小题狂做高中数学理科基础篇-北师大版高中数学4课后答案
高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题
1直线的倾斜角和斜率
1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x
轴正向与直线l
向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,
规
定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α
(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k
表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知,
一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两
点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
2两条直线的平行与垂直
1
、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它
们的斜率相等,那
么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提
,
结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2
、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它
们的斜率互为负倒
数,那么它们互相垂直,即
3.直线的点斜式方程
1、 直线的
点斜式方程:直线
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
,且斜率为
k
y?y
0
?k(x?x
0
)
2、、直线的斜截式
方程:已知直线
l
的斜率为
k
,且与
y
轴的交点为
(0,b)
y?kx?b
4 直线的两点式方程
1、直线的两
点式方程:已知两点
P
1
(x
1
,x
2
),P2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
2、直线的截
距式方程:已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
,与<
br>y
轴的交点为B
(0,b)
,其中
a?0,b?0
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y<
br>1
?y
2
)
y
2
?y1x
2
?x
1
5 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于
x,y
的二元一次方程
Ax?By?C?0(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
6直线的交点坐标与距离公式
1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1 :3x+4y-2=0
L1:2x+y +2=0
解:解方程组
?
?
3x?4y?2?0
?
2x?2y?2?0
得 x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
2.两点间距离
两点间的距离公式
PP
12<
br>?
22
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
3.点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点
P(x
0
,y
0
)<
br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?
2、两平行线间的距离
公式:
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式
方程为
l
1
:
Ax?By?C
1
?0
,
l
2
:
Ax?By?C
2
?0
,则
l
1<
br>与
l
2
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
C
1
?C
2
A?B
22
《直线与方程》测试题
一、选择题
1.若直线
x
=1的倾斜角为
,则 ).
(第2题)
A.等于0 B.等于 C.等于
?
D.不存在
2
2.图中的直线
l
1
,
l
2
,
l
3
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,
k
3
,则( ).
A.
k
1
<
k
2
<
k
3
B.
k
3
<
k
1
<
k
2
C.
k
3
<
k
2
<
k
1
D.
k
1
<
k
3
<
k
2
3.已知直线
l
1
经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线
l
2
经过两点(2,1)、(
x
,6),且
l
1
∥
l
2
,则
x
=( ).
A.2 B.-2
C.4 D.1
4.已知直线
l
与过点
M
(-
3<
br>3
3
,
2
),
N
(
2
,-
3
)的直线垂直,则直线
l
的倾斜角是( ).
4
A.
?
B.
2?
C.
?
D.
3?
4
5.如果
AC
<0,且
BC
<0,那么直线
Ax
+
By
+
C<
br>=0不通过( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
6.设
A
,
B
是
x
轴上
的两点,点
P
的横坐标为2,且|
PA
|=|
PB
|,若直
线
PA
的方程为
x
-
y
+1=0,则直线
PB
的方程是( ).
A.
x
+
y
-5=0
B.2
x
-
y
-1=0
C.2
y
-
x
-4=0
D.2
x
+
y
-7=0
7.过两直线
l
1
:
x
-3
y
+4=0和
l
2
:2
x+
y
+5=0的交点和原点的直线方程为( ).
A.19
x
-9
y
=0
B.9
x
+19
y
=0
C.19
x
-3
y
= 0
D.3
x
+19
y
=0
8.直线
l
1
:
x
+
a
2
y
+6=0和直线
l
2
: (
a
-2)
x
+3
ay
+2
a
=0没有公共点,则
a
的值是.
A.3 B.-3 C.1
D.-1
9.将直线
l
沿
y
轴的负方向平移
a
(
a
>0)个单位,再沿
x
轴正方向平移
a
+1个单位得直<
br>线
l'
,此时直线
l'
与
l
重合,则直线
l'
的斜率为( ).
A.
a
a+1
B.
-
a
a+1
C.
a+1
D.
-
a+1
a
a
10.点(4,0)关于直线5
x
+4
y
+21=
0的对称点是( ).
A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8)
D.(-6,-8)
二、填空题
11.已知直线
l
1
的倾斜角
1
=15°,直线
l
1
与
l
2
的交点为<
br>A
,把直线
l
2
绕着点
A
按逆
时针方向旋转
到和直线
l
1
重合时所转的最小正角为60°,则直线
l
2
的斜率
k
2
的值
为 .
12.若三点
A
(-2,3),
B
(3,-2),
C
(
1
,m
)共线,则
m
的值为 .
2
13.已
知长方形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A
(0,1),
B
(1,0),
C
(3,2),求第四个
顶点
D
的坐标为
.
14.求直线3
x
+
ay
=1的斜率 .
15.已知点
A
(-2,1),
B
(1,-2),直线
y
=
2上一点
P
,使|
AP
|=|
BP
|,则
P
点坐标
为 .
16.与直线2
x
+3
y<
br>+5=0平行,且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程
是 .
17.
若一束光线沿着直线
x
-2
y
+5=0射到
x
轴上一点,经
x
轴反射后其反射线所在直
线的方程是 .
三、解答题
18.设直线
l
的方程为(
m
2
-2
m
-3)
x
+(2
m
2
+
m
-1)
y
=2
m
-6(
m
∈R,m
≠-1),根据下列
条件分别求
m
的值:
①
l
在
x
轴上的截距是-3; ②斜率为1.
19.已知△
ABC
的三顶点是
A
(-1,-
1),
B
(3,1),
C
(1,6).直线
l
平行于
AB
,交
AC
,
BC
分别于
E
,
F,△
CEF
的面积是△
CAB
面积的
1
.求直线
l
的方程.
4
(第19题)
20.一直线被两直线
l
1
:4
x
+
y
+6=0
,
l
2
:3
x
-5
y
-6=0截得的线段的中点恰
好是坐标
原点,求该直线方程.
21.直线
l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线
l
的横截距与纵截距之和为6,求直
线
l
的方程.
第三章 直线与方程
参考答案
A组
一、选择题
1.C解析:直线
x
=1垂直于
x
轴,其倾斜角为90°.
2.D解析:直线
l
1
的倾斜角
3
1
是钝角,故
k
1
<0;直线
l
2
与
l
3
的倾
斜角
2
,
均为锐角且
2
>
3
,所以
k2
>
k
3
>0,因此
k
2
>
k
3
>
k
1
,故应选D.
2
3.A解析:因为直线
l
1
经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线
l
1
的倾
斜角为
?
,
而
l
1
∥
l
2
,所以
,直线
l
2
的倾斜角也为
?
,又直线
l
2
经过两点(2,1)、(
x
,6),所以,
x
2
=2.
4
.C解析:因为直线
MN
的斜率为
2+3
-3-2
=-1
,
而已知直线
l
与直线
MN
垂直,所以
直线
l
的斜率
为1,故直线
l
的倾斜角是
?
.
4
5.C解析:直线Ax
+
By
+
C
=0的斜率
k=
?
A
<0,在
y
轴上的截距
D=-
C
>0,所
B
B
以,直线不通过第三象限.
6.A解析:由已知得点
A
(-1,0)
,
P
(2,3),
B
(5,0),可得直线
PB
的方程是<
br>x
+
y
-5=0.
7.D 8.D 9.B
解析: 结合
图形,若直线
l
先沿
y
轴的负方向平移,再沿
x
轴正方向平
移后,所得
直线与
l
重合,这说明直线
l
和
l’
的斜率均为负,倾斜角是钝角.设
l’
的倾斜角
为 ,则
tan
=
-
a
.
a+1
10.D解析:这是考察两点关于直线的对称点问
题.直线5
x
+4
y
+21=0是点
A
(4,
0)
与所求点
A'
(
x
,
y
)连线的中垂线,列出关于
x
,
y
的两个方程求解.
二、填空题
11.-1.解析:设直线
l
2
的倾斜角为
180°-
2
2
,则由题意知:
+15°=60°,
2
=135°,
∴
k
2
=tan
12.
1
.
2
2
=tan(180°-45°)=-tan45°=-1.
解:∵
A
,
B
,
C
三点共线,
-31
∴
k
AB
=
k
AC
,
-2-3=
m
.解得
m
=.
1
3+2
2
+2
2
13.(2,3).解析:设第四个顶点
D
的坐标为(
x
,
y
),
∵
AD
⊥
CD
,
AD
∥
BC
,
∴
k
AD
·
k
CD
=-1,且
k
AD
=
k
BC
.
∴
y-1
·
y-2
=-1,
y-1
=1.
x-0x-3x-0
?
x=0
?
x=2
(舍去)
?
y=1y=3
??
解得
?
所以,第四个顶点
D
的坐标为(2,3).
14.-
3
或不存在.解析:若
a
=0时,倾角90°,无斜率.
a
若
a
≠0时,
y
=-
3
x
+<
br>1
a
a
a
∴直线的斜率为-
3
. 15.
P
(2,2).解析:设所求点
P
(
x
,2),
依题意:
得
x
=2,故所求
P
点的坐标为(2,2).
16.10
x
+15
y
-36=0.
解析:设所求的直线
的方程为2
x
+3
y
+
c
=0,横截距为-
c,纵截距为-
c
,进而得
23
(x?2)
2
?(2?
1)
2
=
(x?1)
2
?(2?2)
2
,解
c
= -
36
.
5
17.
x
+2
y
+5=0.
解析:反射线所在
直线与入射线所在的直线关于
x
轴对称,故将直线方程中的
y
换
成
-
y
.
三、解答题
18.①
m
=-
5
;②
m
=
4
.
33
解析:①由题意,得
2m?6
=-3,且
2
m?2m
?3
m
2
-2
m
-3≠0.
解得
m
=-
5
.
3
m
2
?2m?3
②由题意,得
2
=-1,且
2
m
?
m?
1
2
m
2
+
m
-1≠0.
解得
m
=
4
.
3
19.
x
-2
y
+5=0.
解析:由已知,直线
AB
的斜率
k
=
1?1
=
1
.
3?1
2
2
因为
EF
∥
AB
,所以直线
EF
的斜率为
1
.
因为△
CEF
的面积是△
CAB
面积的
1<
br>,所以
E
是
CA
的中点.点
E
的坐标是(0,
5
).
42
直线
EF
的方程是
y
-
5
=
1
x
,即
x
-2
y
+5=0.
22
20.
x
+6
y
=0.
解析:设所求直线与
l
1
,
l
2
的交点分别是
A
,
B
,设
A
(
x
0
,
y
0
),则B
点坐标为
(-
x
0
,-
y
0
).
因为
A
,
B
分别在
l
1
,
l2
上,
所以
?
?
?
4x
0
+y0
+6=0
?
?
-3x
0
+5y
0
-
6=0
②
①
①+②得:
x
0
+6
y
0
=0,即点
A
在直线
x
+6
y
=0上,
又直线
x
+6
y
=0过原点,所以
直线
l
的方程为
x
+6
y
=0.
21.2
x
+
y
-4=0和
x
+
y
-3=0.
解析:设直线
l
的横截距为
a
,由题意可得纵截距为6-
a
.
∴直线
l<
br>的方程为
x
+
a
y
=1
.
6-a
a
2
2
=1
,
a
-5
a
+6=0,解得<
br>6-a
∵点(1,2)在直线
l
上,∴
1
+
24a
1
=2,
a
2
=3.当
a
=2
33
时,直线的方程为
x
?
y
?1
,直线经过第一、二、四象限
.当
a
=3时,直线的方程为
x
?
y
?1
,
直线经过第一、二、四象限.
综上所述,所求直线方程为2
x<
br>+
y
-4=0和
x
+
y
-3=0.
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