高中数学学完离高等数学还有多远-高中数学知识与能力真题
专题一:三 角 函 数
【知识脉络】:
第一块:函数性质与图像
形
状
定义 函数性质 图像 平 移
伸 缩
定
义
域
值
域
奇
偶
性
单
调
性
周
期
对
称
性
教学目标:
1、正
弦、余弦、正切函数的性质,重点掌握
[0,2
?
]
上的函数的性质;
2、定义域、值域,重点能求正切函数的定义域;
3、能从图象上认识函数的各类性质,能用自己的语言把函数性质描述清楚,能
写出来。
4、理解平移与伸缩
第二块:同角基本关系和诱导公式
同角基本关系就掌握好三个公式:
sin
2
?
?cos
2
?
?1,tan
?
?
sin
?
1
,cos
2
?
?
2
cos
?
1?tan
?
特别需要说明的是:平方关系中的开方运算,易错!
诱导公式的记忆方法很简单,联系两角和与差来记就行!如:
cos(
3
?
3
?
3
?
?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?sin
?
222
诱导公式的理解上,需从两角终边的位置关系来认识,如:
tan(
?
?
?
)?tan
?
中涉及两个角是
?
和
?
?
?
,它们的位置是关于原点对称,象限对应关
系是一、三或二、四,所以
正切符号相同,直接取等号。其它类似。
第三块:三角变换
和差公式:
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
?
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
tan
?
?tan
?
?
ta
n(
?
?
?
)?
?
1?tan
?
tan<
br>?
?
?
?
tan(
?
?
?
)?tan
?
?tan
?
?
1?tan
?
tan<
br>?
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
??
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
sin2
?
?2sin<
br>?
cos
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
2222
tan2
?
?
注意:
2tan
?
1?tan
2
?
(1)、倍半关系是相对的,如:
sin
?
?2sin
?
2
cos
?
2
,
sin4<
br>?
?2sin2
?
cos2
?
,
cos
?
?2cos
2
?
2
?1?1?2sin
2
?
2
?cos
2
?
2
?sin
2
?
2等,根据题目的需要来确定倍角还是半
角;
(2)几个常用的变式:
1?si
n2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
,1
?cos2
?
?2cos
2
?
,1?cos2
?
?
2sin
2
?
tan
?
2
?
sin?
1?cos
?
?
1?cos
?
sin?
a
,
?
的范围根据需要来确定
b
b
或acosx?bsinx?a
2
?b
2
cos(x?
?
)
,其中
tan
?
?
,
?
的范围根据需要来确定
a
acosx?bsinx?a
2
?b
2
sin(x??
)
,其中
tan
?
?
cos(x?
?
4
)?
2
?
2
(cosx?sinx),sin(x?)?(si
nx?cosx)
242
【题型示例】:第一部份“三角函数的图象与性质”
? 熟记定义、定义域、三角值的符号
1、若角
?
的终边过点
P(
2a,3a)(a?0)
,则下列不等式正确的是( )
A、
sin
?
?tan
?
?0
B、
sin
?
?cos
?
?0
C、
cos
?
?tan
?
?0
D、
sin
?
?cos
?
?0
2、若角
?
终边上有一点
P(sin30,cos30)
,则
?
为(其中k?Z
)
A、
oo
?
6
?2k
?
B、
?
3
?2k
?
C、
?
6
?k
?
D、
?
3
?k
?
3、若
sin
?
?cos
?
?0,cos
?
?tan
?
?0
,则
?
位于
2
2
x
,则
x
=
4
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限
D、三、四象限
4、已知角
?
终边上一点
P(x,2)
,且
cos
?
?
5、函数
y?tan(2x?
?
4
)
的定义域为
?
单调性:求单调区间是重点,三角的单调区间的求法是比较特殊的,掌握好例题所示的
方法;另一类题型
为比较大小,但都比较简单。
【例题1】(1)求函数
y?sin(2x?
?
6
)
的单调增区间
解:由
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k<
br>?
,k?Z
得,
?
?
3
?k
?
?x
?
?
6
?k
?
,k?Z
。
所以,函数的单调增区
间为:
[?
(2)求函数
y?cos(x?
(3)求函数
y?tan
(2x?
7、函数
y?sin(x?
A、
[?
?
3
?k
?
,
?
6
?k
?
],k?Z
1
2
?
4
)
的单调减区间
。
?
4
)
的单调区间
。
?
6
)
的一个减区间是
。
?
?
3
?
3
?
7
?
,0]<
br> B、
[,]
C、
[,
?
]
D、
[,
?
]
24422
3
6
2sinx?1
有意义的范围是 8、在
[
0,2
?
)
内,使函数
y?
A、
[
?
57
11
,
?
]
B、
[0,]?[
?
,
?
]
C、
[
?
,
?
]
D、
6666667
?
11
[
?
,]?[
?
,2
?]
66
172431
9、
a?cos
?
,b
?cos
?
,c?cos
?
,则
555
A、
a?b?c
B、
a?b?c
C、
c?a?b
D、
c?b?a
?
5
10、若直线的斜率满足:
k?3
,则直线的倾斜角的范围为
? 奇偶性:联系函数图像来理解奇偶性,即图像的对称性。
?
奇函数:
y?sinx,y?tanx
,偶函数:
y?cosx
?
注意变化:如,
y?
sin(
x?
?
6
)
。图像平
移,可能会改变函数的奇偶性,也有可能不发
生改变,如函数
y?sin(x?
?)
。观察图象,很容易得到正确的结论。
11、若函数
y?sin(x?
?
)
为奇函数,则
?
的值为(
k?Z
)
A、
k
?
B、
k
?
?
?
2
C、
k
?
?
?
6
D、
k
?
?
?
3
12、若函数
y?co
s(x?
?
)
为奇函数,则
?
的值为(
k?Z
)
A、
k
?
B、
k
?
?
?
2
C、
k
?
?
?
6
D、
k
?
?
?
3
?
图像的对称性:注意观察图象,从图象上找出对称轴和对称中心的位置。
y?sinx
y
o
x
对称轴方程:
x
?k
?
?
?
2
(k?Z)
对称中心:
(k
?
,0),k?Z
y?cosx
y
o
对称轴方程:
x?k
?
,k?Z
·
对称中心:
(k
?
?
?
2
x
,0),k?Z
理解:语义上,过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴
,而正、余弦曲线与
X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。
函数性质上看,若对称
轴为
x?x
o
,则
f(x
o
)
必为函数的最大或最
小值;若对称点为
(x
o
,0)
,则
f(x
o
)?
0
。注意,平移产生的变化。
13、函数
y?sin(2x?
A、
x?
?
4
)
的一条对称轴方程是
?
8
B、
x??
?
8
C、
x?
?
4
D、
x??
?
4
14、函数
y?cos(x?
A
、
(
?
5
)
的一个对称中心是
334
?
?
?
,0)
B、
(?
?
,0)
C、
(,0)
D、
(?,0)
101055
1
?
15、函数
y
?2sin(x?)?1
的对称轴方程为 ,
23
对称中心为
?
值域和最值:
1、 掌握好基本函数的值域和最值情况
(1)
y?sinx(x?
R)
值域为
[?1,1]
,当
x?2k
?
?
当x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
时,
(sinx
)
max
?1
;
?
2
(k?Z)
时,
(
sinx)
min
??1
。
注解:联系图象或在象限内认识和记忆值域,效果会更好。
(2)
y?cosx(x
?R)
的值域为
[?1,1]
,当
x?2k
?
(k?Z)<
br>时,
(cosx)
max
?1
;
当
x?(2k?1
)
?
(k?Z)
时,
(cosx)
min
??1
。
注解:联系图象或在象限内认识和记忆值域,效果会更好。
(3)
y?tanx(x
?k
?
?
?
2
)
的值域为
R
,不存在最大
值和最小值。
2、理解:函数值域会因定义域的改变而改变,掌握好下面例题所示的方法。
【例题2】若
?
?
4
?x?
?
4
,求下列函数的值
域:
(1)
y?2sinx?1
(2)
y?1?2sinx
(3)
y?2sin(2x?
?
6
)
16、若
?
?
4
?x?
3
?
?
,求函数
y?1?2sin(2x?)
的值域,并求出函数取最
大值时的
x
的
46
取值集合。
【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”
?
诱导公式:主要功能是用于化“大角”(超出
[0,2
?
]
)为“小角”
? 公式:略
3、掌握两类基本型:
(1)关于
sinx
或
cosx
的二次函数型
【例题3】
(1)求函数
y?cosx?sinx(x?R)
的最大值和最小值,并求出对应的
x
的取
值。
22
解:
y?cosx?sinx?cosx?cosx
?1
,若令
t?cosx
,则
y?t?t?1?(t?)?
222
1
2
5
4
y
max
?y(1)?
1,即t?cosx?1,得x?2k
?
,k?Z
由
t?cosx?[?1,
1]
得:
151
?
y
min
?y(?)??,即t?co
sx??得x?2k
?
?,k?Z
2423
17、求函数
y?sinx?2cosx(x?R)
的最大值和最小值,并求出对应的
x
的取值。
(2)可转化为
y?Asin(
?
x?
?
)?B
或
y?Acos(
?
x?
?
)?B
【例题4】、形如
acosx?bsinx
的函数可转化为上面的型
求下列函数的最值:
(1)
y?sinx?cosx
,
x?R
2
(2)
y?cosx?sinx
,
x?R
(3)
y?cosx?3sinx
,
x?R
(4)
y?3cosx?sinx
,
x?R
(5)
y?3sinx?4cosx
,
x?R
(6)
y?
(7)
y?sinx?cosx
,
x?[0,
(8)
y?3sinx?cosx
,
x?[?
5cosx?15sinx,
x?R
?
2
]
??
,]
22
【例题5】借助三角变换转化成上面的型
求下列函数的最值:
?
??
(1) 已知函数
f(x)?2sin
?
x?
?
?2cosx,
6
??
2
(2) 已知<
br>f(x)?2cosx?
?
?
?
x?
?
,
?
?
?
2
?
3sin2x?a,(a?R)
(3) 已知函数f(x)=sin
2
x+
3
sinxcosx+2cos
2
x,x
?
R.
r
r
1
(4)已知向量
a?(sinx,1)
,
b?(cosx,?)
,
f(x)?a?(a?b)
2
2
18、已知
f(x)?sinx?3sinxcosx?a,(a?R)
,(1)设
x?[0,
?
2
]
,则
a
为何
值时,
f(x)的最大值为4?(2)若
?
周期性:
13
?f(x)?
,求
a
的取值范围。
22<
br>(1)周期的符号形式:
f(x?T)?f(x),
T
为非零常数。如,
sin(x?2k
?
)?sinx
,所以
2k
?
(k?Z
)
为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的:
(2)最小正周期:若
T
为函数
f(x)
的周期,则
n?T(n?Z)
也必为函数
f(x)
的周期,因
此,函数的周期是有无数个的,其中正的最小的一个周期,称为函数的最小正周期,
比如,
正弦、余弦函数的最小正周期为
2
?
,正切函数的最小正周期为
?
(3)最小正周期的计算公式:对于
y?Asin(
?
x?<
br>?
)?B
或
y?Acos(
?
x?
?
)?B
,则
T?
2
?
?
;对于
y?Atan(
?
x?
?
)?B
,则
T?
?
。特别注意:也只有上面
三种形式下的
?
三角函数才能使用最小正周期的计算公式!
19、求下列函数的最小正周期:
(1)
y?sin(2
?
x?
22
(4)
y?cosx?sinx
(5)
y?cosx?3sinx
(6)
y?sinxcosx
?
3
)
(2)
y?3cos(
5
?
1<
br>?
?
?
)?2
(3)
y?1?2tan(3
?
x?)
623
1
(x?R)
,则
f(x)
是( )
2
A、最小正周期为
?
的偶函数
B、最小正周期为
?
的奇函数
?
C、最小正周期为
2
?
的偶函数
D、最小正周期为的奇函数
2
(7)(2007年广东高考)若函数,
f(x)?s
inx?
2
(8)
y?tanx?cotx
(9)
y?1?sinx
(10)
y?sinx
? 图像:
(1)关于“五点作图法”,以正弦函数为例进行说明。
第一、
y?sinx
,
x?[0,2
?
]
表一
x
0
0
?
2
1
?
0
y?sinx
3
?
2
?1
2
?
0
此表是基础,请注意总结“五点”的规律或特征:
第二、请画出函数
y?sin(2
x?
处理思想,令
t?2x?
?
4
)
在一个周期上的草图。
?
4
,则
y?sint
,类比表一即可。
表二
x
?
8
t?2x?
?
4
0
3
?
8
?
2
1
5
?
8
?
0
?
y?sint?sin(2x?)
0
4
得到“五点”分别为:
(
7
?
8
3
?
2
?1
9
?
8
2
?
0
3579
,0),(
?,1),(
?
,0),(
?
,?1),(
?
,0)
88888
1
?
2
?
10
第三、画出函数<
br>y?1?2sin(x?)
在区间
[?,
?
]
上的草图。 <
br>2633
注意:与“第二”的区别,“第二”没有限定
x
的取值范围,题中要求
的“一个周期”可以
自己设定,但“第三”中
x
的范围是固定的.注意到这个给定的范
围也正好是函数的一个周
期。
问题:怎么求出“五点”呢?
分析:首先注意到,<
br>x??
?
,y?2;
?
2
3
x?
10
?
,y?2
,这是函数的起点和终点,联系
3
正弦曲线的变化规律,第二个
点应该回到“平衡点”(类比
y?sinx
与X轴的交点),第
三个点应该是最低点,
第四个点应该是“平衡点”,第五个点应该是最高点,第六个点就是
终点。于是得到下表:
表三
x
2
?
?
3
?
?
3
2
?
3
5
?
3
7
?
3
10
?
3
t?
1
?
x?
26
?
?
6
2
0
1
?
2
?
1
3
?
2
2
11
?
6
3
y?1?2sint
1
?
?1?2sin
(x?)
26
?1
(2)三类图象变换
第一、对称:知道几种常见的对称变换,不做深要求。
①
y?f(x)
与
y?f(?x)
关于
y
轴对称
②
y?f(x)
与
y??f(x)
关于
x
轴对称
③
y?f(x)
与
y??f(?x)
关于原点对称
④y?f(x)
即为
y?f(x)
图象在
x
轴下方的部分沿
x
轴翻折,
x
轴上方的图象不变化。
⑤
y?f(x)
即
为
y?f(x)
图象
y
轴右侧部分不变,左侧部分沿
y
轴翻
折形成。
第二、平移:只是位置变化,函数性质中除奇偶性外,其它性质不变。
横向平移:即
f(x)?f(x?
?
)
。
?
为正则向左平移,
?
为负则向右平移。
纵向平移:即
f(x)?f(x)?h
h
为正则向上平移,
h
为负则向下平移。
第三、伸缩:有横向和纵向的伸缩,只要求掌握三角函数的伸缩变化。
横向伸缩:
f(x)?f(
?
x)
若
?
?1
,则横向被压缩,导致周期变小;
若
?
?1
,则横向伸长,导致周期变大。
纵向伸缩:
f(x)?
?
f(x)
若
?
?1
,则振幅变大;
若
?
?1
,则振幅变小。
【例题6】认识
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
(1)几个名称:
符号
名称
A
振幅
T?
周期
2
?
?
f?
1
T
?
x?
?
?
频率 相位 初相
(2)平移伸缩的认识:举例
y?sinx?y?2sin(x?
1
2
?
3
)
变换过程:有两种,“先平移,再伸缩”和“先伸缩,再平移”
①先平移,再伸缩:
?
1
?
将横坐标伸长为原来的两倍
y?sinx?????
?y?sin(x?)?????????y?sin(x?)
323
向右平移单位
3
?
1
?
将纵坐标伸长为原来的两倍
?????????y?2sin
(x?)
23
②先伸缩,再平移。
2
?
向右平移单位<
br>112
?
3
y?sinx?????????y?sinx???????y?
sin(x?)
223
将横坐标伸长为原来的两倍
1
?
将
纵坐标伸长为原来的两倍
?????????y?2sin(x?)
23
说
明:若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程(相同的结果),最好的办法就是用“五
点法”作图,把
上述过程中每一步都画一个图。
20、(1)仿上写出
y?sinx?y?
1
?
sin(2x?)
的变化过程
26
)
的图象,只需将函数
y?sin(x?)
图像上的点( )
55
1
A、 横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变
B、横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变
2
1
C、
纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变
2
1
?
1
(3)为了得到函数
y?sin(x?)
的图象,只需将
y?sinx
的图象上每一个点( )
232
??
A、横坐标向左平移个单位长度
B、横坐标向右平移个单位长度
33
2
?
2
?
C、横坐标向左平移个单位长度
D、横坐标向右平移个单位长度
33
1
(4)为了得到函数
y?cos(x
?)
的图像,只需将余弦函数图像上各点( )
3
?
?
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
33
11
C、向左平移个单位长度
D、向左平移个单位长度
33
1
?
1
?
(5)为了得到函
数
y?sin(x?)
的图像,只需将函数
y?sin(x?)
的图像上各点
4434
( )
(2)为了得到函数
y?sin(2x?
??
43
倍,纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变
34
43
C、 纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变
D、纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变
34
A、 横坐标伸长为原来的
(6)将函数
y?cos(2x?
4
?
?
)
的图像上各
点向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原
5
2
来的一半,纵坐标伸长为原来的4倍
,则所得到的图像的函数解析式为( )
A、
y?4cos(4x?
?
)
B、
y?4cos(x?)
C、
y?4cos(4x?)
D、
555
?
?
y?4sin(4x?
4
?
)
5
(7)将函数
y?2sin(
?
1
x?)
的图像作怎样
的变换可以得到函数
y?sinx
的图像?写出
32
?
1
y
?2sin(x?)?y?cosx
的变换过程。
32
(8)有以下四种变换方式:
1
?
个单位长度,现将每个点的横坐标缩短为原来的倍;
2
41
?
②向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的倍;
2
8
1
?
③每个点的横坐标缩短为原来的倍,再向右平移个单位长度;
28
1
?
④每个点的横坐标缩短为原来的倍,再向左平移个单位长度。
2
8
?
其中能将函数
y?sinx
的图像变为函数
y?sin
(2x?)
的图像的是( )
4
①向左平移
A、①和④
B、①和③ C、②和④ D、②和③
(9)将函数
y?sin(
2x?
?
x
?
)
的图像作怎样的变换可以得到函数
y?si
n(?)
的图像?
226
【单元过关练习】
A卷
满分:130分 时间:120分钟
一、选择题(每小题5分,共50分)
1、已知集合
A?
?
??
A、
?
?
3
?
?
?
?
??
?
?
,则使
x?A
成立的
x
是( )
2
?
253
?
8
?
7
?
?
B、
?
C、 D、
?
6434
310
,则
cos
?
?
( )
10
2、已知
?
终边上一点
P(m,3m)
,且
sin<
br>?
??
A、
1010
10310
B、
?
C、
?
D、
1010
1010
3、函数
y?tan2x
为( )
A、最小正周期为
?
的奇函数
B、最小正周期为
?
的偶函数
C、最小正周期为
?
?
的奇函数
D、最小正周期为的偶函数
22
2
4、函数
y?2sinx?cosx(x?R)
的最小值为(
)
A、
?2
B、0
C、
?1
D、2
6、函数
y?sin(2x?<
br>A、
x??
?
4
)
的一条对称轴方程是( )
?
8
B、
x?
?
8
C、
x?
?
D、
x?
?
2
7、要得到函数
y?3sin(2x?
A、向左平移
?
4
)
的图像,只需将函数
y?3sin2x
的图像( )
??
个单位
B、向右平移处单位
44
??
C、向左平移个单位
D、向右平移个单位
88
1
?
8、函数
y?2cos(x?)的一个单调增区间是( )
26
5
?
11
?
7?
13
?
A、
[0,2
?
]
B、
[2
?
,4
?
]
C、
[,]
D、
[,]
3333
9、关于函数
y?cosx?3sinx
的四个论断中错误的是(
)
A、最小正周期为
2
?
B、值域为
[?2,2]
C、一个对称中心为
(?
?
6
,0)
D、可由
y?cosx
向右平移
?
所得
3
10、在区间<
br>[0,2
?
]
内使不等式:
?1?2sinx?1
成立的角<
br>x
的范围是( )
5
?
7
?
11
??
7
?
11
?
,]?[,2
?
]
B、
[,]?[,2
?
]
6666666
5
?<
br>7
?
11
?
?
5
?
7
?
1
1
?
,]?[,2
?
]
D、
[0,]?[,]?[,2
?
]
C、
[
666666
6
A、
[0,
?
]?[
二、填空题(每小题5分,共30分) 11、已知角
?
的终边上一点
P(4m,?3m)(m?0)
,则
sin
?
?
,
tan
?
?
;
12、函数
y?tan(
?
x
?
3
?)
的最小正周期为 ;
5
13、函数
y?asin(2x
?
?
4
)?1(a?0)
的最大值为 ,最小值为
,
取最小值时
x
的取值集合为
;
14、函数
y?cos(
?
5
?2x)
的增区间为
;
2
15、关于函数
y?cos(x?
?
)?sin
2<
br>(x?)
有四个论断:
44
?
①是偶函数;②最小正周期是
?
;③值域为
[1?,1]
;④一个对称中心为
(?
?
,0
)
其中正确命题的序号是
(填上你认为所有正确的命题序号)
16、如果一个函数满足:
f(x?1)??f(x?1
),f(?x)?f(x)?0
,且
f(1)?0
,试写出一
个这样的函数:
。
三、解答题
17、(10分)用“五点法”作出函数
y?sin(3x?
18、(12分)试用图像变换的两种方式写出:函数y = sinx的图像变换到函数y =
sin (
的图像的变换过程.
19、(14分)已知点
P(?2,y)
是角
?
终边上一点,且
sin
?
?
?
4
)
一个周期内的
草图(要求列表)。
x
?
+)
2
3
22
求
y
的值;
3
(1) 设
0?
?
?2
?
,以
OP为半径,原点O为圆心作圆,与
x
轴正半轴交于Q点,求
?OPQ
的面积
。
20、(14分)简谐振动
y?3sin(2x?
5
?
)
6
5
?
)
经过怎样的变换得到?试写出
6
(1)求
简谐振动的振幅、初相和频率;(2)若
0?x?2
?
,求函数的最大值和最小值。
(3)要得到函数
y?sinx
的图像,可由
y?3sin(2x?
变换过程。
【单元过关练习】
B卷
一、选择题(每小题5分,共50分)
1、已知集合
A?
??
sin
?
?cos
?
?0
?
,B?
?
?
tan
?
?cos
?
?0
?
,
k?Z
,则
A?B?
( )
A、
(2k
?
,2
k
?
?
?
2
)
B、
(2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
)
3
?
?
)
D、
(2k
?
?,2k
?
)
22
2?
2
?
2、扇形的中心角为,半径为3,则扇形的弧长为(
)A、
?
B、
2
?
C、
D、
33
2
3
?
3、已知
?
为第三象限角,则所在的象限是 ( ) 2
C、
(2k
?
?
?
,2k
?
?A、第一或第二象限 B、第二或第三象限 C、第一或第三象限 D、第二或第四象限
4、时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 ( )
A、
24
42
?
B、
?
C、
?
?
D、
?
?
93
39
5、函数
y?
sin
x
cosx
tanx
??
的值域是( )
sinxcosxtanx
1,?1,3
?
A、
?
?1
?
B、
?
3,?1
?
C、
?
3
?
D、
?
6、角α的终边落在y=-x(x>0)上,则sinα的值等于( )
A. ±
222
1
B.
C.± D. -
222
2
7、函数y=
?si
nx
+
cosx
的定义域为( )
?
,2kπ+π],k∈Z
2
3
?
?
C. [2kπ-,2kπ],k∈Z
D. [2kπ+π,2kπ+],k∈Z
2
2
?
8、把函数
y?
sin3x
的图像向右平移个单位,所得曲线的对应函数式( )
4
33
?
?
A. y=sin(3x-π)
B.y=sin(3x+) C. y=sin(3x-) D.y=sin(3x+π)
44
44
?
9、函数
y?3sin(?2x?)(x?[0,
?])
的单调递增区间是( )
6
5
?
?
2
?
?
11
?
2
?
11
?
A
、
[0,]
B
、
[,]
C
、
[,]
D
、
[,]
1263612312
A.[2kπ,2kπ+ B.[2kπ+
?
],k∈Z
2
10、
f(x)
是定义在
R<
br>上的奇函数,且
f(x?5)?f(x),f(17)?5,
则
f(?2)?<
br>( )
A 、5
B、
?5
C 、0 D
、
二、填空题(每小题5分,共30分)
11、
如果角
?
的终边过
点(2sin30?,?2cos30?),则sin
?
的值等于
;
12、若函数
y?cos(kx?
1
5
?
6
)
的周期为4π,则
k
的值为
;
31
,最小值为
?
,则
2a?b
的值为
;
22
13、如果函数
y?b?acosx(a?0)
的最大值为
14、写出函数
y?3sin(2x?
2
?
4
)
的两条对称
轴方程分别为 ;
15、函数
y?c
osx?sinx(0?x?
?
2
)
的最大值为
;
3
成立;②对任
2
16、关于函数
y?sinx?cosx的四个论断:①存在
x
,使
sinx?cosx?
意的
x
,都有
f(x?2
?
)?f(x)
;③对任意的
x
,都有
f(
一个对称中心是
(
3
?
3
?
?x)?
f(?x)
;④函数的
44
?
4
,0)
。
其中正确的序号为 。
三、解答题 17、(14分)函数
y?Asin(
?
?x?
?
),(A?0
,
?
?0,
?
?
?
2
)
的
部分图象如图所示,
(1) 求函数的解析式;
(2) 用“五点法”
画出函数在区间
[
?
7
?
6
,
6
]
上的草图。
r
r
1
18、(14分)已知向量
a?(sinx,1)
,
b?(cosx,?)
,定义函数
f(x)?a?(a+b)
2
(1) 求函数的最小正周期;求函数的单调区间;(3) 求函数的最值。
1
9、(16分)弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间t(秒)内离开平衡位置(就是静止时位置)
的
距离为h(厘米)由下面函数关系决定:
h?3sin
?
2t?
?
?
?
?
?
.
4
?
①以t为横坐标,
h为纵坐标作出这个函数的图象(0≤t≤π);
②求小球开始振动的位置;
③求小球上升到最高点和下降到最低点的位置;
④经过多少时间, 小球往返振动一次?
20、(8分)已知
f(x)?
?
?
sin
?
x(x<0),
求
?
f(x?1)?
1(x>0),
?
11
?
f
?
?
?
??
6
?
?
11
?
f
??
的值.
?
6
?
专题一(副题)三角函数的图象和性质(一)
教学目标:
1、
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和<
br>函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图;
2、
理解
A,
?
,
?
的物理意义,掌握由函数<
br>y?sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
的变换原理;
3、
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点:
函数
y?
sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的变换方法.
一、
知识点归纳:
1.
“五点法”画正弦
、余弦函数和函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图. <
br>2.
函数
y?sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的两种主要途径.
3.
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
4.
会由三角函数图象求出相应的解析式.
二、知识点解析:
1.
“五点法”画正弦、余弦函数和函数
y?Asin(
?
x?
?
)<
br>的简图,五个特殊点通常都是取
三个平衡点,一个最高、一个最低点;
本质为待定系数
法,
2.
给出图象求
y?Asin(
?
x?
?
)?
B
的解析式的难点在于
?
,
?
的确定,
基本方法是:①寻找
特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知
图象可由哪个函数的图象经过变换得
到的,通常可由平衡点或最值点确定周期
T
,进而确
定
?
.
2
中心的横坐标是方程
?
x?
?
?k
?
?
k?Z
?
的解,对称中心的纵坐标为
0
.(
即整体代换法
)
3.
对称性:
?
1
?
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
对称轴可由
?
x?<
br>?
?k
?
?
?
?
k?Z
?
解出;对
称
?
2
?
函数
y?Acos
?
?
x?<
br>?
?
对称轴可由
?
x?
?
?k
?
?
k?Z
?
解出;对称中心的纵坐标是方
?
程
?
x?
?
?k
?
?
?
k?Z
?
的解,对称中心的
横坐标为
0
.(
即整体代换法
)
2
?<
br>3
?
函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
对称中心的横坐标可由
?
x?
?
?
k
?
?
k?Z
?
解出,对称中心的
2
纵坐标为
0
,函数
y?tan
?
?
x?
?
?
不具有轴对称性. 4.A?0
时,
y?Asin
?
?
x?
?
?<
br>,当
?
x?
?
?2k
?
?
?
2?
k?Z
?
时,有最大值
A
,
当
?
x?
?
?2k
?
?
?
?
k?Z
?
时,有最小值
?A
;
A?0
时,与上述情况相反.
2
(三)典例分析:
问题1.
已知函数
y?
2sin
(
x
?
?
)
?
x?R
?
.
23
?
1
?
用“五点法”画出它的图象;
?
2
?
求它的振幅、周期和初相;
?
3
?
说明该函数的图象可由
y?s
inx
的图象经过怎样的变换而得到.
π
??
π
?
2x?
?,
π
问题2.
?<
br>1
?
(
07
海南)函数
y?sin
?
在区<
br>??
??
的简图是
y
?
3
?
?
?
3
1
x
?
?
?
?
2
3
?
2
y
1
?
?
?
2
O
?
6
?1
1
A.
y
?
O
?1
y
?
6
?
x
?
?
?
3
1
B
?
.
6
?
?
?
?
2
6
O
x
?
?
2
O
?1
?
3
?
?1
x
D.
C.
?
2
?
(
05
天津文)函数
y?Asin(
?
x?
?
)
?
?
?0,
?
y
?
?
2
,x?R
?
4
?2
O
6
x
的部分图象如图所示,则函数表达式为
A.
y??4si
n(
?
8
x?
?
4
)
B.
y
?4sin(
?
8
x?
?
4
)
??
??
C.
y??4sin(x?)
D.
y?4sin(x?)
84
84
?
3
?
已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
(
A?0,|
?
|?
?
)
的一段图象如下图所示,求该函数的解析式.
y
到图象对应解析式是
4
?
?
3
?2
2
2
?
3
O
8
?
3
x
问题3.
?
1?
将函数
y?5sin(?3x)
的周期扩大到原来的
2
倍,再
将函数图象左移
?
A.
y?5sin(
3
,得
3
?
3x7
?
3x
?
3x
?)
B.
y?5si
n(?)
C.
y?5sin(?6x)
D.
y?5cos
2210262
?
?
?
?
?
?
?
2
?
(
07
山东文)要得到函数
y?sinx
的
图象,只需将函数
y?cos
?
?
x?
的图象
A.
向右平移
??
个单位;
B.
向右平移个单位;
??
??
C.
向左平移
个单位;
D.
向左平移个单位 <
br>??
?
3
?
(
04
山东)为了得到函数
y?
sin(2x?
?
6
)
的图象,可以将函数
y?cos2x
的图象
??
个单位长度
B.
向右平移个单位长度
63
??
C.
向左平移
个单位长度
D.
向左平移个单位长度
63
A.
向右平移
?
?
?
x
?
问题4.
?
1
?
(
07<
br>福建)已知函数
f(x)
?
sin
?
??
(
?
?
0)
的最小正周期为
?
,则
?
?
?
0
?
对称
B.
关于直线
x?
该函数的图象
A.
关于点
?
,
?
?
?
?
?
?
?
对称
?
?
?
?
?
0
?
对称
D.
.关于直线
x?
对称
C.
关于点
?
,
?
?
?
?
?
2
?
(
05
山东)已知函数
y?sin(x?
??
)cos(x?)
,则下列判断正确
的是
1212
A.
此函数的最小正周期为
2
?
,其图象的一个对称中心是
?
?
?
?
,0
?
?
12
?
B.
此函数的最小正周期为
?<
br>,其图象的一个对称中心是
?
?
?
?
,0
?
12
??
?
?
?
,0
?
?
6
?
C.
此函数的最小正周期为
2?
,其图象的一个对称中心是
?
D.
此函数的最小正周期为
?
,其图象
的一个对称中心是
?
?
?
?
,0
?
6<
br>??
问题
rr
rr
cos2x)
,
b
?(1
?sin2x
,
1)
,
5.
(
07
陕西)设函数<
br>f(x)?a?b
,其中向量
a?(m
,
2
?
.(Ⅰ
)求实数
m
的值;(Ⅱ)求函数
f(x)
的最
x?R
,且<
br>y?f(x)
的图象经过点
?
,
小值及此时
x
值的集
合.
?
π
?
4
?
?
(四)课外作业:
1.
要得
到
y?sin2x?cos2x
的图象,只需将
y?sin2x?cos2x
的图象
ππππ
A.
向左平移
B.
向右平移
C.
向左平移
D.
向右平移
8844
?
2.
如果函数
y?sin2x?acos2x
的图象关于直线
x??
对称
,则
a?
8
(五)走向高考:
?
4.
(
05
天津)要得到函数
y?2cosx
的图象,只需将函数
y?2sin(2x?)
的
4
图象上所有的点的
1
?
A.
横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
2
8
1
?
B.
横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再向右平行移动
个单位长度
24
C.
横坐标伸长到原来的
2
倍(纵
坐标不变),再向左平行移动
?
个单位长度
4
?
D.
横坐
标伸长到原来的
2
倍(纵坐标不变),再向右平行移动
个单位长度
8
x
3
5.
(
06
江苏)为了得到函数
y?2sin(?)
,x?R
的图像,只需把函数
y?2sinx,x?R
的
6
?
图像上所有的点
?
1
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
6
3
?
1
B.
向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来
的倍(纵坐标不变)
63
?
C.
向左平移
个单位长度,再把所得各
点的横坐标伸长到原来的
3
倍(纵坐标不变)
6
?
D.
向
右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3
倍(纵坐标不变)
6
A.
向左平移
6.
(
07
安徽)函数
f(x)?3sin
?
2x?
?
的图象为
C
,
?
?
①图象
C
关于直线
x?
?
?
?
?
11
?
?5?
?
?
对称;②函数
f(x)
在区间
?
?,
?
内是增函数;
12
?
????
?
③由
y?3sin2x
的图象向右平移
?
个单位长度可以
得到图象
C
.
?
以上三个论断中,正确论断的个数是
y
A.0
B.
1
C.
2
D.3
7.
(
06
安徽)将函数
y?sin
?
x(
?
?0)
的图象按向量
1
r
?
?
?
a?
?
?,0?
平移,平移后的图象如图所示,
?
6
?
则平移后的图象所对应函数的解析式是
O
7
?
12
x
?
?
?1
A.
y?sin(x?)
B.
y?sin(x?)
66
??
C.
y?sin(2x?)
D.
y?sin(2x?)
33
8.
(
05福建)函数
y?sin(
?
x?
?
)(x?R,
??0
,
y
0?
?
?2
?
)的部分图象如图,则
1
????
A.
?
?,
?
?
B.
?
?,
?
?
2436
??
?
5
?
O
1
C.
?
?,
?
?
D.?
?,
?
?
4444
?
?
?
?
?
3
x
9.
(
07
福建)已知函数
f(x)?sin
?
?
x?
?
(
?
?0)
的最小正周期为
?
,则该函数的图象
?
0
?
对称
B.
关于直线
x?
A.
关于点
?
,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0
?
对称
D.
关于直线
x?
对称 对称
C.
关于点
?
,
??
?
?
?
?
π
?
??
??
π
?
?
1)
,则
10
.
(
07
广东文)已知简谐运动
f(x)?2sin
?
x?
?
??
?
?
?
的图象经过点
(0,
32<
br>该简谐运动的最小正周期
T
和初相
?
分别为
A.T?6,
?
?
ππππ
;
B.T?6
,
?
?
;
C.T?6π
,
?
?
;
D.T?6π
,
?
?
6363
??
11.
(
06
陕西)已知函数
f(x)?3sin(2x?)?2sin
2
(x?)(x?R).
612
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周期;(Ⅱ)求使函数f(x)
取得最大值的
x
集合.
12.
(
05
全国Ⅰ文)设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?
?<
br>?
?
?0),y?f(x)
图像的一条对称轴
是直线
x??
8
.(Ⅰ)求
?
;(Ⅱ)求函数
y?f(x)
的单调
增区间;
(Ⅲ)画出函数
y?f(x)
在区间
[0,
?
]
上的图像。
13.
(
03
全国)已知函数
f
(x)?sin(
?
x?
?
)(
?
?0,0?
?<
br>?
?
)
是
R
上的偶函数,其图象关
于点
M(
3
?
?
?
上是单调函数。求
?
和
?
的值。
,0)
对称,且
在区间
?
0,
?
4
?
2
?
?
三角
函数的图象和性质(二)
教学目标:
掌握三角函数的定义域、值域的求法;理解周期函数与最
小正周期的意义,会
求经过简单的恒等变形可化为
y?Asin(
?
x??
)
或
y?Atan(
?
x?
?
)
的
三角函数的周期.
教学重点:
求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.
(一)
知识点归纳:
函数
值域 周期
三角函数的定义域、值域及周期如下表:
定义域
y?sinx
y?cosx
R
R
[?1,1]
[?1,1]
2
?
2
?
y?tanx
{x|x?k
?
?
?
2
,k?Z}
R
?
(二)知识点解析:
1.
求三角函数的
定义域实质就是解三角不等式(组).一般可用三角函数的图象或三角函
数线确定三角不等式的解.列三
角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开
方数大于等于零;对数的真数大于零及底数大于
零且不等于1,又要考虑三角函数本身的
定义域;
2.
求三角函数的值域的常用方法
:①化为求代数函数的值域;②化为求
y?Asin(
?
x?
?
)?
B
的值域;③化为关于
sinx
(或
cosx
)的二次函数式; <
br>3.
三角函数的周期问题一般将函数式化为
y?Af(
?
x?
?
)
(其中
f(x)
为三角函数,
?
?0
).
(三)典例分析:
问题1.
求下列函数的定义域:
?
1
?
f(x)?
3?tanx
;
?
2
?
f(x)?tan(sinx)
;
?
3
?
f(x)?
2cosx?1
tanx?1
问题2.
求下列函数的值域:
2sinxcos
2
x
co
sx3?sinx1?sinx
;
?
2
?
y?
;
?
3
?
y?log
2
;
?
4
?
y?
.
?
1
?
y?
1?sinx
2cosx?13?
sinx3?cosx
问题3.
求下列函数的周期:
sin2x?sin(2x?)
3
;
?
2
?
y?2sin(x?
?
)sinx
;
?
3
?
y?
cos4x?sin4x
?1
?
y?
?
2cos4x?sin4x
cos2x?cos(2
x?)
3
?
问题4.
已知函数
f
?
x
?
??acos2x?2
为
?
?5,1
?
,求常数
a,b
的值.
3asinxcosx?2a?b<
br>的定义域为
?
0,
?
?
?
,值域
?
?
2
?
(四)课后作业:
1.
求函数
y?lgsinx?
1
?cosx
的定义域.
2
2.
函数
y?sinx?16?x
2
的定义域为
3.
若方程
cos2x?23sinxcosx?k?1
有解,则
k
?
4.
(
05
江西)设函数
f(x
)?sin3x?sin3x
,则
f(x)
为( )
2
?
?
A.
周期函数,最小正周期为
B.
周期函数,最小正周期为
33
C.
周期函数,数小正周期为
2
?
D.
非周期函数
5.
(
05
全国Ⅱ)函数
f(x
)?sinx?cosx
的最小正周期是
A.
6.
函数
y?si
n
6
x?cos
6
x
的最小正周期为
?
?
B.C.
?
D.
2
?
42
7.
函数
y?tanx?cotx
的周期是
6cos
4
x?5sin
2
x?4
,求
f
?
x
?
的定义域,判断它的奇偶性,并求其
8.
已知函数
f
?
x
?
?
cos2x
值域
(五)走向高考:
9.
(
04
四川)函数
y
?sin
4
x?cos
2
x
的最小正周期为
A.
?
?
B.
C.
?
D.2
?
42
π
??
π
??
10.
(
07
上海)函数
y?sin
?
x?
?
sin
?
x?
?
的最小正周期
T?
3
??
2
??
?
??
?
已知函数
f(x)?2sin
?
x
??
?0
?
在区间
?
?,
?
上的最小值是
?2
,则
?
11.
(
06
福建)
?
34
?
的最小值等于
A.
23
B.
C.
2
D.3
32
12.
(
07
安徽文)解不等式
(3x?1?1)(sinx?2)?0
.
13.
(
07
天津)已知函数
f(
x)?2cosx(sinx?cosx)?1
,
x?R
.
(Ⅰ)求函数
f(x)
的最小正周期;
(Ⅱ)求函数
f(x)在区间
?
,
?
上的最小值和最大值.
84
?
π3π
?
??
14.
(
07
重庆)设
f(x)?6cos
2
x?3sin2x
.(Ⅰ)求
f(x)
的最大值及最小正周期;
(Ⅱ)若锐角
?
满足
f(
?
)?3?23
,求
tan
4
?
的值.
5
专题二:平面向量及其运用
教学目标
考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
考点2:向量的坐标运算、平面向量的数量积.
考点3:解斜三角形.
考点4:线段的定比分点、平移公式.
考点5:向量的运用.
基本概念检测:
1、 _______________________叫做向量;
2、
______________叫做共线向量(平行向量);
3、
______________叫做相等向量;
4、 ______________叫做单位向量.
5、 向量加法法则是_____,________.减法法则是________.
6、
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
?R
,
a?b?
______,它满足的运算性质有__
______________.
a- b=______,它满足的运算性质有________________.
?
a=______,它满足的运算性质有________________.
=____=_____,它满足的运算性质有____________.
cos< a,
b>=____________=__________________.
a∥
b
?
____=_________;
a⊥
b
?
_____=_______
.
6、
正弦定理的内容是____________________________.
7、
余弦定理的内容是____________________________.
9、定比分点坐标公式是______________(其中
?
=______).
10、平移公式是 ____________________.
【重点
?
难点
?
热点】
问题1:向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充
分理解平面向量的相关概念,熟练
掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件
.
例1:已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b =
(-3,4)平行的单位向量,则向量a
的终点坐标是 .
思路分析:与a平行的单位向量e=±
a
|a|
方法一:设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1),则题意可知
1218
??
121189
x?x?
??
,-)或(,-)
4(x?3)?3(y?1)?0
?
??
55
,故填 (
解得或
???
5555
22
()?(y+1)?1
?
x-3
?
y??
1
?
y??
9
?
5
?<
br>5
??
方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±
134
(-3,4),故可得a=±(-,),从而向量a
555
的终点坐标是(x,y)=
a-(3,-1),便可得结果.
点评:向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念
的实质,注意区分
共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2:已知| a |=1,| b |=1,a与b的夹角为60°, x
=2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角是多
少?
思路分析:要计算x与
y的夹角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
解:由已知|a|=
|b|=1,a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=
要计算x与y的夹角θ,需
求出|x|,|y|,x·y的值.
∵|x|
2
=x
2
=(2a-
b)
2
=4a
2
-4a·b+b
2
=4-4×
|y
|
2
=y
2
=(3b-a)
2
=9b
2
-
6b·a+a
2
=9-6×
1
.
2
1
+1=3,
2
1
+1=7.
2
x·y=(2a-b)·(3b-a)=6a·
b-2a
2
-3b
2
+a·b
=7a·b-2a
2
-3b
2
=7×
又∵x·y=|x||y|cosθ,即-
13
-2-3=-,
22
3
=
3
×
7
cosθ,
2
∴cosθ=-
212121
,θ=π-arccos.即x与y的夹角是π-arccos
141414
点评:①本题利用模的性质|a|
2
=a
2
,
②在计算x,y的模时,还可以借助向量加法、减法
的几何意义获得:如图所示,设
AB
=b,
AC
=a,
AD
=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何
意义,得
BD
=
AD
-
AB
=2a-b.由余弦定
理易得|
BD
|=
3
,即|x|=
3
,同理可得|y|=<
br>7
.
问题2:平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中
含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该
未知数的关系式.在此基础上,可以设计出
有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路
是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:①利用向
量平行或垂直的充要条件,②利用向
量数量积的公式和性质.
例3.已知平面向量a=(
3
,-1),b=(
1
,
2
3
).
2
(1)
若存在实数k和t,便得x=a+(t
2
-3)b,
y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数的关系式
k=f(t);
(2)
根据(1)的结论,确定k=f(t)的单调区间.
思路分析:①欲求函数关系式k=f(t),只需
找到k与t之间的等量关系,k与t之间的等
量关系怎么得到?②求函数单调区间有哪些方法?(导数法
、定义法)导数法是求单调区间
的简捷有效的方法?
t
2
?23?33t<
br>2
?23?2
解:(1)法一:由题意知x=(,),
22
y=(
3
1
t-
3
k,t+k),又x⊥y
2
2
3
t
2
?23?33t
2?23?2
1
故x · y=×(t-
3
k)+×(t+k)=0. <
br>2
22
2
整理得:t
3
-3t-4k=0,即k=
1
3
3
t-t.
44
法二:∵a=(
3
,-1),b=(
1
3
,
), ∴.
a
=2,
b
=1且a⊥b
2
2
1
3
3
t-t
44
∵x⊥y,∴x
· y=0,即-k
a
2
+t(t
2
-3)
b
2<
br>=0,∴t
3
-3t-4k=0,即k=
(2) 由(1)知:k=f(t)
=
1
3
333
t-t ∴kˊ=fˊ(t) =t
3
-,
4444
令kˊ<0得-1<t<1;令kˊ>0得t<-1或t>1.
故k=f(t)的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
点评: 第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的
坐标运算
分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量垂直的
充要条件,其过程要用
到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程
大大简化,值得注意).第(2)问
中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇
点处的综合运用.
演变3: 已知平
面向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
?
?<
br>3
1
,),若存在不为零的实数k和
2
2
?
角α,使
向量
c
=
a
+(sinα-3)
b
,
d
=-k
a
+(sinα)
b
,且
c
⊥
d
,
试求实数k 的取
值范围.
点拨与提示:将例题中的t略加改动,旧题新掘,出现了意想不到
的效果,很好地考查
了向量与三角函数、不等式综合运用能力.
演变4:已知向量
a?(1,2),b?(?2,1)
,若正数k和t使得向量 ??
?
?
?
?
?
1
x?a?(t
2<
br>?1)b与y??ka?b
垂直,求k的最小值.
t
点拨与提示:(1)利用
向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.(2)利用均值不等
式求最值.
问题3:平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在
知识的“交汇处”构题,又加强了
对双基的考查.
例4.设函数f (x)=a ·
b,其中向量a=(2cosx , 1), b=(cosx,
3
sin2x), x∈R.
(1)若f(x)=1-
3
且x∈[-
?
?
,],求x;
33
?
)平移后得到函数y=f(x)的图
2
(2)若函数y=2s
in2x的图象按向量c=(m , n)
(
m
﹤
象,求实数m、n的值.
思路分析:本题主要考查平
面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等
基本技能,
解:
(1)依题设,f(x)=(2cosx,1)·(cosx,
3
sin2x)
=2
cos
2
x+
3
sin2x=1+2sin(2x+
?
)
6
由1+2sin(2x+
3
?
?
)=1-
3,得sin(2x+)=-.
2
66
????
5
?
≤x≤ , ∴-≤2x+≤,
33266
?
??
∴2x+=-, 即x=-.
634
∵-
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m ,
n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图
象,即函数y=f(x)的图象.
由(1)得f (x)=
2sin2(x?
?
12
)?1
∵
m
<
?
?
, ∴m=-,n=1.
212
点评: ①把函数的图像按向量平移,可以看成是C上任一点按向量平移,由这些点
平移后的对应点所组
成的图象是Cˊ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,
也就找到了此问题的解题途径.②
一般地,函数y=f (x)的图象按向量a=(h ,
k)平移后的函数
解析式为y-k=f(x-h)
演变5:已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),
(1)求证: a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-
kb的模大小相等(k∈R且k≠0),求β-α
【临阵磨枪】
1.已知向量
a?(1,2),b?(?2,?4),|c
|?5,若(a?b)?c?
5
,则a与c的夹角为
( )
2
A 30° B 60° C 120° D 150°
2.已知点
M
1
(6,2)和M
2
(1,7),直线
y?mx?7
与线
段M
1
M
2
的交点分有向线段M
1
M
2
的
比为3:2,则的值为 ( )
A
?
321
B
?
C
D 4
234
3.已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a
与b的夹角是( )
A
??2?5?
B
C D
6336
uuuruuur
uuuru
uur
4.已知向量
OB
=(2,0),向量
OC
=(2,2),向
量
CA
=(
2cos?,2sin?
),则向量
OA
uuu
r
与向量
OB
的夹角的范围为
( )
??5?5???5?
] B [,] C [,] D [,]
44121221212
uuur
uuur
2
5.设坐标原点为O,
抛物线y=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则
OA
·
OB
=( )
A [0,
A
33
B
?
C 3 D -3
44
uuur
uuur
6.O是平
面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
OP
=
OA
+
λ(),
??[0,??)
,则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A 外心
B 内心 C 重心 D 垂心
7.点
P
在平
面上作匀速直线运动,速度向量
v?(4,?3)
(即点
P
的运动方向与v
相同,且
每秒移动的距离为
v
个单位).设开始时点
P
的坐标为(-10,10),则5秒后点
P
的
坐标为( )
A
(-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10)
r
rr<
br>r
r
r
r
8.已知向量
a
≠
e
,|
e
|=1,对任意t∈R,恒有|
a
-t
e
|≥|
a
-
e
|,则( )
r
r
rr
rr
r
r
r
r
r
r
A
a
⊥
e
B
a
⊥(
a
-
e
) C
e
⊥(
a
-
e
) D
(
a
+
e
)⊥(
a
-
e
)
9.
P是△ABC所在平面上一点,若
PA?PB?PB?PC?PC?PA
,则P是△ABC的(
D )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
444222
10.△ABC中,若a+b+c=2c(a+b),则∠C度数是:
A 60 B 45或135 C 120
D 30
11.已知向量a=(
cos?,sin?
),向量b=(
3,?1
),则|2a-b|的最大值是
12.把函数y=2x2
-4x+5的图像按向量a平移,得到y=2x
2
的图像,且a⊥b,c=(1
,-1),b·c=4,
则b=
13.已知平面上三点A、B、
C满足|
AB
|=3,|
BC
|=4,|
CA
|=5,则<
br>00000
AB?BC?BC?CA?CA?AB
的值等于 .
14.
在
?ABC
中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则
OA?(OB?OC)的最小值是_____.
ππ
15.已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.
22
(Ⅰ)若a⊥b,求θ;(Ⅱ)求|a+b|的最大值.
16.06年江西卷)如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、
N分别是
边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,
设?MGA=?(
A
?
3
?
?
?
2
?
)
3
B
?
M
D
N
(1)
试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S
1
与S
2
)
表示为?的函数
(2) 求y=
高考真题
C
11
的最大值与最小值
+
S
1
2
S<
br>2
2
r
r
安徽2011(14)已知向量a,b满足(a+2b)·(
a-b)=-6,且
a?
,
b?2
,则a与b的
夹角为
.
安徽2010 16、(本小题满分12分)
?ABC
的面
积是30,内角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
,
cosA?
12
。
13
uuuruuur
(Ⅰ)求
ABgAC
;
(Ⅱ)若
c?b?1
,求
a
的值。
安徽2009(14)
在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或
uuuv
uuuvuuuv<
br>AC
=
?
AE
+
?
AF
,其中
?<
br>,
?
?
R ,则
?
+=
?
_________.
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