山东 高中数学竞赛-高中数学怎么学速成
模块质量检测
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.
在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几
何体一定是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体
解析:当用过高
线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三
角形,只有球满足任意截面都是圆面.
答案:C
2.已知直线x-3y-2=0,则该直线的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3
解析:直线
x-3y-2=0的斜率k=
3
,故倾斜角为30°,故选
A.
答案:A
3.点P(2,m)到直线l:5x-12y+6=0的距离为4,则m的值为
( )
A.1 B.-3
517
C.1或
3
D.-3或
3
解析:利用点到直线的距离公式.
答案:D
4.
圆(x+2)
2
+y
2
=4与圆(x-2)
2
+(y-1)
2
=9的位置关系为( )
A.内切 B.相交
C.外切
D.相离
解析:两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为r=2,R=3
两
圆的圆心距离为?-2-2?
2
+?0-1?
2
=17,则R-r<17
答案:B
5.在空间给出下面四个命题(其中m,n为不同的两条直线,α,β
为不同的两个平面):
①m⊥α,n∥α?m⊥n ②m∥n,n∥α?m∥α ③m∥n,n⊥β,
m∥α?α⊥β
④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β?α∥β.
其中正确的命题个数有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:②中m也可能在平面α内,②错,①③④正确,故选C.
答案:C
6.点P
在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,
则PA与BD所成角的度数为(
)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:利用正方体求解,如图所示:
PA与BD所成的角,即为PA与PQ所成的角,因为△
APQ为等
边三角形,所以∠APQ=60°,故PA与BD所成角为60°,故选C.
答案:C
7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x
2
+y
2<
br>-2x=0相切,则a的值
为( )
A.1或-1 B.2或-2
C.1 D.-1
解析:圆x
2
+y
2
-2
x=0的圆心(1,0),半径为1,依题意得
|1+a+0+1|
2
=1,即|a+
2|=?a+1?+1,
2
?1+a?+1
平方整理得a=-1,故选D.
答案:D
8.已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则(
)
A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形
C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形
解析:∵|AB|=29,|AC|
=229,|BC|=29,而|AB|+|BC|=|AC|,
∴三点A,B,C共线,构不成三角形
.
答案:D
9.已知圆(x-2)
2
+(y+1)
2
=
16的一条直径通过直线x-2y+3=0
被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( )
A.3x+y-5=0 B.x-2y=0
C.x-2y+4=0
D.2x+y-3=0
1
解析:直线x-2y+3=0的斜率为
2
,已知圆
的圆心坐标为(2,-
1),该直径所在直线的斜率为-2,所以
该直径所在的直线方程为y+1
=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选D.
答案:D
10.在四面体A-BCD中,棱AB,AC,AD两两互相垂直,则
顶点A在底面BCD上的
投影H为△BCD的( )
A.垂心 B.重心
C.外心 D.内心
解析:因为AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,
因为AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD.
因为AH⊥平面BCD,
所以AH⊥CD,AB∩AH=A,
所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥BH.
同理可证CH⊥BD,DH⊥BC,
则H是△BCD的垂心.故选A.
答案:A
11.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)
2
+y
2
=1
有公共点,则直
线l的斜率的取值范围为( )
A.[-3,3] B.(-3,3)
??
33
?
33
?
C.
?
-,
?
D.
?
-,
?
33
?
33
???
解析:设直线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
因为直线l与曲线(x-2)
2
+y
2
=1有公共点,
所以圆心到直线的距离d小于或等于半径,
|2k-4k|
33
∴d=2
≤1,解得-
3
≤k≤
3
.
k+1
答案:C
12.设A,B,C,D是一个半径为4的球的球面上四点,△AB
C
为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为
( )
A.123 B.183
C.243 D.543
解析:由于△ABC为等边
三角形且面积为93,故当三棱锥D-
ABC体积最大时,点D到平面ABC的距离最大.设等边△AB
C的边
3
2
长为a,则
4
a=93,得a
2
=36
,解得a=6.
设△ABC的中心为点E,连接AE,BE,CE,由正三角形的性质
得AE
=BE=CE=23,
设球心为点O,连接OA,OB,OC,
OE,OD,则OA=OB=OC
=4,则OE=4
2
-?23?
2
=2,故D到平面ABC的距离的最大值为
1
OE+OD=2+4=6,则(V
D-
ABC
)
max
=93×6×
3
=183.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在
题中横线上)
13.如图所示,Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,
其中A′C′⊥B′C
′,B′O′=O′C′=1,则△ABC的面积为
________.
解析:由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC,如图所
11
示,则有BO=OC=1,AO=22.故S
△
ABC
=
2
BC·AO=
2
×2×22=
22.
答案:22
14.已知点P
(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ
垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标
是________.
解析:设Q(x
0
,y
0
),因为点Q在直
线x-y+1=0上,所以x
0
-
y
0
+1=0①
y0
+1
1
又直线x+2y-5=0的斜率k=-
2
,直线PQ的
斜率k
PQ
=
x
,
0
所以由直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,
y0
+1
?
1
?
?
-
?
=-1② 得<
br>x
·
2
0
??
由①②解得x
0
=2,y0
=3,即点Q的坐标是(2,3).
答案:(2,3)
15.若直线y=a
x+b通过第一、二、四象限,则圆(x+a)
2
+(y+
b)
2
=
1的圆心位于第________象限.
解析:(-a,-b)为圆的圆心,由直线经过一、二、四象
限,得到
a<0,b>0,即-a>0,-b<0,故圆心位于第四象限.
答案:四
16.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直
线为轴,旋转一周
得到一几何体,∠BAC=30°,则此几何体的体积为
________.
4
3<
br>解析:半圆旋转一周形成一个球体,其体积V
球
=
3
πR
,内
部两个
11
?
3
?
2
π
32
??
圆锥的体积之和为V
锥
=
3
πCD
·AB=
3
π·
R
·2R=
2
R,所以所求几
?
2
?
4<
br>3
π
3
5
3
何体的体积为
3
πR
-
2
R=
6
πR
.
6
3
答案:
5
πR
三、解答题(本大题共6小题
,共70分.解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)[20
19·广州高一检测]三棱锥S-ABC中,SA⊥AB,
SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=
13,SB=29.
(1)证明:SC⊥BC.
(2)求三棱锥的体积V
S
-
ABC
.
解析:(1)证明
:因为SA⊥AB,SA⊥AC,AB∩AC=A,所以SA⊥
平面ABC,所以AC为SC在平面AB
C内的射影,又因为BC⊥AC,
所以SC⊥BC.
(
2)在△ABC中,AC⊥BC,AC=2,BC=13,所以AB=4+13
=17,因为SA⊥AB
,所以△SAB为直角三角形,SB=29,所以
SA=29-17=23,因为SA⊥平面ABC,所
以SA为棱锥的高,所
111239
以V
S-ABC
=××AC×BC×SA
=×2×13×23=
3263
.
18.(12分)求经过直线x+y=0与圆x<
br>2
+y
2
+2x-4y-8=0的交
点,且经过点P(-1,-2)的
圆的方程.
?
?
x+y=0,
解析:解方程组
?
22得x=1,y=-1或x
?
x+y+2x-4y-8=0,
?
=-4,y
=4,
即直线与圆交于点A(1,-1)和点B(-4,4).
设所求圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,分别将A,B,P的坐
标代入,
1+1+D-E+F=0,
?
?
得方程组
?
16
+16-4D+4E+F=0,
?
?
1+4-D-2E+F=0,
D=3,<
br>?
?
解得
?
E=-3,
?
?
F=-8,
所求圆的方程为x
2
+y
2
+3x-3y-8=0.
19
.(12分)已知圆的方程为x
2
+y
2
=8,圆内有一点P(-1,2),
AB
为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.
解析:有两种方法.
(1)方法一 (几何法)
如图所示,过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线AB的斜率为k=tan135°=-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即x+y-1=0.
|-1|2
因为圆心为(0,0),所以|OC|==
2
.因为r=22,所以|BC|=
2
?
2
?
2
308-
??
=
2
,
?
2
?
所以|AB|=2|BC|=30.
方法二 (代数法)
当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+1,代入x2
+y
2
=8,得2x
2
-2x-7=0.
7
所以x
1
+x
2
=1,x
1
x
2
=-<
br>2
,所以|AB|=1+k
2
|x
1
-x
2
|
=?1+1?[?x
1
+x
2
?
2
-4x1
x
2
]
=30.
(2)如图,当弦AB被点P平分时,
OP⊥AB,
1
因为k
OP
=-2,所以k
AB
=
2
,
所以直线AB的方程为y-2=
1
2
(x+1),即x-2y+5=0.
20.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且
1
垂直于
低面ABCD,AB=BC=
2
AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为27,求四棱锥P-
ABCD的体积.
解析:(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,
所以BC∥AD,又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD.
1
(2
)取AD的中点M,连接PM,CM,由AB=BC=
2
AD及BC∥AD,
∠ABC
=90°,得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD,因为侧面PAD
为等边三角形且垂直于底面AB
CD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所
以PM⊥AD,PM⊥平面ABCD,因为CM?平面AB
CD,所以PM⊥CM,
设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x,取C
D
14
中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=<
br>2
x,因为△PCD的面积
114
为27,所以
2
×2x×<
br>2
x=27,解得x=-2(舍去),x=2,于是
1
AB=BC=2,AD=
4,PM=23,所以四棱锥P-
ABCD的体积V=
3
2×?2+4?
××23=43.
2
21.
(12分)[2019·上饶县校级月考]已知圆C
1
:x
2
+y
2
-6x-6=0,
圆C
2
:x
2
+y
2
-
4y-6=0
(1)试判断两圆的位置关系;
(2)求公共弦所在的直线的方程;
(3)求公共弦的长度.
解析:(1)圆C
1
:x
2
+y
2
-6x-6=0,化为(x-3)
2
+y
2
=15,圆心
坐
标为(3,0),半径为15;圆C
2
:x
2
+y
2-4y-6=0化为x
2
+(y-2)
2
=10,
圆心坐标(0
,2),半径为 10.圆心距为:3
2
+2
2
=13,因为15 -10
<13 <15 +10 ,所以两圆相交.
(2)将两圆的方程相减,得-6x+4y=0,化简得:3x-2y=0,
∴公共弦所在直线的方程是3x-2y=0;
9
(3)由(2)知圆C
1<
br>的圆心(3,0)到直线3x-2y=0的距离d==
9+4
98121
482
,由此可得,公共弦的长l=2 15-
13
=
13
. 13
22.(12分)[2019·大连高一检测]如图已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
(侧
棱垂直于底面)中,D,E分别是AB,BB
1
的中点.
(1)证明:BC
1
∥平面A
1
CD; <
br>(2)设AA
1
=AC=CB=2,AB=22,求二面角A
1
-EC
-C
1
的正弦
值.
解析:(1)证明:连接AC
1
交A<
br>1
C于点F,则F为AC
1
的中点,又
D是AB中点,连接DF,则B
C
1
∥DF,因为DF?平面A
1
CD,BC
1
?
平面A
1
CD,所以BC
1
∥平面A
1
CD.
(2)连接A
1
E,C
1
E,
过C
1
作C
1
G⊥EC,垂足为G,连接A
1
G,
由题意知,AB=AC+BC,所以AC⊥BC,又由直三棱柱得AC⊥
平面BB<
br>1
C
1
C,所以A
1
C
1
⊥平面BB
1
C
1
C,所以∠A
1
GC
1
为二面角
A
1
-EC-C
1
的平面角,在△CEC
1
中,CE=C<
br>1
E=5,CC
1
=2,利用等面
114
积法可知
2
CE·C
1
G=
2
×2×2,所以C
1
G=,在R
t△A
1
GC
1
中,A
1
C
1
5
?
4
?
2
46A
1
C
1
2
=2,
C
1
G=,所以A
1
G=2+
??
=,所以sin∠A1
GC
1
=
AG
?
5
?
55
1
255
=
6
=
3
,所以二面角A
1
-E
C-C
1
的正弦值为
3
.
5
222
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-
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