人教A版高中数学必修2第四章教案

4.1.1 圆的标准方程
(一)教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析 法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆
的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察 问题发现问题和解决问题的能
力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴
趣.
(二)教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
(三)教学过程
一、自主学习：预习教材P118-P119
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什 么？圆作为平面几何中基本图
形，确定它的要素是什么呢？
2.什么叫圆？平面直角坐标系中 ，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来
表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这 个方程又有什么特证
呢？
二、合作探究
1.圆心为A（a,b），半径为r的圆的 方程
(x?a)?(y?b)?r
叫做圆的标
准方程，那么当a=b=0时，圆的方程 是什么？确定标准方程的基本要素有哪些？
例1.求圆心在C(2,-3),半径是5的圆的标准方程 ，并判M(5,-7),
N(?5,?1)
是否在圆上。
探究：如何判断点
M(x
0
,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)? r
上、内、外？


例2. 圆心在C（8，—3），且经过点M(5,1)的圆的标准方程


例3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，-2),且圆心C在直线
l
：x- y+1=0
上，求圆心为C的圆的标准方程。





1
222
222

三、课堂检测
1.完成P
120
练习第一题.
2.圆
(x?2)?(y?3)?2
的圆心坐标 ，半径长 .
3.已知圆C:
x?y?9
,点A(3,4)，则点A与圆C的位置关系是 .
4.已知圆的方程是
(x?3)?(y?2)?4
，判 断点P（2,3）与圆的位置关系.
5.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7，- 3),C(2，-8),求它的外接圆
的方程.







四、课后作业
1.若点P(2，－1)为圆
(x?1)?y? 25
的弦AB的中点，则直线AB的方程是
______ __ . 2.已知圆C
1
：
(x?1)?(y?1)?1
，圆C
2
与圆C
1
关于直线
x
－
y
－1＝0对称，
则圆C
2
的方程为( )
A．
(x?2)?(y?2)?1
22
22
22
22
22
22
22
B．
(x?2)?(y?2)?1

22
22
C．
(x?2)?(y?2)?1
D．
(x?2)?(y?2)?1

22
3.圆(
x
－1) ＋
y
＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是 .
4.已知 圆C：
(x?2)?(y?1)?4
，求圆心坐标和半径，并判断直线x-y+3=0
是否能平分圆.
5.求 以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程.
6.已知△ABC三边所在直线方程AB: x-6=0, BC: x-2y-8=0, CA: X+2Y=0,求此
三角形的外接圆方程
7.圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切与点B(2，-1),求此圆的方程
五、课时小结
1．圆的标准方程.
2．点与圆的位置关系的判断方法.
3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.








2
22

4. 1. 2 圆的一般方程
(一)教学目标
1．知识与技能 （1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆
22
的一般 方程确定圆的圆心半径，掌握方程
x
+
y
+
Dx
+
Ey
+
F
= 0表示圆的条
件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法
求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
22
通过对方程
x
+
y
+
Dx
+
Ey
+
F
= 0表示圆的条件的探究，培养学生探索
发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生
创新，勇于探索.
(二)教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化， 根据已
知条件确定方程中的系数，
D
、
E
、
F
.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
(三)教学过程
一、自主学习：预习教材P121-P123
1.已知圆的方程为
(x?2)?(y?1)?4
，则圆心坐标 ,半径 ,
将其展开为 ，它表示圆吗？
2.将圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
展开可得
x?y?2ax?2by?a

22
?b
2
?r
2
?0
．可见，任何一个圆的方程都可以写成
x?y?Dx?Ey?F?0
．请
22
大家思考一下：形如
x?y?Dx?Ey?F?0
的方程的曲线是不是圆？下面我 们
222222
22
来深入研究这一方面的问题．
二、合作探究
探究一：圆的一般方程
1.方程
x?y?Dx?Ey?F?0
在什么条件下表示圆？
2.归纳圆的一般方程的特点
提出问题：
x?y?2x?4y?6?0
是否表示圆？如果是，写出圆心和半径。
例1.判断下列方程是否表示圆？如果是，求出圆心和半径.
(1)
x?y?8x?6y?0
， (2)
x?y?2by?0


例2.求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径 长和圆

3
2222
22
22

心坐标.


例3.已知线段AB的端点B（4,3），端点A 在圆
(x?1)?y?4
上运动，求线
段AB的中点M的轨迹方程。






三、交流展示
1.求过三点A(0,5),B(1,2),C(-3，-4)的圆的方程，并求出圆心和半径。





▲2.长为2a的线段AB的两个端点A和B分 别在x轴和y轴上滑动，求线段AB
中点的轨迹方程。






四、课后反馈练习
1．已知圆的方程是
x?y?2x?6y? 8?0
那么经过圆心的一条直线的方程
是( ) A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0
2．若方程
x?y?4x?2y?5k?0
表示圆，则k的取值范围是（ ）
A.k>1 B.k<1 C.
k?1
D.k
?1

3.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程
4.△A BC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7，-3),C(2，-8),求它的外接圆
的方程.
▲5.已知点M与两个定点O（0,0），A（3,0）D.的距离的比为
方程.
五、课时小结
1．圆的一般方程的特征
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹

4
22
22
22
1
，求点M的轨迹
2

4.2.1 直线与圆的位置关系
(一)教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2.过程与方法
22
设直线
l
：
ax
+
by
+
c
= 0，圆
C
：
x
+
y
+
Dx
+
Ey
+
F
= 0，圆的半径为
r
，圆心
(?
DE
,?)
到直线的距离为
d
，则判别 直线与圆的位置关系的依据有以下几
22
点：
（1）当
d
＞
r
时，直线
l
与圆
C
相离；
（2）当
d
＝
r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d
＜
r
时，直线
l
与圆
C
相交；
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的
思想.
(二)教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.
(三)教学过程
一、自主学习：预习教材P126-P128
1.把圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
整理为圆的一般方程
把圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
整理为圆的标准方程
2.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为30km
圆形区域，已 知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。
如果轮船沿直线返港，它是否 会有触礁危险?
3.直线与圆的位置关系有哪几种？怎么判断它们之间的位置关系?
二、合作探究
1.已知直线
l
:3x+y-6=0,圆C：
x?y ?2y?4?0
判断直线
l
与圆C的位置
关系，如果相交，求出它们的交点坐 标.





2.已知过点M（-3，-3）的直线 L被圆
x?y?4y?21?0
所截得的弦长为
22
22
22
222
45
,求直线
l
的方程.

5

三、交流展示
1.判断直线3x+4y+2=0与圆
x?y?2x?0
的位置关系




2.已知直线
l
：y=x+6，圆C:
x?y?2y?4?0
.判断直线与圆有无公共点。






3.求直线3x-y-6=0被圆







四、课后反馈练习
1．直线3x-4y+6=0与圆
(x?2)?(y?3)?4
的位置关系（ ）
A.相切 B。相离 C.过圆心 D.相交不过圆心
2．若直线x+y+m=0与圆
x?y?m
相切，则m的值（ ）
A.0或2 B.2 C.
2
D.不存在
3．圆
x?y?16
上的点到直线x-y-3=0距离的最大值是
4．求过点M（2,2）的圆
x?y?8
的切线方程.
五、课时小结
教师提出下列问题让学生思考：
（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何求出直线与圆的相交弦长？




6 22
22
22
22
22
22
x
y
2< br>?
2
?2x?4y?0
截得的弦AB的长。

4.2.2 圆与圆的位置关系

(一)教学目标
1．知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.
2．过程与方法
设两圆的连心线长为
l
，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
l
＞
r
1
+
r
2
时， 圆
C
1
与圆
C
2
相离；
（2）当
l
=
r
1
+
r
2
时 ，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当|
r
1
–
r
2
|＜
l
＜
r
1
+
r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l
= |
r
1
–
r
2
|时，圆
C
1
与 圆
C
2
内切；
（5）当
l
＜|
r
1
–
r
2
|时，圆
C
1
与圆
C
2
内含.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思
想.
(二)教学重点、难点
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.
(三)教学过程
一、自主学习：预习教材P129-P130
1.直线与圆的位置关系及判断方法
2.直线x-y-5=0截圆
x
?y
2
2
?4y?6?0
所得的弦长为
3.圆与圆的位置关系有几种？
二、合作探究
1.如何判断两圆的位置关系?






2.已知圆
C
1
:
x?y?2x?8y?8?0
,圆C
2
:
x?y?4x?4y?2?0
,
试判断圆
C1
与圆
C
2
的位置关系.


7
2222

22
3.已知圆
(x?4)?y?25
的圆心为
M
1
,圆
(x?4)?y?1
的圆心为
M
2
试
22
求与这两个圆都外切的动圆圆心P的轨迹方程。







三、交流展示
1.判断两圆
x?y?4x?4y?7?0
与
x?y?4x?10y?13?0
的位置
关系





2.半径为6的圆与x轴相切，且与圆
x?(y?3)?1
内切，求此圆的方程.







四、课堂反馈练习 1．圆(
x
＋2)＋(
y
－3)＝2和圆
x?y?6x?0的位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
2 2
2222
22
22
2．两圆
(x?3)?(y?4)?25
和
(x?1)?(y?2)?r
相切，则半径
r
=
22
3.已知圆
(x?2)?(y?3)?13
和圆
(x?3)?y ?9
交于A,B两点，求弦AB
的垂直平分线的方程．
22
222224.求过原点且与直线x=1及圆
(x?1)?(y?2)?1
相切的圆的方程。
五、课时小结
教师提出下列问题让学思考：
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

8
22

（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？





4.2.3直线与圆的方程的应用
教学目标
(1) 知识目标：理解直 线与圆的方程在实际生活中的应用；理解用坐标法研究几何
问题的基本思想及解题过程；会用“数形结合 ”的数学思想解决问
题。
（2）能力目标：通过坐标法的运用提高分析问题解决问题的能力。
（3）情感目标：通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养团队意识增
进同学之间 的友情。
重点、难点分析：
重点：直线与圆的方程的应用
难点：坐标法的灵活运用
教学过程
（一）、课前准备（预习教材 P130~ P132，找出疑惑之处）
1．圆与圆的位置关系有
2．圆
x?y?4x?4y?5?0
和
x?y?8x?4y?7?0
的位置关系为 .
2222
2222
3．过两圆
x?y?6x ?4?0
和
x?y?6y?28?0
的交点的直线方程
（二）、新课导学
※ 学习探究
1．直线方程有几种形式? 分别是什么？

2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?


※ 典型例题
例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度
AB?20m
,拱高
OP?4m
,建造时每间隔4
m
需要用一根支柱支撑,求支柱
A
2
P
2
的高度(精确 0.01
m
)





9

变式：赵州桥的跨度是 37.4
m
.圆拱高约为 7.2
m
.求这座圆拱桥的拱圆的方程



例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直求证圆心到一边距离等于这条边所
对这条边长的一半.






※ 动手试试
练 1. 求出以曲线
x?y?25
与
y?x?13
的交点为顶点的多边形的面积.


练 2. 讨论直线
y?x?2
与曲线
y?
2 22
4?x
2
的交点个数.


小结
1．用 坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、
圆，然后通过对坐标和方程的 代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几
何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三 部曲”.
2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标
和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代
数运算，解决代数问题 ；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.
※ 自我检测
※ 一动点到< br>A(?4,0)
的距离是到
B(2,0)
的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.
（x?4)?y?4
B．
（x?4)
2
?y
2
?16
A．
22
（x?4)
2
?y
2
?16
C．
x?(y?4)?4
D．
22
y
的最大值 .
x
22
3. 圆
x?y?2x?4y?3?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点有（ ）个.
2. 实数
x,y
满足
x?y?4x?1?0
，则
22

10

（x?1)?(y?1)?4
关于直 线
l:x?2y?2?0
对称的圆的方程为 . 4. 圆
（x?1)?(y?1)?4
关于点
(2,2)
对称的圆的方程 . 5. 圆




22
22
4.3.1空间直角坐标系
一、教学目标
1．知识与技能
① 理解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程
② 感受类比思想在探究新知识过程中的作用
2．过程与方法
① 结合具体问题引入，诱导学生探究；
② 类比学习，循序渐进
3．情感态度与价值观 通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事
物从低维到高维的一般 方法.通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践
性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断 地拓展自己的思维空间.
二、重点、难点分析
重点：空间直角坐标系的理解
难点：
建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标

三、教学过程
【问题1】如何表示数轴上一个点的坐标？
【问题2】如何表示平面上一个点的坐标？
【问题3】如果将某房间内悬挂的电灯泡近似地看做一个点，利用那些数据确定其
在空间的具体 位置？
1.空间直角坐标系的概念
（
学习层次：理解、掌握
）
（如图4. 3-1）
OABC?D
?
A
?
B
?
C
?< br>是单位正方体．以
O
为原点，分别以射线
OA
，
OC
，
OD
?
的方向为正方向，以线段
OA
，
OC
，< br>OD
?
的长为单位长，建立三条
数轴：
x
轴，
y轴，z轴．也就建立了一个空间直角坐标系
O?xyz
，其中点
O
叫做坐标原点， 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做 ，

11

分别称为
xoy
平面，
yoz
平面，
zox
平面.
问题：在平面上如何画空间直角坐标系？
2. 右手直角坐标系 （学习层次：了解）
3．空间直角坐标系中的点的坐标 （学习层次：理解、掌握、应用）
定义：教材
P134；

结论：空间直角坐标系中的点
M
与 有序数组
?
x,y,z
?
一一对应,即为点
M
的坐
标，记为 ，并依次称x，y，z为点
M
的 坐标， 坐标， 坐标。
（Ⅰ）图4.3-1中下列各点的坐标：
O
；
A
；
B
；
C
；
B
?
.
（Ⅱ）结合图4.3-1中点
B
?
的坐标讨论：过点
B
?< br>分别作
xoy
、
yoz
、
zox
平面的
垂线 ，垂足分别为
P
、
Q
、
R
，那么三个垂足的坐标分别如何？

（Ⅲ）如何在空间直角坐标系中，确定点的坐标？
4.
坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点

1.点
P
在坐标轴上
①若点
P
在
x
轴上,则
P
的坐标为 ；②若点
P
在
y
轴上，则
P
的坐
标为 ；③若点
P
在
z
轴上，则
P
的坐标为 ；
2．点
P
在各坐标平面内
①若点
P
在
xoy
平面内，则
P
的坐标为 ；②若点
P
在
xoz
平面内，则

P
的坐标为 ；③若点
P
在
yoz
平面内，则
P
的坐标为 。
四、学以致用

例1 ：如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，以点
D
为坐标原点建立 空间右手直
角坐标系，那么
x
轴，
y
轴，z轴应如何选取？






例2：在长方长体
OABC ?D
?
A
?
B
?
C
?
中，
OA? 3
，
OC?4
，
OD
?
?2
.

12
D
1

B
1

C
1

A
1

D

C

B

A

写出
D
?
，
C
，
A
?
，
B
?
四点坐标.




【变式讨论】若以
C
点为原点，以射线< br>CB
、
D
?
C
?
A
?

O

B
?
C

B

A
C O
、
CC
?
方向分别为
x
、
y
、z轴的正 半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶
点的坐标又是怎样的呢？

结合例2及其变式，你有什么体会？

五、课堂练习
教材P136 第1,2,3题
六、归纳小结
确定空间任意一点的坐标的步骤:

七、课后检测
（1）基本作业：
教材P138
习题
A
组 2、3题

（2）小组讨论：空间一点
P
?
x,y,z
?
关于原点、坐标轴、坐标平面对称的点的坐标，
写出结论。
①点
P
?
x,y,z
?
关于原点对称的点
②点
P
?
x,y,z
?
关于
x
轴对称的点
③点
P
?
x,y,z
?
关于
y
轴对称的点
④点
P
?
x,y,z
?
关于z轴对称的点
⑤点
P
?
x,y,z
?
关于
xoy
平面对 称的点
⑥点
P?
x,y,z
?
关于
xoz
平面对称的点
⑦点
P
?
x,y,z
?
关于
yoz
平面对 称的点




13

4.3.2空间两点间的距离公式
教学目标
(1) 知识目标：掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算
和证明。
（2） 能力目标：培养观察、分析、联想的能力以及归纳概括的能力，认识新公式产
生的过程和根源培养逻辑思 维能力。
（3）情感目标：运用类比的办法，体验从二维空间过度到三维空间的过程，激发学
习兴趣和探求知识规律的愿望培养勇于探索的精神。
重点、难点分析
：
重点：空间两点间的距离公式及应用
难点：公式的推导
教学过程
一、课前准备
（预习教材 P136~ P137，找出疑惑之处）

1. 平面两点的距离公式？
2. 建立空间直角坐标系时， 为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？
二、新课导学
※ 学习探究
1.空间直角坐标系该如何建立呢？
2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点
M
如何用坐标表示呢？
2. 空间中任意一点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
与点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
PP(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
? (z
1
?z
2
)
2

12
?
注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似； ⑶公式 的
证明充分应用矩形对角线长
?a
2
?b
2
?c
2
这一依据.
探究： ⑴点
M(x,y,z)
与坐标原点
O(0,0,0)
的距离？

14

⑵如果
OP< br>是定长
r
,那么
x?y?z?r
表示什么图形？
2222

※ 典型例题
例 1 求点
P
1
( 1,0,?1)
与
P
2
(4,3,?1)
之间的距离
< br>变式
：求点
A(0,0,0)
到
B(5,2,?2)
之间的距 离
例 2 空间直角坐标系中，
?ABC
的顶点
A(?1,2,3)
，
B(2,?2,3)
,
C(,,3)
,求
证：
?ABC
是直角三角形.



15
22
※ 动手试试
练 1. 在z 轴上，求与两点
A(?4,1,7)
和
B(3,5,?2)
等距离的点.


练 2. 试在
xoy
平面上求一点，使它到
A(1,?1,5)
,
B(3,4,4)
和
C(4,6,1)
各点的距
离相等.


※ 小结
1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外 两个点的
相对应的坐标之间是相减而不是相加.
2.在平面内到定点的距离等于定长的点的 集合是圆与之类似的是，在三维空间
中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半 径的球.
※ 知识拓展
1. 空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.
2.空间中任意一点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
与点
P
2
(x
2
,y
2
, z
2
)
之间的距离公式
3.空间中球心在原点的球的方程为
x?y?z?r

※ 课后检测

1． 空间两点
A(3,?2,5)
,
B(6,0,?1)
之间的距离是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
2． 在
x
轴上找一点
P
，使它与点
P
0
(4,1,2)
的距离为
30
，则点
P
为

15
2222

3．设点
B
是点
A(2,?3,5)
关于
xoy
面的对称点，则
AB
=
4．已知
A(3,5,?7)
和点
B(?2,4,3)
，则线段AB
在坐标面
yoz
上的射影长度为 .
5．已知
?ABC
中
A(3,1,2)
,
B(4,?2,?2)
,
C(0,5 ,1)
则
BC
边上的中线长为 .



16