【人教A版】高中数学必修二：专题强化训练(二)

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专题强化训练(二)
点、直线、平面之间的位置关系
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.在下列命题中,不是公理的是 ( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面
内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共
直线
【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不
需要证明的.
2.(2015·浙江高考)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?
α ,m?β ( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
【解析】选A.选项A中,由平面 与平面垂直的判定,故正确;选项B中,当α⊥β
时,l,m可以垂直,也可以平行,也可以异面;选项 C中,l∥β时,α,β可以相交;选项

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D中,α∥β时,l,m也可以异面.
3.(2015·西安高一检测)已知异面直线a,b 分别在平面α,β内,且α∩β=c,那
么直线c一定 ( )
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
【解析】选C.若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理 4,则a∥b,与
a,b异面矛盾.
4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈l,则下列说法中,正确的个数是( )
①过P与l垂直的直线在α内;
②过P与β垂直的直线在α内;
③过P与l垂直的直线必与α垂直;
④过P与β垂直的直线必与l垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.②④正确,对于①:与l垂直的直线不一定在α内, 对于③:只有在β
内与l垂直的直线才与α垂直,故①③错误.
5.已知l,m,n为两两垂 直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n
与平面α的关系是 ( )
A.n∥α B.n∥α或n?α
C.n?α或n与α不平行 D.n?α
【解析】选A.因为l?α,且l与n异面,所以n?α,又因为m⊥α,n⊥m,所以n∥α.

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6.如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,O是底面正方形ABCD的中 心,M是D
1
D的中点,N
是A
1
B
1
上的动点, 则直线NO,AM的位置关系是 ( )

A.平行 B.相交
C.异面垂直 D.异面不垂直
【解析】选C.过O作EF∥AB,分别与AD,BC 相交于点E,F,连接A
1
E,B
1
F,因为O是
AC的中点所以E ,F分别是AD,BC的中点,所以AB∥EF,AB=EF,又因为A
1
B
1
∥
AB,A
1
B
1
=AB,所以A
1
B
1
∥EF,A
1
B
1
=EF,所以A
1
B
1
FE是平行四边形,易证AM⊥A
1
E,AM⊥
A
1
B< br>1
,所以AM⊥平面A
1
B
1
FE,又NO?平面A
1
B
1
FE,所以AM⊥NO.

二、填空题(每小题4分,共12分)
7.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将 △ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,
使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上 ,则异面直线A′B与CD所成
角的大小为 .

【解析】由A′O⊥平面A BCD,可得平面A′BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC,可得DC⊥
平面A′BC,所以DC⊥A ′B,即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.

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答案:90°
8.(2015·广州高一检测)设α,β,γ为三 个不同的平面,m,n是两条不同的直线,
在命题“α∩β=m,n?γ,且 ,则m∥n”,题中的横线处填入下列三组条
件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.
可以填入的条件有 .
【解析】由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m?γ时,n和m在同一平
面内,且 没有公共点,所以平行,③正确.
答案:①或③
9.(2015·南昌高一检测)如图,自二面角α-l- β内任意一点A分别作AB⊥α,AC
⊥β,垂足分别为B和C,若∠BAC=30°,则二面角α- l-β的大小为 .

【解析】因为AB与AC相交,所以可以确定一个平面.设平面 ABC与l相交于点
D,连接BD,CD,
因为AB⊥α,l?α,所以AB⊥l,
因为AC⊥β,l?β,所以AC⊥l,又l⊥平面ABC
所以l⊥BD,l⊥CD,所以∠BDC是二面角α-l-β的平面角.
在四边形ABDC中,∠ACD=∠ABD=90°,∠BAC=30°所以∠BDC=150°,
所以二面角α-l-β的大小为150°.

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答案:150°
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2015·安徽高考)如图,在三棱锥P- ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,
∠BAC=60°.

(1)求三棱锥P-ABC的体积.
(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.
【解析】(1)由题意可 得S
△ABC
=·AB·AC·sin60°=,由PA⊥平面ABC,可知PA是
三 棱锥P-ABC的高,又PA=1,
所以所求三棱锥的体积为V=S
△ABC
·PA=.
(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为点N,

在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM,
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,
所以MN⊥AC,由于BN∩MN=N,所以AC⊥平面MBN,
又BM?平面MBN,所以AC⊥BM,

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在直角三角形BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,
所以NC=AC-AN=,
由MN∥PA,得==.
11.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形, FA⊥平面ABCD,BC∥
AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.

(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值.
(2)证明CD⊥平面ABF.
(3)求二面角B-EF-A的正切值.
【解析】(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.
所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,
CE==3,
所以cos∠CED==.
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)如图,过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,从而CD⊥AB.
又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.
(3)由(2)及已知条件,可得AG=,即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF.

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因为BC∥AD,所以BC∥EF.
过点N作NM⊥EF,交BC于点M,
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM,从而BC⊥GM.由已知,可得
GM=.
由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.
在Rt△NGM中,tan∠GNM==.
所以二面角B-EF-A的正切值为.

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