求最值公式几个常用组合数公式.资料

几个常用合数公式.组
⑸①几个常用组合数公式


②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如：（利用）
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用
vi. 构造二项式. 如：
证明：这里构造二项式其中
递推）如：

的系数，左边为
，而右边
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考 虑，待整体
排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，
一 般地，n个不同元素排成一列，要求其中某
个.其中是一个“整体排列”，而
个元素必相邻的排 列有
则是“局部排列”.
.

.
又例如①有n个不同座位， A、B两个不能相邻，则有排列法种数为
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有
③有n件 不同商品，若其中有二件要排在一起有
.
.
注：①③区别在于①是确定的座位，有 种；而③的商品地位相同，是从n件不
同商品任取的2个，有不确定性.
④插空法：先把一般 元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档
中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插
空法），当n – m+1≥m, 即m≤时有意义.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排 列，然后再排其
他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排
其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法. 解题方法是：先将n个元素进行全
排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若
n
个元素排
成 一列，其中
m
个元素次序一定，共有种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！ m！；解法二：（比例分配
法）.
⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.
例如：从1，2，3，4中 任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如 将200名运动员平均分
成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？
（）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序
不变，共有多少种排法？有
义.
，当n – m+1 ≥m, 即m≤时有意
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个
完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个 空隙中任选三个插入3块摸板，把
球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
（）是方程的 一组解.反之，方程的任何一组解
的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图
显然，故
，对应着惟一
所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法
数.
注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有
，进而转化为求a的正整数解的个数为
.
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都
包含在内， 并且都排在某r个指定位置则有.
例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素 必须固定在
（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
固定在某一位置上：；不在某一位 置上：或（一类是
不取出特殊元素a，有，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，
然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元
素都包含在内 。先C后A策略，排列；组合.
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合）， 规定某r个元
素都不包含在内。先C后A策略，排列；组合.
iii 从n个不同元素中每次 取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列
（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C 后A策略，排列；组合
.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排 策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题
先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一 般是先选元素，后排列）；④正难
则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻 问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的
策略；⑨“小集团”排列问题中先 整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不 编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数
相等，不管是否分尽，其分法种数 为
数）.如果再有K组均匀分组应再除以
（其中A为非均匀不编号分组中分法
. 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各
组人数分别为1 、1、2、2、2、2，其分法种数为
②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的
顺序，其分法种数为
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法
为：种.
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方
法有种 < br>③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的
顺序，其分法种 数为.
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为
< br>④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相
同，且不考虑各组 间顺序，不管是否分尽，其分法种数为
…
若从10
.
例：10人分成三组 ，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为
人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分 法种数为