
用的方法有： （1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边
同等于同一个式子（如 例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
1?3
(0?x?
?
)
，求
sinx,cosx
．
2
1?3
(0?x?
?
)
等式两边平方： 解：由
sinx?cosx?
2
1?3
2
sin
2
x?cos2
x?2sinxcosx?()
．
2
3
∴
sinxcosx??
（*），
4
?1?3
?
sinx?cosx?
?
2
， 即
?
?
sinxcosx??
3
?
?4
1?3313
z??0< br>的两个根，解得
z
1
?,z
2
??
sinx,cos x
可看作方程
z
2
?
．
2422
又∵
0 ?x?
?
，∴
sinx?0
．又由（*）式知
cosx?0

13
因此，
sinx?,cosx??
．
22
例12．已知
sinx?cosx?
三、巩固与练习
3. 求证：

28

(1)ctg
2
A(tg
2
A?sin
2
A)?sin
2
A
1
(2)sin
2
?
cos
2
?
?
sec
2
?< br>?csc
2
?

22222
(3)(1?sinA)(sec A?1)?sinA(cscA?ctgA)
cosx1?sinx
(4)?
1?si nxcosx
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数 最
低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，
如：1=
sin
?
?cos
?
?sec
?
?tan
?
?csc
?
?cot
?

2
2、已知方程
2x?(3?1)x?m?0
的两根分别是
sin?，cos?
，
222222
求
sin?cos?

?的值。
1? cot?1?tan?
sin
2
?cos
2
?sin
2??cos
2
?
???sin??cos?
解：
?原式?< br>sin??cos?cos??sin?sin??cos?
?由韦达定理知：原式?
3 ?1
（化弦法）
2
3、已知
asec??ctan??d ,bsec??dtan??c,求证：a
2
?b
2
?c
2
?d
2
证：由题设：
?
?
asec??ctan??d(1)

bsec???dtan??c(2)
?
2222222222

(1)?(2)：(a?b)sec??(c?d)tan??c?d

(a
2
?b
2
)sec
2
??(c
2
?d
2< br>)sec
2
?

?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
4、消去式子中的
?：
?

?
x?sin??cos?(1)

?
y?tan??cot?(2 )
x
2
?1
?sin?cos??(3)

2
解： 由
(1)：x?1?2sin?cos?
由
2
(2)：y?
sin? cos?1
??
cos?sin?sin?cos?
?sin?cos??
1
y
(4)

29

将(3)代入(4)：y?
2
（平方消去法）
2
x?1
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.3三角函数的诱导公式
一、教材分析
（一）教材的地位与作用：
1、本节课教学内容“诱导公式（二）、 （三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节
内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函 数基本关系式及诱导公式（一）等知识
的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要 作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值
问题。诱导公式的推导过程， 体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到
一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的 创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思
想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：
1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析
根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的
实际水平，本节 课的教学目标为：
1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结 构特征，会初步运用诱导公式求三角
函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能 力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数
学的归纳转化思想方法 。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解
从特殊到一般的数学 归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和

30

解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的 推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，
培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通 过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，
渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的 辨证唯物主义思想。
三、过程分析
（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题
I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义
2、提问：试写出诱导公式（一）
3、提问：试说出诱导公式的结构特征
4、板书诱导公式（一）及结构特征：
诱导公式（一）
sin(k·2π+
?
)=sin
?
cos(k·2π+
?
)=cos
?

tg(k·2π+
?
)=tg
?

（k∈Z）
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问
题。
5、问题：试求下列三角函数的值
（1）sin1110° （2）sin1290°
学生：（1）sin1110°=sin（3×2π°+30°）=sin3 0°=
（2）sin1290°=sin（3×π°+210°）=sin210°
（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）
6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：




演示（一）
（1）210°能否用（180°+
?
）的形式表达？
210
0

30
0

1

2
х

31

（0°＜
?
＜90°＝（210°=180°+30°）
（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（3 ）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？
（关于原点 对称）
（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？ [p＇（－x,－y）]
（5）sin210°与sin30°的值关系如何？
7、师生共同分析：
在求s in210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角
的终 边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的
三角函数值 转化为求0°～90°角的三角函数值。
8、导入课题：对于任意角
?
，sin?
与sin（180+
?
）的关系如何呢？试说出你的猜想。
（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式
（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：


180
0




设
?
为任意角 演示（二）
（1）角
?
与（180°+
?
）的终边关系如何？（互 为反向延长线或关于原点对称）
（2）设
?
与（180°+
?
）的 终边分别交单位圆于p，p′，则点p与
p′具有什么关系？ （关于原点对称）
（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？ [p′（－x,－y）]
（4）sin
?
与sin（180°+
?
）、cos
?与cos（180°+
?
）关系如何？
（5）tg
?
与tg（180°+
?
）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？
2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。
（1）板书诱导公式（二）
sin（180°+
?
）=－sin
?
cos（180°+
?
）=－cos
?

tg（180°+
?
）=tg
?

（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把
?
看作锐角时）
30
0

180
0

χ
χ
χ
180
0
180
0
χ

32

②把求（180°+
?
）的三角函数值转化为求
?
的三角函数值。
3、基础训练题组一：求下列各三角函数值（可查表）
①cos225° ②tg－π ③sin
4、用相同的方法归纳出公式：
sin（π－
?
）=sin
?

cos（π－
?
）=－cos
?

tg（π－
?
）=－tg
?

5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：



30
0

30
0

11
π
10
演示（三）
（1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与
p′的关系如何？
（3）设点p（x,y），则点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin（－30°）与sin30°的值关系如何？
6、师生 共同分析：在求sin（－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的
终边及其与单位圆 交点p与p′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）
的值。
（Ⅱ）导入新问题：对于任意角
?
sin
?
与sin（－
?
）的关系如何呢？试说出你的猜
想？
1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：


O
χ
χ
χ
χ



设
?
为任意角 演示（四）
（1）
?
与（－
?
）角的终边位置关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设
?
与（－
?
）角的终边分别交单位圆于 点p、p′，则点p与p′位置关系如何？

33

（关于x轴对称）
（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin
?
与sin（－
?
）、 cos
?
与cos（－
?
）关系如何？
（5）tg
?
与tg（－
?
）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？
2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评
3、板书诱导公式（三）
sin（－
?
）=－sin
?
cos（－
?
）=cos
?

tg（－
?
）=－tg
?

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把
?
看作锐角）
②把求（－
?
）的三角函数值转化为求
?
的三角函数值
4、基础训练题组二：求下列各三角函数值（可查表）
① sin（－
?
） ②tg（－210°） ③cos（－240°12′）
3
（三）构建知识系统、掌握方法、强化能力
I、课堂小结：（以填空形式让学生自己完成）
1、诱导公式（一）、（二）、（三）

sin（k·2π+
?
）=sin
?
cos（k·2π+
?
）=cos
?

tg（k·2π+
?
）=tg
?

(k∈Z)

sin（π+
?
）=－sin
?
cos（π+
?
）=－cos
?

tg（π+
?
）=tg
?

sin(－
?
)=－sin
?
cos(－
?
)=cos
?

tg(－
?
)=－tg
?


用相同的方法，归纳出公式
Sin(π－α)＝Sin
?

Cos(π－α)＝－cosα
Ten(π－α)＝－tanα
2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把
?
看作锐角时）
（Ⅱ）能力训练题组：（检测学生综合运用知识能力）

34

1、已知sin(π+
?
)=
4
（
?
为第四象限角）， 求cos(π+
?
)+tg(－
?
)的值。
5
2、求下列各三角函数值
5311
（1）tg(－ π) （2）sin(＝－ π)
63
17
（3）cos(－510
0
15
1
) （4）sin(－)
3

（III）方法及步骤：

任意负角的

三角函数

任意正角的
三角函数
0
0
~360
0
间角
的三角函数
0
0
~90
0
间角
的三角函数
查表
求值
（IV）作业与课外思考题
通过上述两题的探索，你能推导出新的公式吗？
四、教法分析
根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课彩了“问题、类比 、发现、归
纳”探究式思维训练教学方法。
（1）利用已有知识导出新的问题，创设问题情境 ，引起学生学习兴趣，激发学生的求
知欲，达到以旧拓新的目的。
ππ
（2）由（1 80
0
＋30
0
）与30
0
、（－30
0
）与30
0
终π－与）边对称关系的特殊例子，
66
利多媒体动态演示。学生 对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行导，
问题类比、方法迁移，发现任意角α 与（180
0
＋α）、－α终边的对称关系，进行寅，从特
殊到一般的归纳推理训练， 学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新
能力。
（3）采用问题设疑， 观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、
归纳的探究式思维训练教学方法。旨在让 学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。在教
师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极 主动地去探索、发现数学规律（公式），
培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。 （4）通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式（一）、（二）、（三）、四的应用进
一步拓广 ，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力。
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
教学目的：
知识目标：（1）利用单 位圆中的三角函数线作出
y?sinx,x?R
的图象，明确图象的
形状；

35

（2）根据关系
cosx?sin(x?
?
)
，作出
y?cosx,x?R
的图象；
2
（3）用“五点法”作出 正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些
有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工
作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象，周期性；
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原 点的）一点P
（x,y）
P与原点的距离
r
(
r?
则比值
x?y
22
?x
2
?y
2
?0
)
r
P
(x,
y)
?
y
y
叫做
?
的正弦 记作：
sin
?
?

r
r
x
x
比值叫做
?
的余弦 记作：
cos
?
?

r
r
3.正弦线、余弦线 ：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂
线，垂足为M，则有
s in
?
?
yx
?MP
，
cos
?
??OM

rr
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何 法）：
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与
函数值都为实 数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的
形状各不相同，从而影响初 学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴 上任取一点
O
1
，以
O
1
为圆心作单位圆，从这个圆与x轴
的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份 .
（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角< br>0,
?
6
，
??
，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列< br>32
表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正
弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x

36

∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角 函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移
动，每次移动的距离为2π，就得到y=si nx，x∈R的图象.
把角x
(x?R)
的正弦线平行移动，使得正弦线 的起点与x轴上相应的点x重合，则正
弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.

（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法 ”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向
下平移，过
O
1
作与x轴的正半轴成
?
角的直线，又过余弦线
O
1
A的终点A作x轴的垂线，
4
它与前面所作的直线交于A′，那么
O
1
A与AA′
长度相等且方向 同时为正，我们就把余弦线
O
1
A
“竖立”起来成为AA′，用同样的方法， 将其
它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，
使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就 是余
弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”
（把角x 的余弦线O
1
M按逆时针方向旋转
?
到
2
O
1M
1
位置，则O
1
M
1
与O
1
M长度 相等，方向相同.）根据诱导公式
cosx?sin(x?
正弦函数x=sinx的图象向左平 移
移曲线” ）
?
2
)
,还可以把
?
单位即得余 弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平
2

37

y
y=sinx

1
o
-4?
-3?
< br>?3?
-6?
-5?
-?
4?5?
-2?
2?
-1

y

y=cosx
1

?
-?< br>-5?-3?3?
4?5?
-4?2?
-6?
-2?
-1


正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (
?
3
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
2
2
?
3
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
2
2
6?
x
6?
x
余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
(0,1) (
只要这五个点描出后，图象的形状就基本 确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点
法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+
sinx
，x∈[0，2π]， (2) y=|
sinx
|， （3）y=
sin
|
x
|
例2 用五点法作函数
y?2cos(x?
?
3
),x?[0,2< br>?
]
的简图.
例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
115
?
(1)sinx?;(2)cosx?,(0?x?).

2

22

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4?,4?]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x?[0,2?]的图象

六、板书设计：
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
1、 教学目标：
2、 使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。

38

3、 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
4、 通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
5、 教学重点和难点：
6、 重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
7、 难点：确定五个关键点。
8、 教学过程：
9、 思考探究
10、 复习
（1） 关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
（2） 观察我们上一 节课用几何法作出的函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发
现有哪几个点在确定图象的形状 起着关键作用？为什么？
（用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ的五个关键点，再用 平滑的曲线将它们顺
次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。

（1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：

x 0
π
2

π
Sin
ｘ
0 １ 0
描点、连线，画出简图。
(用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)

（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cosｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：

x 0
π
π

2



Cos

ｘ
1 0 -1

描点、连线，画出简图。

1.5
f?x? = cos?x?
1
0.5
O
123456
-0.5
?
π
3
2 π
2
2
π
-1

一、 自主学习

39
3π
2
－1
3π
2
0

例1． 画出下列函数的简图：
（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表：


x 0
π

2

π

Sin

ｘ
0 １ 0

1+
描
S
点、
i1 2 1
连
n
线，
ｘ
画出
简图。
f?x? = 1+sin?x?
2
g?x? = sin?x?
O
?
3
5

-2
2
π
2
π
2π

(2)按五个关键点列表：


x 0
π

2

π


Cosx 1 0 -1

-
描
C
点、
o-1 0 1
连
s
线，
x
画出
简图。

3π
2

－1
0
3π
2
0
0
40

2
f?x? = -cos?x?
g?x? = cos?x?
O
-2
?
2
π
3
2
5
π
2π
10


二、 合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（ 平移、翻转等）来得到（1）y
＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标
系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π2 )= sin[( x - 3π2 ) +2 π] =sin(x+π2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
三、 归纳小结
1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
（2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。
（3）关键点
横坐标：0 π2 π 3π2 2π
2、图形变换
平移、翻转等
四、 布置作业
P53：A组1 P54：B组1
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周

41

期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性， 领会从特殊推广到一般的数学思想，
体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
x

函数值
sinx

?2
?

?
0

3
?
?

?
?

?

2
2
0

0

?

2
1

?

0

3
?

2
2
?

0

1

0

?1

?1

y


–


1



?
?
?

?
?


?5
?

?2
?

?

O



2
2



?
1
–


正弦函数
f(x)?sinx
性质如下：
2
?

x

5
?


（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）
3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当
x
增 加
2k
?
（
k?Z
）时，总有
f(x?2k
?)?sin(x?2k
?
)?sinx?f(x)
．
也即：（1）当自 变量
x
增加
2k
?
时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意
x
，
sin(x?2k
?
)?sinx< br>恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数
f
(
x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一
个值时，都有：
f
(
x
+T)=
f
(
x
)那么函数
f
(
x
)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函
数的周期。
问题： （1）对于函数
y?sinx
，
x?R
有
sin(
2
??
2
?
)?sin
，能否说是它的周期？
6363
（ 2）正弦函数
y?sinx
，如果是，周期是多少？（
2k
?
，x?R
是不是周期函数，
k?Z
且
k?0
）
*
（3）若函数
f(x)
的周期为
T
，则
kT
，
k ?Z
也是
f(x)
的周期吗？为什么？
（是，其原因为：
f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?L?f(x?kT)
）
?
?
2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义

42

域无下界；
2?“每一个值”只要有一个反例，则
f
(
x
)就不为周期函数（如
f
(
x
0
+t)?
f
(
x
0
)）
3?T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小
的正数叫做
f
(
x
)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期）
从图象上可以看出
y?sinx< br>，
x?R
；
y?cosx
，
x?R
的最小正周期为< br>2
?
；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （
f(x)?c
没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①
y?3cosx
②
y?sin2x
（3）
y?2sin(x?
1
2
?
6
)
，
x?R
．
解：（1）∵
3cos(x?2
?
)?3cosx
，
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?2
?
，函数
y?3cosx
，
x?R
的值才能重复出现，
所以，函数
y?3 cosx
，
x?R
的周期是
2
?
．
（2）∵sin(2x?2
?
)?sin2(x?
?
)?sin2x
，
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?
?
，函数
y ?sin2x
，
x?R
的值才能重复出现，
所以，函数
y?sin2x
，
x?R
的周期是
?
．
1
?
1
?
?2
?
)?2sin[(x?
?
)?]?2sin(x?)
，
62626
∴自变量
x
只要 并且至少要增加到
x?
?
，函数
y?sin2x
，
x?R< br>的值才能重复出现，
所以，函数
y?sin2x
，
x?R
的周期是
?
．
说明：（1）一般结论：函数
y?Asin(
?
x?
?
)< br>及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
，（其中
A,
?
,
?

x?R
2
?
为常数，且A?0
，
?
?0
）的周期
T?
；
（3）∵< br>2sin(x?
1
2
?
?
（2）若
?
?0< br>，例如：①
y?3cos(?x)
，
x?R
；②
y?sin( ?2x)
，
x?R
；
③
y?2sin(?
1
?< br>x?)
，
x?R
．
26
2
?

|
?
|
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数
y ?Asin(
?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
，
x?R
的周期
T?
例2先化简 ，再求函数的周期
①
y?sinx?cosx

22
②
y?cosx?23cosxsinx?sinx

③证明函数
f(x)?|sinx|?|cosx|
的一个周期为
例3 求下列三角函数的周期：
1? y=sin(x+
?
，并求函数的值域；
2
x
??
) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+)
2
53
解：1? 令z= x+
?
而 sin(2?+z)=sinz 即：f

(
2
?+z)=f

(z)
3
??
]=f

(x+) ∴周期T=2?
33
f

[(x+
2
)?+
2?令z=2x ∴
f
(
x
)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x +2?)=cos[2(x+?)]

43

即：
f
(
x
+?)=
f
(
x
) ∴T=?
3?令z=
x
?
x
?
+ 则：f

(
x
)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(++2?)
2< br>5
2
5
=3sin(
x?4
??
?
)=f
(
x
+4?) ∴T=4?
25
2
?
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+
?
?
)+2cos(3x-)
4
6
2
?

2? y=|sinx| 3? y=2
3
sinxcosx+2cosx-1
解：1? y
1
=sin(2x+
y
2
=2cos(3x-
?
) 最小正周期T
1
=?
4
?
2
?
) 最小正周期 T
2
=
63
∴T为T
1
,T
2
的最小公倍数2? ∴T=2?
2? T=? 作图


? 2?
3? -?


注意小结这两种类型的解题规律
?
?
3? y=
3
sin2x+cos2x ∴T=?
三、巩固与练习
1． y=2cos(
?
x
?
?
)-3sin(
x?
)
4
43
?
?
)+sin(4x-)
2
3
2． y=-cos(3x+
3． y=|sin(2x+
4． y=cos
?
)|
6
?
?
2
?
sin+1-2sin
222
四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
补充：
1．求下列函数的周期：
1?y=sin(2x+
?
?
)+2cos(3x-) 2? y=|sinx| 3? y=2
3
sinxcosx+2cos
2
x-1
4
6
?
3?cosx
)-1 2? y=sin
2
x-4sinx+5 3? y=
4
3?cosx
2． 求下列函数的最值： 1? y=sin(3x+
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。

44

六、板书设计：
课题
一、知识点
（一）





七、课后反思：
题选
求下列函数的周期：
（二） 例题：
1．


2．
3xx3xx
cos?sinsin
；
322222x
2
x
（3）
y?sinx?cosx
； （4）
y?cos?sin
2
； （5）
y?cos
2
x
．
22
2
?
解： （1）
T??4
，∴周期为
4
；
?
|?|
23xx3xx3xx
（2）
y?coscos?sinsin?cos(?)?cosx< br>，∴周期为
2
?
；
222222
（1）
y?sin (
?
?
?
x)
； （2）
y?cos
（ 3）
y?cosx?sinx?
（4）
y?sin
2
2sin(?x )
∴周期为
2
?
；
4
?
xx
?co s
2
??cosx
，∴周期为
2
?
；
22
111
2
（5）
y?cosx?(1?cos2x)??cos2x?
，∴ 周期为
?
．
222
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为
y?Asin(
?
x?
?
)
的形式，再利用公式
2
?
进行求解。
T?
?
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的
意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：


45

二、讲解新课：
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(-
?
1
?
1
??
)=,f()= ,即f(-)=f()；……
3
2
3
2
33
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的 图象上的任一点,那么,
与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我 们说函数y=cosx是偶函
数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函
数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x+1, f(x)=x-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对
称。 也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点
（- x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(
－
x)=
－
f(x) ，那么
函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=
24
1
都是奇函数。
x
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，
然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2.单调性
从
y
＝sin
x
，
x
∈［－
?
3
?
,
］的图象上可看出：
22

46

??
，］时，曲线逐渐上升，sin
x
的值由－1增大到1.
22
?
3
?
当
x
∈［，］时，曲线逐渐下降，si n
x
的值由1减小到－1.
2
2
当
x
∈［－
结合上述周期性可知：
??＋2
kπ
，＋2
kπ
］(
k
∈Z)上都是增函数，其值 从－1
22
3
?
?
增大到1；在每一个闭区间［＋2
kπ< br>，＋2
kπ
］(
k
∈Z)上都是减函数，其值从1减小
22
正弦函数在每一个闭区间［－
到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2
k
－1)
π
，2
kπ
］(
k
∈Z)上都是增函数 ，其值从－1增
加到1；在每一个闭区间［2
kπ
，(2
k
＋1)< br>π
］(
k
∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=
k
?
?
?
2
k∈Z
y=cosx的对称轴为x=
k
?
k∈Z
（1）写出函数
y?3sin2x
的对称轴；
（2）
y?sin(x?
?
4
)
的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线
x?
4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?
?
4
， (D) 直线
x??
?
4

1?sinx?cosx
;

1?sinx?cosx
44
(2)f(x)=sinx-cosx+cos2x;
(3)
f(x)?lg(sinx?1?sin
2
x);

lg(1?x
2
)
（4）
f(x)?

|x?2|?2
2
?
(x?0)
?
x?x
（5）
f(x)?
?
；
2
?
(x?0)
?
?x?x
例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)函数
f(x)?3sinx?cosx
图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3 已知
f(x)=ax+bsin
3
x+1
(
a 、b
为常数)，且
f(5)=7
,求
f(-5)
.
例4 已知
已知f(x)?log
1
1?sinx
.

1?sinx
2
(1) 求f(x)的定义域和值域；
(2) 判断它的奇偶性、周期性；
(3) 判断f(x)的单调性.

47

例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求
θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线
x??
例6 已知
f(x)?log
a
(sin
4. 有关奇偶性
（1）
f(x)?sin|x|?|sinx|

（2）
(x)?
2
?
8
对称，求b的值.
xx< br>?sin
4
)(a?0,a?1)
，试确定函数的奇偶性、单调性.
22
1?sinx?cosx

1?sinx?cosx
有关单调性
（1）利用公式
sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
sin
?
?
?
2
，求证< br>f(x)?sinx
在
[?
??
,]
上是
22
增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①
sin(?< br>?
1810
2317
②
cos(?
?
)?cos(?
?
)

54
（3）比较
sin1,sin2,sin3大小；
sin(
?
?3)?sin1?sin(
?
?2)

（4）求函数
y?2sin(3x?
二、巩固与练习
练习讲评
（1）化简：
2?sin
2
2?cos4

)?sin(?
?
)
；
?
4
)
的单调递增区间；
asin
（2）已知非零常数< br>a,b
满足
?
55
?tan
8
?
，求
b
的值；
??
15
a
acos?bsin
55
?bcos
?
（3）已知
8sin
?
?10cos
?
?5,8cos
?
?10sin
?
?53

求值：（1）
sin(
?
?
?
)
；（2）
sin(
解：
（1）
2?sin
2
2?cos4

?
3
?
?
)

?2?sin
2
2 ?1?2sin
2
2?3(1?sin
2
2)?3cos
2
2?3|cos2|??3cos2

（2）

48

a
b
sin
?
5
?cos
?
8
?5
sin
?
15
a
b
cos
?
5?sin
?
8
?
5
cos
15
sin
8
?

cos
?
?cos
8
?
sin?
sin(
8
?
?
?
)
?
a
b
?
155155
?
155
?tan
?
?3
cos
8
?
15
cos
?
5
?sin
8
??
8
??
3
15
sin
5
cos(15
?
5
)
（3）两式平方相加得
164?160sin(?
?
?
)?100?
sin(
?
?
?
)?
2
5
；
10cos
?
?5?8sin
?10sin
?
?53?8cos
?

两式平方相加得
1 00?164?80sin
?
?803cos
?

即
12
sin
?
?
32
?
2
2
cos?
?
5
,?sin(
3
?
?
)?
5< br>
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：见教材
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：

49

．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数
y?tanx
的定义域是什么？
?
?
x|x?
?
?
2
?k
?
,k?z
?< br>?
?

2．正切函数是不是周期函数？

Qtan?
x?
?
?
?tanx
?
?
x?R,且x?k
?
?
?
?
2
,k?z
?
?
?，
∴
?
是
y?tanx
?
?
?
?
x?R,且x?k
?
?
2
,k?z
?
?
?
的一个周期。

?
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作
y ?tanx
，
x?
?
?
?
?
?
2
,
?
?
2
?
?
的图象


说 明：（1）正切函数的最小正周期不能比
?
小，正切函数的最小正周期是
?
；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y?tanxx?R
，且
x?
?
2
?k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲线”。

y

y



50

3
?
?
2
?
?
?
?
2
O
0
?
2
?
x
3
?
x
2
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线
x?k
?
?无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
?
x|x?
（2）值域：R
观察：当
x
从小于
k
?
?
当< br>x
从大于
?
2
?
k?Z
?
所隔开的
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
；
2
?
?
2
?
???

?
k?z< br>?
，
x???k??
时，
tanx??
2
?
2
（3）周期性：
T?
?
；
??
?k
?
?
k?z
?
，
x?
?
2
????
。 ?k
?
时，
tanx?
（4）奇偶性：由
tan
??x
?
??tanx
知，正切函数是奇函数；
??
?
（5）单调性：在开区间
?
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增。
2
?
2
?
5.余切函 数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
?
?
?
?
?< br>??
y?cotx?tan
?
?x
?
??tan
?< br>x?
?
——即将
y?tanx
的图象，向左平移个
2
?
2
?
2
??
单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得
y? cotx
的图象

定义域：
x?R且x?k
?
,k?z

值域：R，

51

当
x?
?
k
?
, k
?
?
?
?
?
?
?
??
?
k?z
时
y?0
，当
x?
?
k
?
?,k
?
?
k?z
时
y?0

2
2
?
??
周期：
T?
?

奇偶性：奇函数
单调性：在区间
?
k
?
,
?k?1
?
?
?
上函数单调递减
6.讲解范例：
例1 比较
tan
?
?
?
13
?
??
17
?
tan
与
??
?
?
4
??
5
?
?
的大小
?
解：
?tan
?
?
2?
?
?
13
?
??
17
?
?
，
?
??tan
，
tan
?
?
?
??t an
455
4
????
?
2
?
?
?
?
,y?tanx在
?
0,
?
内单调递增，
5
?
2
?
2
??
2
?
?
13
??< br>17
?
,??tan??tan,即tan
?
?
?
?
?tan
?
?
?
?

545
?
4
??
5
?
又：
0?
?
4
?tan
?
4
?tan
例2讨论函数
y?tan
?
x?
?< br>?
?
?
?
的性质
4
?
略解：定义域：?
x|x?R且x?k
?
?
?
?
?
?
,k?z
?

4
?
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在
?
k
?
?
?
?
3
??
?
,k
?
?
?
上是增函数
44
?
图象：可看作是
y?tanx
的图象向左平移
例3求函数< br>y
＝tan2
x
的定义域
?
单位
4
解： 由2
x
≠
k
π＋
?
，(
k
∈Z)
2
k
?
?
得
x
≠＋，(
k
∈Z)
2
4
∴
y
＝tan2
x
的定义域为：｛
x
｜
x
∈R且
x
≠
k
?
?
＋，k
∈Z｝
2
4
例4观察正切曲线写出满足下列条件的
x
的值的范围：tan
x
＞0
解：画出
y
＝tan
x在(－
为：0＜
x
＜
?
?
，)上的图象，不难看出在此 区间上满足tan
x
＞0的
x
的范围
22
?

2
52

结合周期性，可知在
x
∈R，且
x
≠
k
π＋
?
?
上满足的
x
的取 值范围为(
k
π，
k
π＋)(
k
∈Z)
22
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵
y
＝tan
x
在
x
∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P．71．练习2，3，6
求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（ 1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠
即x≠
?
＋
ｋ
π，
ｋ
∈Z
2
k
?
?
＋，
ｋ
∈Z
2
4
k
?
，
ｋ
∈Z｝
42
?< br>k
?
?
（2）设
ｔ
＝2x，由x≠
?
，ｋ
∈Z｝知
ｔ
≠＋
422
ｋ
π，
ｋ
∈ Z
∴y＝tan
ｔ
的值域为（－∞，＋∞）
即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）
?
（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x
2
?
∴y＝tan2x的周期为．
2
（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图


四、小 结：本节课学习了以下内容：
∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜， x≠
?
?
1.因为正切函数
y?tanx
的定义域是
{x| x?R,x?k
?
?
?
2
,k?Z}
，所以它的图象被x??
?
3
,?
?
,......
等相互平行的直线所 隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
22
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为 一个周期（-π2，π2）的区间内的函数的图
象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离 是π个单位，就可以得到整个正切
函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的 单调性；形如
y
＝tan(ω
x
)，
x
≠
k
?
?
?
?
?
(
k
∈Z)的周期
T
＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
2
?
?
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；

53

能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
（1）
y?3tan
?
x?
（ 2）
y?tan
?
3x?
?
?
?
?
? 答：
T?
?
。
5
?
?
?
?
?
?
答：
T?
。
6
?
3
?
说明：函数
y?A tan
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0< br>?
的周期
T?
例2：求函数
y?tan
?
3x??
．
?
?
?
?
?
?
的定义域、值域 ，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说
3
?
得
x?
明它的图象可 以由正切曲线如何变换得到。
k
?
5
?
，
?
3 2318
?
k
?
5
?
??
?,k?z
?< br>，值域为R，周期
T?
，是非奇非偶∴所求定义域为
?
x|x?R,且 x?
318
3
??
?
k
??
k
?
5
?
?
?,?
函数，在区间
??
?
k?z
?
上是增函数。
?
318318
?
?
?
?
?
将
y?tanx
图象向右平移个单位，得到
y?tan
?
x?
?
的图象；再将
3
?
3
?
?
?< br>1
?
y?tan
?
x?
?
的图象上所有点的横坐标变 为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数
3
3
??
?
??
y ?tan
?
3x?
?
的图象。
3
??
解：由3x?
?
?k
?
?
?
例3：用图象求函数
y? tanx?3
的定义域。
3
， 解：由
tanx?3?0
得 < br>tanx?
利用图象知，所求定义域为
?
k
?
?
亦可 利用单位圆求解。


?
?
?
3
,k
?
?
?
?
?
?
k?Z
?
，
2
?
y

T
3

0
y

3

0
?

?

54
A
x

x

三、巩固与练习
1．“
tanx?0
”是“
x?0
”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数
y?tan
?
2x?

?
A< br>?
x?
?
?
?
?
?
的图象不相交的一条直线 是（ D ）
4
?
?
2

?
B
?
x??
?
2

?
C
?
x?
?
4

?
D
?
x?
?
8

3．函数
y?1?tanx
的定义域是
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?4
?
?
?
k?Z
?
．
?
3
?
,??
?
．
?
?
4?
4．函数
y?tanx?tanx?1
?
x?k
?
?
2
?
?
?
?
,k?Z
?
的值域是
2
?
5．函数
y?tanx?cotx
的奇偶性是 奇函数 ，周期是
四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。
五、课后作业：
以下函数中，不是奇函数的是( )
．．
A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝
?
．
2
sinx?tanx
?tanx
Ｄ．y＝lg
1?cosx
1?tanx
3.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋
六、板书设计：
?
3
）｜的周期是
?
Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2
π
的偶函数
2
4-1.5函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0的图象
教学目标：
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数
图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图

55

像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点：
函数y = Asin (wx+?)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变
换内在联系的揭示。
教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程：
一、 复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
2. 函数y = sin(x?k)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x ?k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向 左(或右)平移k个
单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点 坐标的
变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k个单位，这种变换称为平移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x轴伸长(w<1)或缩
短(w>1)到原来的
1
倍而得到，称 为周期变换。
?
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标 的变化，然后进一
步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到 原来的
4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx的图像可由函数y = sinx的图像沿y轴伸长(A>1)或缩短(x<1)
到原来的A倍而得到的，称为振幅变换。
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观
察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )
或缩小(0 二、创设情境
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x ?k)，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数

56
1
倍。
?

y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+?)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图
像有何关系呢？三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+?)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+?)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”
作函数y = Asin(wx+?)的图像。
?
)的简图。
3
z?
z?
?
?
??
3
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin?，x==
?
，分别取z = 0，，
2
33
2
26
例：作函数y = 3sin(2x+?，
???7?5?
3??
，2?，则得x为
?
，，，，，所对 应的五点为函数y=3sin(x
?
)
2
3
6123126
?5?
，]图象上起关键作用的点。
66
在一个周期[
?
⑵列表
x
?
?

6
?

12
?

2
1
3
?

3
?
0
0
7?

12
3?

2
?1
?3
5?

6
2?
0
0
?

3
?
sin(2x+)
3
?
3 sin(2x+)
3
2x+
0
0
0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利 用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过
平移变化→周期 变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+?)图像的。
归纳1：先把函数y = sinx的图像上的所有点向左平行移动
?
3
?
个单位，得到y = sin(x+)
33
1
?
的图像，再把y = sin(x +)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
3
2
得到y = sin(2x +
??
)的图像，再把y = sin(2x +)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原
33
?
)图像。
3
来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +
归纳2：函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图 像上
所有的点向左(?>0)或向右(?>1)平移|?|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1 )或伸长

57