最新高中数学必修二全套教案

课题：柱、锥体的结构特征
教学目标：
通过实物模型，观察大量 的空间图形，认识柱体、锥体的结构特征，
并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体的结构特
征.
教学难点：柱、锥的结构特征的概括.
教学过程：
一、新课导入：
在现 实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的
几何形状。由这些物体抽象出来的空间图 形叫做空间几何体。
下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？
学生观察思考，最后归类总结。
上图中的物体大体可分为两大类：
（一）由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面 体。围成多面体的
各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与
棱的 公共点叫做多面体的顶点。
（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的
封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。
二、讲授新课：
1. 棱柱的结构特征：
请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(2)(5)(7)(9)中 的
几何体，并寻找它们的共同特征。（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及
其相关概念） （1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个
四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫
做棱柱的侧面，相邻侧面的 公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶
点叫做棱柱的顶点。

（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱
柱等。
（4）棱柱的表示
用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱
ABC DEF?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
F
'
”
思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？
答：不是棱柱。据反 例。如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行
四边形，但它不是棱柱。
2．棱锥的结构特征：
请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(14)(15 )中的物
体，并寻找它们的共同特征。
（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公 共点的三角形，由
这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的有关概念：棱锥中，这个多 边形面叫做棱锥的底面或底，有
公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的
顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
（3）棱锥的分类：
按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
（4）棱锥的表示:用底面各顶点 的字母表示，如右图的四棱锥可表示为“棱
锥
S?ABCD
”
讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？
棱柱：两底面是对应边平 行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；
侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多 边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似
比等于顶点到截 面距离与高的比的平方.
3．圆柱、圆锥的结构特征：
（1）观察图1.1-1中的（1） （3）（6）（8）的物体，并思考：圆柱、圆锥
如何形成？
（2） 定义：以矩形的一边所 在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲
面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转 轴,其余两
边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
（3）圆柱、圆锥的有关概念：（ 参照课本图1.1-7和1.1-8的模型，边
对照模型边介绍）
在圆柱中，旋转的轴叫做 圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 ，无论旋转
到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆锥中的轴、底面、侧面、母线，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总
结。
（4）圆柱、圆锥的表示方法：

圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母 表示，例如图1.1-7中的圆柱表示
为圆柱O’O，图1.1-8中的圆锥表示为圆锥SO.
(5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？
圆柱和棱柱统称为柱体；棱锥和圆锥统称为锥体.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P7 1、2题.
2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的
底面半径.
3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.
四、归纳小结：
棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。
五、作业布置：
教材P8 习题1.1，第1题
课后记：



课题：台、球体及简单几何体的结构特征
教学目标：
通过实物模型，观察大量的空 间图形，认识台体、球体及简单组合体
的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几
何体的结构特征。
教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括.
教学过程：
一、复习准备：
1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。
2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何
性质？
二、讲授新课：
1. 棱台与圆台的结构特征：
（1）思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何
特征？
（2 ）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的
部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥，截面和底面之间
的部分叫做圆台.
列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是棱台和圆台？
（3）结合课本图1.1-6认识：棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点。
结合课本图认识：圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。

（4）棱台的分类及表示：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、
五棱台等；
棱台用 表示底面各顶点的字母表示，例如图1.1-6中的棱台表示为棱
台ABCD-A’B’C’D’.
(5) 圆台的表示:
圆台用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-9的圆台表示为圆台O’O.
（6）讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面互相平行； 两底面是对应边互相平行的相似多边
形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
圆台： 两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线
的延长线交于一点；母线长都相等.
棱台与圆台统称为台体。
2．球体的结构特征：
（1） 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几
何体，叫球体，简称球.
列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是球体？
（2）结合课本图1.1-10认识：球心、半径、直径.
在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆
的直径叫做球的直径。
（3） 球的表示：
球常用表示球心的字母表示，例如图1.1-10中的球表示为球O。
（4） 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
3. 简单组合体的结构特征：
（1）讨论：现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体 、台体、球
体等简单几何体外，还有哪些物体存在？
例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
（2） 定义：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫
简单组合体.
列举生活中的实例。
（3）简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物
体表示的几何体；
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中
（3）（4）物体表示的几何体 。
三、巩固练习：
1. 练习：课本P8 A组 2～5题.
2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、

宽、高分别为多少？
3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥
的高
4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.
四、归纳小结：
本节课学 习了台、球体及简单几何体的定义、表示；并探究了它们的
性质及分类，重点要把握它们的结构特征。
五、作业布置：
习题1.1 B
课后记：
组 第1- 2题

课题：中心投影与平行投影
及简单几何体的三视图
教学目标：
1、了解中心投影和平行投影的原理；
2、能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几
何体。
教学重点：投影的概念及三视图的画法。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.
教学过程：
一、新课导入：
1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计
图纸？
2. 引入：从不 同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不
同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。” 对于我们所学几何体，常用三
视图和直观图来画在纸上.
三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图
形；
直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.
用途：工程建设、机械制造、日常生活.
二、讲授新课：
1. 中心投影与平行投影： < br>我们知道，物体在灯光或日光的照射下，就会在地面或墙壁上产生影
子，这是一种自然现象。投影 就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影，
是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射， 并在该面上得
到图形的方法。生活中许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。
我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映 原来的物体，主要应用于绘
画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，< br>投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在
另外的一些领域，比如工 程制图或技术图样，一般不采用中心投影。
我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。 平行投影
按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）

我们所讲的视图就是将物体按正 投影向投影面投射所得到的图形。三
视图就是从三个不同的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的 反映
物体。所以我们在现实生活中，也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子
摸象。
2. 柱、锥、台、球的三视图：
（1）三视图的定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）讨论：三视图与平面图形的关系？
画出长方体的三视图（教师在讲台上给出模型，并在黑板上画出三
视图）
注意：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。
讨论：三视图中反应的长、宽、高的特点？“长对正”，“高平齐”，
“宽相等”
（3） 结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、
上面（自上而 下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.
即正视图、侧视图、俯视图：

（4）试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （学生自己动手画图）
（5）讨论：
三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量
（长、宽、高）？
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长
度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽
度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（6） 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.
（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）
三、巩固练习：
（1） 画出正四棱锥的三视图.
（2）画出右图所示几何体的三视图.
右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.

四、归纳小结：
今天我们学习了中心投影和平行投影，三视图的画法以 及由三视图说
实物。三视图画法里面要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。
五、作业布置：
1、画出右图三棱柱的三视图。


2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是
_______________.









正视图 侧视图 俯视图




课后记：



课题：简单组合体的三视图
教学目标：
能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出
该几何体由哪些简单几何体构 成。
教学重点：简单组合体三视图的画法。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.
教学过程：
一、复习回顾：
1．中心投影与平行投影的概念：

中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。
2．三视图的概念：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
在三视图中要注意：
（1）要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；
（2）要注意三视图的主视图反 映上下、左右关系，俯视图反映前后、左
右关系，左视图反映前后、上下关系，方位不能错。
二、讲授新课：
1．简单组合体的三视图：
例1：画出下列几何体的三视图。
分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。



例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：
cm）。
（与学生一起观察物体，给于必要的阐述）

主视图
左视图

现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是
什么物体吗？
例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。
俯视图
正前方
(1)
(2)
(3)

解：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
主视图
左视图


三、巩固练习：
课本第15页练习 第1—4题。
四、归纳小结：
今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视
图识别所表示的几何体。
五、作业布置：
课本第20-21页 习题1．2的第1、2题。
课后记：
俯视图

课题：空间几何体的直观图
教学目标：
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）对比方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形
两种方法的各自特点。
教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。
教学难点：用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。
教学过程：
一、新课导入：
1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视
图：自上而下）
2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？
3. 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观
察几何体，画出的图形.
把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要
部分的位置关系和度量关系的图形
二、讲授新课：
1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：
（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。（师生共练，注意
取点、变与不变 → 小结：画法步骤）画法：
① 如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线 为x轴，
对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应
' '
的x’轴与y’轴，两轴相交于点O’，使
?X
'
OY
=450
。
② 在图1.2-10(2)中，以O’为中点，在x’轴上取A’D’=AD，在
y’轴上取M’N’=MN。以点N’为中点，画B’C’平行于x’轴，并且
等于BC；再以 M’为中点，画E’F’平行于x’轴，并且等于EF。
③连接A’B’，C’D’,D’E’,F’ A’,并檫去辅助线x’轴和y’
轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’ E’F’（图
1.2-10(3)）。
（2）给出斜二测画法的基本步骤：
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，
OY，建立直角坐标系；
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O
’
X
’
,O
’
Y
’
,
''
使
?X
'
OY
=45
0
（或135
0
），它们确定的平面表示水平平面；
1
2

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观 图中画成平行
于X
‘
轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中
画成平行于Y
‘
轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线
（虚线）。
(3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.
(4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）
2. 空间图形的斜二测画法：
(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？
例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’
的直观图.
（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画法步骤）
画法：
① 画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45
0< br>,
∠xOz=90
0
.
② 画底面。以点O为中点，在x轴上取线段 MN,使MN=4cm;在y轴上取
线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P 和Q作
x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是
长方体的底面 ABCD.
③ 画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线
上分别 取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.
④ 成图。顺次连接A’,B’,C’,D’， 并加以整理（去掉辅助线，将被
遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。
（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？
例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直
观图。
分析：有几何体的 三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的
下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与 圆柱的上底面重合。
我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。
画法：
① 画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90
0
。
② 画圆柱 的下底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中
圆的直径，且OA=OB。选择椭圆模板 中适当的椭圆过A,B两点，使
它为圆柱的下底面。
③ 在Oz上截取点O’，使OO’等于 正视图中OO’的长度，过点O’作
平行于轴Ox的轴O’x’，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底
面。
④ 画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。
3
2

⑤ 成图。连接PA’,PB’,AA’,BB’，整 理得到三视图表示的几何体
的直观图（图1.2-14(2)）
强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。
（3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？
空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空
间几何体的结构，根据三视图可以 得到一个精确的空间几何体，得到广泛
应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据
直观图的结构想象实物的形象.
三、巩固练习：
1．探究P19 奖杯的三视图到直观图.
2． 练习：P19 1～5题
3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm

四、归纳小结：
让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。

五、作业布置：
课本P21 第4、5题。





课后记：






课题： 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解 ，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体
和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。
教学要求：了解柱、锥 、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公
式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题.
教学难点：理解计算公式的由来.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计
算公式？
2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧
面积公式？
二、讲授新课：
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图
形，各面面积和）
② 练 习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体
S-ABC
的表面
积.(教材 P
24
页例1)
2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底
面垂直，侧棱长10,求其表面积.
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图
→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母
线）， S
圆柱侧
=2
?
rl
，S
圆柱表
=2
?
r(r?l )
，其中为
r
圆柱底面半径，
l
为母线长。
圆锥：侧面展 开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底
面周长，侧面展开图扇形中心角为
??
r
?360
0
，S
圆锥侧
=
?
rl
，
l
S
圆锥表
=
?
r(r?l)
，其
中为
r
圆锥底面半径，
l
为母线长。
圆台：侧面展开图是 扇环，内弧长等于圆台上底周长，
外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为
?
?
R?r
?360
0
，S
圆台侧
=
?
( r?R)l
，S
圆台表
=
?
(r
2
?rl?Rl? R
2
)
.
l
④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线
与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
（变式：求切割之前的圆锥的表面积）
2. 教学表面积公式的实际应用：
① 例 2P
25
：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆
孔直径 1.5cm，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100
毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？

列式 → 计算 → 变式训练：内外涂
② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、< br>440mm，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.
三、巩固练习：
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S- ABCD，
求其表面积.
2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分
成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r、R；比为p:q）
3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则 这个圆
2
3a
?
m
）（答案：
锥的底面直径为 。
3
?
4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，求这个圆锥的表面
积.
5. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大
值.
6. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
四 小结：表面积公式及推导；实际应用问题
五、作业：P
28
1、2 P30习题 2题
课后记
















课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体
和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。
教学要求：了解柱、锥、台的 体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式
及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题.
教学难点：理解计算公式之间的关系.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.
3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
二、讲授新课：
1. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的
儿子)原理，教材P30）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式：
V
柱
?Sh
（S为底面面积，h为柱体的高）→
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、
棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式：
V
锥
?
1
Sh
S为底面面积，h为高）
3
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前
的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
⑥ 给出台体的体积公式：
V
台
?
1
(S
'
?
3
S
'
S?S)h
（S，
S
'
分别上、下底面积，
h为高）
→
V< br>圆台
?
1
(S
'
?
3
1
S
'
S?S)h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h
（r、R
3
分别为圆台上底、下底半
径）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一 点时，台成为锥；
当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和
S’ =0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公
式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式
又可如何统一？

公式记忆：
V
锥
?
1
Sh


3
1
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

3
11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h

33
2. 教学体积公式计算的运用：
例1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径
10mm ，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8gcm
3
）
讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数
量关系求个数？
→ 列式计算 → 小结：体积计算公式




② 练习： 将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面
高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是 正三角形的倒圆锥形容器中，求水
面的高度.



.
三、巩固练习：
1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平
面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分 别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的
棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm
3
）

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求

圆锥的体积.

4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm
2
,体积为2 800cm
3
，
求它的侧面积。

5. 仓库一角有谷一堆，呈1 4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长
2.2m，这堆谷多重？720kgm
3


四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用

五、作业：P
28
2、3题； P30习题 3题.


课后记







课题： 球的体积和表面积
一. 教学目标
1.知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式 的推导，了解推导过程中所用的基本数学思
想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进 一步学习微积
分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2.过程与方法
通过球的体积和面积 公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
4
πR
3
和面积公式Ｓ＝４π R
2
的方法，即“分割求近似值，再由近似和转
3
化为球的体积和面积”的方 法，体现了极限思想。
二. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌

握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的
解题方法和步骤。
２． 教学用具：多媒体课件
四. 教学设计
（一） 创设情景
⑴ 教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那
样展开成平面图形，那么怎样来求球的表 面积与体积呢？引导学生进行
思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径 来表示球
的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆
片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”
近似于圆柱形状，所以它的体积也 近似于圆柱形状，所以它的体积有
也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和< br>——化为准确和”的方法来进行。
步骤：第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面 的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，
用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片 ”厚
度近似为
R
，底面是“小圆片”的底面。
如图：
得
R
?
R
3
i?1
2
V
i
?
??r
i
??[1?()]　　(i?1、２??n)

nnn
2
n
第二步：求和
1
(1?
1
n
)(2?
n
)
Ｖ
半球
＝v
1
?v
2
?v
3
???v
n
?
?
R[1?]

6
3
第三步：化为准确的和
当n→∞时，
n
→0 （同学们讨论得出）
所以
Ｖ
半球
＝
?
R
3
(1?
1?22
)?
?
R
3

63
Ｖ
球
?
1
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
4
?
R
3

3
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径( 钢的密
度是7.9gcm
3
)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球

面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导
球的表面积公式,所以仍然用“分 割、求近似和，再由近似和转化为准
确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR
2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是 它的八个
顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50
元）
（三）体积公式的实际应用：
例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密
度7.9gcm
3
）
讨论：如何求空心钢球的体积？
→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.
② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一 个正三角形，在容
器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相
切，然后将球取出 ，求此时容器中水的深度.
③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚< br>线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球
的体积是圆柱体积的2
，球的表面积也是圆柱全面积的
2
.
33
五、课堂小结：
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决
相关的球的问题，了解 了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为
准确和”的解题方法。
六、作业：1、P
28
练习1、2、3


2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比
为 。
（答案：
33:1
；
3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平 行截面，它们的面积分别为49πcm
2
和400πcm
2
，求球的表面积。 （答案：2500πcm
2
）
七、课后记
课题：平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2） 掌握平面的表示法及水平
放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想< br>象能力。
2、过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使 学生对平面有了感性认识；（2）让学生归
纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及
符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读 教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨
论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等， 都给我
们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和
互相交流。与此 同时，教师对学生的活动给予评价。 那么，平面的含
义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的
D C
一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
α
2、平面的画法及表示
A B
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知 识迁移，得出平面的画法：水平放
置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45
0
，且横边画成邻边的2
β
β
倍长（如图）


α
α


平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可 以用
表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表
示，如平面AC、平 面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画
·B

成虚线或不画（打出投影片）
课本P41 图 2.1-4 说明
·A

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
α
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B
?
α

3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上 的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘
就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
A

α
·

B∈L => L α
L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等
等……
引导学生归纳出公理2
A B
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
α
·

C
·

·

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
β
使A∈α、B∈α、C∈α。
P
α
公理2作用：确定一个平面的依据。
·

L
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过
该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、教材P43 例1 用符号表示下列图形中点、线、面之间的位置关系
三、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4
四、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什
么？
五、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系.
课后记：




课题：空间中直线与直线之间的位置关系

一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理 解异面直线的概念、画法，
培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角
定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳
整理所学知识。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成
本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面 直线的
概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬
托，如下图：

2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线互相平行。 在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b
=>a∥c c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1、 空间四边形
ABCD
，
E 、F、H、G
分别是边
AB、BC、CD 、DA
的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形

3 让学生观察、思考右图：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行， 这两组角的大
小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
0

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或
互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知 异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、
b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直 角）叫异面直线a与b所成的角
（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角 的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无
?
关，为了简便，点O一般取在两直线中的 一条上；
2
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂
直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例2（教材P47页例3）
（三）课堂练习
练习1、2
（四）课堂小结在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：

（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（2）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________
条。
课后记：

课题：空间直线与平面、平面与平面之间的
位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面
难点：用图形表达直线与平面
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课
的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学过程：
（一）复习引入：
1 空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：
ab,bc?ac
．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相
同，那么这两个角相等
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么
这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.
5.空间两条异面直线的画法

a
b
b
a
a
b
A
1
A
D
1
B
1
D
B
C
1
C

6．异面直线定理：连结 平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不
经过此点的直线是异面直线
推理模式：A?
?
,B?
?
,l?
?
,B?l?
AB与
l
是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b，经过空间任一点
O
作直线
把
a
?
,b
?所成的锐角（或
a
?
a,b
?
b
，
a
?
,b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关，
直角）叫异面 直线
a,b
所成的角（或夹角）．为了简便，点
O
通常取在异面
直线 的一条上
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直
线垂直． 两条异面直线
a,b
垂直，记作
a?b
．
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平
面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来
表示

a α a∩α=A a∥α
例1下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面?内，则L∥?
(2)若直线L与平面?平行，则L与平面?内的任意一条直线都平行
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个
平面平行
（4）若直线L与平面?平行，则L与平面?内任意一条直线都没有公共点

（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3
教学平面与平面的位置关系：
① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例
找面面关系.
② 讨论得出：相交、平行。
→定义：平行：没有公共点；
相交：有一条公共直线。

→符号表示：α∥β、 α∩β＝
b


→举实例：…

③ 画法：相交：……
平行：使两个平行四边形的对应边互相平行
④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面
和两个平行平面相交
探究：A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？


B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？

C. 三个平面可以将空间分成多少部分？
D. 若
?

?
，
?

?
，则
?

?

三、巩固练习

1．选择题
（1）以下命题（其中
a
，
b
表示直线，?表示平面）
①若
a
∥
b
，
b
??，则
a
∥? ②若
a
∥?，
b
∥?，则
a
∥
b

③若
a
∥
b
，
b
∥?，则
a
∥? ④若
a
∥?，
b
??，则
a
∥
b

其中正确命题的个数是 （ ）
（
A
）0个 （
B
）1个 （
C
）2个 （
D
）3个
（2）已 知
a
∥?，
b
∥?，则直线
a
，
b
的位置 关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（
A
）2个 （
B
）3个 （
C
）4个 （
D
）5个
（3）如 果平面?外有两点
A
、
B
，它们到平面?的距离都是
a
，则 直线
AB
和平面?的位置关系一定是（ ）
（
A
）平行 （
B
）相交 （
C
）平行或相交 （
D
）
AB
??

（4）已知
m
，
n
为异面直线，
m
∥平面?，
n
∥平面?，?∩ ?=
l
，则
l

（ ）
（
A
）与
m
，
n
都相交 （
B
）与
m
，
n
中至少一条相交
（
C
）与
m
，
n
都不相交 （
D
）与
m
，
n
中一条相交
教材P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导
（四）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（五）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P51 习题2.1 A组第5题
课后记






课题：直线与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定
理。
2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面
所在平面具有什么样的位置关系 ？如何去确定这种关系呢？这就是我们
本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1. 教学线面平行的判定定理：
① 探究:有平面
?
和平面外一条直线a,什么条件可以得到a
?
？
分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。

判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此
平面平行.
a?
?
?
?
符号语言:
b?
?
?
?a
?

ab
?
?例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的
平面.
→改写： 已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：
EF平面BCD.
→ 分析思路 → 学生试板演
例2在正方体ABCD- A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的
位置关系，并说明理由.
→ 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法
→ 变式训练：还可证哪些线面平行
练习：
Ⅰ、判断对错
直线a与平面α不平行，即a与平面α相交． （ ）
直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α． （ ）
直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b． （ ）
Ⅱ 在长方体ABCD- A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系（解略）
练习：教材第56页 1、2题，让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳小结整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？
课题：平面与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法：让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，
得出两平面平行的判 定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题

引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位
置关系？一个平面内有 两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置
关系？
② 将讨论的结论用符号语言表示： a
?
β，b
?
β，a∩b＝P，a∥α，b∥
α，则β∥α。
③ 以长方体模型为例，探究面面平行的情况.
④ 提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那
么这两个平面平行。
☆ 图形语言、文字语言、符号语言
a?
?
,b?
?
,a
a∥< br>?
，b∥
?
b?A
?
?
?
?

?
?
；
☆ 思想：线面平行→面面平行.
⑤ 讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。
⑥ 出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。
分析结果→以后待证→结论好处 → 变问：垂直于同一条直线的两个
平面呢？
⑦ 讨论：A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的
两条相交直线，那么这两个平面是否平行？
B. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距
离相等，则α与β的位置关系是怎样的？ 试证明你的结
论。
2. 教学例题：
① 例1：在长方体
ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
, 求证：平面
AB
1
D
1
∥
平面
C
1
BD
.
分析：如何找线线平行→线面平行→面面平行？
师生共练，强调证明格式
小结：证明思想.
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行。
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置：第62页习题2.2 A组第7题。
课题：直线与平面、平面与平面平行的性质

一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握两个平面平行< br>的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
1. 教学线面平行的性质定理：
① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面
相交，那么这条直线和交线的位置关系如何？
② 给出线面性质定理及符号语言：
β
l
?
,l?
?
,
??
?m?lm
．
b
a
③ 讨论性质定理的证明：
∵
l
?
，∴
l
和
?
没有公共点，
c
α
又∵
m?
?
，∴
l
和
m
没有公共点； < br>即
l
和
m
都在
?
内，且没有公共点，∴
lm
．
④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那
么这条直线是否在此平面内？ 如果两条平行直线中的一条平行于一个平
面，那么另一条与平面有何位置关系？
b
教学例题：
c
a
d
例1：已知直线a∥直线b，直线a ∥平面α,b
?
α， 求证：b
?
?
?
?
∥平面α
分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转化？
→ 师生共练 → 小结：作辅助平面；
转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”
② 练习：一 条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线
平行。（改写成数学符号语言→试证） 已知直线
a
∥平面
?
，直线
a
∥平面
?
，平面
?
平面
?
=
b
，求证
a
b

例2：有一块木料如图，已知棱
BC
平行于面
A′C′
．要经< br>过木料表面
A′B′C′D
′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，
应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？
例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平

面，求证：另一条也平行于这个平面。
讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？ 怎样画线？
如何证明所画就是所求？
变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面B C′、面BF、面A′
C′都有怎样的位置关系．为什么？
面面平行性质定理：
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位
置关系？两个平面内的直线有什么位 置关系？当第三个平面和两个平行
平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？
② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
∥
?
?
③ 用符号语言表示性质定理：
?
D
??
＝a，
??
＝b
?
A
④ 讨论性质定理的证明思路.
C
?
B
教学例题：
例4已知平面?
,
?
,
?
满足
?

?
,?
?
?
?a,
?
?
?
?b,求证：ab

例5：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面
也相交.
讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？
→ 如何作辅助平面？ → 师生共同完成
例6：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：
?

?
，< br>AB,CD
是夹在两个平行平面
?
,
?
间的平行线段，求证：
AB?CD
.
→ 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三
个相交平面
② 练习：若
?

?
，?

?
，求证：
?

?
．
（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）
在平面
?
内取两条相交直线
a,b
，
分别过
a, b
作平面
?
,
?
，使它们分别与平面
?
交于两相交 直线
a
?
,b
?
，
∵
?

?，∴
aa
?
,bb
?
，
又∵
?
?
，同理在平面
?
内存在两相交直线
a
??
,b
??
，使得
a
?
a
??
,b
?
b
??
，
∴
aa
??
,bb
??
， ∴
?

?
.
三、巩固练习：
1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对
应成比例.
2. 已知
l,m
是两条异面直线，
l
平面
?
，
l
平 面
?
，
m
面
?
，
m
平面
?
，
求证：
?

?
．
*3. 设
P,Q
是 单位正方体
AC
1
的面
AA
1
D
1
D、面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中 心，
?

如图：（1）证明：
PQ
平面
A A
1
B
1
B
； （2）求线段
PQ
的
长。
4. 课堂作业：书P69 B组2、3题。
5. 如图，
b
∥
c
，求证：
a
∥
b
∥
c

（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）
6. 设平面α、β、γ，α∩β＝
a
，β∩γ＝
b
，γ∩α＝
c
，且
a

b. 求
证：
a
∥
b
∥
c.

四. 小 结：线面平行的性质定理，转化思想；面面平行的性质定理及其它
性质（
?

?
,a?
?
?a
?
）；转化思想四、
五. 作业：P62 4、5、6题.
课后记：





课题：直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上
学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过
程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与 平
面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，
你能举出一些类似 的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生

的活动给予评价。 < br>2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过
分析旗杆与它在地面上的射影 的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线L与平
面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线
L 的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
L

p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判 定直线与平面垂直，但这种方法实
际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如
图2.3-2试验：过△A BC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸
片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）， 问如何翻折才能保证折痕AD
与桌面所在平面垂直？

B D
C
图
2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线
确 定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的

数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
例1：如图，已知
ab,a?
?
，求证：
b?
?

（分析：线面垂直
?
线线垂直
?
线面垂直）
例2在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，求直线
A'B
和平面
A'B'C' D'
所成的角.
（讨论
?
老师引导
?
学生版书）

巩固练习： 1. 平行四边形
ABCD
所在平面?外有一点
P< br>，
且
PA
=
PB
=
PC
=
PD，求证：点
P
与平行四边形对角线交点
O
的连线
PO
垂 直于
AB
、
AD

2. 如图，已知AP
?O
所在 平面，AB为
O
的直径，C是圆
周上的任意，过点A作
AE?PC
于 点E. 求证：
AE?
平面PBC.
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基 本过程。②直线与平面
垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P69练习
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这
条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这
个平面垂直，这个结论对吗？ 为什么？
课后记：





课题：直线和平面垂直
一、教学目标：1．进一步掌握线面垂直的定义和判定定理；
2．熟练应用定理解决有关问题．
二、教学重、难点：定理应用．
三、教学过程：
（一）复习：1．直线与平面垂直的定义；2．直线与平面垂直的判定定理；
3．练习：平行 四边形
ABCD
所在平面
?
外有一点
P
，且
PA? PB?PC?PD
，
?
A
B
a
?
P

求证：点
P
和平行四边形对角线交点
O
的连线
PO
垂直于
B C
和
AB
．
（二）新课讲解：
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条．
已知：平面
?
和一点
P
求证：过点
P
与
?
垂直的直线只有一条．
证明：不论
P< br>在平面
?
内或外，设直线
PA?
?
，垂足为
A
（或
P
）若另一
?
P
?
A
B
a
直线
PB?
?
，设
PA,PB
确定的平面为
?
，且
??
?a
∴
PA?a,PB?a

又∵
PA,PB
在平面
?
内，与平面几何中的定理矛盾，所以过点
P
与
?< br>垂直
的直线只有一条。
例2．定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（线
面垂直的性质定理）
已知：如图，
a?
?
,b?
?
求证：
ab

证明：（反证法）假定
b
不平行于
a
，则
b
与
a
相交或异面；
（1）若
a
与
b
相交，设
ab?A
，∵
a?
?
,b?
?

?
O
a
b
b'
∴过点
A
有两条直线与平面
?
垂直，
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，∴
a与
b
不相交；
（2）若
a
与
b
异面，设b
?
?O
，过
O
作
b
?
a
，
∵
a?
?
∴
b
?
?
?
又∵
b?
?
且
bb
?
?O
，
∴过点O
有直线
b
?
和
b
垂直于
?
与过一点 有且只有一条直线一已知平面垂
直矛盾，
∴
b
与
a
不异面，综上假设不成立， ∴
ab
．
?
说明：例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中． l
?
内．例3．已知直线
l?
平面
?
，垂足为
A
，直线
AP?l
，求证：
AP
在平面
证明：设
AP
与
l
确定的平面为
?
，
?
A
P
M
如果
AP
不在
?
内，则可设
??
?AM
，∵
l?
?
，∴
l?AM
，又∵AP?l
，
于是在平面
?
内过点
A
有两条直线垂直于
l
， < br>这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，所以
AP
一定在平面
?内．
点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足间线段的长，
叫做点 到平面的距离。
四、课堂小结：直线与平面垂直的判定定理和性质定理．
五、作业：补充： 如图，
AB
是圆
O
的直径，
C
是圆周上的一点，
P A
垂直
于
O
所在的平面，
AF?PC
，求证：
FA ?
平面
PBC
．
P
F
C
A
O
B

P73 5、6
课后记



课题：平面与平面垂直的判定
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角 ”、“二面角的平面角”及“直二面
角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定
定理。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。2、教学用具：二面角模型（两
块硬纸板）
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、 “直线和平面所成的
角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

图形
角
A
边
二面角
A
梭 l β
B

顶点 O 边 B
从平面内一点出发的两
α
从空间一直线出发的两个半
定义 条射线（半直线）所组成的平面所组成的图形
图形
构成
表示
射线 — 点（顶点）一 射
线
∠AOB
半平面 一 线（棱）一 半平
面
二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面 相交的位置关系，如我们常说“把门开
大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢 ？师生
活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位
取一点为顶点， 在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操
作，研探二面角大小的度量方法——二面角 的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
（三）应用举例，强化所学
例1：如图，
AB
是
O
的直径，
PA
垂直于
O
所在的平面，
C
是圆周上不同于
A,B
的任意一点，求证：平面
PAC?平面PBC
.
（讨 论
?
师生共析
?
学生试写证明步骤
?
归纳：线线垂直
?
线面垂直
?
面
面垂直）
练习：教材P69页探究题
例2：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求
平面ACD和平面BCD所在二面角的大小 . (分析
?
学生自练)
练习：如图，已知三棱锥
D?ABC
的三 个侧面与底面全等，
且
AB?AC?3,BC?2
，求以
BC
为棱， 以面
BCD
与面
BCA
为
面的二面角的大小？

（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定
定理有何关系？
（五）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们 所
成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB
⊥L”？为什么
∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？



课题：直线与平面垂直、平面与平面
垂直的性质
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互
联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质
定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证 明”，培养学生空间概念、空间
想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具

（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）、复习准备：
1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.
2.练习：对于直线
m ,n
和平面
?
,
?
，能得出
?
?
?
的一个条件是（ ）①
②
m?n,
?
?
?
?m,n??
③
mn,n?
?
,m?
?
④
m?n,m?
,n
?
mn,m?
?
,n?
?
.
3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根
旗杆所在的直线之间具有什么 位置关系？
（二）、讲授新课：
1. 教学直线与平面垂直的性质定理：
①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直
?
线线平行）
② 练习：
a,b,c
表示直线，
M
表示平面，则
ab
的充分条 件是（ ）A、
a?c且b?c

B、
aM且bM
C、
a?M且b?M
D、
a,b与c
所在的角相等
例1：设直 线
a,b
分别在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中两个不同的平面内，欲 使
ab
，
a,b
应满足什么条件？（分组讨论
?
师生共析< br>?
总结归纳）
（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等 、
同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等）
2.教学平面与平面垂直的性质定理： < br>①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂
直.（面面垂直
?
线面垂直）
探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅
有一条.
②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）
A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
例2、如图，已知 平面
?
,
?
,
?
?
?
，直线
a< br>满足
a?
?
,a?
?
，试判断直线
a
与平面
?
的位置关系.

④练习：如图，已知平面
?
?
平面?
，平面
?
?
平面
?
，求证：
a?
?
.

?
?
?
?a
，




(三)、巩固练习：
1、下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外 一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一
个平面和一条定直线垂直C、若
a ,b
异面，过
a
一定可作一个平面与
b
垂直
D、
a ,b
异面，过不在
a,b
上的点
M
，一定可以作一
个平面和
a,b
都垂直.
2、如图，
P
是
?ABC
所在 平面外一点，
PA?PB,CB?平面PAB,M是PC
的中点，
N是AB
上 的
点，
AN?3NB.
求证：
MN?AB.

3、教材P71、72页
（四）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平 面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂
线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直
线a与平面α具有什么位置关系？
五、归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
六、作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
课后记：







课题：三垂线定理（1）
一、课题：三垂线定理
二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；
2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理

解决有关线线垂直问题。
三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各
条直线之间的关系．
四、教学过程：
（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：
AB
B
B
B
A
A

A
B


A
A
A
A
BB
0
B
0
B
0
A
(A
0
)
0
A
(B)
A< br>
A
A


（二）新课讲解：
1．射影的有关概念：
（1）点的射影：自一点
P
向平面
?
引垂线，垂足
P
?
叫做
P
在平面
?
内的正射影（简称射影）。
（2）图形的射影：如果图形
F
上所有点在一个 平面内的射影构成图形
F
?
，则
F
?
叫做
F
在
这个平面内的射影．
2．斜线的有关概念：
（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做
平面的斜线；
（2）斜足：斜线和平面的交点；
（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．由 此，斜线段
AB
0
0
0
0
0
0
0
在平面内的射影仍为线段，即为线段
A
0
B
．
A
3．三垂线定理：
A
B
?
定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
0
已知：
PO,PA
分别是平面
?
的垂线和斜线，< br>OA
是
PA
在平面
?
内的射影，
a?
?，且
a?OA

求证：
a?PA
；
证明 ：∵
PO?
?
∴
PO?a
，又∵
a?OA,POOA?O< br>
?
P
a
O
A
∴
a?
平面
POA
， ∴
a?PA
．
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直
关系；

PO?
?
,O?
?
?
?
（2）推理模式：
PA
?
?A
?
?a?PA
．
a?
?
,a?OA
?
?
4．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜
线的射影垂直。（证明
略）
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式：
PA
?
?A
?
?a?AO
．
a?
?
,a?AP
?
?
练习：
Rt?ABC< br>在平面
?
内，
?C?90,PC?
?
,CD?AB
于 点
D
，请指出图形
P
中的直角三角形。
?
Rt?ABC, Rt?ADC,Rt?BDC
?
??
?
Rt?PDA,Rt?PDB
?

?
Rt?PCA,Rt?PCB,Rt?PCD
?
??
C
P
D
B
?
A
A
O
B
D
C
三．例题分析：
例1．已知：点
O
是
?ABC
的垂心，
PO?平面ABC
，垂足为
O
，求证：
PA?BC
．
证明：∵点
O
是
?ABC
的垂心，∴
AD?BC

又∵
PO?平面ABC
，垂足为
O
，
PA平面ABC?A< br>所以，由三垂线定理知，
PA?BC
．
例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在
平面内的射影在这个角的角平分线上．
已知：
?BAC
在平面
?
内，点
P?
?
, PE?AB,PF?
E,F,O,PE?PF
，
AC,PO?
?
， 垂足分别为
P
E
A
O
F
C
B
?
求 证：
?BAO??CAO
．
证明：∵
PE?AB,PF?AC,PO?
?
，
∴
AB?OE,AC?OF
（三垂线定理逆定理）
∵
PE?PF,PA?PA
，∴
Rt?PAE?Rt?AOF
，
∴
AE?AF
，又∵
AO?AO
， ∴
Rt?AOE?Rt?AOF
∴
?BAO??CAO
．
例3．如 图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔
AB
，高
15m
，只有量角器