高中数学必修2-5

2.1.3 函数的单调性
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会 划分函数的单调区间，判断单调性.3.
会用定义证明函数的单调性．

知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f(x)＝x，f(x)＝x
2
的图象，并指出f(x )＝x，f(x)＝x
2
的图象的升降情况．
答案 两函数的图象如下：

函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x
2
的图象在y轴左侧是 下降的，在y轴右
侧是上升的．
梳理 1.设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A， 如果取区间M中的任意两个值x
1
，x
2
，
改变量Δx＝x
2
－x
1
＞0，则当Δy＝f(x
2
)－f(x
1
)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，
如图(1)；当Δy＝f(x
2
)－f(x
1
)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．

2．如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区 间M上具有
单调性(区间M称为单调区间)．
特别提醒：函数单调性定义的理解
(1)任意性，即“任意取x
1
，x
2
”，不能取两个特殊值． < br>(2)x
1
，x
2
有大小，通常规定Δx＝x
2
－x
1
＞0.
(3)x
1
，x
2
同属于定义域的某个子区间．
知识点二 函数的单调区间

1
思考 我们已经知道f(x)＝x
2
的减 区间为(－∞，0]，f(x)＝的一个减区间为(－∞，0)，这两
x
个减区间能不能交换？
1
答案 f(x)＝x
2
的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减 区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，
x
1
因为0不属于f(x)＝的定义域．
x
梳理 一般地，有下列常识：
(1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间．
(2)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端
点若属于 定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开．
(3)单调区间D?定义域I.
(4)遵循最简原则，单调区间应是函数为增函数或减函数的 最大区间，且多个单调区间之间用
逗号隔开，不能用“∪”．

1．如果f(x)在 区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．( × )
3．用定义证明函数单调 性时，可设x
1
2
，也可设x
1
>x
2
.( √ )
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．( × )

类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每
一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f (x)在区间[－5，－2]，
[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．

反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集 ；
当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”
来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 写出函数y＝f(x)＝|x
2
－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
2
?
?
x－2x－3，x<－1或x>3，
解 先画出f(x)＝
?
的图象，如图．
2
?
?
－?x－2x－3?，－1≤x≤3


所 以y＝|x
2
－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3， ＋∞)，其中单调减区间是
(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二 证明单调性
命题角度1 证明具体函数的单调性
例2 证明f(x)＝x在其定义域上是增函数．
证明 f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)．
设x
1
，x
2
是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x
12
，则Δx＝x
2
－x
1
＞0，
Δy＝ f(x
1
)－f(x
2
)＝x
1
－x
2

＝
?x
1
－x
2
??x
1
＋x
2
?
x
1
＋x
2
＝
x
1
－x
2
x
1
＋x
2
.
∵0≤x
1
2
，∴x
1
－x
2
＝－Δx<0，x
1
＋x
2
>0，
∴Δy＝f(x
1
)－f(x
2
)<0，
∴f(x)＝x在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函 数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意
取x
1
，x
2
且x
1
2
的条件下，转化为确定f(x
1
)与f(x< br>2
)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→
变形→定号→小结．

1
跟踪训练2 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
x
证明 设x
1
，x
2
是[1，＋∞)上的任意实数，且x
1
2
，则Δx＝x
2
－x
1
＞0，
1
1
x
2
＋
?

Δy＝f(x
1
)－f(x
2
)＝x
1
＋－
?
x
2
?
x
1
?
x
2
－x
1
11
?< br>－
＝(x
1
－x
2
)＋＝(x
1
－x
2
)＋
?

?
x
1
x
2
?x
1
x
2
1
?
?
x
1
x2
－1
?
1－
＝(x
1
－x
2
)?
＝(x－x)
??
.
12
?
x
1
x
2
?
?
x
1
x
2
?
∵1≤x< br>1
2
，∴x
1
－x
2
<0,11
x
2
，
x
1
x
2
－1
?
x
1
x
2
－1
?
∴>0，故(x
1
－x
2
)
??
<0，
x
1
x
2
?
x
1
x
2
?
即Δy＝f(x
1
)－f (x
2
)<0，
1
∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
x
命题角度2 证明抽象函数的单调性
例3 已知函数f(x)对任意的实数x，y 都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：
函数f(x)在R 上是增函数．
证明 方法一 设x
1
，x
2
是实数集R上的任意两 个实数，且x
1
>x
2
.令x＋y＝x
1
，y＝x
2
，则x
＝x
1
－x
2
>0.
Δy＝f(x1
)－f(x
2
)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y )＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x
1
) －f(x
2
)>0，即f(x
1
)>f(x
2
)．
∴函数f(x)在R上是增函数．
方法二 设x
1
>x
2
，则x
1
－x
2
>0， < br>从而f(x
1
－x
2
)>1，即f(x
1
－x
2
)－1>0.
f(x
1
)＝f[x
2
＋(x
1
－x
2
)]＝f(x
2
)＋f(x
1
－x
2
)－1>f(x
2
)，故f(x)在R上是增函数．
反思与感悟 因为 抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x
1
)－f(x
2
)，但可以借 助题目提
供的函数性质来确定f(x
1
)－f(x
2
)的大小，这时 就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．
跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实 数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且
当x>0时，0

证明 ∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f (n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，
∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝ －x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
1
又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝＞1.
f?－x?
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x
1
2
，则x
2
－x
1
>0，
∴02
－x
1
)<1，
∴f(x
2)－f(x
1
)＝f[(x
2
－x
1
)＋x
1
]－f(x
1
)＝f(x
2
－x
1
)f(x
1
)－f(x
1
)＝f(x
1
)[f(x
2
－x
1
)－1]<0，
∴f(x)在R上是减函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
?
?3a－1?x＋4a，x<1，
?
例4 若函数f(x)＝
?
是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
?
－ax，x≥1
?

11
?
A.
??
8
，
3
?

1
0，
?
B.
?
?
3
?
1
，＋∞
?
C.
?
?
8
?
11
－∞，
?
∪
?
，＋ ∞
?
D.
?
8
??
3
??
答案 A
解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
3a－1<0，
?
?
?
－a<0，
?
1＋4a≥－a·1.
?
?3a－1?·
11
解得≤a＜.
83
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单 调外，还要保证在接口处不能
反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．

跟踪训练4 已知函数f(x)＝x
2
－2ax－3在区间 [1,2]上单调，则实数a的取值范围为
________________．
答案 a≤1或a≥2
解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]， 而f(x)在区间
[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即 a≤1或a≥2.
命题角度2 用单调性解不等式
例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解 f(1－a)－1<1－a<1，
?
?
?
－1<2a－1<1，
?
?
1－a>2a－1，

2
解得03
2
即所求a的取值范围是03
反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x
1
，x
2的大小，可得f(x
1
)，f(x
2
)的大小；由f(x
1)，
f(x
2
)的大小，可得x
1
，x
2
的大 小．
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)取值范围又是什么？
解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
2
f(1－a)，
3
2
，＋∞
?
. ∴所求a的取值范围是
?
?
3
?

1．已知函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )

A．[－2,0]
C．[－2,1]
答案 C
B．[0,1]
D．[－1,1]

6
2．函数y＝的减区间是( )
x
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 C
3．在下列函数f(x)中，满足对任 意x
1
，x
2
∈(0，＋∞)，当x
1
2时，都有f(x
1
)>f(x
2
)的是( )
A．f(x)＝x
2

C．f(x)＝|x|
答案 B
4．已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C．函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D．以上的三个结论都不正确
答案 D
5．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是( )
A．x<1
C．－1答案 C

1．若f( x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上
单调 递减．
2．对增函数的判断，当Δx＝x
2
－x
1
＞0时，都有Δ y＝f(x
2
)－f(x
1
)＞0，也可以用一个不等式来
替代：
f?x
1
?－f?x
2
?
(x
1
－x2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]>0或
>0.对减函 数的判断，当Δx＝x
2
－x
1
＞0时，都有Δy＝f(x
2
)
x
1
－x
2
f?x
1
?－f?x
2< br>?
－f(x
1
)＜0，相应地也可用一个不等式来替代：(x
1
－x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]<0或
< 0.
x
1
－x
2
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数， 二次函数，反比例函数等．
B．x>－1
D．x<－1或x>1
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1

4 ．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x )单调
1
递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x) ≠0)．
f?x?
f?x
1
?
5．对于函数值恒正(或恒负)的函 数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
f?x
2
?

一、选择题
1
1．函数y＝的单调减区间是( )
x－1
A．(－∞，1)，(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1}
答案 A
解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选
A.
2． 如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x
1
，x
2
∈[ a，b](x
1
≠x
2
)，下列结论中
不正确的是( )
f?x
1
?－f?x
2
?
A.>0
x
1
－x
2
B．(x
1
－x
2
)[f(x
1< br>)－f(x
2
)]>0
C．若x
1
2
，则f(a)1
)2
)x
1
－x
2
D.>0
f?x
1
?－f?x
2
?
答案 C
解析 因为f (x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x
1
，x
2
∈[a，b](x< br>1
≠x
2
)，x
1
－x
2
与f(x
1
)－f(x
2
)
的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x
1
2
，则f(a)≤f(x
1
)2
)≤f(b)．
3．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的 两点，那么－1解集是( )
A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 B
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
D．R

解析 由已知得f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1∵f(x)在R上单调递增，
∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是( )
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝
1
f?x?
在R上是减函数
C．y＝[f(x)]
2
在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
答案 A
解析 设x
1
2
，因为函数f(x)在R上是增函数，故必有f(x
1
)2
)．
所以－f(x
1
)>－f(x
2
)，A选项一定成立．
其 余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a<0时，D不成立．
5．已知函数f(x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有(
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)答案 C
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝
??
?
x
2
＋4x，x≥0，
?
若f(4－a)>f(a )，则实数a
?
4x－x
2
，x<0，

的取值范围是(
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
)
)

解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上递增，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
二、填空题
?
?
－x＋3a，x≥0，
7．已知函数f(x)＝
?
2
是(－∞，＋∞ )上的减函数，则实数a的取值范围是
?
x－ax＋1，x<0
?

________．
1
0，
?
答案
?
?
3
?
解析 当x<0时，函数f(x)＝x
2
－ax＋1是减函数，
a
∴≥0，解得a ≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的函数值应满足
2
11≥3a，解得a≤，
3
1
∴0≤a≤.
3
8．已知f(x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)3
1，
?
答案
?
?
2
?
－1≤x－2≤1，
?
?
解析 由题意，得
?
－1≤1－x≤1，
?
?
x－2<1－x，

3
解得1≤x<，
2
3
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
2
9．函数f(x＋1)＝x
2
－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f( x)的单调减区间是________．
答案 [－1,1]
解析 f(x＋1)＝x2
－2x＋1＝(x－1)
2
＝(x＋1－2)
2
，
∴f(x)＝(x－2)
2
，x∈[－1,1]，
∴f(x)在定义域[－1,1]上单调递减．
10．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在 R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的
取值范围是________．
答案 (－1,0)

k＋1>0，
?
?
解析 依题意得
?
－k
>0，
?
k＋1
?
三、解答题

解得－111．求函数y＝－x
2
＋2|x|＋3的单调增区间．
?
－x
2
＋2x＋3，x≥0，
?
解 ∵y＝－x
2
＋2|x|＋3＝
?

2
?
?
－x－2x＋3，x<0.
函数图象如图所示：


∴函数y＝－x
2
＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
x
12．已知f(x)＝(x≠a)．
x－a
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 任设x
1
2
<－2，
则f(x
1
)－f(x
2
)＝－＝.
x
1
＋2x
2
＋2?x
1
＋2??x
2
＋2?
∵(x
1
＋2)(x
2
＋2)>0，x
1
－x
2
<0，
∴f(x
1
)2
)，∴f(x)在(－∞，－2) 内单调递增．
(2)解 任设11
2
，则
f(x
1
)－f(x
2
)＝－＝.
x
1
－ax
2
－a?x
1
－a??x
2
－a?
∵a>0 ，x
2
－x
1
>0，∴要使f(x
1
)－f(x
2
)>0，
只需(x
1
－a)(x
2
－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述013．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x， y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已
x
1
x
2
a?x
2
－x
1
?
x
1
x
2
2?x1
－x
2
?

知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0 .
1
?
(1)求f
?
?
2
?
的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
解 (1)对于任意x，y∈(0，＋∞)都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
11
1
2×
?
＝f(2)＋f
??
， 当x＝2， y＝时，有f
?
?
2
??
2
?
2
1
?
即f(2)＋f
?
?
2
?
＝0，
1
?
又f(2)＝1，∴f
?
?
2
?
＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下：
设任意x
1
，x
2
∈(0，＋∞)，且x
1
2
，
x< br>2
?
则f(x
1
)＋f
?
?
x
?< br>＝f(x
2
)，
1
x
2
?
即f(x
2
)－f(x
1
)＝f
?
?
x
?
. < br>1
x
2
?
x
2
因为>1，故f
?
?
x
1
?
>0，
x
1
即f(x
2
)>f(x
1
)，故f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
1
?
(3)由(1)知，f
?
?
2
?
＝－1，
1
?
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
?
?
2
?
< br>1
?
＝f
?
?
2
?8x－6?
?
＝ f(4x－3)，
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
?
?
2x>4x－3，
33
∴
?
解得42
?
?
4x－3>0，
?
33
?
?
. 故所得解集为
?
x
?
?
42
??

四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x
2
＋2ax与g( x)＝
____________．
答案 (0,1]
a
解析 由f(x )＝－x
2
＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是减函 数可得
x＋1
a>0.
∴01
15．已知函数f(x )在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的
f? x?
单调性并给出证明过程．
解 F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
证明：任 取x
1
，x
2
∈(0，＋∞)，且x
1
2，
f?x
1
?－f?x
2
?
11
∴F(x< br>2
)－F(x
1
)＝－＝.
f?x
2
?f?x1
?f?x
2
?f?x
1
?
∵y＝f(x)在(0，＋ ∞)上为增函数，且x
1
2
，
∴f(x
1
) 2
)，∴f(x
1
)－f(x
2
)<0.
而f(x
1
)<0，f(x
2
)<0，∴f(x
1
)f( x
2
)>0.
∴F(x
2
)－F(x
1
)<0， 即F(x
1
)>F(x
2
)．
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
a
在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是
x＋1