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高一数学必修二第三单元:直线与方程
一、选择题(本
大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.(2012·宁德高一检测)倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是
(
).
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+1=0
2.直线kx-y+1=3k,当k变动时,所有直线都通过定点(
).
A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)
3.(2012·佛山高一检测)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a
的值是( ).
A.1
B.-1
D.-2或1 C.-2或-1
4.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y
+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值
为( ).
A.-4
B.20 C.0 D.24
1
5.若直线y=x+2k+1与直线y=-x
+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是
2
( ).
51
-,
?
A.
?
?
22
?
21
-,
?
B.
?
?
52
?
21
-,
?
D.
?
?
52
?
51
-,-
?
C.
?
2
??
2
6.(2012·辽宁省营品市质量检测
)已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称,则直线l的方程
为( ).
A.x+y=0
B.x-y=0
D.x-y+1=0 C. x+y-6=0
7.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( ).
A.3x-y-13=0
B.3x-y+13=0
C.3x+y-13=0
D.3x+y+13=0
8.(2012·茂名高一检测)若直线l与直线y=1,x=7,分别交于
点P,Q,且线段PQ的中点坐
标为(1,-1),则直线l的斜率为( ).
1132
A. B.- C.- D.
3323
9.(2
012·湖北重点中学联考(二))已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离
相
等,则实数a的值为( ).
7
A.
9
1
B.-
3
71
D.或
93
71
C.-或-
93
10.等腰Rt△ABC
的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( ).
A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)
C.(4,6)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
11.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程
为________.
12.(2012·南通高一检测)若直线ax-2y+2=0与直
线x+(a-3)y+1=0平行,则实数a的值
为________.
13.已
知点A(-2,4)与直线l:x+y+4=0.P是直线l上一动点,则|PA|的最小值为________
.
14.已知,a,b,c为某一直角三角形的三边长,c为斜边,若点(m,n)在直线
ax+by+2c=0
上,则m
2
+n
2
的最小值为_______
_.
15.(2012·江西卷)过直线x+y-22=0上点P作圆x
2
+y
2
=1的两条切线,若两条切线的夹角是
60°,则点P的坐标是______
______.
D.(0,2)
三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(1)求与直线3x+4y-7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程;
(2)求经过直线l
1
:2x+3y-5=0与l
2
:7x+15y+1=
0的交点,且平行于直线x+2y-3=0
的直线方程.
17.(12分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
18.(12分)已知两条直
线l
1
:x+m
2
y+6=0,l
2
:(m-2)x+3m
y+2m=0,当m为何值时,l
1
与l
2
(1)相交;(2)平行;(3)
重合.
19.(12分)(2011·扬州高一检测)已知△ABC中,A(3,2),B
(-1,5),C点在直线3x-y+3=0
上,若△ABC的面积为10,求C点的坐标.
20.(12分)(2012·江苏滨海中学高一检测)在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为
x-2y
+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C
的坐标.
21.已知直线l:y=x,圆C
1
的圆心为(3,0),且经过点A(4,1).
(1)求圆C
1
的方程;
(2)若圆C
2
与圆C
1
关于直线l对称,点B、D分别为圆C
1
、C
2
上任意一点,求|
BD|的最小值.
解析:
一、选择题(本大题共10小题,每小题
5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.(2012·宁德高一检测)倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是
(
).
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+1=0
解析
由斜截式可得直线方程为y=-x-1,化为一般式即为x+y+1=0.故选D.
答案 D
2.直线kx-y+1=3k,当k变动时,所有直线都通过定点( ).
A.(0,0)
B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)
?
?
x-3=0,
解析 由kx-y+1=3k,得k(x-3)=y-1,
对于任何k∈R都成立,则
?
解
?
y-1=0,
?
?
x=3,
?
得
?
?
y=1.
?
答案 C
3.(2012·佛山高一检测)已知直线l:ax+y-2-a=0在
x轴和y轴上的截距相等,则a
的值是( ).
A.1
B.-1
D.-2或1 C.-2或-1
a+2
解析
由题意得,a+2=,解得a=-2或a=1.
a
答案 D
4.已知直线ax+4
y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值
为( ).
A.-4 B.20 C.0 D.24
a2
解析 由直线互相垂直可得-·
=-1,∴a=10,所以直线方程为5x+2y-1=0,又垂
45
足(1,c)在直线上,
所以代入得c=-2,再把点(1,-2)代入另一方程可得b=-12,所以a
+b+c=-4.故选
A.
答案 A
1
5.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象
限,则实数k的取值范围是
2
( ).
51
-,
?
A.
?
?
22
?
21
-,
?
B.
?
?
52
?
21
-,
?
D.
?
?
52
?
51
-,-
?
C.
?
2
??
2
?
解析 联立方程组
?
1
y=-x+2
?
2
?
?
y=x+2k+1,
?
,得
?
2k+5<
br>y=
?
3
.
2?1-2k?
x=,
3
2?1
-2k?
>0,
?
3
1
与直线y=-x+2的交点在第一象限,所以
?
2
2k+5
?
3
>0,
51
所以-<k
<.
22
答案 A
?
解得
?<
br>5
k>-
?
2
1
k<,
2
因为直线y=x+
2k+1
,
6.(2012·辽宁省营品市质量检测)已知A(2,4)与B(3,3)关于
直线l对称,则直线l的方程
为( ).
A.x+y=0
B.x-y=0
D.x-y+1=0 C. x+y-6=0
解析
由已知得直线l是线段AB的垂直平分线,所以直线l的斜率为1,且过线段中点
?
5
,
7
?
,由点斜式得方程为y-
7
=x-
5
,化简
得x-y+1=0.故选D.
?
22
?
22
答案 D
7.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( ).
A.3x-y-13=0
C.3x+y-13=0
B.3x-y+13=0
D.3x+y+13=0
解析 因为过点A的直线l与点B的距离
最远,所以直线AB垂直于直线l,所以直线AB的
斜率为-3,由点斜式可得直线方程为3x+y-1
3=0.故选C.
答案 C
8.(2012·茂名高一检测)若直线l与直线y=1,x=
7,分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐
标为(1,-1),则直线l的斜率为( ).
1132
A. B.- C.- D.
3323
解析 设P(xP
,y
P
),由题意及中点坐标公式,得x
P
+7=2,解得x
P
=-5,∴P(-5,1),∴直
1-?-1?
1
线l的斜率k=
=-.
3
-5-1
答案 B
9.(2012·湖北重点中学联考(二))
已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相
等,则实数a的值为(
).
7
A.
9
1
B.-
3
71
C.-或-
93
71
D.或
93
|-3a-4+1||6a+3+1|
17
解析
由题意及点到直线的距离公式得,=,解得a=-或-.
39
a
2
+1a
2
+1
答案 C
10.
等腰Rt△ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是( ).
A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)
C.(4,6)
D.(0,2)
?
k
BC
=-1,
?
k
AC·
解析 根据题意可得
?
?
|BC|=|AC|,
?
3-4y-3
?
=-
1,
?
3-0
·
x-3
即
?
?
?
?x-3?
2
+?y-3?
2
=?0-3?
2
+
?4-3?
2
.
??
?
x=2,
?
x=4,
?
整理可得或
?
?
y=0
?
??
y=6,
所以B(2,0)或B(4,6).
答案 A
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
11.已知
直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程
为____
____.
解析 直线y=x+1的斜率为1,所以倾斜角为45 °,又所求直线的倾斜角是已知直
线倾斜角
的2倍,所以所求直线的倾斜角为90°,其斜率不存在.又直线过定点P(3,3),所以直
线l的
方程为x=3.
答案 x=3
12.(2012·南通高一检测)若直线a
x-2y+2=0与直线x+(a-3)y+1=0平行,则实数a的值
为________.
解析 由两直线平行的条件得a(a-3)=-2,解得a=1或2,经检验,a=2时两直线重合,<
br>所以两直线平行时,实数a的值为1.
答案 1
13.已知点A(-2,4)与直线
l:x+y+4=0.P是直线l上一动点,则|PA|的最小值为________.
解析
当PA⊥l时,PA最小,即为点A到直线l的距离,
|-2+4+4|
所以|PA|的最小值为=32.
2
答案 32
14.已知,a,b,c为某一直角三角形的三边长,c为斜边,若点(m,n)在直线ax+by+2c=0
上,则m
2
+n
2
的最小值为________.
解析
点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,且m
2
+n
2
为直线上的点到
原点的距离的平方.当
|a·0+b·0+2c|
2c2c
两直线垂直时,距离最小.
故d====2,∴m
2
+n
2
≥4.
2222
c
a+ba+b
答案 4
15.(2012·江西卷)过
直线x+y-22=0上点P作圆x
2
+y
2
=1的两条切线,若两条切线的
夹角是
60°,则点P的坐标是____________.
解析:
直线与圆的位置关系如图所示,
设P(x,y),则∠APO=30°,且OA=1.在直
角三角形APO中,OA=1,∠APO=30°,则OP
=2,即x
2
+y
2
=4.又x+y-22=0,联立解得x=y=2,即P(2,2).
答案: (2,2)
三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)求与直线3x+4y-7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程;
(2)求经过直线l
1
:2x+3y-5=0与l
2
:7x+15y+1=
0的交点,且平行于直线x+2y-3=0
的直线方程.
解
(1)设所求的直线方程为4x-3y+c=0.
由已知:
|c|
=6,解得c=±30,
4
2
+3
2
故所求的直线方程为4x-3y±30=0.
(2)设所求的直线方程为
2x+3y-5+λ(7x+15y+1)=0,
即(2+7λ)x+(3+15λ)y+λ-5=0,
2+7λ
1
由已知-=-,解得λ=1.
2
3+15λ
故所求的直线方程为9x+18y-4=0.
17.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为零,当然相等,
则(a+1)×0+0+2-a=0,
∴a=2,方程即3x+y=0.
a-2
若a≠2,由于截距存在,∴=a-2,
a+1
即a+1=1.∴a=0,方程即x+y+2=0.
∴l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
?
+1?≥0,
?<
br>-?a
∴l不经过第二象限,当且仅当
?
?
a-2≤0.
?
∴a≤-1,综上可知,a的取值范围是a≤-1.
18.(10分)已知两条直线l
1
:x+m
2
y+6=0,l
2
:(m-2)x+3my+2m=
0,当m为何值时,l
1
与l
2
(1)相交;(2)平行;(3)重合.
解 当m=0时,l
1
:x+6=0,l
2
:x=0,∴l
1
∥l
2
;
当m=2时,l
1
:x+4y+6=0,l<
br>2
:3y+2=0,∴l
1
与l
2
相交;
1m2
16
当m≠0且m≠2时,由=,得m=-1或m=3,由=,得m=3.
m
-2
3m
m-2
2m
故(1)当m≠-1且m≠3且m≠0时,l
1
与l
2
相交;
(2)当m=-1或m=0时,l
1
∥l
2
;
(3)当m=3时,l
1
与l
2
重合.
19.(12分)
(2011·扬州高一检测)已知△ABC中,A(3,2),B(-1,5),C点在直线3x-y+3=0<
br>上,若△ABC的面积为10,求C点的坐标.
解 |AB|=
?3+1?
2
+?2-5?
2
=5,
∵S
△
ABC
=10,∴AB边上的高为4,
即C点到AB距离为4,
而直线AB的方程为3x+4y-17=0,
3x-b+
3=0,
?
?
设C(a,b),则
?
|3a+4b-17|
=4,
?
5
?
?
?
?
a=3
,
?
a=-1,
?
解得或
?
?
?<
br>b=0
?
5
?
b=8.
5<
br>?
所以C(-1,0)或
?
?
3
,8
?
.
20.(12分)(2012·江苏滨海中学高一检测)在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为
x-2y
+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C
的坐标.
?
?
x-2y+1=0,
解
由方程组
?
解得点A的坐标为(-1,0),又直线AB的斜率k
AB
=1,
x轴是
?
y=0,
?
∠A的平分线,
所以k
AC
=-1,
则AC边所在的直线方程为y=-(x+1).①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
故直线BC的斜率k
BC
=-2,
所以BC边所在的直线方程为y-2=-2(x-1).②
?
?
x=5,
解①②组成的方程组得
?
?
y=-6,
?
即顶点C的坐标为(5,-6).
2
1..如图所示,已知直线l:y=x,圆C
1
的圆心为(3,0),且经过点A(4,1).
(1)求圆C
1
的方程;
(2)若圆C
2
与圆C
1
关于直线l对称,点B、D分别为圆C
1
、C
2
上任意一点,求|
BD|的最小值.
解析: (1)依题意,设圆C
1
的方程为(x-3)
2
+y
2
=r
2
,因为圆C
1
经过点A(4,1),
所以r
2
=(4
-3)
2
+1
2
=2.
所以圆C
1
的方程为(x-3)
2
+y
2
=2.
(2)由(1),知圆C
1
的圆心坐标为(3,0),半径为2,
C
1
到直线l的距离d=
|3-0|
32
=,
2
1+1
322
-2=.
22
2
=2.
2
所以圆C
1
上的点到直线l的最短距离为
因为圆C
2
与
圆C
1
关于直线l对称,所以|BD|
min
=2×