天津高中数学谁讲的好-吉大附中高中数学抽象函数
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第一章 三角函数
一、基本概念
(1)任意角
①正角:按逆时针方向旋转的角
②负角:按顺时针方向旋转的角
③零角:不做任何旋转形成的角
(2)任意角的大小
①角度制
设角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,若
?<
br>?30
,则终边
在其上的角的集合为
0
?
?
?
?30
0
?k?360
0
,k?Z
?
??
终边在
y
轴上的角的集合为
?
???k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?
360?
?
,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
??
?k?180,k??
②弧度制
弧度制是角度的另一种表示方法.
概念:把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位:
rad
.
有概念可得:<1>角度制和弧度制单位换算:
1rad?
180
?
,则1?
?
?
180
<2>设
?
是半径是
r
的圆,弧长为
l
所对应的圆心角.
则
?
?
③角度制和弧度制单位换算
1rad?
l
r
180
?
,则
1?
?
?
180
常见的角度制和弧度制的转化:
角
度
0
?
30
?
45
?
60
?
90
?
120
?
13
5
?
150
?
180
?
270
?
360<
br>?
文案大全
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弧
度
0
?
6
?
4
?
3
?
2
2
?
3
3
?
4
5
?
6
?
3
?
2
2
?
(4)象限角(任意角的归类)
设角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象
限,
则称
?
为第几象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?<
br>?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集
合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??<
br>?
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
二、三角函数
(1)求三角函数值
设
?
是任意角,它的终边与
圆心在原点的圆交于点
P
?
x,y
?
,那么
s
in
?
?
y
x
2
?y
2
、
cos
?
?
x
x
2
?y
2
、
tan?
?
y
x
y
x
① 特例:若原
始单位圆,则
sin
?
?y
、
cos
?
?x
、
tan
?
?
② 终点在
y
轴的角的正切值不存在
③
sin
2
?
?cos
2
?
?1、
tan
?
?
sin
?
(★★★★★)
cos
?
④ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即
?
?<
br>?k?2
?
?
?sin
?
、
cos
?
?
?k?2
?
?
?cos
?
、
tan
?
?
?k?
?
?
?tan
?
sin
其中
k?z
⑤
三角函数在各象限的符号:
第一象限
第二象限
第三象限
sin
?
+
+
-
cos
?
+
-
-
tan
?
+
-
+
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第四象限
- + -
(2)三角函数图像与性质
1) 正弦函数图像
<1>图像来源
①描点法(略)
②平移、拉伸
A、
y?sinx
的图象上所有点向左(右
)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图
象上所有点的横坐标伸长
(缩短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函数
y
?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再
?
将函
数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐
标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横
坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
B、
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
倍(纵坐标不
?
变),得
到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?x
的图象上所有点向左(右)
平移
?
个单位长度,得到函数
y?
sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩
短)到原来的
?
倍(横坐标
不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
<2>图像性质
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
A、.振幅:
?
;B、周期:
??
E、初相:
?
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2
?
?
;C、.频率:
f?
1
?
?
;D、相位:
?
x?
?
;
?2
?
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F、函数<
br>y?Acos
?
wx?
?
??
A?0,w?0
?,
x
1
、
x
2
为相邻的取得函数最大值与
函数最小值的自变量的取值,则
??
<3>诱导公式
A、
sin
?
x?2k
?
?
?sinx
?
k?Z
?
:函数
sinx
图像周期性
B、
sin
?
x?
?
?
??sinx
:函数
s
inx
图像在任意相距
?
的两个自变量所对应的
函数值互为相反数
C、
sin
?
?
??
??sin
?
:函数
sinx
图像关于原点对称,或者函数<
br>sinx
图像在
互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数
D、
sin<
br>?
?
?
?
?
?sin
?
:函数
si
nx
图像关于
x?
2)余弦函数
<1>余弦函数图像来源(略)
①描点法(五点法)
②平移旋转
<2>图像性质
函数
y
?Acos
?
wx?
?
??
A?0,w?0
?
的性
质:
A、.振幅:
?
;B、周期:
??
E、初相:
?
F、函数
y?Acos
?<
br>wx?
?
??
A?0,w?0
?
,
x
1、
x
2
为相邻的取得函数最大值与
函数最小值的自变量的取值,则
??
<3>诱导公式
A、
cos
?
x?2k
?
?
?cosx
?
k?Z?
:函数
cosx
图像周期性
B、
cos
?
x?
?
?
??cosx
:函数
cosx
图像在任意相距
?
的 两个自变量所对应
的函数值相反
C、
cos
?
?
?
?
?cos
?
:函数
cosx
图像关于
y
轴对称,
或函数
cosx
图像在互为
相反数的两个自变量所对应的函数值相等
1?
?
y
max
?ymin
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
22
?
2
对称
2
?
?
;C、.频率:
f?
1
?
;D、相位:?
x?
?
;
?
?2
?
1?
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2
?x<
br>1
?
x
1
?x
2
?
22
文案大全
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D、
cos<
br>?
?
?
?
?
??cos
?
:函数
c
osx
图像关于
?
3)正切函数
<1>诱导公式
?
?
?
,0
?
对称
?
2
?
A、
tan
?
x?k
?
?
?tanx
?
k?Z
?
:函数
tan
x
图像周期性
B、
tan
?
?
?
?
??tan
?
:函数
tanx
图像关于原点对
称,或函数
tanx
图像在互
为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数
C、
tan?
?
?
?
?
??tan
?
:函数
ta
nx
图像关于
?
4)正弦函数与余弦函数关系:
<1>诱导公式
A、函数
cosx
是由
sinx向左平移而来的,即
sin
?
?
?
?
,0
?<
br>对称
2
??
?
?
?
?x
?
?cosx
?
2
?
B、
sin
?
??
?
?
?x
?
?cosx
函数
cosx
与
sinx
的图像关于
x?
对称
4
?
2
?
5) 三角函数表格:
函
数
y?sinx
性
质
y?cosx
y?tanx
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
?
?1,1
?
?
?1,1
?
R
文案大全
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当
x?2k
?
?
时,
?
2
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k
??
?
时,
最
值
y
max
?1<
br>;当
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
既无最大值也无最小值
x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
?
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周
期
性
奇
偶
性
2
?
2
?
奇函数 偶函数 奇函数
在
?
2k
?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
?<
br>?
2
?
?
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
是增
函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
在
?
k
?
?
单
?
k??
?<
br>上是增函数;在
调
?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
??
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
2
?
?
22
?
?
k??
?
上是减
函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对
称
称
对
性
x?k
?
?
?
?
k??
?
?<
br>??
称中心
?
k
?
?,0
?
?
k?
?
?
2
??
轴
对称轴
x?k
?
?
k??
?
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
无对称轴
2
(3)三角函数的诱导公式
?
1
?
sin
?
2k
?
?
??
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?<
br>?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
???cos
?
,
tan
?
?
?
?
?<
br>?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
??
?
?
?
?sin
?
,
cos
??
?
?
?
??cos
?
,
tan
?<
br>?
?
?
?
??tan
?
.
?
5<
br>?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?cos
?
cos
?
?
??
?sin
?
?
6
?
sin
?
??
?
?cos
?
?
2
??
2
??2
?
,.
?
,
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?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
?
2
?<
br>.
小结:
① 图像中
w
的作用是压缩或者伸长,影响的是
周期、单调区间;
?
的作用是平移,影
响的是奇偶性;
A
的作用是纵
向拉伸,影响的是最值、值域。
② 一般地,函数
y?Asin
?
wx?<
br>?
??
A?0.w?0
?
的图像,可以看成是由下面的方法得
到的:先画出
y?sinx
的图像;再把正弦曲线向左(右)平移
?
个单位长
度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图像;然后使曲线上
各点的横坐标变为原来的
1
倍,得到函数
w
y?sin
?
w
x?
?
?
的图像;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
A
倍,这时
的曲线就是函
数
y?Asin
?
wx?
?
?
的图像
。
③
y?Asin
?
wx?
?
?
由y?sin
x
平移拉伸而来,但是用此方法画
y?Asin
?
wx?
?
?
图
像较繁琐. 方法是“五点(画图法)”!原因就是说任何
y?Asi
n
?
wx?
?
?
的图像都可以由
y?sinx
平移
,压缩,拉伸而来的,所以说
y?sinx
的一个周期中的五个点对应到
y?Asin
?
wx?
?
?
的五个点也是一个周期,
w?0
注定
单调性也是一致的
④
A
是振幅,
wx?
?
是相位,
?
是初相,周期
T?
2
?
1w
,频率
f??
wT2
?
第二章 平面向量
一、基本概念
向量:既有大小,又有方向的量
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.
零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
二、向量的运算
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(1)向量的加法
①三角形法则的特点:首尾相连
②平行四边形法则的特点:共起点
③三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
当a,b不共线时,
a?b?a?b?a?b
当a,b同向时,
a?b?a?b
当a,b反向时,
a?b?a?b
④运算性质:
A、交换律:
a?b?b?a
B、结合律:
a?b?c?a?b?c
C、
a?0?0?a?a
⑤坐标运算:设
a?
?x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?
x
2
,y
1
?y
2
?
(2)
向量的减法:
①三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
②转化成加法
a?b?a?
?
?b
?
注:
AB??BA
③坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
(3) 向量的数乘:
①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
、
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a<
br>、
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
、
?
?
?
?
a??
?<
br>?
a
?
?
?
?
?a
?
、
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
?
a?
????
C
a
b
?
?
a?b??C?????C
?
a
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相
反;当
?
?0
时,
?
a?0
⑧向量共线定理:
向量
a
?
a?0
?
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
文案大全
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b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
bb?0
共线
⑨坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
(4) 平面向量基本定理:
如果
e
1
、那么对于这一平面内的任意向量
a
,
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,
有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e<
br>1
、
e
2
作为这一
平面内所有向量的一组基底)
(5) 分点坐标公式:
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,当<
br>
??
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
就为中点公式
)
时,点的坐标是
???
?
??
?
??
?
?1时,
2
1
1?
?
1?
?
??
(6)
平面向量的数量积:
①
a?b?abcos<
br>?
a?0,b?0,0?
?
?180
零向量与任一向量的数量积为
0
.
②性质:设
a
和
b都是非零向量,则
a?b?a?b?0
设
a
与
b
同向时,
a?b?ab
、
a?a?a?a
或<
br>a?a?a
设
a
与
b
反向时,
a?b??ab
2
2
??
a?b?ab
当且仅当
a
、
b
是共线向量时满足等号成立
③运算律:
a?b?b?a
、
?
?
a
?
?
b?
?
a?b?a?
?
b
、
a?b?c?a?c?b?c<
br>????
??
?
a?b
?
?a?2ab?b
?
a?b
?
?a?2ab?b
222
?a?2abcos
?
?b
?
是a,b夹角
?a
22
2
222
??
?
2abcos
?
?b
?
?
是a,b夹角
?
2
2
④坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,
y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y<
br>2
设
a?
?
x,y
?<
br>,则
a?x?y
,或
a?
2
2
x
2
?y
2
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y<
br>2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
文案大全
实用文档
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,
则
cos
?
?
第三章
三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
:
⑴
cos
⑶
sin
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x
?y
2
2
2
2
.
?
?
?
??
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos<
br>?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷
sin
?
?
?<
br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?<
br>?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?<
br>
?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?<
br>
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
?
tan
?
?tan
?
?tan?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
、
1?tan
?
tan
?
⑸
tan<
br>⑹
tan
22
?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
??
?
?2cos
?
sin
?
?sin
?
?sin
?
?2cossin
(8)
22
(7)
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
??
?
?2sin
?
cos
?
?sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
cos
?
?
?
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
?1?sin2
??sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
cos2
?
?cos
2
222
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?
,1?cos
?
?2sin
2
1?cos
?
222
1?cos
?
cos2
?
?11?cos2
?
1
?cos2
?
2
,
sin
?
?
?tan
2
?
?
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
1?cos2
?
2
?
升幂公式<
br>1?cos
?
?2cos
?
?tan
2
?
?
tan2
?
?
三、
2tan
?
.
1?tan
2
?
万能公式:
αα
1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα? αα
1?tan
2
1?tan
2
22
2tan
四、合一变形(★★★★)
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(1)
asinx?bcosx?
??
ab
?
a
2
?b
2
?
sinx?cosx
?
2
?<
br>222
a?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
?
sinxcos
?
?si
n
?
cosx
?
?a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
?
tan
?
?
?
?
b
?
?
<
br>a
?
(2)
asinx?bcosx?
??
ab
?<
br>
a
2
?b
2
?
sinx?cosx
?2
?
222
a?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
?
sin
?
sinx?co
s
?
cosx
?
?a
2
?b
2
cos
?
x?
?
?
?
tan
?
?
?
?
a
?
?
b
?
文案大全
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例1、(课本例题,
P<
br>19
)已知
sin
?
??
3
,求
cos?
、
tan
?
的值
5
目的:已知某角的正切、正弦、余弦三者之一,快速求其余两个
3
?0
,且
sin
?
??1
,所以
?
是第三或第四象限
5
16
22
22
由于
sin
?
?cos
?
?1
得:
cos
?
?1?sin<
br>?
?
25
3
?
4
sin
?
3
若
?
是第三象限角,则
cos
?
??
,
tan?
??
5
?
5
cos
?
?
4
4
5
3
?
4
sin
?
3
若
?
是第四象限角,则
cos
?
?
,
tan
?
??
5
??
4
5
cos
?
4
5
解析一:因为
s
in
?
??
2
?
2
?
3
?
?cos
?
?
?
?
?
?1
?
sin2
?
?cos
2
?
?1
?
5
?
?
?
解析二:联立方程组
?
即是
?
si
n
?
3
?
?
?
tan
?
?
cos
?
?
?
tan
?
?
5
cos
?<
br>?
则可得:
cos
?
??
4343<
br>、
tan
?
?
或
cos
?
?
、tan
?
??
5454
思路:此题若是一道选择题,用方法一、方法二太繁琐!
方法:①我们先判断
?
是第三或第四象限
②若?
是第三象限角,则
cos
?
?0
、
tan
?
?0
. 我们心里可以假设一个
3
.
所以
?
的对边是3,
5
43
斜边是5. 有勾股定理可得邻边是4,故
cos
?
?
、
tan?
?
,然后
54
4343
判断符号即可得到
cos
?
??
、
tan
?
?或
cos
?
?
、
tan
?
??
5454
直角三角形,假设一个角是
?
,因为
sin
?
??
例2、(课本练习
P
20
、证
明
P
22
)
目的:快速应用
sin
2
?
?cos
2
?
?1
、
tan
?
?
sin
?
进行恒等变形
cos
?
(1)
si
n
4
?
?cos
4
?
?sin
2
?
?cos
2
?
44
??
?2sin
2
2
?
cos
2
?
?1?2sin
2
?
cos
2
?
2
sin
?
?cos
?
?sin
?
?cos
?
sin
?
?co
s
?
?sin
?
?cos
?
(2)
1?2sinxcosx?
?
cosx?sinx
?
2
?
22
??
2
?
22
文案大全
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(3)
1?tanxcosx?sinxsinx?cosxtanx?1
、、
??
1?tanxcosx?sinxsinx?cosxtanx?1
22
?
1
?sinx
?
1?sinx
?
1?sinx
??
1?sinx
??
1?sinx
?
???
1?sinx
?
1?sinx
??
1?sinx
?
1?s
in
2
xcos
2
x
2
sin
2
x1?
22
?
2
?
1?cosx
?
?
(4)
tanx?sinx??sinx?sinx
?
?1
?
?si
nx
?
222
??
cosxcosxcosx
??
??
22
?
sin
2
x
?
22
?
?sinx
?
?sinxtanx
?
cos
2<
br>x
?
??
2
例3、(课本例题
P
26
、P
27
)(1)证明:
sin
?
?
3
?
?
?x
?
??cosx
?
2
?
??
??
11
?
?
sin
?
2
?
?x
?
cos
?
?
?x
?
cos
??x
?
cos
?
?x
?
?
2
??2
?
(2)化简
?
9
?
?
cos
?
?
?x
?
sin
?
3
?
?x
?
sin
?
?
?
?x
?<
br>sin
?
?x
?
?
2
?
目的:灵活应用三角函数的诱导公式
(1)解析①
第一步,利用
y?sinx
图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数
值互为相反数,即是
sin
?
?
3
?
??
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
第二步,利用
y?sinx
22
????
?
?
?
?
3
?
?
?x
?
?cosx
,故
sin<
br>?
?x
?
??cosx
?
2
??
2
?
y?c
osx
关于
x?
?
4
对称得
sin
?
② 第一步,利用
y?sinx
图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数
值互为相反数,即是
sin
?
?
3
?
??
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
第二步,利用
y?sinx
22
????
?
?
?
?x
?
?cos
?
?x
?
第三步
?
2
?
?
3
?
?
?x
?
??cos
x
?
2
?
图像是由
y?cosx
图像平移而来的,故
sin
?
y?cosx
的图像关于
y
轴对称故
cos
?
?x
?
?cosx
故
sin
?
(2)解析:
sin
?
2
?
?x
?
?sin
?
?x?
??sinx
cos
?
?
?x
?
??cosx
文案大全
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c
os
?
?
?
?
?x
?
?sin
?
?
?x
?
??sinx
?
2
?
?
11
?
??
3
?
??
?
?
?x
?
?cos
?
?x
?
??cos
?
?x
?
??sinx
?
2
??
2
??
2
?
cos
?
cos
?
?<
br>?x
?
??cos
?
?x
?
??cosx
sin
?
3
?
?x?
?sin
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
??
?
?sinx
?
?sinx
sin
?
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
??
?
?sinx
?
?sinx
sin
?
?
9
?
??
?
?
?x
?
?sin
?
?x
??cosx
?
2
??
2
?
思考:奇变偶不变,符号看象限!
小结:(1)对于此类型题,我们的方法一般式:周期性、半周期、函数平移或奇
偶性
(2)思考:奇变偶不变,符号看象限(理解记忆!)
例4、(课本探究
P
31
)你能根据诱导公式,以正弦函数的图像为基础,通过适当
的图像变形
得到余弦函数的图像吗?
目的:用正余弦函数图像来解释诱导公式
sin
?
x?
们能灵活应用公式!
解析:
sin
?
x?
?
?
?
?
?
?cosx
的含义,一变我
2
?
?
?
?
?
?
?cosx
告诉我们:正弦函数<
br>y?sinx
的自变量取值比余弦
2
?
函数
y?cosx
自变量取值大
余弦函数向右平移而来的
小结:思考其他诱导公式的含义!
?
时,函数值相等,即是:正弦函数是由
2
例5、(课本思考
P<
br>33
)你能否从函数图像变换的角度,利用函数
y?sinx,x?
?
0,2
?
?
的图像
来得到
y?1?sinx,x
?
?
0,2
?
?
的图像?同样的,能否从函数
y?cosx
,x?
?
0,2
?
?
的图像得到函数<
br>y??cosx,x?
?
0,2
?
?
的图像?
目的:函数的平移、对称、旋转
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解
析:
y?1?sinx,x?
?
0,2
?
?
图像是由
y?sinx,x?
?
0,2
?
?
的图像向上平移1个单位
长度而来的,理由:相等的自变量取值,
y?1?sinx,x??
0,2
?
?
的函数值总比
y?sinx,x?
?
0,2
?
?
的函数值大1
函数
y??cosx,x?
?
0,2
?
?
的图像是由函数<
br>y?cosx,x?
?
0,2
?
?
的图像关于
x
轴对称而来的,理由:相等的自变量取值,
y??cosx,x?
?
0,2
?
?
的函数值与
y?cosx,x?
?
0,2
?
?
的函数值互为相反数
思考:如何求函数平移、对称、旋转(特例关于原点对称),比如说:已知函数是奇函
数,且已知
x?0
时的函数表达式,求
x?0
时的函数表达式?
例
6、(课本思考
P
35
)求下列函数的周期:
y?3cosx,x?R
、
y?sin2x,x?R
、
y?2sin
?
量有关
目的:利用周期函数的概念(或函数平移旋转对称)求三角函数的周期
解析一:
y
?2sin
?
?
??
1
x?
?
,x?R
,
并从中你归纳这些函数的周期与解析式中的哪些
6
??
2
?
??
??
1
?
1
x?
?
,x?R
,设周
期是
k
?
,则
2sin
?
?
x?k
??
?
?
6
?
6
??
2
?
2
?2sin
?
?
?
?
k
?
?
1<
br>?
1
x?
?
,整理得
2sin
?
x??6
?
62
?
2
?
2
?
???
1
?
?2sin
?
x?
?
,则可知
6
???
2
k?4
,即:原函数的周期是
4
?
解析二:<
br>y?2sin
?
?
?
?
?
1
x?
?
,x?R
图像是由函数
y?sinx,x?R
先向右平移得到
6
?
6
?
2
?
?
函数
y?sin
?
x?
?
?
?
??
,x?
Ry?sinx?
的图像,然后由
???
,x?R
的图像水
6
?
6
??
平拉伸2倍得到函数
y?sin
?
?
??
1
x?
?
,x?R
的图像,最后将函数
6
??
2
y?s
in
?
?
?
?
??
1
?
1
x?<
br>?
,x?R
的图像竖直拉伸2倍得到
y?2sin
?
x??
,
6
?
6
??
2
?
2
x?R
图像
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已知
y?sinx,x?R
的周期是
2
?
,因为
y?sin
?
x?
?
?
?
?
?
,x?R
是由
函数
6
?
y?sinx,x?R
平移
而来的,所以说周期仍是
2
?
;
y?sin
?
?
?
?
1
x?
?
,x?R
6
??
2
的图像是由
y?sin
?
x?
T?2
?
?
?
?
?
?
,x?R
水平拉伸2
倍而来,故周期增大为
6
?
?
?
?
??
1
?
?4
?
;
y?2sin
?
x?
?
x?
R
是由
y?sin
?
x?
?
,x?R
图
1
6
?
6
??
2
?
2
?
??1
x?
?
x?R
的周期
6
??
2
2
?
,既可以推广到
w
像纵向拉伸,胡周期不变,综合上述可知:
y?2sin
?
是
T?
2
?
1
2
?4
?
即:
y?Asin
?
wx?
?
?
周期为
T?
如果函数
y?f
?
x
?
的周期是
T
,那么函数y?f
?
wx
?
的周期是
例7、(课本例题
P
39
)求函数
y?sin
?
T
w
?
?
?
1
x?
?
,x?
?
?2
?
,2
?
?
的单调递增区间
3
??
2
目的:由已知函数的单调性求复合函数的单调性、三角函数的“五点作图法”
解析一:令
z?
?
1
?
?
?
?
x?
,函数<
br>y?sinz
的单调增区间是
?
??2k
?
,?2k
?
?
2
23
?
2
?
?2k
?<
br>?z?
?
由
?
?
2
?
5
?
?2k
?
,解得:
?
?
?4k
?
?x??4k
?
233
33
?
5
?
?
当且仅当
k?0
时
?
满足定义域取
?
x?
??x?
?
?
?
?2
?
,2
?
?
,
值范围,故函数
y?sin
?
?
??
1
x?
?
,x?
?
?2
?
,2
?
?
的单调递增区间是:
3
??
2
5
?
?
?
?
x?
?
?x?
?
?
33
?<
br> 解析二:利用“五点作图法”(描点法)画图,由函数图像进行单调性判断:
x
y
?
0
8
?
3
?
5
?
3
2
?
?
3
0
?
3
1
4
?
3
7
?
3
10
?
3
-1 0 -1 0
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故函数
y?sin
?
?
??
1
x?
?
,x
?
?
?2
?
,2
?
?
的单调递增区间是:
3
??
2
3
?
5
?
?
?
?
x?
?
?x?
?
?
3
例8、
(课本例题
P
39
)利用三角函数单调性,比较下列各组数的大小:
(1)
sin
?
?
?
?
??
?
??
23
?
与sin?cos
(2)
????
?
?
18
??
10
??
5
??
17
?
与cos
??
?
??
4
?
?
?
目的:用函数单调性比大小
解析:利用三角函数的单调性比较同名三角函数的大小,可以先利用诱导公式将已知
角化为同一单调区间内的角,然后比较大小
例9、(课本例题
P
44
)求函
数
y?tan
?
?
??
?
x?
?
的定义域
、周期和单调区间
3
??
2
目的:求正切函数的定义域、周期、单调区间
解析:正切函数与正、余弦函数的区别:
(1)正切函数定义域不是全体实数,而正、余弦函数的定义域是全体实数
(2)正切函数只有单调递增区间,没有单调递减区间!而正、余弦函数既有单
调递增区间,又有单调递减区间
(3)正切函数的周期为
T?
?
w
,正、余弦函数的周期为
T?2
?
w
理由:函数
y?t
anx
周期是
?
,函数
y?sinx
、
y?cosx
周期均是
2
?
小结:(1)三角函数周期两种求法:三角函数概念;公式法
(2)三角函数单调性的两种求法:复合函数求单调性;五点作图法(描点法)
例10、(课本习题A
10,
P
46
)已知函数
f
?
x
?
是以2
为最小正周期的周期函数,且
x?
?
0,2
?
时,
f
?
x
?
?
?
x?1
?
,求
f
?
3
?
、
f
??
的值
2
?
7
?
?
2
?
目的:利用周期函数的性质,由已知区间的函数表达式求未知区间的函数表达式
解析:略
方法:仿照下面此题方法一致,多思考!
(课本必修一习题1.3,
P
39
)已知函数
f
?
x
?
是定义在R
上的奇函数,当
x?0
时,
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f
?
x
?
?x
?
1?x
?
,画出函数
f
?
x
?
的图像,求出函数解析式
解析一:因为函数
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数,所以函数在
x?0
的图像上的
坐标
点关于原点对称后的坐标点满足
f
?
x
?
?x
?
1?x
?
我们可以设
x?0
图像
上的
坐标点为
?
x,
f
?
x
??
,则关于原点对称后的点的坐标为
?
?x,?f
?
x
??
,因为
?
?x,?f
?
x
??
满足
f
?
x
??x
?
1?x
?
,可得:
?f
?
x
?
??x
?
1?
?
?x
?
?
?x?x
,
2
即:
f
?
x
?
?x?x
2
x
此方法利用函数图象上点的特征来寻找到关于与
f
?
x
?
的
一个等式,通过
化简即可得到
f
?
x
?
解析二:找规律 <
br>f
?
?1
?
??f
?
1
?
??1?
?
1?1
?
f
?
?2
?
??f
?
2
?
??2?
?
1?2
?
f
?
?3
?
??f
?
3
?
??3?
?
1?3
?
f
?
?4
?
??f
?
4
?
??4?
?
1?4
?
... .................
若
a?0
,则
f
?
a
?
??f
?
?a
?
??
?
?a
?
?
?
1?
?
?a
?
?
若
x?0
,则
f
?
x
?
??f
?
?x
?
??
?
?x
?
?
?
1?
?
?x
?
?
?x?x
2
例11、(课
本习题B3,
P
47
)已知函数
f
?
x
?
的图像如图所示,试回答下列问题
(1)求函数的周期
(2)画出函数
y?f
?
x?1
?
的图像
文案大全
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(3)你能写出函数
y?f
?
x
?
的解析式
目的:函数的平移
解析:(1)周期:2
(2)
y?f
?
x?1
?
函数图像是由
y?f
?<
br>x
?
向左平移一个单位长度而来的
(3)
?1?x?1
时,
f
?
x
?
?x
1?x?3
时,
f
?
x
?
?x?2
3?x?5
,
f
?
x
?
?x?4
2n?1?x?2n?1
时,
f<
br>?
x
?
?x?2n,n?z
例12、(课本练习
P
56
,3)函数
y?
2
?
1
?
?
sin
?
x?
?
的振幅、周期和频率各是多少?它的图
3
?
24
?
像与正弦曲线有什么关系?
目的:知道三角函数振幅、周期、频率、单调性、定义域怎么求得,并能利用平移
拉伸(压缩)来画函数的图像
解析:
y?
2
?
1
?
?
?
sin
?
x?
?
是由
y?
sinx
先向右平移,然后横坐标变为原来的
3
?
24
?
4
2倍,纵坐标缩短为原来的
2
倍
3
或
y?
2
?
1
?
?
sin
?
x?
?
是由
y?sinx
先横坐标变为原来的2倍,然后向右
3
?
24
?
平移
?
2
,最后纵坐标缩短为原来的倍
23
小结:
y?
2
?
1
?
?
sin
?
x?<
br>?
图像形成的两种方法,先平移后压缩;或者先压缩后平
3
?
24
?
移,两种方法,但是一种思路
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例1、(课本探究
P
82)数的加法满足交换律和结合律,即对于任意
a,b?R
,有
a?b?b?a
a?b?c?a?b?c
,任意
a
、
b
的加法是否也满足交换律和结合律?请
画图进行探索
目的:向量加法交换律和结合律的理解!
解析:
????
由向量加法的三角形法则可知:
AC?AB?BC?AD?DC
、
AD?AB?BC?CD?AB?BC?CD
即是:
a?b?b?a
、
a?b?c?a?b?c
例2、(课本探
究
P
85
)向量是否有减法?如何理解向量减法?我们知道,减去一个数等于加
上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?
目的:向量减法和加法的灵活转化
解析:
??
????
AE?a??b?a?b
??
例3、(课本探究
P
87
)已知非零向量
a
,作出
a?a?
a
和
?a??a??a
,你能说明它
们的几何含义吗?
(课本思考
P
88
)你能解释上述运算律的几何意义吗?
目的:理解向量数乘的几何含义
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??????
实用文档
解析:①
?
?
?
a
?
?
???
?
a
、
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
、
?
?
?
?
a??
?
?
a
?
?
?
?
?a
?
?
a?
?
a
,
上述四个纯粹是很好理解,解析略
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b、
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
理解:此两个先画图,利用相似即可理解
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方
向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
理解:
?
的正负代表方向,大小代表向量长度伸长或压缩
OB?a?2b
、
例4、(课本例题
P
89
)如图所示,已知任意两个非零向量
a,b
,试做
OA?a?b
、
OC?a?3b
,你能判断
A
、
B
、
C
三点的位置关系吗?为什么?
目的:利用向量判断三点是否在一条直线上
解析:假设
A、
B
、
C
三点在一条直线上,必定满足
AB?
?
BC
????
BC?OC?OB?
?<
br>a?3b
?
?
?
a?2b
?
?b
AB?OB?OA?a?2b?a?b?b
存在
AB?BC
,此时
?
?1
例5、(课本例题
P
89
)如图所示,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且
AB?a
、
AD?b
,你能用
a,b
表示
MA,MB,MC,MD
吗?
目的:利用平面内两个非零向量表示平面内其它向量(向量间的关系),特例:若这两
个向量长度均为1,夹角为
90
,即是平面直角坐标系
解析:利用向量的加减法
MA?
?
1111
CA??AC??AB?AD??a?b
2222
1
a?b
2
????
MC??MA?
??
MB,MD
自行求解
例6、(课本思考
P
96
)已知
a?
?
x
1
,y
1
?
、
b?
?
x
2
,y<
br>2
?
你能得出
a?b
、
a?b
、
?
a
的坐标吗
目的:理解向量的坐标表示
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解析:设
i,j
是与
x
轴、<
br>y
轴相同的两个单位向量,故
a?
?
x
1
,y
1
?
?x
1
i?y
1
j
、
b?
?
x
2
,y
2
?
?x
2i?y
2
j
,故
a?b?
?
x
1
?x
2
?
i?
?
y
1
?y
2
?
j?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
a?b?
?
x
1
?
x
2
?
i?
?
y
1
?y
2
?j?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
?
a?
?
?
x<
br>1
i?y
1
j
?
?
?
x
1
i?
?
y
1
j
、
例7、(课本思考
P
9
8
)已知
a?
?
x
1
,y
1
?
、
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?
0
,我们知道,
a,b
向
量共线,则存在实数
?
,使
a?
?
b
.那么如何用坐标表示两个共线向量?
目的:用坐标表示两个共线向量
解析一:
a?
?
x
1
,y
1
?
?x
1
i?y
1
j
、
b
?
?
x
2
,y
2
?
?x
2
i?y
2
j
,由
a?
?
b
可得:
?
x
1
?
?
x
2
??
xi?yj?
?
xi?yj?
?
xi?
?
yj
12222
,即是
?
1
y?
?
y
2
?
1
消去
?
后得:
x
1
y
2
?x
2
y
1?0
也就是说,当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a,b
(
b?0
)共线
解析二:
若
a,c
向量共线,则有△AA
1
A
2
相似于△B
1
BB
2
故可得:
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
x
1
y
1
?
,即是
x
2
y2
P
1
P
2
上的一点,
1
,P
2的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?<
br>x
2
,y
2
?
例8、(课本例题
P
99<
br>)设点
P
是线段
P
1
P
2
上的中点,求P
的坐标 (1)当点
P
是线段
P
1
P
2
上的三等分点时,求
P
的坐标
(2)当点
P
是线段
P
目的:理解分点坐标公式
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解析一:(1)由向量的线线运算可
知
OP?
1
?
x?xy?y
2
?
OP
1<
br>?OP
2
?
?
12
,
1
?
22
??
2
??
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?
,
P
?
故,点的坐标为
?
22
??
(2)点
P
存在两种情况:
PP
1
?
若
PP
1
?
1
PP
2
或
PP
1<
br>?2PP
2
2
1
1
PP
2
,则<
br>OP?OP?PP?OP?P
1111
P
2
2
3<
br>?
2x
1
?x
2
2y
1
?y
2?
?,
?
?
33
??
同理可得:若
PP
1
?2PP
2
,则
OP?
?
?
x
1
?2x
2
y
1
?2y
2
?
,
?
33
??
解析二:(1)设点
P
的坐标为?
x
0
,y
0
?
,则由
P
1
P?PP
2
可得:
?
y0
?y
1
,x
0
?x
1
?
?
?
y
2
?y
0
,x
2
?x
0
?<
br>
则可得:
x
0
?
x<
br>1
?x
2
y
1
?y
2
y?
、
0
22
(2)根据(1)中的方法可求得
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?
,
P
?
解析三:(1)直接利用中点坐标公式即可得:点的坐标为
?
22
??
1
PP
2
或
PP
1<
br>?2PP
2
2
1x
2
?x
1
2x
1
?x
2
PP?PPx??
P
若
1
点的横坐标为
1
,纵坐标
2
,
233
2y
1
?y
2
为
3
(2)点
P
存在两种情况:
PP
1
?
同理可得:若
PP
1
?2PP
2
,则点
P
的坐标为
?
?
x
1
?2x
2
y
1
?2y<
br>2
?
,
?
33
??
小结:(1)对于此题,解析一中OP向量的坐标表示即为P的坐标,故只要求出向
量OP即可;解析二利用解方程的思维,寻找关于P的横纵坐标的方程,解
出未知数即可;解析三利用初中所学的平面图形的相似原理
(2)对于一般学生来说,或许最容易想到的是解析二,解析二中应用的是
平行向量的关系;对于思路活跃的学生而言,一般想到的是解析三;很少有
人能想到解析一,但是解析一给我们提供了思路:OP向量的坐标表示即为P
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的坐标,故只要求出向量OP即可
(3)分点坐标公式:(课本探究
P
100
)
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,当
?
x
1
?
?<
br>x
2
y
1
?
?
y
2
?
,<
br>就为中点
时,点的坐标是
???
?
??
?
??
?
?1时,
2
1
1?
?
??
1?
?
坐标公式
例9、(课本探究
P
106
)已知非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
、
b?
?
x2
,y
2
?
,怎么用
a,b
向量的坐标表
示
a?b
目的:理解向量坐标的含义,并能进行
a?b?c?a?c?b?c
的运算
解析:略
小结:(1)向量坐标含义:
a?
?
x
1
,y
1
?
?x
1
i?y
1
j
(2)
a?b?c?a?c?b?c
(3)
??
??
i
2
?i?i?cos0?i?1
2
?1
2
思考:设
a
、
b
都是非
零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是a
与
b
的夹角,
则
cos?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?
y
2
2
2
2
应用这个公式我们可以求平面内直线
间的夹角. 在以后的学习中,我们会接触空间向量
例10、(解三角形)已知一个三角形ABC,试着寻找AB、AC、BC、cosA之间的关系
目的:平面向量应用:研究三角形边角之间的关系
解析:
BC?AC?AB?AC?2AC?AB?AB?AC?2AB?ABcosA
?AB
2
2
??
222
22
若令
AB=c、AC=b、BC=a
,则
a=b
2
+c
2<
br>-2bccosA
小结:此内容是必修五第一章的内容,在此处是完全可以理解的
例11、(课本探究
P
124
)如何用角
?
,
?
的正弦、余弦值来表示
cos
?
?
?
?
?
目的:平面向量应用:证明两角差的余弦公式
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解析:在平面直角坐标系xoy内做单位圆O,以Ox为始边作角
?
,
?
,它
们的终边
s
?
,sin
与单位圆O的交点分别
是A,B,则
OA?
?
co
?
?
、
OB?
?
cos
?
,sin
?
?
OA?OB?cos
?
sin
?
?sin
?
cos
?
、且
OA?OB?OA?OB?cos
?
?cos
?,故:
因为
?
?2k
?
?
?
?
?
或
?
?2k
?
?
?
?<
br>?
,于是
?
?
?
?2k
?
?
?,所以
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?<
br>sin
?
,整理得:
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
延伸:(1)
cos?
?
?
?
?
?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
,则
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?<
br>?
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
sin?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?si
n
?
sin
?
?
?
?
?
??<
br>?
??
?
?
??
sin
?
?
??cos?
?
?
?
?cos?
?
cos
??sin?
?
??????
sin
?
(2)
?
2
?
??
2
??
2
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
(3)
sin
?
?
?
?
?
?sin
?cos
?
?
?
?
?cos
?
sin
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
sin
?
?
?
?
cos?
?
?
?
?cos?
?
cos
?
?
sin
?????
?
?
?
sin
?
?
2
?
??
2
??
2
?
?
?
?
?sin
?<
br>cos
?
?sin
?
cos
?
(4)
tan
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
cos
?
?
?
?
?
1?tan
?tan
?
sin
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
cos
?
?
?<
br>?
?
1?tan
?
tan
?
(5)
tan
?
?
?
?
?
?
(6)
sin2
?
?2sin
?
cos
?
2
cos2
?
?cos
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2si
n
2
?
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
例12、(课本例题
P
140
)求函数
y?sinx?3cosx
函数的周期、最大值和
最小值
目的:学会灵活运用合一公式
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解析:通过三角变换,我们把形如
y?asinx?bcosx
的函数转化为形如
y?Asin
?
wx?
?
?
的函数使
得问题得到简化,这个过程蕴含了化归思想!
?
1
?
?
3
???
???
?
y?sinx?3cosx?2?
?
sinx?co
sx
?
?2cossinx?sincosx?2sinx?
????
??
22333
???
??
?
1
?
?
?
3
??
??
?
?2
?
sinsinx?cosco
sx
?
y?sinx?3cosx?2?
?
sinx?cosx?2cosx
?
???
??
?
22
?
?
66
?
故周期是
2
?
,最大值是
2
,最小值时
?2
(1)
asinx?bcosx?a
2
?b
2
?
?
ab
?
?
?
a
2
?b
2
sin
x?
a
2
?b
2
cosx
?
?
?
?a
2
?b
2
?
sinxcos
?
?sin
?
cosx
?
?a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
?
?
tan
?
?
b
?
?
a
?
?
asinx?bco
sx?a
2
?b
2
?
?
ab
?
(2)
?
?
a
2
?b
2
sinx?
a2
?b
2
cosx
?
?
?
?a
2
?b
2
?
sin
?
sinx?co
s
?
cosx
?
?a
2
?b
2
cos
?
x?
?
?
?
?
a
?
?
tan
?
?
b
?
?
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?
3
?
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