高中数学必修四全总结

点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要
注意角的范围 对解题结果的影响．

题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心 点是
三角形的内角和是
?
，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定
理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来
高考的一个热点题型．

例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的
三 内角
A
，
B
，
C
所对边的长分别为
a
，< br>b
，
c
，设向量
m?(c?a,b?)a,n?(?a
，若< br>,bc
mn
，
（1）求角
B
的大小；
（2）求
sinA?sinC
的取值范围．
分析：根据两个平面向量平行的 条件将向量的平行关系转化为三角形边的关
系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角
A,C
就不是独
立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为 一个
角的三角函数问题．
解析：（1）
mn,?c(c?a)?(b?a)(a?b)
，
a
2
?c
2
?b
2
?c?ac?b?a,??1
．
ac
222
由余弦定理，得
coBs?
1
?
B,?
．
23

2
?
，
3
（2）
A?B?C?
?
,?A?C?
?sinA?sinC?sinA?sin(
2
?
2
?
2
?
?A)?sinA?sincosA?co ssinA

333

33
?
?sinA?cosA?3sin(A?)

226
0?A?
2
???
5
?
,??A??

3666< br>1
?
3
??sin(A?)?1,??sinA?sinC?3

262

点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中< br>的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和
角的范围对结果的影响 ．

题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征 （能
进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的
问题就是必然 的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平
面向量解决平面几何问题．
例11. 如图，已知点
G
是
?ABO
的重心，点
P在
OA
上，点
Q
在
OB
上，且
PQ
过
?ABO
的重心
G
，
OP?mOA
，
OQ?nO B
，试证明
出这个常数．
11
?
为常数，并求
mn

分析：根据两向量共线的充要条 件和平面向量基本定理，把题目中需要的向
量用基向量表达出来，本题的本质是点
P,G,Q< br>共线，利用这个关系寻找
m,n
所满足的方程．
解析：令
OA?a< br>，
OB?b
，则
OP?ma
，
OQ?nb
，设
AB
的中点为
M
， 显
然
OM?
121
(a?b ).
，因为
G
是
?ABC
的重心，所以
OG?OM??(a ?b)
．由
233
P
、
G
、
Q
三点共线， 有
PG
、
GQ
共线，所以，有且只有一个实数
?
，使 PG?
?
GQ
，而
PG?OG?OP?(a?b)?ma?(?m)a? b
，
111
GQ?OQ?OG?nb?(a?b)??a?(n?)b
，
333
1111
所以
(?m)a?b?
?
[?a?(n?) b]
．
3333
1
3
1
3
1
3
1
?
1
?m??
?
?
?
33
又因为
a
、
b
不共线，由平面向量基本定理得
?
，消去
?
，
?
1
?
?
(n?
1
)
?
3
?
3
11
??3
．结论得证．这个常数是
3
． < br>mn
【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平
面几何问 题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解
决的有关的问题表达出来，再根据平面 向量的有关知识加以处理．课标区已
整理得
3mn?m?n
，故

把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．

题型8 用导数研究三角函数问题 ：导数是我们在中学里引进的一个研究函
数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性， 特别是单调
性和最值．
例12. 已知函数
f(x)?cos
2
x ?2tsinxcosx?sin
2
x
，若函数
f(x)
在区间(,]
上是增函数，求实数
t
的取值范围．
126
??
??
分析：函数的
f
?
x
?
导数在
(,]
大于等于零恒成立．
126
??
解析：函数
f(x)
在区间(,]
上是增函数，则等价于不等式
f
?
(x)?0
在区
126
????
间
(,]
上恒成立，即
f
?
(x )??2sin2x?2tcos2x?0
在区间
(,]
上恒成立，
126 126
????
从而
t?tan2x
在区间
(,]
上恒成立 ， 而函数
y?tan2x
在区间
(,]
上
126126
? ?
,]
为增函数，所以函数
y?tan2x
在区间
(
上的最 大值为
126
?
y
max
?tan(2?)?3
，所以t?3
为所求．
6
点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解 决高中数学问题的
一种重要的思想意识，本题如将
f?
??
xsitn?2x c
2
?oxs
f(x)
化为
?2t
?
的形式，?1xsi
与
n
t
有关，
(2
讨论起来极
)< br>则
?
不方便，而借助于导数问题就很容易解决．

题型9 三角函数 性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产
生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合 运用我们的数学知识和数学
思想，全方位的多方向进行思考．
例13. 设二次函数
f(x)?x
2
?bx?c(b,c?R)
，已知不论
?
，
?
为何实数，恒
有
f(sin
?
)?0
和
f(2? cos
?
)?0
．
（1）求证：
b?c??1
；
（2）求证：
c?3
；
（3）若函数
f(sin
?)
的最大值为
8
，求
b
，
c
的值．
分析：由三角函数的有界性可以得出
f
?
1
?
?0
，再结合 有界性探求．
解析：（1）因为
?1?sin
?
?1
且
f (sin
?
)?0
恒成立，所以
f(1)?0
，又因为
1?2?co
?
s?
且
3
f(2?cos
?
)?0
恒成立，所以
f(1)?0
， 从而知
f(1)?0
，

1?b?c?0
，即
b?c??1
．
（2）由
1?2? c
?
)
os?
且
f(2?cos
?
)?0
恒成立得
f(3?
，
0
即
9?3b?c?0
，将
b??1?c
代如得
9?3?3c?c?0
，即
c?3
．
1?c
2
1?c
2
)?c?()
， （3）
f(s in
?
)?sin
2
?
?(?1?c)sin
?
? c?(sin
?
?
22
?
1?b?c?8
1?c
s in
?
??1
?2
因为，所以当时
[f(sin
?
)]
max
?8
， 由
?
， 解
2
1?b?c?0
?
得
b??4
，
c?3
．
?
f(sin
?
) ?0
点评：本题的关键是
b?c??1
，由
?
利用正余弦函数的有 界
f(2?cos
?
)?0
?
?
?
f
?< br>1
?
?0
性得出
?
，从而
f(1)?0
，使 问题解决，这里正余弦函数的有界性在
?
?
f
?
1
?
?0
起了重要作用．


【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．若
?
?[0,2
?
)
，且
1?cos
2
?
?1?sin
2
?
?sin
?
?cos
?
，则
?
的取值范围是
（ ）

?
A．
[0,]

2
?
B．
[,
?
]

2
C．
[
?
,
3
?
]

2
D．
[
3
?
,2
?
)

2
2．设
?
是锐角，且
lg(1?cos
?
)?m
，
lg


（ ）
A．
m?n

11
B．
(m?)

2n
1
?n
，则
lgsin
?
?

1?cos
?
C．
m?n

2
11
D．
(?n)

2m
。
3．若|a|?2sin15
0
,|b|?4cos15
0
，
a
与
b
的夹角为
30
，则
a?b?
（ ）
A．
3

2
B．
3
C．
23
D．
1

2
4．若
O
为
?ABC
的内心， 且满足
(OB?OC)?(OB?OC?2OA)?0
，则
?ABC
的形状为

A．等腰三角形

B．正三角形

C．直角三角形
（ ）
D．钝角三角形

5．在
?ABC
中，若


A．直角三角形
C．钝角三角形
??
abc
，则
?ABC
是
??
cosAcosBcosC
（ ）


??
B．等边三角形
D．等腰直角三角形
??
0)
、
OC?(2，2)
、
CA?(2cos
?
，2sin
?)
，则直线
OA
与直6．已知向量
OB?(2，
线
OB
的夹角的取值范围是
（ ）
?
5
?
?
5
?
A．
[，]
B．
[，]

1212412
二、填空题

5
??
，]

122

C．
[
?
D．
[0，]

4
7．
sin
6
x?cos
6
x?3sin
2
xcos
2
x
的化简结果是__________．
8．若向量
a
与
b
的夹角为
?
，则称
a?b
为它们的向量积，其长度为
，已 知
|a?
，
|b|?5
，且
a?b??4
，则
|a ?b|?
|a?b|?|a|?|b|s
?
in|1
___________ ____．
9． 一货轮航行到某处，测得灯塔
S
在货轮的北偏东
15?< br>，与灯塔
S
相距
20
海里，
随后货轮按北偏西
30?
的方向航行
30
分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，
则货轮的速度为每小时 海里．
三、解答题
2
sin2(?
?
)?4cos
?< br>1
2
10． 已知：
tan(
?
?
?
)??
，
tan(
?
?
?
)?
．
2
3
10cos
?
?sin2
?
?
（1）求
tan(
?
?
?
)
的值；
（2）求
tan
?
的值．





?
?
?
?
11． 已知函数
f
?
x
?
?3sin
?
2x?
?
?2sin
2
(x?)

?
x?R
?
．
6
?
12
?
（1）求函数
f
?
x
?
的最小正周期；
（2）求使函数
f
?
x
?
取得最大值的
x
的集合．

12．已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
，
b?(cos
?
,sin
?
)
，
a?b?
25
．
5
（1）求
cos(
?
?
?
)
的值;
?
?
5
（2）若
0?
?
?
，
??
?
?0
， 且
sin
?
??
， 求
sin
?
．
2213





【参考答案】
1．解析：B由已知可得
sin
?
?0< br>，且
cos
?
?0
，故得正确选项B．
2
2．解析：C
lg(1?cos
?
)??n
与
lg(1?cos
?
)?m
相加得
lg(1?cos
?
)? m?n
，∴
2lgsin
?
?m?n
，故选C．
。。。
3．解析：B
a?b?4sin30cos30?2sin60?3
，选B．
4．解析：A已知即
CB?(AB?AC)?0
，即边BC与顶角
?BAC
的平分线互相垂直，< br>这表明
?ABC
是一个以AB、AC为两腰的等腰三角形．
inB?cosB
，
sinC?cosC
，5．解析：B依题意，由正弦定理得
sinA?co sA
，且
s
故得．
A
点的轨迹方程为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
，由图6．解析：A由
|CA|?2
为定值，∴
??
形易知所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与
x
轴的夹角 ，故得．
7． 解析：
1
原式
?(sin
2
x?co s
2
x)
3
?3sin
4
xcos
2
x? 3sin
2
xcos
4
x?3sin
2
xcos
2
x
?1
．
433
sin
?
?
，∴
|a?b|?1?5??3
． 8．解析：
3
由夹角公式得
cos
?
??
，∴
555
9．
20(6?2)
解析：设轮速度为
x
海里小时，作出示意图，由正弦定理得
1
x
20
2
，解得
x?20(6?2)
．
?
sin30?sin105?
11
tan(
?
?
?)??
∴
tan
?
??
， 10．解析：（1）∵< br>33
sin(
?
?2
?
)?4cos
2
?< br>sin2
?
?4cos
2
?
tan(
?
?< br>?
)??
∵
22
10cos
?
?sin2
?
10cos
?
?sin2
?

2sin
?
cos
?
?4cos
2
?
2cos
?
(s in
?
?2cos
?
)
sin
?
?2cos
?
tan
?
?2
??
?
?

10co s
2
?
?2sin
?
cos
?
2cos
?
(5cos
?
?sin
?
)
5cos
?
? sin
?
5?tan
?
1
??2
5
∴
ta n(
?
?
?
)?
3
?
．
1
1 6
5?
3
51
?
tan(
?
?
?
)?tan
?
31
（2）∵ ，∴．
tan
?
? tan[(
?
?
?
)?
?
]
?
tan?
?
163
?
51
1?tan(
?
?
?
)tan
?
43
1??
163
??
??
11．解析：（1）因为
f
?
x
?
?3sin(2x?)?1?co s2
?
x?
?

6
?
12
?
?< br>3
?
?
1
?
?
?
??
?2
?
sin
?
2x?
?
?cos
?
2x?
?
?
?1
6
?
26
?
?
??
?2
?
?
?
?
?
?

?2sin?
?
2x?
?
?
?
?1

6
?
6
??
?
?
??
?2sin
?
2x?< br>?
?1
3
??
所以
f
?
x
?
的最小正周期
T?
2
?
?
?
．
2
??
?
??
（2）当
f
?
x?
取最大值时，此时
2x??2k
?
?

sin
?
2x?
?
?1
，
32
3
??
即
x?k
?
?
5
?

12
?
k?Z
?
，
?5
?
?
，所以所求的集合为
xx?k
?
?
k?Z
x
??
??

?
k?Z
?
．
12
??
12．解析：（1）a?(cos
?
,sin
?
)
，
b?(cos
?
,sin
?
)
，
?a?b?
?
cos
?
?cos
?
，sin
?
?si n
?
?
．
a?b?
25
，
?
5
?
cos
?
?cos
?
?
?
?
s in
?
?sin
?
?
43
s
?
?
?
?
?
． ，
?co
?
55
22
?
25
，
5
s?
?
?
?
即
2?2co
?
?
（2）
0?
?
??
?
?0,?0?
?
?
?
?
?
，
2234
cos
?
?
?
?
?
?
，
?sin
?
?
?
?
?
?.

55
,?
??

512
，
?cos
?
?
，
1313
?sin
?
? sin
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?sin
?
?
?
?
?
cos?
?cos
?
?
?
?
?
sin
?sin
?
??
4123
?
5
?
33
．
????
?
?
?
?
5135
?
13
?
65


第二章：平面向量

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

一．向量有关概念：
1．向 量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常
用有向线段来表示，注意不能说向量 就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：
已知A（1,2），B（4,2），则把向 量
AB
按向量
a
＝（－1,3）平移后得到的向
量是_____（答 ：（3,0））
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：
0
，注意零向量的方 向是任
意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB共线的单位
向量是
?
AB
)；
|AB|
4．相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传
递性；
5．平行向量（也叫共线 向量）：方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行
向量，记作：< br>a
∥
b
，规定零向量和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两
个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有
0
)；
AC
共线； ④三点
A、B、C
共线
?
AB、
6 ．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是－
a
。
如
下列命题：（1）若
a?b
，则
a?b
。（2）两个向 量相等的充要条件是它们的
起点相同，终点相同。（3）若
AB?DC
，则
A BCD
是平行四边形。（4）若
ABCD
是
,?c
，
,c< br>，平行四边形，则
AB?DC
。（5）若
a?bb
则
a?c< br>。（6）若
abb
则
ac
。
其中正确的是_______
（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
AB
，注意起点在前，终点在后； < br>2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如
a
，
b
，
c
等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单
位向量
i
，
j
为基底，则平面内的任一 向量
a
可表示为
a?xi?yj?
?
x,y
?
，称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标，
a
＝
?
x,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果向量的起点在
原 点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。


三．平面向量的基本定理：如果e
1
和e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么
对该平面内的任一向 量a，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使a=
?< br>1
e
1
＋
?
2
e
2
。
如
（1）若
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)
，则
c?< br>______
（答：
a?b
）；
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
e
1
?(0,0),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)

C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3),e
2
?(,?)

（答：B）；
（3）已知
AD,BE
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a,BE?b
,则
BC
可用 向量
a,b
表示为_____
（答：
a?b
）；
（4） 已知
?ABC
中，点
D
在
BC
边上，且
CD?2D B
，
CD?rAB?sAC
，
则
r?s
的值是___
（答：0）

四．实数与向量的积：实数
?
与向量
a的积是一个向量，记作
?
a
，它的长度和
方向规定如下：
?1
?
?
a?
?
a,
?
2
?
当
?
>0时，
?
a
的方向与
a
的方向相同，
当
?
<0时，
?
a
的方向与
a
的方向相反，当?
＝0时，
?
a?0
，注意：
?
a
≠
0。

五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量
a< br>，
b
，作
OA?a,OB?b
，
?AOB?
?

???????????????
1
2
3
2
1
2
3
4
2
3
4
3
?
0?
?
?
?
?
称为向量
a
，
b
的夹角，当
?< br>＝0时，
a
，
b
同向，当
?
＝
?
时 ，
a
，
b
反向，当
?
＝
?
时，
a
，
b
垂直。
2
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量
a
，
b
，它们的夹角为
?
，我们把

数量|a||b|cos
?
叫做
a
与
b
的数量积（或内积或 点积），记作：
a
?
b
，即
a
?
b
＝abcos
?
。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不
再是一个向量。如
（1）△ABC中，
|AB|?3
，
|AC|?4，
|BC|?5
，则
AB?BC?
_________
（答：－9）；
11
?
（2）已知
a?(1,),b?(0,?) ,c?a?kb,d?a?b
，
c
与
d
的夹角为，则
k等
22
4
?????????
于____
（答：1）；
（3）已知
a?2,b?5,ab??3
，则
a?b
等于____
（答：
23
）；
（4）已知
a,b
是两个非零向量，且< br>a?b?a?b
，则
a与a?b
的夹角为____
（答：
30
）
3．
b
在
a
上的投影为< br>|b|cos
?
，它是一个实数，但不一定大于0。如
已知
|a|? 3
，
|b|?5
，且
a?b?12
，则向量
a
在向 量
b
上的投影为______
12
（答：）
5
4．a
?
b
的几何意义：数量积
a
?
b
等于
a
的模
|a|
与
b
在
a
上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量
a
，
b
，其夹角为
?，则：
①
a?b?a?b?0
；
②当
a
，
b
同向时，
a
?
b
＝
ab
，特别地，
a? a?a?a,a?a
；当
a
与
2
2
2
??
??
??
b
不同向，
a?b?0
是
b
反向时，< br>a
?
b
＝－
ab
；当
?
为锐角时，
a
?
b
＞0，且
a、
?
为锐角的必要非充分条件；当
?
为钝角时，
a
?
b
＜0，且
a、 b
不反向，
a?b?0
是
?
为钝角的必要非充分条件；
a ?b
③非零向量
a
，
b
夹角
?
的计算公式：
cos
?
?
；④
|a?b|?|a||b|
。如
ab< br>（1）已知
a?(
?
,2
?
)
，
b?(3< br>?
,2)
，如果
a
与
b
的夹角为锐角，则
?
的取值
范围是______
41
（答：
?
??
或
?
?0
且
?
?
）；
33
??????? ?????
13
（2）已知
?OFQ
的面积为
S
，且
OF?FQ?1
，若
?S?
，则
OF,FQ
夹
22
角
?
的取值范围是_________
??
（答：
(,)
）；
43
（3）已知
a?(c oxs,xs?ibn),y(
a
cy
与
b
之间有关系式
k a?b?3a?kb,其中k?0
，①用
k
表示
a?b
；②求
a?b
的最小值，并求此时
a
与
??
??

b
的夹角
?
的大小
1
k
2
?1
(k?0 )
；②最小值为，
?
?60
） （答：①
a?b?
4k
2

六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用< br>于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设
AB?a,BC?b
，
那么向量
AC
叫做
a
与
b
的和，即
a? b?AB?BC?AC
；
②向量的减法：用“三角形法则”：设
AB?a,AC?b ,那么a?b?AB?AC?CA
，
由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与 被减向量的起点相同。
如
（1）化简：①
AB?BC?CD?
___；②< br>AB?AD?DC?
____；③
(AB?CD)?(AC?BD)?
____ _
（答：①
AD
；②
CB
；③
0
）；
（2）若正方形
ABCD
的边长为1，
AB?a,BC?b,AC?c
，则< br>|a?b?c|
＝
_____
（答：
22
）；
（ 3）若O是
ABC
所在平面内一点，且满足
OB?OC?OB?OC?2OA
，
则
ABC
的形状为____
（答：直角三角形）；
（4）若< br>D
为
?ABC
的边
BC
的中点，
?ABC
所 在平面内有一点
P
，满足
PA?BP?CP?0
，设
|AP|
?
?
，则
?
的值为___
|PD|
（答：2）； （5）若点
O
是
△ABC
的外心，且
OA?OB?CO?0，则
△ABC
的内角
C
为____
（答：
120
）；
2．坐标运算：设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则：
①向量的加减法运算：
a?b?(x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
)
。如
（1）已知点
A(2,3),B(5,4 )
，
C(7,10)
，若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
，则当
?
＝____
时，点P在第一、三象限的角平分线上
（答：）；
1
??
（2）已知
A(2,3),B(1,4),且A B?(sinx,cosy)
，
x,y?(?,)
，则
x?y?

222
1
2
?
?
或
?
）；
2< br>6
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
? (3,4),F
2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
，则合力（答：
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是
（答：（9,1））
②实数与向量的积：
?
a?
?
?x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1< br>,
?
y
1
?
。

③若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
，即一个向量的坐标等于表
示这个向量的有向线段的终点坐标减去起 点坐标。如
设
A(2,3),B(?1,5)
，且
AC?AB
1< br>3
，
AD?3AB
，则C、D的坐标分别是__________
（答：
(1,),(?7,9)
）；
11
3
④平面向量数 量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2。如
已知向量
a
＝（sinx，cosx）,
b
＝（sinx，sinx）,
c
＝（－1，0）。（1）若x
?
3
??
＝，求向量
a
、
c
的夹角；（2）若x∈< br>[?,]
，函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为
84
3
1
，求
?
的值
2
1
（答：
(1)150;(2)
或
?2?1
）；
2
⑤向量的模：
|a|?x
2
?y
2
,a?|a|
2
?x
2
?y
2
。如
已知
a,b
均为单位向量，它们的夹角为
60
，那么
|a?3b|
＝_____
（答：
13
）；
⑥两点间的距离：若
A
?
x< br>1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
|AB|?
如
如图，在平面斜坐标系
xOy< br>中，
?xOy?60
，平面上任一点P
关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
OP?xe
1
?ye
2
，其中
e
1
,e< br>2
分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为
(x,y)
。（1）
若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O
为圆心，1为半径的 圆在斜坐标系
xOy
中的方程。
（答：（1）2；（2）
x
2?y
2
?xy?1?0
）；

七．向量的运算律：
1．交换律：
a?b?b?a
，
??
a?
?
??
?
a
，
a?b?b?a
；
2
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?< br>22
。
??
???????
3．分配律：
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a,
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
，
?a?b
?
?c?a?c?b?c
。
如
?????????? ???
??
a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c
，
?
a?b?
?
a?b?a?
?
b
；2．结合律：
???
下列命题中：①
a?(b?c)?a?b?a?c
；②
a?(b?c)?(a?b)?c
；③
(a?b)
2
?|a|
2

?2|a|?|b|?|b|
；④ 若
a?b?0
，则
a?0
或
b?0
；⑤若
a?b?c?b,
则
a?c
；⑥
a?a
；⑦
2
2
?
???
2
??
??a?b
a
2
?
b
a
；⑧
(a?b)
2
?a?b
；⑨
(a?b)
2
?a?2a?b?b
。其中正确 的是
（答：①⑥⑨）
2222
______

提醒：（1） 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，
可以移项，两边平方、两边同乘以一个 实数，两边同时取模，两边同乘以一个向
量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切 记两向量不能相
除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
a(b?c)?(a?b )c
，为什么？

八．向量平行(共线)的充要条件：
ab?a?
?
b
?(a?b)
2
?(|a||b|)
2
?x
1
y
2
?y
1
x
2
＝
0。如
(1 )若向量
a?(x,1),b?(4,x)
，当
x
＝_____时
a
与
b
共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知
a?(1 ,1),b?(4,x)
，
u?a?2b
，
v?2a?b
，且
uv
，则x
＝
______
（答：4）；
（3）设
P A?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)
，则k
＝
_____时， A,B,C共线
（答：－2或11）

九．向量垂直的充要条件：
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.特
别地
(
AB
AB
?
AC
AC
)?(
AB
AB
?
AC
AC
)
。如
(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
，若
OA?OB
，则
m?

3
）；
2
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OA B，
?B?90?
，则
点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知
n?(a,b),
向量< br>n?m
，且
n?m
，则
m
的坐标是________
（答：
（答：
(b,?a)或(?b,a)
）



十．线段的定比分点：
1．定比分点的概念：设点P是直线P
1
P
2
上异于P
1
、P
2
的任意一点，若存
在一个实 数
?
，使
PP?
?
PP
2
，则
?
叫做点P分有向线段
PP
1
12
所成的比，P点叫
?
的定 比分点； 做有向线段
PP
12
的以定比为
?
的符号与分点P的位置 之间的关系：2．当P点在线段 P
1
P
2
上时
?
?
>0；
当P点在线段 P
1
P
2
的延长线上时
?
?
<－1；当P点在线段 P
2
P
1
的延长线上时
??1?
?
?0
； 若点P分有向线段
PP
?
，则点P分有向线段
P
2
P
12
所成的比为
1
所
1
成的比为。如
?
3若点
P
分
AB
所成的比为，则
A
分
BP
所成的比为_______
4
7
（答：
?
）
3

3．线段的定比分点公式：设
Px
1
,y
1
)、
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P (x,y)
分有向线段
PP
1
(
12
所
?
x?
?
?
成的比为
?
，则
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?，特别地，当
?
＝1时，就得到线段P
1
P
2
的中点公
y
1
?
?
y
2
1?
?
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
?
式。在 使用定比分点的坐标公式时，应明确
(x,y)
，
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
?
y?
y
1
?y
2
?
?2
的意义，即分别为分点，起点， 终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵
活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定 比
?
。如
???
1
???
（1）若M（-3，-2），N （6，-1），且
MP??MN
，则点P的坐标为_______
3
7
（答：
(?6,?)
）；
3
（2）已知A(a,0),B(3,2?a)
，直线
y?ax
与线段
AB
交 于
M
，且
AM?2MB
，
则
a
等于_______
（答：２或－４）

x
?
?xh?
十一．平移公式：如果 点
P(x,y)
按向量
a?
?
h,k
?
平移至P(x
?
,y
?
)
，则
?
；
?
?
?
y
?
?yk
1
2
曲线
f(x,y) ?0
按向量
a?
?
h,k
?
平移得曲线
f(x?h ,y?k)?0
.注意：（1）函数按
向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移 具有坐标不变性，可别
忘了啊！如
（1）按向量
a
把
(2,?3)
平移到
(1,?2)
，则按向量
a
把点
(?7,2)
平移到点______
（答：（－８，３））；
（2）函数
y?sin2x的图象按向量
a
平移后，所得函数的解析式是
y?cos2x?1
，则< br>a
＝________
?
?
（答：
(?
?
4
,1)
）



12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
b
同向或有< br>0
?
（2）
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
，特别 地，当
a、
|a?b|?|a|?|b|

b
反向或有
0
?
|a?b|?
b
当
a、
当
a、
?
||a|?|b||?|a?b|
；
?
|a
|a|?|b|
|?||b|?a?|b
；
不共线
?
|a
(这些和实数比较类似).
||?|b|?a?|b|?|a|?|b

（3） 在
?ABC
中，①若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则其重心的坐标为
?
x ?x?xy?y
2
?y
3
?
G
?
123
,
1
?
。如
33
??
若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC
的重心的坐标为_______
24
（答：
(?,)
）；
33
②
PG?
1
(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心，特别地< br>3
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC
的重心；
③
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心；
④向量
?
(
AB
?
AC
)(
?
? 0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分
|A B||AC|
线所在直线)；
⑤
|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心；
?
，点
M
为平面内的任一点，则（3）若P分有向线段
PP
12
所成的比为
MP?
MP
MP
1
?MP
2
；
1
?
?
MP
2
，特别地
P
为
PP
的中点
?MP?
12
2
1?
?
、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得（4）向量
PA、 PB、 PC
中三终点
A、B
且
?
?
?
?1
.如
PA?
?
PB?
?
PC
平面直角坐标系中，
O为坐标原点，已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
?R
且
?
1< br>?
?
2
?1
,则点
C
的轨迹是_______
（答：直线AB）

???
??????
平面向量高考题练习：
一、平面向量的概念及基本运算
1.（2008安徽卷理3文2）在平行四边形ABCD中， AC为一条对角线，若
AB?(2,4)
，
AC?(1,3)
,则
B D?
（ ）
A．
(-2,-4)

D．
(2,4)


2.（2008广东卷文3）已知平面向量
a? (1,2)
，
b?(?2,m)
，且
a

b
，则B．
(-3,-5)
C．
(3,5)

2a?3b
＝（ ）
A、
(?5,?10)
B、
(?4,?8)
C、
(?3,?6)
D、
(?2,?4)

3.（2008海南宁夏卷理8文9 ）平面向量
a
，
b
共线的充要条件是（ ）
A.
a
，
b
方向相同 B.
a
，
b
两向量中至少有一个为零向量

C.
?
?
?R
，
b?
?
a
D. 存 在不全为零的实数
?
1
，
?
2
，
?
1a?
?
2
b?0


4.（2008海南宁夏卷文5） 已知平面向量
a
=（1，－3），
b
=（4，－2），
?
a ?b
与
a
垂直，则
?
是（ ）
A. －1
D. 2

5.（2008辽宁卷文5）已知四边形
ABCD
的三 个顶点
A(0，2)
，
B(?1，?2)
，
C(31)，
， 且
BC?2AD
，则顶点
D
的坐标为（ ）
B. 1 C. －2
?
7
?
A．
?
2，
?

?
2
?
1
??
B．
?
2，?
?

2
??
C．
(3，2)
D．
(1，3)


6.（20 08全国Ⅰ卷理3文5）在
△ABC
中，
AB?c
，
AC?b
．若点
D
满
足
BD?2DC
，则
AD?

2152
A．
b?c
B．
c?b

3333

21
C．
b?c

33
12
D．
b?c

33
7.（2008上海春 卷13）已知向量
a?(2,?3),b?(3,
?
)
，若
ab，则
?
等于( )
29
（A）. （B）
?2
. （C）
?
. （D）
32
2
?

3

8.（2008全国Ⅱ卷理 13文13）设向量
a?(1，，
若向量
?
a?b
与
2)b ?(2，3)
，
?7)
共线，则
?
?
． 向量
c?(?4，

9.(2009年广东卷文)已知平面向量
a
= ，
b
=， 则向量
a?b

（x,1）
（－x,x
2
）
A平行于
x
轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于
y
轴 D.平行于第二、四象限的角平分线

10.(2009山东卷理)设P是△ABC所在 平面内的一点，
BC?BA?2BP
，则
（ ）
A.
PA?PB?0
B.
PC?PA?0
C.
PB?PC?0
D.
PA?PB?PC?0


11.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b

12.（2009陕西卷文）在
?ABC
中,M是BC的 中点，AM=1,点P在AM上且满
足学
PA?2PM
,则科网
PA?(PB ?PC)
等于
4444
（A） （B） （C）
?
(D)
?

9339

13.（2009重庆卷文）已知向量
a?(1,1),b?(2 ,x),
若
a+b
与
4b?2a
平行，
则实数
x< br>的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1

14.（2009广 东卷理）若平面向量
a
，
b
满足
a?b?1
，
a? b
平行于
x
轴，
b?(2,?1)
，则
a?
.

15.（2009江西卷理）已知向量
a?(3,1 )
，
b?(1,3)
，
c?(k,7)
，若
(a?c)∥
b
，则
k
= ．


D．2

二、平面向量的数量积
1.（2008湖南卷文7）在
?A BC
中，则
ABAC?
BC=10
，
AB=3,AC=2
，
( )
A．
?
3223
B．
?
C． D．
32
23
?

2．（2008四川延考文10）已知两个单位向量< br>a
与
b
的夹角为
?
，则
a?
?
b< br>与
3
?
a?b
互相垂直的充要条件是（ ）
A．
?
??
11
3
3
或
?
?
B．
?
??
或
?
?
C．
?
??1
或
?
?1

22
2
2
D．
?
为任意实数
3.（2008北京 卷理10）已知向量
a
与
b
的夹角为
120
，且
a ?b?4
，那么
b(2a?b)
的值为 ．

4.（2008江苏卷5）
a,b
的夹角为
120
0
，
a ?1,b?3
，则
5a?b?
。

5. （2008江西卷理13）直角坐标平面上三点
A(1,2)、B(3,?2)、C(9,7)
，若
E、F
为线段
BC
的三等分点，则
AE?AF
= ．
6.（2009陕西卷文）在
?ABC
中,M是BC的中点，AM=1,点P在A M上且满
足学
PA?2PM
,则科网
PA?(PB?PC)
等于
4444
（A） （B） （C）
?
(D)
?

9339

7.（2009宁夏海南卷文）已知
a?
?
?3 ,2
?
,b?
?
?1,0
?
，向量
?
a? b
与
a?2b
垂直，则实数
?
的值为
（A）
?

1111
（B） （C）
?
（D）
7766

8.（2009 重庆卷理）已知
a?1,b?6,a(b?a)?2
，则向量
a
与向量
b
的
夹角是（ ）
??
A． B．
64

C．
?

3
D．
?

2
9.（2009江西卷文）已知向量
a?(3,1)
，
c?(k,2)
，若
(a?c)?b

b?(1,3)
，
则
k
= ．

10.（2008陕西卷理15文15）关于平面向量
a，b，c
．有下列三个命题：
①若
ab=ac
，则
b?c
．
②若
a?(1，k )，b?(?2，6)
，
a∥b
，则
k??3
．
③非零向 量
a
和
b
满足
|a|?|b|?|a?b|
，则
a
与
a?b
的夹角为
60
．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
?????
11.（08上海卷理5文5）若向量
?< br>a
、
b
满足|
a
|＝1，|
b
|＝2，且< br>a
与
b
?
的夹角为，则|
?
+
?
a b
|＝
3

12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量
a?
?
2,1
?
,a?b?10,|a?b|?52
，则
|b|?


A.
5


13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为
60
0
，
a?(2, 0)
，
b?1
则
B.
10
C.
5
D.
25

a?2b?

（A）
3
(B)
23
(C) 4 (D)12

14.（08天津卷理14）如图，在平行四 边形
ABCD
中，
D
C
AC?
?
1,2
?
,BD?
?
?3,
?
2
，则
AD?AC?
.
源头学子
A
B

15.（08天津卷文14）已 知平面向量
a?(2，
若
c?a?(ab)b
，
4)
，b?(?1，2)
，
则
c?
．

16.（2008浙江卷理9）已知
a
，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若
向 量
c
满足
(a?c)?(b?c)?0
,则
c
的最大值是
（A）1 （B）2 （C）
2
（D）
2

2
17．（2008四川延考理10）已知两个单位向量
a
与
b
的夹角为
135?
，则
|a?
?
b |?1
的充要条件是
（A）
?
?(0,2)
（B）
?
?(?2,0)

（C）
?
?(??,0)(2,??)
（D）
?
?(??,?2)(2,??)

18.（08浙江卷文16）已知
a
是平面内的单位向量，若向量
b
满足
b(a?b)?0
， 则
|b|
的取值范围是 。
19.（2009全国卷Ⅰ理）设< br>a
、
b
、
c
是单位向量，且
a
?
b
＝0，则
?
a?c
?
?
?
b?c
?
的最小值为 ( )
（A）
?2
（B）
2?2
（C）
?1
(D)
1?2

20.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量
a
、b
、
c
满足
|a|?|b|?|c|,a?b?c
，
则
?a,b??

（A）150°（B）120° （C）60° （D）30°