高中数学必修2解析几何公式知识点总结

高中数学必修2解析几何知识点
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地， 当直线与x轴平行或重
合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180 °
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用k
表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程 度。
当
?
?0
?
,90
?
时，
k?0< br>； 当
?
?90
?
,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
②过两点的直线的 斜率公式：
k?
?
?
??
y
2
?y
1(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意 义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过 点
?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y=y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
④截矩式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy??1

ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
?B
0
?0
）的直线系：
A
0
x?B< br>0
y?C?0
（C
为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ） 斜率为
k
的直线系：
（ⅱ）过两条直线
l
1
:
22
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为 参数）
（5）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>时，

l
1
l
2
?k
1< br>?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（7 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（8）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C
（9）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 < br>?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

A
2
?B
2
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
2
，圆心
22
?
a,b
?
，半径为r；
?
22
?
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

DE
?
，半径为< br>r?
1
D
2
?E
2
?4F
当
D? E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?
?
2 2
2
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一 个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb ?C
，则有
d
A
2
?B
2
?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

22
（2 ）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
??
?
y?b
?
?r
2
，先将方程联立消元，得到一个< br>一元二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交

2
注：如果 圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
去解直 线与圆相切的问题，其中
x
0
,y
0
表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
2
①圆x
2
+y
2=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线 方程为
xx
0
?yy
0
?r
(课本命题)．
② 圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x< br>0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为(x
0
-a)( x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课
本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
??

设圆
C1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y ?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:?
x?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。