高中数学必修2第二章点线面位置关系测试题

心改变，新开始！
必修二 第二章综合检测题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分 ，在每小题给出的四个选项中只
有一个是符合题目要求的)
1．若直线
a
和
b
没有公共点，则
a
与
b
的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面

2．平 行六面体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，既与
AB
共面也与
CC
1
共面的棱的条 数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6

3．已知平面α和直线
l
，则α内至少有一条直线与
l
( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面

4．长方体
ABCD< br>－
A
1
B
1
C
1
D
1
中， 异面直线
AB
，
A
1
D
1
所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°

5．对两条不相交的空间直线
a
与
b
，必存在平面α，使得( )
A．
a
?α，
b
?α B．
a
?α，
b∥
α

C．
a
⊥α，
b
⊥α D．
a
?α，
b
⊥α

6．下面四个命题：
① 若直线
a
，
b
异面，
b
，
c
异面，则a
，
c
异面；
②若直线
a
，
b
相交 ，
b
，
c
相交，则
a
，
c
相交；
③若
a∥b
，则
a
，
b
与
c
所成的角相 等；
④若
a
⊥
b
，
b
⊥
c
，则
a∥c
. 其中真命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1

7．在正方体
ABCD< br>－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别是线段
A
1
B
1
，< br>B
1
C
1
上的不与端点重合的动点，如果
A
1
E
＝
B
1
F
，有下面四个结论：
①
EF
⊥
AA
1
；②
EF∥AC
；③
EF
与
A C
异面；④
EF∥
平面
ABCD
. 其中一定正确的有( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④

8．设
a< br>，
b
为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )
A．若
a
，
b
与α所成的角相等，则
a∥b

B．若
a∥
α，
b∥
β，α
∥
β，则
a∥ b

C．若
a
?α，
b
?β，
a∥b
，则 α
∥
β
D．若
a
⊥α，
b
⊥β，α⊥β，则a
⊥
b


9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝
l，点
A
∈α，
A
?
l
，直线
AB∥l
，直线
AC
⊥
l
，直线
m∥
α，
n∥
β， 则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．
AB∥m
B．
AC
⊥
m
C．
AB∥
β D．
AC
⊥β

10．已知正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别为
BB
1
、
CC
1
的中点，那么 直线
AE
与
D
1
F
所成角
的余弦值为( )
4333
A
．－
B.

C
.
D
．－
5545
快乐的学习，快乐的考试！
1

心改变，新开始！
11．已知三棱锥
D
－ABC
的三个侧面与底面全等，且
AB
＝
AC
＝3，
B C
＝2，则以
BC
为棱，以
面
BCD
与面
BCA< br>为面的二面角的余弦值为( )
311
A. B. C．0 D．－
332

12．如图所示，点
P
在正方形
ABCD
所在平面外，
PA
⊥平面
ABCD
，
PA
＝
AB< br>，则
PB
与
AC
所成
的角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
13．下列图形可用符号表示为________．

14．正方体
ABC D
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，二面角
C
1
－
AB
－
C
的平面角等于____ ____．

15．设平面α
∥
平面β，
A
，
C
∈α，
B
，
D
∈β，直线
AB
与
CD交于点
S
，且点
S
位于平
面α，β之间，
AS
＝8，
BS
＝6，
CS
＝12，则
SD
＝________ .

16．将正方形
ABCD
沿对角线
BD
折成直二面角
A
－
BD
－
C
，有如下四个结论：
①
AC
⊥
BD
； ②△
ACD
是等边三角形； ③
AB
与平面
BCD
成60°的角；
④
AB
与
CD
所成的角是60°； 其中正确结论的序号是________．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1 7(10分)如下图，在三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，△
ABC
与△
A
1
B
1
C
1
都为正三角形且
AA
1
⊥面
ABC
，
F
、
F
1
分别是
AC
，
A
1
C< br>1
的中点．
求证：(1)平面
AB
1
F
1
∥
平面
C
1
BF
；(2)平面
AB
1
F< br>1
⊥平面
ACC
1
A
1
.
快乐的学习，快乐的考试！
2

心改变，新开始！
[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的
充分条件．














18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥
P
－
ABCD
中，
PA
⊥平面
ABCD
，
AB
＝4，
BC
＝
3，
AD
＝5，∠
DAB
＝∠ABC
＝90°，
E
是
CD
的中点．
(1)证明：
CD
⊥平面
PAE
；
(2)若直线
PB
与平面
PAE
所成的角和
PB
与平面
ABCD
所成的角相等，求四棱锥
P
－
ABCD
的体积．















快乐的学习，快乐的考试！
3

心改变，新开始！
19．(12分)如图所示，边长为2的等边△
P CD
所在的平面垂直于矩形
ABCD
所在的平面，
BC
＝22，M
为
BC
的中点．
(1)证明：
AM
⊥
PM
；(2)求二面角
P
－
AM
－
D
的大小．

















20．(本小题满分12 分)如图，棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1< br>的侧面
BCC
1
B
1
是菱形，
B
1
C
⊥
A
1
B
.

(1)证明：平面
AB
1
C
⊥平面
A
1
BC
1
；(2)设
D
是
A
1
C
1
上的点，且
A
1
B∥
平面
B
1
CD
，求
A
1
D



快乐的学习，快乐的考试！
DC
1
的值．
4

心改变，新开始！










2
21．(12分)如图，△
ABC
中，
AC
＝
BC
＝
AB
，
ABED
是边长为1的正方形，平面
ABED
⊥
2
底面
ABC
，若
G
，
F
分别是
EC
，
BD
的中点．

(1)求证：
GF∥
底面
ABC
；(2)求证：
AC
⊥平面
EBC
；(3)求几何体
ADEBC
的体积
V< br>.

[分析]
(1)转化为证明
GF
平行于平面
ABC
内的直线
AC
；
(2)转化为证明
AC
垂直于平 面
EBC
内的两条相交直线
BC
和
BE
；
(3)几何体
ADEBC
是四棱锥
C
－
ABED
.















22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
AC
＝3，
BC
＝4，
AB
＝5，
AA
1
＝4，点
快乐的学习，快乐的考试！
5

心改变，新开始！
是
AB
的中点．
(1)求证：
AC
⊥
BC
1
；
(2)求证：
AC
1
∥
平面
CDB
1
；
(3)求异面直线
AC
1
与
B
1
C
所成角 的余弦值．






























快乐的学习，快乐的考试！
6
D

心改变，新开始！
必修二 第二章综合检测题
详解答案
1[答案] D
2[答案] C
[解析]
AB
与
CC
1
为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB
平行与
CC
1
相交的有：
CD
、
C
1
D
1

与
CC
1
平行且与
AB
相交的有：
BB
1
、
AA
1
，
第二类与两者都相交的只有
BC
，故共有5条．
3[答案] C
[解析] 1°直线
l
与平面α斜交时，在平面α内不存在与
l
平行的直线，∴A错；
2°
l
?α时，在α内不存在直线与
l
异面，∴D错；
3°
l∥
α时，在α内不存在直线与
l
相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与
l
垂直．
4[答案] D
[解析] 由于
AD∥A
1
D
1
，则∠
BAD是异面直线
AB
，
A
1
D
1
所成的角，很明显 ∠
BAD
＝90°.
5[答案] B
[解析] 对于选项A，当
a
与
b
是异面直线时，A错误；对于选项B，若
a
，
b不相交，
则
a
与
b
平行或异面，都存在α，使
a
?α，
b∥
α，B正确；对于选项C，
a
⊥α，
b
⊥α，
一定有
a∥b
，C错误；对于选项D，
a
?α，
b
⊥α，一定有
a
⊥
b
，D错误．
6[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于
④ ，在平面内，
a∥c
，而在空间中，
a
与
c
可以平行，可以 相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D
[解析] 如图所示．由于
AA< br>1
⊥平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，
EF
?平面
A
1
B
1
C
1< br>D
1
，则
EF
⊥
AA
1
，所以①正确；当
E
，
F
分别是线段
A
1
B
1
，
B
1
C
1
的中点时，
EF∥A
1
C< br>1
，又
AC∥A
1
C
1
，则
EF∥AC，所以③不正确；
当
E
，
F
分别不是线段
A
1
B
1
，
B
1
C
1
的中点时，
EF
与
AC
异面，所以②不正确；由于平面
A
1
B
1< br>C
1
D
1
∥
平面
ABCD
，
EF< br>?平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，所以
EF∥
平面
ABCD
，所以④正确．


8[答案] D；[解析] 选项A中，
a
，
b
还可能相交或异面， 所以A是假命题；选项B中，
a
，
b
还可能相交或异面，所以B是假命题；选 项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；
选项D中，由于
a
⊥α，α⊥β，则< br>a∥
β或
a
?β，则β内存在直线
l∥a
，又
b⊥β，则
b
⊥
l
，所以
a
⊥
b
.
快乐的学习，快乐的考试！
7

心改变，新开始！
9[答案] C
[解析] 如图所示：
AB∥l∥m
；
AC⊥
l
，
m∥l
?
AC
⊥
m
；
AB∥l
?
AB∥
β.
10[答案]

3
命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．
5
[解析] 首先根据已知条件，连接
DF
，然后则角
DFD
1
即为
异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到
5＝
DF
＝
D< br>1
F
，
DD
1
＝2，结合余弦定理得到结论．
11[答案] C
[解析] 取
BC
中点
E
，连
AE
、
DE
，可证
BC
⊥
AE
，
BC⊥
DE
，∴∠
AED
为二面角
A
－
BC
－
D
的平面角
又
AE
＝
ED
＝2，
A D
＝2，∴∠
AED
＝90°，故选C.
12[答案] B
[解析] 将其还原成正方体
ABCD
－
PQRS
，显见
P B∥SC
，△
ACS
为正三角形，∴∠
ACS
＝60°.
13[答案] α∩β＝
AB

14[答案] 45°
[解析] 如图所示，正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，由于
BC
⊥
AB
，
BC
1
⊥
AB
，则∠
C
1
BC
是二面
角C
1
－
AB
－
C
的平面角．又△
BCC
1
是等腰直角三角形，则∠
C
1
BC
＝45°.

15[答案] 9
[解析] 如下图所示，连接
AC
，
BD
，
快乐的学习，快乐的考试！
8

心改变，新开始！
则直线
AB
，
CD
确定一个平面
ACBD
.
∵α
∥
β，∴
AC∥BD
，则

ASCS
812
＝，∴＝，解得
SD
＝9.
SBSD
6
SD
16[答案] ①②④
[解析] 如图所示，①取
BD
中点，
E
连接
AE
，
CE
，则
BD
⊥
AE
，
BD
⊥
CE
，而
AE∩
CE
＝
E
，
∴
BD
⊥平面
AEC< br>，
AC
?平面
AEC
，故
AC
⊥
BD
，故①正确．

2
②设正方形的边长为
a
，则
AE＝
CE
＝
a
.
2
由①知∠
AEC
＝ 90°是直二面角
A
－
BD
－
C
的平面角，且∠
A EC
＝90°，∴
AC
＝
a
，
∴△
ACD
是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，
AE⊥平面
BCD
，故∠
ABE
是
AB
与平面
BC D
所成的角，而∠
ABE
＝45°，
所以③不正确．
④分别取BC
，
AC
的中点为
M
，
N
，
连接
ME
，
NE
，
MN
.
11
则
MN∥AB
，且
MN
＝
AB
＝
a
， < br>22
11
ME∥CD
，且
ME
＝
CD
＝a
，
22
∴∠
EMN
是异面直线
AB
，CD
所成的角．
2
在Rt△
AEC
中，
AE
＝
CE
＝
a
，
AC
＝
a
，
2< br>11
∴
NE
＝
AC
＝
a
.∴△
ME N
是正三角形，∴∠
EMN
＝60°，故④正确．
22
17[证明] (1)在正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
∵
F
、
F
1< br>分别是
AC
、
A
1
C
1
的中点，
∴
B
1
F
1
∥BF
，
AF
1
∥C
1
F
.
又∵
B
1
F
1
∩
AF
1
＝
F
1
，
C
1
F
∩BF
＝
F
，
∴平面
AB
1
F
1∥
平面
C
1
BF
.
(2)在三棱柱
ABC< br>－
A
1
B
1
C
1
中，
AA
1
⊥平面
A
1
B
1
C
1
，∴
B< br>1
F
1
⊥
AA
1
.
快乐的学习，快乐的考试！
9

心改变，新开始！
又B
1
F
1
⊥
A
1
C
1
，A
1
C
1
∩
AA
1
＝
A
1< br>，
∴
B
1
F
1
⊥平面
ACC
1< br>A
1
，而
B
1
F
1
?平面
AB1
F
1
，
∴平面
AB
1
F
1
⊥平面
ACC
1
A
1
.
18[解析]
< br>(1)如图所示，连接
AC
，由
AB
＝4，
BC
＝3 ，∠
ABC
＝90°，得
AC
＝5.
又
AD
＝5 ，
E
是
CD
的中点，所以
CD
⊥
AE
.
∵
PA
⊥平面
ABCD
，
CD
?平面
AB CD
，所以
PA
⊥
CD
.
而
PA
，AE
是平面
PAE
内的两条相交直线，所以
CD
⊥平面
PAE
.
(2)过点
B
作
BG∥CD
，分别与
A E
，
AD
相交于
F
，
G
，连接
PF
.
由(1)
CD
⊥平面
PAE
知，
BG
⊥平面
PAE
.于是∠
BPF
为直线
PB
与平面
PAE< br>所成的角，且
BG
⊥
AE
.
由
PA
⊥平面
ABCD
知，∠
PBA
为直线
PB
与平面
ABCD
所成的角．
AB
＝4，
AG
＝2，
BG
⊥
AF
，由题意，知∠
PBA
＝∠
BPF
，
PABF，sin∠
BPF
＝，所以
PA
＝
BF
.
P BPB
由∠
DAB
＝∠
ABC
＝90°知，
AD∥BC，又
BG∥CD
，所以四边形
BCDG
是平行四边形，故
GD< br>＝
BC
＝3.于是
AG
＝2.
在Rt△
BAG中，
AB
＝4，
AG
＝2，
BG
⊥
AF
，所以
AB
2
168585
22
BG
＝
AB< br>＋
AG
＝25，
BF
＝＝＝.于是
PA
＝
B F
＝.
BG
25
55
因为sin∠
PBA
＝1
又梯形
ABCD
的面积为
S
＝×(5＋3)×4＝16，所以 四棱锥
P
－
ABCD
的体积为
2
11851285
＝.
33515
19[解析] (1)证明： 如图所示，取
CD
的中点
E
，连接
PE
，
EM，
EA
，
V
＝×
S
×
PA
＝×16 ×
∵△
PCD
为正三角形，
快乐的学习，快乐的考试！

10

心改变，新开始！
∴
PE
⊥
CD< br>，
PE
＝
PD
sin∠
PDE
＝2sin60°＝3 .
∵平面
PCD
⊥平面
ABCD
，
∴
PE⊥平面
ABCD
，而
AM
?平面
ABCD
，∴
PE
⊥
AM
.
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴△
ADE
，△
ECM
，△
ABM
均为直角三角形，由勾股定理 可求得
EM
＝3，
AM
＝6，
AE
＝3，
∴EM
2
＋
AM
2
＝
AE
2
.∴
AM
⊥
EM
.
又
PE
∩
EM
＝
E
，∴
AM
⊥平面
PEM
，∴
AM
⊥
P M
.
(2)解：由(1)可知
EM
⊥
AM
，
PM
⊥
AM
，
∴∠
PME
是二面角
P
－AM
－
D
的平面角．
∴tan∠
PME
＝
P E
EM
＝
3
3
＝1，∴∠
PME
＝45°.
∴二面角
P
－
AM
－
D
的大小为45°.
20[解析]

(1)因为侧面
BCC
1
B
1
是菱形，所以
B
1
C
⊥
BC
1
，
又已知
B
1
C
⊥
A
1
B
，且
A
1
B
∩
BC
1
＝
B
，
所以B
1
C
⊥平面
A
1
BC
1
，又
B
1
C
?平面
AB
1
C

所以平面AB
1
C
⊥平面
A
1
BC
1
. < br>(2)设
BC
1
交
B
1
C
于点
E< br>，连接
DE
，则
DE
是平面
A
1
BC
1
与平面
B
1
CD
的交线．
因为
A
1
B∥
平面
B
1
CD
，
A
1
B< br>?平面
A
1
BC
1
，平面
A
1
BC
1
∩平面
B
1
CD
＝
DE
，所以
A
1
B∥DE
.
又
E
是
BC
1
的中点，所以
D
为
A
1
C
1
的中点．
即
A
1
DDC
1
＝1.
21[解] (1)证明：连接
AE
，如下图所示．

∵
ADEB
为正方形，
∴
AE
∩
BD
＝
F
，且
F
是
AE
的中点，
快乐的学习，快乐的考试！
11

心改变，新开始！
又
G
是
EC
的中点，
∴
GF∥AC
，又
AC
?平面
ABC
，
GF
?平面
ABC
，
∴
GF∥
平面
ABC
.
(2)证明：∵
ADEB
为正方形，∴
EB
⊥
AB
，
又∵平面
ABED< br>⊥平面
ABC
，平面
ABED
∩平面
ABC
＝
AB
，
EB
?平面
ABED
，
∴
BE
⊥平面
ABC
，∴
BE
⊥
AC
.
又∵
AC
＝
BC
＝
2
2
AB
，
∴
CA
2
＋
CB
2
＝
AB
2，
∴
AC
⊥
BC
.
又∵
BC
∩< br>BE
＝
B
，∴
AC
⊥平面
BCE
.
(3)取
AB
的中点
H
，连
GH
，∵
BC
＝
AC
＝
22
2
AB
＝
2
，
∴
CH
⊥
AB
，且
CH
＝
1
2
， 又平面
ABED
⊥平面
ABC

∴
GH
⊥平面ABCD
，∴
V
＝
111
3
×1×
2
＝
6
.
22[解析] (1)证明：在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，底面三边长
AC
＝3，
BC
＝4，
AB
＝5，∴
AC
⊥
BC
.
又∵
C
1
C
⊥
AC
.∴
AC
⊥平 面
BCC
1
B
1
.
∵
BC
1
? 平面
BCC
1
B
，∴
AC
⊥
BC
1
.
(2)证明：设
CB
1
与
C
1
B
的 交点为
E
，连接
DE
，又四边形
BCC
1
B
1
为正方形．
∵
D
是
AB
的中点，
E
是
BC
1
的中点，∴
DE∥AC
1
.
∵
DE
?平面
CDB
1
，
AC
1
?平面
CD B
1
，
∴
AC
1
∥
平面
CDB
1
.
(3)解：∵
DE∥AC
1
，
∴∠
CED
为AC
1
与
B
1
C
所成的角．
在△
C ED
中，
ED
＝
15
2
AC
1
＝
2
，
CD
＝
151
2
AB
＝
2
，
CE
＝
2
CB
1
＝22，
∴cos∠
CED
＝
222
5
＝
5
. < br>2
∴异面直线
AC
22
1
与
B
1
C
所成角的余弦值为
5
.

快乐的学习，快乐的考试！
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