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长方体的表面积的公式是什么(完整版)圆柱和圆锥知识点和题型

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 09:09
tags:圆锥表面积公式

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圆柱、圆锥基本知识点
1、圆的周长:C=πd =2πr
2、圆的面积:S=πr2
3、圆柱的侧面积:把圆柱侧面沿高展开,得到一个长方形(或正方形),长方形 的长是圆柱的底面周长,长方
形的宽是圆柱的高。 S 侧=Ch=πdh=2πrh
逆推公式有:C=S 侧÷h h=S 侧÷C 4、圆柱的表面积:S表=S 侧+2S底
4、圆柱的体积: V柱=Sh=πr2 h 逆推公式有: S= V柱 ÷h h=V柱÷S 5、圆锥的体积:
V锥=3 1 Sh
逆推公式有:S= V锥×3 ÷h h=V锥×3÷S
6、等底等高的情况下,圆柱体积是圆锥体积的3倍。 等底等高的情况下,圆锥体积是圆柱体积的13 等
底等高的情况下,圆锥体积比圆柱体积少2 3 等底等高的情况下,圆柱体积比圆锥体积多2

7、等体积等高的圆柱和圆锥,圆锥底面积是圆柱底面积的3倍;
等体积等底面积的圆柱和圆锥,圆锥的高是圆柱高的3倍。
8、圆柱的横切:切成n段,需要n-1次,增加2×(n-1)个底面积
9、圆柱的纵切:切1次,增加2个长方形,长方形的长是底面的直径,宽是圆柱的高
10、圆锥的纵切:切1次,增加2个三角形,三角形的底是圆锥的直径,三角形的高是圆锥的高
11、把一个正方体削成一个最大的圆柱(或圆锥),正方体的棱长就是圆柱(或圆锥)的底面直径和高 。
12、①熔铸(或铸成),体积不变。
②注水问题:上升的(或下降)的水的体积等于放入的的物体的体积。(完全 浸没)
13、一 个圆柱的侧面展开图是一个正方形,说明底面周长和高的比是1∶1,半径和高的比是1∶2π,直径和高
的比是1∶π
14、当侧面积一定时,越是细、长的圆柱体积越小,越是粗、矮的圆柱体积越大。
15、特殊的π值 1.52π=7.065 2.52π=19.625
16、 圆柱:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 即AG矩形的一条边为
轴,旋转360°所得的几何体就是圆柱。 2 其中AG叫做圆柱 的轴,AG的长度叫做圆柱的高,所有平行
于AG的线段叫做圆柱的母线,DA和D'G旋转形成的两个 圆叫做圆柱的底面,DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧
面。
17、圆柱的体积:圆柱 所占空间的大小,叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径为r,高为h,则体积V:
V=πr2h ;如S为底面积,高为h,体积为V:V=Sh 圆柱的体积跟长方体、正方体一样,都是底面积×高 圆
柱体积=底面积×高 V柱=Sh =πr2 h
圆柱的高=体积÷底面积 h =V柱÷S=V柱÷(πr2) 圆柱的底面积=体积÷高 S=V柱÷h 圆柱的侧面积:圆
柱的侧面积=底面的周长*高,S侧=Ch (注:c为πd) 圆柱的两个圆面叫做 底面(又分上底和下底);圆柱有一
个曲面,叫做侧面;两个底面之间的距离叫做高(高有无数条)。 特征:圆柱的底面都是圆,并且大小一样。
18、 圆柱的切割:a.横切:切面是圆,表面积增加2倍底面积,即S增=2πr2 b.竖切(过直径):切面是长 方形
(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两 个长方形的面
积,即S增=4rh 注:圆柱高增加减少,圆柱表面积增加减少的只是侧面积。
19、 考试常见题型:
a.已知圆柱的底面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面周长
b.已知圆柱的底面周长和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面积
c.已知圆柱的底面周长和体积,求圆柱的侧面积,表面积,高,底面积
d.已知圆柱的底面面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,
e.已知圆柱的侧面积和高,求圆柱的底面半径,表面积,体积,底面积
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆柱的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算。
20、 常见的圆柱解决问题:
①、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管(求侧面积);
②、压路机压过路面长度(求底面周长);
③、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);
④鱼缸、厨师帽(求侧面积和一个底面积);
5、求钢管的体积:V钢管=(πR2﹣πr2)×h


20、 圆 锥立体几何定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转
体 叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴 。
1、 圆锥的体积:一个圆锥所占空间的大小,叫做 这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的
体积的13。 根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h),得出圆锥体积公式:V=13Sh S是圆锥的底面积,h是
圆锥的高,r是圆锥的底面半径
圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积 h =3 V锥÷S=3 V锥÷(πr2)
圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高 S=3 V锥÷h
圆锥体展开图的绘制:圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆 (圆锥的底面)组成。(如右图)
在绘制指定圆锥的展开图时,一般知道a(母线长)和d(底面直径)
圆锥的切割:a.横切:切面是圆
b.竖切(过顶点和直径直径):切面是等腰三角形,该 等腰三角形的高是圆锥的高,底是圆锥的底面直径,
表面积增加两个等腰三角形的面积,即S 增=2Rh
考试常见题型:
a 已知圆锥的底面积和高,求体积
b已知圆锥的底面周长和高,求圆锥的体积,底面积
c已知圆锥的底面周长和体积,求圆锥的高,底面积
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆锥的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算。
生活中的圆锥:生活中经常出现的圆锥有:沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。
圆柱和圆锥的关系:
1.圆柱的特征:一个侧面、两个底面、无数条高且侧面沿高展开图是长形或正方形。
2.圆锥的特征:一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高且侧面展开图是扇形。
3、 圆柱与圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥的3倍。
4、圆柱与圆锥等底等体积时,圆锥的高是圆柱高的3倍。
5、圆柱与圆锥等高等体积时,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。
6、圆柱体积比等底等高圆锥体积多2倍 圆锥体积比等底等高圆柱体积少23
(1)等底等高:V锥:V柱=1:3
(2)等底等体积:h锥:h柱=3:1
(3)等高等体积:S锥:S柱=3:1
题型总结: 1.高不变半径扩大缩小n倍,直径、底面周长、侧面积扩大缩小n倍,底面积、体积扩大缩小
n2倍。
2.半径不变高扩大缩小n倍,侧面积、体积扩大缩小n倍
3.削成最大体积的问题:
正方体里削出最大的圆柱圆锥 圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长
长方体里削出最大的圆柱圆锥 圆柱圆锥底面直径等于宽(宽﹥高)圆柱圆锥高等于长方体高 ;圆柱圆
锥底面直径等于高(高﹥宽)圆柱圆锥高等于长方体宽
4.浸水体积问题:
水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积,等于盛水容积的底面积乘以上升的高度。
5.等体积转换问题:一圆柱融化后做成圆锥,或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体 积不变的问题,注意不要
乘以13 。
一、圆柱、圆锥常考知识点一
圆柱的表面积
1、切割、拼接表面积增加、减少问题。
例:一个圆柱高15分米,底面积是3.14平方分 米,把它截成两个同样的小圆柱后,表面积比原来
增加了( )平方分米。
注:这是切割 表面积增加问题,而且是切成两个小圆柱,切一次(两个小圆柱),表面积增加两个
底面圆的面积。
1、沿直径切,增加的是(长是圆柱的高,宽是圆柱的直径)这样的长方形。
例:一个圆柱沿底面的一条直径纵切后,可以得到一个边长6厘米的正方形截面,这个圆柱的
体积是( )
2、切的次数变化,切一次增加两个面
例:一个长是120厘米的圆柱,把它截成9个小 圆柱所得的表面积总和,比截成6个小圆柱所得
的表面积总和多180平方厘米,原来的圆柱的体积是多 少?


3、扩展到正方体、长方体。
例1:把一个长6厘米,宽5厘米,高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体,表面积至少增
加( )平方厘米,至多增加( )平方厘米。
例2:一个长2米的长方体钢材截成三段,表面积比原来 增加2.4平方分米,这根钢材原来的体积
是( )
2、高增加减少,表面积增加减少问题。
有一个圆柱体,如果把高增加2厘米后,表面积增加了50.24平方厘米,原圆柱体的底面积是( )
注:高增加,圆柱表面积增加的只是侧面积。
解析:根据题目条件可先求出底面周长,然后再求半径,最后可以求出底面积。
变形题目:一 个长方体,如果长减少2厘米,就成为一个正方体,这时,正方体的表面积是96平
方厘米,原来长方体 的体积是( )
3、把一个直径是2分米的圆柱体的底面分成许多相等的扇形,然后沿直径把圆柱 切开,拼成一个
和它体积相等的长方体,这个长方体的表面比原来圆柱体表面积增加7平方分米,这个长 方体的体
积是( )立方分米。
注:表面积增加的是两个(长为圆柱半径,宽为圆柱高)这样的长方形。
4、实际问题求表面积
例:一根2米长的通风管,横截面是直径为2分米的圆,制作这 个通风管至少需要铁皮多少平方
分米?注:没有底面

归纳:无底面:通风管、烟囱、教学楼里的支撑柱、出水管有一个底面:鱼缸、厨师帽
提高题:一个钢管,长30厘米,内直径8厘米,外直径10厘米,求它的表面积。

5、难点题:表面积最大,做一个圆柱省料问题
例1、用一个长是8厘米,宽是6厘 米,高是4厘米的长方体做一个圆柱体,这个圆柱体的侧
面积最大是多少?如果让圆柱的表面积最大,那 么最大是多少?

例2、用宽4米,长8.28米的厚铁皮做一个带盖的油桶,要求 尽量少浪费材料又要把油桶做大
些并把油桶涂上漆,计算油桶油漆

二、圆柱、圆锥常考知识点二
圆柱、圆锥的体积
1、比例关系
例:一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径相等,它们的高的比是5:6,它们的体积比是( )
注:列表法,圆锥的体积不要忘乘13
2、圆柱、圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍;
圆柱、圆锥等体积等高时,圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍;
圆柱、圆锥等体积等底面积时,圆锥的高是圆柱高的3倍。
例:1、一个圆柱和一个圆锥等底等高,已知圆柱和圆锥的体积相差6立方厘米,圆柱的体积是( )
立方厘米;圆锥的体积是( )立方厘米。


2、一个圆柱 形容器与一个圆锥形的容器底面积相等,将圆锥形容器装满水后全部倒入空圆柱形
容器内,这时水深6厘 米,圆锥形容器的高是()厘米。


3、等体积变换
例:一个 底面半径8厘米,高20厘米的圆柱形铁块,现在要把它铸成一个底面与圆柱相同的圆
锥。这个圆锥的高 是( )厘米 注:不要忘乘3
4、上升(下降)的水的体积=浸没物体的体积
例:在一个圆柱体容器中,放入一个半径是10cm的圆钢,若把它全部浸没在水里,水面就上升
0.8 cm,若让它露出水面3cm,水面就下降0.3cm,求这段圆钢的体积。


一、常见直接运用公式解题的题型:
1、一根圆木底面的直径和高都是3分米,这个圆柱体的体积是_______。


2、量得一个圆柱体饮料罐底面半径是3厘米,高是半径的4倍,这个饮料罐的底面积是_____ ,
侧面积是_______,表面积是_________,体积是________。


3、用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶,底面周长是12.56分米,高6分米。
(1)做这个水桶至少需要多少平方分米铁皮?(得数保留整数)

(2)这个水桶最多可以盛水多少千克?(每升水重1千克)


4、 一根长2米的圆柱形木材,把它锯成2个小圆柱后,表面积比原来增加25.12平方厘米。这根
木材原 来的体积是 _______ 立方厘米。

二、通过变化一些条件,增加解题难度的题型:
1、一个圆柱的体积是75.36立方厘米。它的底面直径是4厘米,这个圆柱的高是_______ 。

2、有两个高相等的圆柱,第一个圆柱的底面半径和第二个底面半径的比是2:3。第一 个圆柱的体
积是16立方厘米,第二个圆柱的体积是 ( )立方厘米。

3、如果圆柱体的侧面展开是一个边长为3.14分米的正方形,圆柱的高是______,底面积是_____ __。

4.一个圆柱形油桶装了半桶汽油,把油桶里的汽油倒出40%,还剩270升.油桶中原有汽油( );
如果油桶底面积有45平方分米,则油桶的高是( )

难点突破:现实中的实际问题
1、某建筑物有几根大圆柱要油漆。圆柱的底面周长2.5米, 高5.2米。按1千克油漆可漆5平方
米计算,漆一根大圆柱要用多少千克油漆?



2、将一个底面直径是20厘米,高为10厘米的金属圆柱体,全部浸没在直径 是40厘米的圆柱形
水槽中,水槽水面会升高多少厘米?
2
3、一根圆柱形钢材 ,截下1米,量得它的横截面的半径是10厘米,截下的体积占这根钢材的
5

这根钢 材原来的体积是多少立方分米?

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