人教版高中数学必修2全部教案(最全最新)

B
1
C
1
、C
1
E、C
1
C与直线AB的位置关系。
说明：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说 明仅用“异
面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。
问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？
提示：在平面几何中，用“距离”来刻画 两平行直线间的相对位置，用“角”来刻画
两相交直线间的相对位置。
问题3：一张纸中画有 两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角
器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上 的线段。问如何量出、
所成角的大小？其理论依据是什么？
学生动手操作。
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？
（二）新授课
1、异面直线所成角的定义（学生类比问题3给出定义）：
已知异面直线a
、
b，经过空间中任一点O作直线a' ∥a、b' ∥b，把a' 与b' 所成的锐
角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
范围：
?
?(0,
a
b
?
2
]
。
思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任
意点O位置的不同而改变？
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或
端点。
2、探究：（1）如果两条平 行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否
也与这条直线垂直？即a
∥
b，若a⊥c，则b⊥c？
（成立，因为b、c所成的角与a、c所成的角相等，都是90°。）
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
（否，两条直线可能相交、平行或异面。）
2、例、习题剖析：
例1、在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，求：
（1）A
1
B
1
与CC
1
所成的角；
（2）A
1
B与CC
1
所成的角；
D
1

A
1

C
1

B
1

D
C
B

26
A

（3）A
1
C
1
与BC所成的角；
（4）A
1
C
1
与D
1
C所成的角；
分析：（1）∵A
1
B

CC
1
--------找
∴
?A
1
BB
1为A
1
B与CC
1
所成的角 --------证
在△A
1
BB
1
中，
?A
1
BB
1
?45?
； --------算
∴ A
1
B与CC
1
所成的角为45
o
--------答
（2）
?A
1
BB
1
?45 ?
；（3）
?A
1
C
1
B
1
?45?； （4）
?BA
1
C
1
?60?
。
这 种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。
把这种方法叫做—— 平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，简记为“找
——证——算——答”。
变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E
、
F
、
G
、
H分别为 AA
1
、
AB、BB
1
、BC
1
的中点，则异面直 线EF与GH所成的角等于（ ）
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
解：连接A
1
B，BC
1
，A
1
C
1
---------------------作
∵ A
1
B

EF，BC
1
GH
∴ ∠A
1
B C
1
为EF
1
与GH所成的角（或其补角） -----------证
在三角形A
1
BC
1
中，A
1
B = BC
1
= A
1
C
1
∴ ∠A
1
B C
1
=60° -----------算
∴ 异面直线EF与GH所成的角等于60° ---------答
小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。
简记为“作（或找）——证——算——答”。
例2、长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中， AA
1
= AB = 2，AD = 1，求异面直线A
1
C
1
与BD
1
所成角的余弦值。 解：设A
1
C
1
与B
1
D
1
交于O， 取B
1
B中点E，连接OE，

27

因为OE D
1
B，所以∠C
1
OE或其补角，就是异面直线A
1
C< br>1
与BD
1
所成的角或其补角。
在△C
1
OE中，
OC
1
?
15
A
1
C
1
?
，
22
OE?
11
2
3
BD
1
?2? 2
2
?1?
，
222
C
1
E?B
1C
1
2
?B
1
E
2
?1
2
? 1
2
?2
，
OC?OE?C
1
E
?
2O C
1
?OE
2
1
22
(
所以
cos?C< br>1
OE?
5
2
3
2
)?()?(2)
25
22
?
，
5
53
2??
22
5
。
5
所以异面直线 A
1
C
1
与BD
1
所成的角的余弦值为
D
1
A
1
E
D
A
F
S
E
A
F
B
C
1
B
1
G
C
B
变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
中，AA
1
= AB =
2，AD = 1，E、
F
、
G分别是DD
1
、AB、CC
1
的中点 ，则异面直线A
1
E与
GF所成的角是__________。
变式3：在正四面体S
—
ABC中，SA⊥BC，E
、
F分别为SC、A B的
中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

（三）课堂小结
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。
2、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）——证——算——答”。
C
3、 数学思想——化异面为共面，化空间为平面。这是我们学习空间几何最常用到的数
学思想——转化化归思 想。
（四）课后作业：
R
1、空间四边形ABCD中，P
、
R 分别是AB
、
CD的中点，且PR =
3
，
AC = BD = 2，求AC与BD所成的角。
2、正方体ABCD—A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，M为AB的中点，N为BB
1
的中点，
求 A
1
M与C
1
N所成角的余弦值。
A
C
P
B
D
D
1

A
1

C
1

B
1


28
N
D
A
M
B
C

3、课本P48第2题。
4、变式3题。
教学反思：




2.2.1 直线与平面平行的判定
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中直线与 平面的位置关系，理解并掌握直线与平面平行的判
定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象 能力。
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中直线与平面的位置关
系，直线与平面平行的判定定理。
3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化 （降维）的思想，
增强学习的积极性。
二、教学重点：
空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理及应用。
难点：
判定定理的应用，例题的证明。
三、学法指导：
学生借助实例，通过 观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得
出直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定。
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
思考（1）一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
（2）如图， 线段A
1
B所在的直线与长方体的六个面所在平面有
几种位置关系？
（二）直线与平面的位置关系
归纳：直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点，记作：
a?
?
；
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点，记作：
a?
?
?A
；

29

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点，记作：
a
?
。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a?
?
来表示。

例1：下列命题中正确的个数是（ ）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l α；
（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
（4）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；
（5）平行于同一平面的两条直线互相平行。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
答案：B
课堂练习1：若直线a不平行于平面α，且
a?
?
，则下列结论成立的是（ ）
（A）α内的所有直线与a异面 （B）α内不存在与a平行的直线
（C）α内存在唯一的直线与a平行 （D）α内的直线与a都相交
答案：B
（三）直线与平面平行的判定
1、揭示问题：根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共
点。但是，直线无限伸长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
2、直观感知，操作确认：
（1）转动门扇：门扇转动的一边与门框所在的平面是否平行？
（2）观察：将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在的直线与桌面所在
平面具有 什么样的位置关系？
3、探究：（1）如右图，直线a与平面α平行吗？
（2）平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，
直线a与平面α的位置关系如何？
4、归纳（直线与平面平行的判定定理）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，

30

则该直线与此平面平行。
符号语言：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
。
作用：线线平行，则线面平行。
将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）。
5、感受生活中线面平行的例子：教室里日光灯与天花板，足球门的顶部与地面等。
6、直线与平面平行的判定方法：
（1）利用定义，说明直线与平面没有公共点；
（2）利用判定定理，应用时的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线。
7、思考：平行线有传递性，线面平行有传递性吗？即以下命题是否成立？
（1）
a b,b
?
?a
?
；（2）
a
?
,
?

?
?a
?
。
说明：以上两个命题都是假命题，线面平行没有传递性。
课堂练习2：若
a?
?
,ba
，则b与
?
的位置关系是 。
答案：
b
?
或
b?
?
。
（四）定理的应用
例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
已知：如图， 空间四边形ABCD中，E
、
F分别是AB
、
AD的中点。
求证：EF 平面BCD。
证明：连接BD，因为AE = EB，AF = FD，
所以EF BD（三角形中位线的性质），
因为
EF?
平面BCD，
BD?
平面BCD，
由直线与平面平行的判定定理得EF 平面BCD。
小结：要证明一条已知直线与一个平面 平行，只要在这个平面内找出
一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。
变式1：如图，空间四边形ABCD中，E
、
F分别是AB
、
AD上的点，< br>若
AEAF
?
，则EF与平面BCD的位置关系是 。
EBFD
答案：EF 平面BCD。
变式2：如图，四棱锥A
—
DBCE中，底面DBCE为平行四边形，
F为AE的中点，求证：AB 平面DCF。

31

分析：连接BE交CD于点O，则OF AB（中位线）。

例2：如图在正方体ABCD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
中，E
、
F分别是棱BC
、
C
1
D
1
的中点，求证：EF 平面BDD
1
B
1
。
分析：要证明线面平行，根据线面平行的判定定理，只需证明
EF与平面BDD
1B
1
内的一条直线平行即可。
小结：1、证明线面平行可先证线线平行，但要注 意“三条件”
的说明，关键是找到面内的直线。
2、证明线面平行的一般步骤是：（1）证线 线平行；（2）说明
两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。
变式3 ：如图，正方体ABCD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
中
，
E
、
F分别是对
角线A
1
D
、
B
1
D
1
的中点，证判直线EF分别与正方体六个面 中的
哪些平面平行？并证明你的结论。

课堂练习3：1、如图，长方体ABCD< br>–
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
（1）与AB平行的平面是 ；
（2）与AA
1
平行的平面是 ；
（3）与AD平行的平面是 。
2、如图，正方体AB CD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为DD
1
的中点，试
判断BD
1
与平面AEC的位置关系， 并说明理由。

（五）课堂总结
1、直线与平面的位置关系：相交，平行，直线在平面内。
2、直线与平面平行的判定：平面 外一条直线与此平面内的一
条直线平行，则该直线与此平面平行。
3、证明线面平行的一般步 骤是：（1）证线线平行；（2）说明
两直线一条在面内，另一条在面外；（3）由判定定理得到结论。 要注意“三条件”的说明，
关键是找到面内的直线。
（六）布置作业：
课本P62 习题2.2 [A组]第3题，[B组]第1题；变式3题。导与练P40，1 ~ 11。

32

教学反思：





2.2.2 平面与平面平行的判定
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中平面与 平面的位置关系，理解并掌握平面与平面平行的判
定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象 能力。
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，得出空间中平面与平面的位置关
系，平面与平面平行的判定定理。
3、情感态度与价值观：让学生在发现中学习，培养空间问题平面化 （降维）的思想，
增强学习的积极性。
二、教学重点：
空间中平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定定理及应用。
难点：
判定定理的应用，例题的证明。
三、学法指导：
学生借助实例，通过 观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得
出平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定。
四、教学过程
（一）平面与平面的位置关系
思考：（1）拿出两本书，看作两个平 面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系
有几种？
（2）如图，围成长方体的六个面，两两之间的位置关系有几种？
两个平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点，记作：
?

?
；
（2 ）两个平面相交——有且只有一条公共直线，记作：
?
?
?
?l
。
用图形表示为：

33

画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
探究：已知平面α、β，直线a、b，且
?

?
,a?
?
, b?
?
，则直线a与直线b具有怎
样的位置关系？
拓展：若
?
?
?
?l
呢？
课堂练习1：如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结
论。

（二）平面与平面平行的判定
1、观察：三角板的一条边所在直线与桌面平行，这 个三角板所在
平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又
如何呢？
2、若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平
面一定平行。
3、探究：（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（3）平面β内有两条相交直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
4、归纳（两个平面平行的判定定 理）：一个平面内的两条交直线与
另一个平面平行，则这两个平面平行。〖线不在多，相交就行。〗 < br>符号语言：
a?
?
,b?
?
,a?b?P,a
?,b
?
?
?

?
。
作用：线面平行，则面面平行。
5、平面平行的传递性：如果平面α 平面β，平面β 平面γ，则平面α 平面γ。
课堂练习2：
1、判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：
（1）已知平面α，β和直 线m，n，若
m?
?
,n?
?
,m
?
,n
?
，则α β；


（2）一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α β。

34

2、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
（A）α内有无穷多条直线都与β平行
（B）直线a α，a β，且直线a不在α内，也不在β内
（C）直线
a?
?
，直线
b?
?
，且
a
?
,b
?

（D）α内的任何直线都与β平行


（三）定理的应用：
例1 、已知正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
，求证：平面AB
1
D
1
平面C
1
BD 。
分析：由AB
1
DC
1
，得AB
1
平面C
1
BD；AD
1
BC
1
，得AD
1

平面C
1
BD，
证 明：因为ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D1
为正方体，
所以D
1
C
1
A
1
B
1
，D
1
C
1
= A
1
B
1
，
又AB A
1
B
1
，AB = A
1
B
1
，所以DC D
1
C
1
，DC = D
1
C
1
，所以D
1
C
1
BA为平行四边形，
所以AD
1
BC
1
，又
AD1
?
平面C
1
BD，
BC
1
?
平面C
1
BD，
由直线与平面平行的判定定理得AD
1
平面C
1
BD。
同理AB
1
平面C
1
BD， 又
AB
1
IAD
1
?A
，所以平面AB
1
D
1
平
面C
1
BD。
变式1：已知在正方体ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，M
、
E
、
F
、
N分别
是A
1
B1
、
B
1
C
1
、
C
1
D1
、
D
1
A
1
的中点。
求证（1）E
、
F
、
B
、
D四点共面；
（2）平面AMN 平面EFBD。

例2：求证：如果一个平面内的两条相交直 线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，
那么这两个平面平行。
已知：
a
1
?
?
,a
2
?
?
,b
1
?< br>?
,b
2
?
?
,a
1
Ia
2
?A,a
1
b
1
,a
2
b
2
，
求证：α β。

35

分析：由线线平行得线面平行，再得面面平行。

小结：面面平行的 判定定理的实质就是一个平面内的两条相
交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，本例可作为定
理使用。
变式2：已知四棱锥V
—
ABCD，四边形ABCD为平行四边形 ，
E
、
F
、
G分别是AD
、
BC
、
VB的中点，求证：平面EFG 平面VDC。


例3：如图，α β，A
、
C
?
?
，B
、
D
?
?
，且A
、
B
、
C
、
D
不共面，E
、
F分别是AB
、
CD的中点，求证：EF α，EF β。
分析：欲证线面平行，可先证面面平行，再结合面面平行的
定义从而得证。
证明：连结AD，取AD的中点为G，连结EG，
因为E为AB的中点，所以EG为△ABD的中位线，所以EG
BD，
因为EG
?
平面β，BD
?
平面β，所以EG β。
连结GF，同理证得GF β，又EG∩GF = G，
所以平面EGF 平面β，又EF
?
平面EGF，所以EF β，
同理EF α。
变式3 ：如图，在正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，M
、
N分别是
A
1
D
1
、
A
1
B
1
的中点，在该正方体中作出与平面AMN平行的平面，
并证明你的结论。


（四）归纳整理、整体认识
1、平面与平面的位置关系：相交，平行；
2、平面与平面平行的判定：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。

36

3、面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直 线分别与另一个平面内的
两条相交直线平行。
（五）布置作业：
课本第61页习题2.2 [ A组] 第7、8题；变式3题；导与练P44，1 ~ 11。
教学反思：





2.2.3 直线与平面平行的性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线与平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值 观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力；体会类比的作用；
渗透等价转化的思想。
二、教学重点：
直线与平面平行的性质定理的理解。
难点：
直线与平面平行的性质定理的证明及正确运用。
三、学法指导：
学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程
（一）创设情景、引入新课
复习：直线与平面平行的判定定理：a?
?
,b?
?
,ab?a
?
。
思考：（1 ）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位
置关系？
（2） 教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的
直线平行？

（二）研探新知

37

问题1：命题“若直线a平行于平面α ，则直线a平行于平面α内的一切直线”对吗？
直线会与平面内哪些直线平行呢？
问题2：在上面的论述中平面α的直线b满足什么条件时可以与直线a平行？
没有公共点——共面（平行）。
归纳（直线与平面平行的性质定理）：一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行。
符号语言：
a
?
,a?
?
,
?
?
?
?b?ab
。 证明：因为
?
?
?
?b
，所以
b?
?
，
因为
a
?
，所以a与b没有公共点，又因为
a?
?,b?
?
，所以a b。
简记为：线面平行则线线平行。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

（三）例题剖析
例1、如图所示的一块木料中，棱BC平竽于面
A
?
C
?
。
（1）要经过面
A
?
C
?
内的一点P和棱BC将木料锯开， 应怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
分析：（1）经过木料表面A
?
C
?
内的一点P和棱BC将木料锯开，实
际上是经过BC及 BC外一点P作截面，也就是找出平面与平面的交线。可以由直线与平面
平行的性质定理和公理4、公理 2作出。
（2）由于所作的直线EF平行于BC，所以所画的线EF与平面AC平
行，而BE
、
CF则与平面AC相交。

例2、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一
条也平行于这个平面。
已知：
a?
?
,b?
?
,ab,a
?
，求 证：
b
?
。
证明：过直线a作平面β交平面α于直线c，因为
a< br>?
,a?
?
,
?
?
?
?c
，
所以a c，因为a b，所以b c，又因为
c?
?
,b?
?
，所以
b
?
。
说明：线线平行
?
线面平行，转化是立体几何的一种重要的思想方法。


38

变式：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。
已知：
?
I
?
?l,a
?
,a
?
，
求证：a l。
分析：利用线面平行的性质定理。
证明：过a作平面
?
交
?
于b，因为
a
?
，所以a b，
过a 作平面
?
交平面
?
于c，因为
a
?
，所以a c，所以b c。
又因为
b?
?
且
c?
?
，所 以
b
?
，
由于平面
?
过b交
?
于l，所以b l，又a b，所以a l。


（四）课堂练习
1、判断下列命题的真假：
（1）
ab,b?
?
?a
?
； （ ） （2）
a
?
,b
?
?ab
； （ ）
（3）
ab,b
?
?a
?
； （ ） （4）
a
?
,b?
?
?ab
； （ ）
（5）过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条。 （ ）
2、填空：
（1）若两直线a、b异面，且a α ，则b与α的位置关系可能是 。
（2）若两直线a、b相交，且a α ，则b与α的位置关系可能是 。
3、长方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
P?BB
1
（异于B
、
B1
），
PAIBA
1
?M
，
PCIBC
1?N
，求证：MN 平面ABCD。



（五）归纳小结
证明线面平行的转化思想：
要证a α ，通过构造过直线a的平面β与平面α相交于直
线b，只要证明a b即可。

39

线线平行
?
线面平行
?
面面平行（（ 1）平行公理；（2）三角形中位线；（3）平行线
分线段成比例；（4）相似三角形对应边成比例；（ 5）平行四边形对边平行。）
（六）布置作业：
课本P61，习题2.2 [A组] 第5，6题；[B组]第2题；导与练P47，1 ~ 11。
教学反思：







2.2.4 平面与平面平行的性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感态度与价值 观：进一步提高学生空间想象能力、思维能力，体会类比的作用，
渗透等价转化的思想。
二、教学重点：
平面与平面平行的性质定理的理解。
难点：
面面平行性质定理的证明及正确应用。
三、学法指导：
学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
复习：两个平面平行的判定定理：
a?
?
,b?
?
,a?b?P,a
?
,b
??
?

?
。
相关性质：1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。
2、平行于同一个平面的两个平面平行。
问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关
系？

40

学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面）
问题3：长方体中 ，平面ABCD内哪些直线会与直线
B
?
D
?
平
行？怎么样 找到这些直线？
（平面ABCD内的直线只要与
B
?
D
?
共面即可）
（二）研探新知
例1、如图，已知平面α、β、γ满足
?

?
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b
， 求证：a b。
证明：因为
?
?
?
?a,
?
?
?
?b
，所以
a?
?
,b?
?
，又因为< br>
?

?
，所以a，b没有公共点，又因为a，b同在平面γ内，所以a b。
归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面
相交，那么它们的交线平 行。
符号语言：
?

?
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b?ab
。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
课堂练习1：判断下列命题是否正确。
（1）如果a，b是两条直线，且a b，那么a平行于经过b的任何平面。
（2）如果直线a和平面α满足a α，那么a与α内的任何直线平行。
（3）如果直线a，b和平面α满足a α，b α，那么a b。
（4）如果直线a，b和平面α满足a b，a α，
b?
?
，那么b α。

例2、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
已知：
?
?
,ABCD,A?
?
,C?
?
,B?
?,D?
?
，求证：
AB = CD。
证明：因为AB CD，所以过 AB
、
CD可作平面γ，且平面γ
与平面α和β分别相交于AC和BD，因为α β，所以BD AC，因此，
四边形ABDC是平行四边形，所以AB = CD。

变式1：如图，α β γ，直线a与b分别交α ，β ，γ于点A
、
B
、

41

C和点D
、
E
、
F，求证：




ABDE
。
?
BCEF
例3：如图，ABC D与BAFE是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在FB上，AM
= FN，求证：MN 平面BCE。





变式2：如图，P为平行四边形 ABCD所在平面外一点，M
、
N
分别是AB
、
PC的中点，平面P AD平面PBC = l。
（1）求证：BC l；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论。



（三）归纳小结
1、平面与平面平行的几条性质：
（1）性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：< br>?

?
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b?ab
。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
2、通过对性质定理的学习，大家应注意些什么？
3、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业：

42

课本第63页 习题2.2 [B组] 第3题；变式2题；导与练P50，1 ~ 11。
教学反思：










2.3.1直线与平面垂直的判定与性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；
（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质。
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概
括结论。
2、过程与方法（1）感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点：
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
（二）研探新知
1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直。记作：l ⊥α 。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交

43

点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定：
（1）探究：准备一块三角形纸片。
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上（BD、
DC与桌面接触）。
① 折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？
② 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？（AD是BC边上的高）




（2）思考：
① 有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD
垂直平面α ，你同意他的说法吗？
② 如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥ BD，由此你能
得到什么结论？
（3）归纳结论：（直线与平面垂直的判定定理）
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此
平面垂直。
符号语言：
a?
?
,b?
?
,a?b?A,l?a,l?b?l?
?< br>。
作用：由线线垂直得到线面垂直。（线不在多，相交就行。）
强调：① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3、实际应用，巩固深化
例1：有一根旗杆AB高8米，它的顶端A挂有一条长10
米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放 在地面上的两点（和旗杆
脚不在同一条直线上）C
、
D，如果这两点都和旗杆脚B的距
离是6米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？
分析：AB⊥BC，AB⊥BD，且B
、
C
、
D三点不共线。

44

课堂练习：已知三角形ABC，直线l ⊥AB，l ⊥AC，求证l ⊥BC。
例2：直线a、b和平面α有以下三种关系：（1）a b，（2）a?
?
，（3）
b?
?
，如
果任意取其中两个作为前提 ，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假。
如果是真命题，请予以证明；如果是假命 题，请举一个反例。
命题1：如图，已知
ab,a?
?
，求证：
b ?
?
。
证明：在平面α内作两条相交直线m，n，因为直线
a?
?
，根据
直线与平面垂直的定义知
a?m,a?n
，又因为a b，所以b?m,b?n
，又因为
m?
?
,n?
?
，m，n是两 条相交直线，所以
b?
?
。
归纳：两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
命题2：如图，已知直线a ⊥α ，b ⊥α ，那么a b。
证明（反证法）假设a< br>、
b不平行，且
b?
?
?O
，
b
?
是经过点O与
直线b平行的直线。直线b与
b
?
确定平面β，设
?< br>?
?
?c
，则
O?c
。
因为a ⊥α 、b ⊥α ，所以a ⊥c 、b ⊥c，又因为
b
?
a
，所以
b
?< br>?c
。
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，
b
?
与c垂直，显然不可能，因
此a b。
归纳（直线与平面垂直的性质）：垂直于同一平面的两条直线平行。
说明：可以由两条直线与 一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与
“垂直”之间的内在联系。
（三）课堂练习：课本P67，练习1、2。
1、如图，在三棱锥V
—
ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB
⊥AC。

2、过三角形ABC所在平面α外一点P，作PO ⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC。
（1）若PA = PB = PC，∠C = 90°，则点O是AB边的 点。
（2）若PA = PB = PC，则点O是三角形ABC的 心。
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是三角形ABC的 心。


45

（四）归纳小结：
（1）获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。
（2）直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？
（五）课后作业：
1、正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：AC⊥BDD
1
B
1
。
2、如图， 已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，O
、
D分别为AB
、
AC的
中 点，求证：OD⊥平面PAC。
3、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M
、
N分别是AB
、
PC
的中点，求证：MN⊥CD。
教学反思：




三垂线定理
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解三垂线定理及其 逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系
的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。
2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化。
3、 情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学
态度和辩证唯物主义观 点。
二、教学重点：
三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。
难点：
三垂线定理中的垂直关系及证明过程。
关键：
把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线。
三、教材分析：
1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直 线和平面
垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想

46

象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的
特征；证 明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题。
由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段 ，是学生空间观念形成的关键时期，因此
要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到 空间线面、线线关系的变化，
再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜 想命题，论证命
题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进 行
比较，从而更进一步地把握定理的关键。对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，
理 清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题。
3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教 学方法，启发、引导学生积极思考，勇
于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产 生浓厚的学习兴趣，发挥
学生的主观能动性，体现学生的主体作用。
四、教学过程
（一）复习和引入新课
提问：（1）直线和平面垂直的定义是什么？（直线垂直于平面内的任意一条直线。）
（2） 直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直。
（3）如图，如果PO⊥平面α，PA与平面α交于点A，则PO为平
面α的垂线，PA为平面 α的斜线，连接垂足O与斜足A的直线OA叫
做斜线PA在平面α内的射影。
（二）猜想和发现
1、揭示问题，引导探究
根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。
进一步，平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂
直？（否）
是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直？
2、模型演示
引导学生用三角板和铅笔在桌面上搭建模型（如图）。

47

如图表示平面的斜线（PO）在平面内有垂线（a），且有无数条。这些直线应具备什么
条件，即怎 样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？
指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型（如图）， 使铅笔
与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律，经过实验，
发现铅笔和三角板在平面 α内的直角边垂直时，便与斜边垂直。
3、结论：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜< br>线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三）证明定理
实验得出的结果是否正确还得进行证明。
已知：PA
、
PO分别是平面α的 垂线、斜线，AO是PO在平
面α上的射影，
a?
?
,a?OA
（如 图）。
求证：a⊥PA。
分析：证明两直线垂直，可转化为证明一条直线垂直于另一
条直线所在的平面，从本题条件看，PO在平面PAO内，只要证明a⊥平面PAO即可。
证明：因为
PO?
?
，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，
所以a ⊥PA。
（四）揭示定理
上面命题反映了平面 内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的
垂直关系，这就是著名的三垂线定理， 下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整
地表达出来。
三垂线定理：在平面内的一 条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么
它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的 实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理。这个定理之所以著
名，不仅在于它给了我们一个证明 线线垂直的重要方法，为研究计算空间角、空间距离奠定
了基础，而且这个定理的证明方法——“线面垂 直法”，也是一种非常重要的方法。
刚才我们由a与PA
、
AO垂直得到了a与平面 PAO垂直，现在我们再看，由于PA与a
总垂直，那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进 一步可得到什么结论？（a⊥AO）

48

这样我们又得到了一个重要定理：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线 ，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那
么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
请同学们写出证明过程，并与原定理进行对比。
（五）原、逆定理的比较
相同点：（1）结构相同：都是由线线垂直推证线线垂直；
（2）证明方法相同：都采用了线面垂直法。
不同点：（1）用途不同：原定理是用来证空间 两直线垂直；逆定理是用来证平面上两直
线垂直。
（2）条件与结论不同：原定理：“与射影 垂直”
?
“与斜线垂直”；逆定理：“与斜线
垂直”
?
“与射影垂直 ”。
（六）定理的应用
例1：如图，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA，
求证：BC⊥PA。 分析：PO是平面的垂线，PA是平面的斜线，BC在平面ABC
上，所以，欲证BC⊥PA，只需 证明BC垂直PA在平面ABC上的射
影即可。
证明：连结AO并延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影。
又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA。
小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是：
一定——定平面及平面内的一条直线；二找——找 平面的垂线、斜线及射影；三证——
证明平面内一直线与射影垂直。
由于逆定理与原定理的实 质相同，结构相似，因而使用时也可以按以上步骤进行，这对
我们在复杂图形中使用定理很有好处。 < br>例2：正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1D
1
中，求证：
（1）A
1
C⊥BD； （2）A
1
C⊥BC
1
； （3）A
1
C⊥平面BDC
1
。
4、探究：如图，直四棱柱
A
?
B
?
C
?
D
?
?ABCD
（侧面与底面垂直
的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，

49

A
?
C?B
?
D
?
？
解 ：连结
A
?
C
?
，因为
AA
?
?
平面
A
?
B
?
C
?
D
?
，所以< br>A
?
C
?
为
A
?
C
在平面
A
?
B
?
C
?
D
?
内的
射影，由 三垂线定理知，当
A
?
C
?
?B
?
D
?< br>时，有
A
?
C?B
?
D
?
，即四边形ABC D的对角线互
相垂直时，
A
?
C?B
?
D
?
。
（七）归纳总结
1、本节课重点学习了三垂线定理及其逆定理，它们是空间两线垂直的 判定与性质定理，
要牢固掌握，并注意原、逆定理的区别与联系。
2、学会按“一定、二找、三证”的步骤应用两个定理证明线线垂直。
（八）布置作业 1、已知点O是△ABC的BC边上的高上的任意一点，且OP⊥平面ABC，
求证PA⊥BC。
2、如图，PD⊥平面ABC，AC = BC，D为AB的中点，求证：AB⊥PC。
3、 如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB
、
PC
、
PD，指出图< br>中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由。
教学反思：


直线与平面所成的角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握直线与平面所成的 角的定义，熟记直线与平面所成角的范
围，会求直线与平面所成的角。
2、过程与方法：借助 正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，
探究异面直线所成角的概念形成过程， 以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：
（1）培养学生 不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证
唯物主义观点。
（2） 培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学
生初步掌握将空间问题转 化为平面问题的数学思想。

50

二、教学重点：
直线与平面所成的角的定义、范围与计算。
难点：
角的寻找（垂线）。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
复习：平面的垂线：垂直于平面的直线。
平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。
射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如 果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它
也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条 直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条
斜线在平面内的射影垂直。
三垂线定理及其逆定理的证明：线面垂直法。
问题：如图，E为长方体ABCD
—< br>A
1
B
1
C
1
D
1
的边AB上任意
一点，直线AA
1
，A
1
E，A
1
B中哪些与底面 ABCD垂直？
从位置关系来看，同为直线，但它们的相对位置是不同的，
如何刻画直线与平面的位置关系？
模型演示：笔与桌面的位置关系。
（二）研探新知
1、直线与平面所成角的定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和
这个平面所成的角。
注：l ⊥α时，所成角为90°；l α时，所成角为0°。
范围：
?
?[0,
D
1

A
1

D
A
E
B
P
B
1

C
1

C
α
A
O
?
2
]
。
课堂练习：两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？


2、应用举例：
例1：在正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，求：
（1）直线A
1
B和平面A
1
B
1
CD所成的角；

D
1

A
1

B
1

C
1

51
D
A
B
C

（2）直线DB
1
与平面ABCD所成角的正弦值。 < br>解（1）连结BC
1
交B
1
C于点O，连结OA
1
，
因为A
1
B
1
⊥平面BCC
1
B
1
，所以A
1
B
1
⊥BC
1
，
因为BCC
1
B
1
为正方形，所以B
1
C⊥BC
1
， 又
A
1
B
1
?B
1
C?B
1
，所以BO⊥平面A
1
B
1
CD，
所以∠BA
1
O为直线A
1
B和平面A
1
B
1
CD所成的角，且∠BOA = 90°，
设正方体的棱长为a，则
A
1
O?2a,OB?
2< br>a
，
2
所以
sin?BA
1
O?
OB1< br>?
，得∠BA
1
O = 30°，
A
1
B2
所以直线A
1
B和平面A
1
B
1
CD所成的角为30°。
（2）学生练习。
小结：求直线与平面所成的角一般要有三个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果。

例2：如图，在直三棱柱ABC
—
A
1
B
1C
1
中，∠ABC = 90°，AB = BC = 1。
（1）求异面直线B
1
C
1
与AC所成角的大小；
（2） 若直线A
1
C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A
1
—ABC的体积。



（三）课堂练习
1、已知平面α外两点A
、
B到平面α的距离分别为1和2，A
、
B两点在平面α内的射
影之间的距 离为
3
，求直线AB和平面α所成的角。
A



52
B
C
D

2、求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。




3、如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD BC，PD :
DC : BC = 1 : 1 :
2
，求直线PB与平面PDC所成角的大小。




（四）作业：
例2，课堂练习2题。导与练P55，1 ~ 11。
P
D
C
A
B
教学反思：



二面角及其平面角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）正确理解和掌 握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、
“两个平面互相垂直”的概念；
（2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）学会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情感态度 与价值观：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在
于观实生活周围，从中激发学生 积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点：
平面与平面垂直的判定；
难点：
如何度量二面角的大小。
三、学法指导：
实物观察，类比归纳，语言表达。

53

四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
实例：（1）修筑水坝时，为了使坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。
（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。







问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所 成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义
的？它们有什么共同的特征？

（二）研探新知
1、二面角的有关概念
演示：把纸对折，观察其形状，并进行归纳：
角
A
图形 边
顶点 O 边 B
从平面内一点出发的两条射线（半
定义
直线）所组成的图形
构成
表示
射线 — 点（顶点）一 射线
∠AOB
成的图形
半平面 一 线（棱）一 半平面
二面角α – l – β或α – AB – β
二面角
A
梭 l β
B
α
从空间一直线出发的两个半平面所组

54

2、二面角的度量
问题：我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？
应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）
归纳（二面角的平面角）：在二面角α—l—β 的棱上任取一点O，
以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA 和OB
构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l，OB ⊥l”；
（2）∠AOB的大小与点O在l上位置无关；
（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量 ，范围：
?
?[0,
?
]
；
（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
3、两个平面互相垂直的概念
观察：教室相邻的两个墙角与地面可以构成几个二面
角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及 其度数。
两个平面互相垂直：两个平面所成的角为直二面角，记作：
?
?
?
。
演示：课本与桌面垂直。

（三）求二面角的大小
例1：如图，在三棱锥V
—
ABC中，VA = VB = AC = BC = 2，
AB =
23
，VC = 1，试画出二面角V
—
AB
—
C的平面角，并求它的
度数。


课堂练习1：（1）在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距
离等于 到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数。

（2）如图，四棱锥V
—
A BCD中，底面ABCD是边长为2
的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为
5
的等腰三 角形，试

55

画出二面角V
—
AB
—
C的平面角，并求它的度数。


例2：正方体ABCD
—
A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，求
（1）二面角A
1
—
CD
—
B的大小；
（2）二面角C
1
—
BD
—
C的平面角的余弦值；
（3）二面角A
—
BD
1
—
C的的平面角的余弦值。




课堂练习2：（1）如图，正方体ABCD
—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是棱
A
1
B
1
的中点，求二面角M
—
BD
—
A的平面角的正切值。



（2）如图，已知平面α，β，且α∩β = AB，PC⊥α，PD⊥β，C，
D是垂足，
① 判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
② 若PC = 5，PD = 8，PC = 7，求二面角α—AB—β的大小。

（四）课堂总结
1、二面角的平面角必须具备三个条件：
（1）角的顶点在二面角的棱上；
（2）角的两边分别在二面角的两个半平面内；
（3）角的两条边分别与二面角的棱垂直。
准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键。

56

2、确定二面角的平面角的方法：
（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。
（2） 垂面法：过棱上一点作棱的垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，
这两条射线（交线）所 成的角，即为二面角的平面角。
（3）垂线法（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面 的垂线，过垂足作
棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的 所有
题目，具体步骤为：
一找——找平面及平面的垂线；
二证——证明斜线或射影与棱垂直；
三求——求出所得二面角的平面角的大小。
（五）布置作业：
课堂练习1、2。（共4题）
教学反思：





平面与平面垂直的判定与性质
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理；
（2）能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方 法：从开放性的角度设计问题，引导学生建立新的认知结构，挖掘学生的
创造潜能。
3、情感 态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、
空间想象能力以及逻辑推 理能力。

57

二、教学重点、难点：
判定定理、性质定理的证明及其应用。
三、学法指导：
直观感知、操作确认，猜想与证明。
四、教学过程
（一）由开放题设计知识的产生过程
问题导入：直线a和平面α，β有以下三种关系：①a⊥ β，②a
?
α，③α⊥β，如果任意
取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题， 能构成几个命题？如果是真命题，请给予
证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真 命题并加以证明。
学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题 ：
a?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(1)
?
?
?
?
?
;(2)
?
?a?
?
;(3)
?
?a?
?
。
a?
?
?
a?
?
?
a?
?
?
其中 （1）是真命题，（2），（3）均是假命题。
（二）用开放的思维探索命题的真假
1、证明命题（1）为真



A
a D

O B
C
图1
分析：设α∩β = CD，欲证α⊥β，只须判断二面角α – CD – β为直二面角。为此，作
OB⊥CD，得其二面角∠AOB（如图）。
明了α⊥β。
归纳（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂
直。 < br>符号语言：
l?
?
,l?
?
?
?
?
?
。
作用：由线面垂直得到面面垂直。

2、考察命题（2）的真假
由α⊥β，α内的直线a不一定能与β垂直（反例如图）。
问题：对于命题（2），能否在α ⊥β，a
?
α的条件下，再增加某些
条件，使a⊥β的结论成立呢？
引导学生分析，发现增加“a垂直于α与β的交线”的限制条件后，
就能判定a⊥β。
证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α—CD



a



图2

AO?
?
?
?
?AO?OB??AOB?90?< br>，从而证
OB?
?
?

58

—β的平面角。
由
?
?
?
知AB⊥BE， 又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB ⊥β。
归纳（两个平面垂直的性质定理）：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：设
?
?
?
,
?
?
?
?CD,AB?
?
,AB?CD
，则有AB ⊥β。
作用：由面面垂直得到线面垂直。
3、考察命题（3）的真假
途径1：结论开放。α⊥β且a⊥β不一定能得到a
?< br>α，但可以判断a与α的位置关系是
什么？（平行或在平面内）
途径2：条件开放。为 了得到a
?
α这个结论，需要增加什么条件？（由途径1可知：
为使a∥α不成立，a 须经过α内的一点P。）
思考：（1）设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a ，
直线a与平面α具有什么位置关系？
分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。（答：直线a必在平面α内）
归纳：
?
?
?
,a?
?
,P?aI
?
?a?
?< br>。
（2）已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，a ⊥β，
a?
?
，则直线a与平面α具有什么
位置关系？（答：直线a与平面α平行）
归纳：
??
?
,a?
?
,a?
?
?a
?
。
探究：已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，
?
?
?
?AB,a< br>?
,a?AB
，
则直线a与平面β具有什么位置关系？（a ⊥β）

4、应用举例
例：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于 A
、
B
的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
证明：设圆O所在平面为α ，由已知条件，
PA ⊥α ，BC在α内，所以PA⊥BC，
因为点C是圆周上不同于A
、
B的任意一点，AB是圆O的直径，

59

所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC。
5、探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面
互相垂直，为什么？
拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？

（三）通过开放性练习的研究深化对知识的认识
课堂练习：直线a和平面α,β有以下三种关 系：①a⊥α，②a∥β，③α⊥β，以其中两个
作为条件，另一个作为结论，构成三个命题，试探讨其 真假。

（四）课堂总结
1、直线与平面垂直的判定：
l?
?< br>,l?
?
?
?
?
?
。
2、直线与平面垂直 的性质：（1）设
?
?
?
,
?
?
?
?CD ,AB?
?
,AB?CD
，则有AB
⊥β。
（2）
?< br>?
?
,a?
?
,P?aI
?
?a?
?
；
?
?
?
,a?
?
,a?
?
?a
?
。
（五）作业：课堂练习。
教学反思：





立体几何复习
授课类型：复习课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

60 < /p>

2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情感态度与价值观：通过知识的整 合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及
其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题 的能力。
二、教学重点：
各知识点间的网络关系。
难点：
在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学过程
（一）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理 体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑
推理的基础。
公理1：
A?
?
,B?
?
?AB?
?
——判定直线是否在平面内。
公理2：不共线的三点确定一个平面——确定平面的依据。
推论1：直线与直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交或平行直线确定一个平面。 < br>公理3：
P?
?
,P?
?
?
?
?
?
?l,且P?l
。——判定两个平面交线的位置。
公理4：
ab,bc?ac
。——判定空间直线之间平行。
2、位置关系：
（1）直线与直线：相交、平行、异面。
（2）直线与平面：直线在平面内、相交、平行。
（3）平面与平面：相交、平行。



3、空间平行、垂直之间的转化与联系：

直线与平面平行
判定定理 性质定理
a?
?
,b?
?
,ab?a
?

a
?
,a?
?
,
?
?
?
?b?ab

61

平面与平面平行
a?
?
, b?
?
?
?
a
?
,b
?
?
??

?

a?b?A
?
?
l?m,l?n
?
?
m?
?
,n?
?
?
?l?
?

m?n?A
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?a
?
?ab

?
?
??b
?
?
a?
?
,b?
?
?ab

直线与平面垂直
平面与平面垂直
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
?
?
?
,a?
?
?
?
?a?
?

?
?
?
?CD,a?CD
?
转化思想：直线与直线平行
?
直线与平面平行
?
平面与平面平行
直线与直线垂直
?
直线与平面垂直
?
平面与平面垂直
4、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题。
5、观察和推是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（二）应用举例，深化巩固
例1、（1）已知平面α、β和直线m，给出条件：
① m α ， ② m ⊥α ， ③ m
?
α ， ④ α ⊥β ， ⑤ α β。
① 当满足条件 时，有m β；
② 当满足条件 时，有m ⊥β。
（2）已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
① 若m α ，则m平行于平面α内任意一条直线；
② 若α β，m
?
α ，n
?
β，则m n；
③ 若m ⊥α，n ⊥β，m n，则α β；
④若α β，m
?
α，则m β。
上面命题中，真命题的序号是 。




例2、如图，在四棱锥P
—
ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱
PA垂直于底面，E
、
F分别是AB
、
PC的中点。
（1）求证：CD⊥PD；
P
F
A
E
B
C

62
D

（2）求证：EF 平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD。








例3：如图，在直三棱柱 ABC
—
A
1
B
1
C
1
中，底面△ABC 是直角三角形，∠ABC = 90°，
BC = BB
1
，且A
1
C∩AC
1
= D，BC
1
∩B
1
C = E，连结DE。
（1）求证：A
1
B
1
⊥平面BB
1
C
1
C；
（2）求证：A
1
C⊥BC
1
；
（3）求证：DE⊥平面BB
1
C
1
C。











课堂练习（作业）
1、如图，四面体ABCD中，O
、
E分别是BD
、
BC的中
点，CA = CB = CD = BD = 2，AB = AD =
2
。
A
1
B
1
D
A
B
E
C
1
C
A


63
D

O

B

E

C

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。






2、如图，已知
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3的正方体，点
E
在
AA
1
上，点
F
在
CC
1
上 ，且
AE?FC
1
?1
，
（1）求证：
E,B,F,D
1
四点共面；
D
1

C
1

A
1

B
1

2
（2）若点
G
在
BC
上，
BG?
，点
M< br>在
BB
1
上，
3
F

M

D

C

GM?BF
，垂足为
H
，求证：
EM?
面
BCC
1
B
1
；
（3）用?
表示截面
EBFD
1
和面
BCC
1
B
1
所成锐二面角大小，
求
tan
?
。


















64
E

H

G

A

B

第三章 直线与方程
3.1.1 直线的倾斜角和斜率
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
2、过程与方法：
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
（2）经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程。
3、情感态度与价值观：（1）通过直 线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关
系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表 达能力，数学交流与评价能力。
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数 形结合思想，培
养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
二、教学重点、难点
重点
：
斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
三、学法指导：
启发、引导、讨论。
四、教学过程：
（一）直线的倾斜角的概念
思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？
问题1：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？
问题2：过一点P可以作无数条直 线l
1
，l
2
，l
3
，…，它们都经过点P（组成一个直线 束），
这些直线区别在哪里呢？





定义 ：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾 斜角。
．．．

65

特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α = 0°。范围：0° ≤ α ＜180°。
当直线l与x轴垂直时，α = 90°。
当直线a ∥b ∥c，它们的倾斜角α相等，所以一个倾斜角α不能确定一条直线。
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素： 一个点和一个倾斜角. 。
．．．
P
．．．．．．．
α
．
（二）直线的斜率
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（
坡度(比)?
升高量
）
前进量
定义：一条直线的倾斜角α（α ≠ 90°）的正切值叫做这条直线的斜率。k = tan α
（1）当直线l与x轴平行或重合时，α = 0°，k = tan0° = 0；
（2）当直线l与x轴垂直时，α = 90°，k不存在。
如：α = 45°时，k = tan45° = 1；α =135°时，k = tan135° = – tan45° = – 1。
（三） 直线的斜率公式
问题：给定两点P
1
(x
1
, y
1
) , P
2
(x
2
, y
2
)，x
1
≠ x
2
，求直线P
1
P
2
的斜率。
（1）当α为锐角时，
Q(x
2
,y
1
)
， k?tan
?
?tan?P
2
P
1
Q?
|P< br>2
Q|y
2
?y
1
?
。
|P
1< br>Q|x
2
?x
1
（2）当α为钝角时，
Q(x
2,y
1
)
，
k?tan
?
??tan
???tan?P
2
P
1
Q??





结论（直线的斜率公式）：
k?tan
?
?
|P
2
Q|y?y
1
y
2
?y
1
??
2
?
。
|P
1
Q|x
1
?x
2
x
2
?x
1
y
2
?y
1
(x
1
? x
2
)
。
x
2
?x
1
思考：（1）当直 线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
（2）已知直线上两点
A(a
1
,a
2
),B(b
1
,b
2
)
，运用上 述公式计算直线AB的斜率时，与A
、
B两点坐标的顺序有关吗？

66

（3）当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
（四）例题巩固
例1：已知A (3 , 2) , B (– 4 , 1) , C (0 , – 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它
们的倾斜角是钝角还是锐角。
分析：
k
AB
?
11
，其倾斜角为锐角；
k
BC
??
，其
72
倾斜角为钝角；
k
AC
?1
，其倾斜角为锐角。
一般结论：
当k = tan α < 0时，倾斜角α是钝角；当k = tan α > 0时，倾斜角α是锐角；当k = tan α
= 0时，倾斜角α是0°。
例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1，– 1 ，2，及 – 3的直线l1
，
l
2
，l
3
及l
4
。
分析：要画出经过原点的直线，只要再找出l
1
上的另外一点
M，而M的坐标可以根据 直线l
1
的斜率确定。
（五）课堂练习：课本P86，练习1，2，3，4。
（六）归纳小结：
（1）直线的倾斜角和斜率的概念；
（2）直线的斜率公式：< br>k?tan
?
?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
。
x
2
?x
1
（七）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。
教学反思：










67

3.1.2 两条直线的平行与垂直
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件 ，会运用条件判定两直线是否
平行或垂直。
2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条 件，培养学生运用已有知识解决新问
题的能力, 以及数形结合能力。
3、情感态度与价值观 ：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功
意识，合作交流的学习方式,激发学生的 学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。
难点
：
启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的
关系问题。 < br>关键：
对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意
解决 好这个问题。
三、教学过程
（一）两条直线平行的条件
思考：设两条直线l
1
，l
2
的斜率分别为k
1
，k
2
，当l
1
l
2
时，
k
1
与k
2
满足什么关系？
探究：
l
1
l
2
?
?
1
?
?
2
?tan
?
1
?tan
?
2
?k
1
?k
2
。
结论：两条不重合的直线
l
1
l
2
?k
1
?k
2
（斜率存在）。
应用举例：
例1、已知A (2，3)，B (– 4，0)，P (– 3，1)，Q (– 1，
2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。
分析：作出图像如右，猜想BA PQ：
由斜率公式可得：
k
BA
?k
PQ
?
所以直线BA PQ。

1
，
2

68

例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A (0，0)，B (2，– 1)，C (4，2)，D (2，3)，
试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
分析：在直角坐标系作出图形如右，猜想四边形ABCD
为平行四边形：
k
BA
?k
CD
??
k
BC
?k
AD
?为平行四边形。
1
，所以AB CD；
2
3
，所以BC AD；所以四边形ABCD
2
追问：四边形ABCD是否为矩形？如何判断直线AB与BC垂直 ？（向量的数量积）
由此，欲判断ABCD为平行四边形，可以由
AB?DC
得到。
（二）两条直线垂直的条件
问题：设两条直线l
1
，l
2
的斜率分别为k
1
，k
2
，当l
1
⊥ l
2
时，k
1
与k
2
满足什么关系？
分析一：设两条直线l
1
与l
2
的倾斜角分别为α
1< br>与α
2
（
?
1
,
?
2
?90?），
如图，如果l
1
⊥ l
1
，这时
?
1
?
?
2
，由三角形任一外角等于
其不相邻两内角之和，得
?
2
?
?
1
?90?
，
因为l
1
，l

的斜率分别为k
1
，k
2
且
?
2
?90?
，由
tan
?
2?tan(
?
1
?90?)??
1
得
k
1k
2
??1
。
tan
?
1
分析二（向量法）：设l
1
与l
2
的交为为P (x
0
，y
0
)，
在l
1
与l
2
上分别取不同于点P的点
P
1
(x
1< br>,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)< br>，则
k
1
?
y
1
?y
0
y?y< br>0
,k
2
?
2
,PP
1
?(x
1< br>?x
0
,y
1
?y
0
),PP
2
? (x
2
?x
0
,y
2
?y
0
)
，
x
1
?x
0
x
2
?x
0
因为l< br> 1
⊥ l
2
，所以，
PP
1
?PP
2
?(x
1
?x
0
,y
1
?y
0
)?(x
2
?x
0
,y
2
?y
0
)
?(x
1
?x
0
)(x
2
?x
0
)?( y
1
?y
0
)(y
2
?y
0
)?0

两边同除以
(x
1
?x
0
)(x
2
? x
0
)?0
，得
k
1
k
2
??1
。
探究：当时
k
1
k
2
??1
，l
1
与l
2
的位置关系如何？

69

结 论：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
?? 1
。
应用举例：
例3、已知A (– 6，0)，B (3，6)，P (0，3)，Q (– 2，6)，试判断直线AB与PQ的位置
关系。
分析：
k< br>AB
?
23
,k
PQ
??,?k
AB
kPQ
??1?AB?PQ
。
32
例4、已知A (5，1 – 1)，B (1，1)，C (2，3)，试判断三角形ABC的形状。
分析：作出图形如右，猜想三角形ABC为直角三角形：
1
k
AB
??,k
BC
?2,?k
AB
k
BC
??1?AB?BC< br>，
2
所以三角形ABC为直角三角形。
（三）探究：
如果有一条直线的斜率不存在，两条直线平行或垂直的条件又
是什么？
结论：（1）两条直线的斜率都不存在时，它们互相平行；
（2）一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直。
（四）课堂练习：课本P89，练习第1，2题。
（五）归纳小结：
（1）两条直 线平行或垂直的条件：
l
1
l
2
?k
1
?k
2
，
l
1
?l
2
?k
1
k
2< br>??1
；
（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直；
（3）应用直线平行的条件，判定三点共线。
（六）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第5，6，7，8题；或[B组]第2，4，5，6题。
教学反思：








70

3.2.1 直线的点斜式方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定 一条直线的几何要素——直线上的一点和直
线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程 ；学生通过对比理解“截距”
与“距离”的区别。
3、情感态度与价值观：体会直线的斜截式 方程与一次函数的关系，培养学生数形结合
的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使 学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
2、难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学过程
（一）创设情景，导入新课
问题1：在直角坐标内，确定一条直线应知道哪些条件？
（1）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一
条直线。
（2）已知两点可以确定一条直线。
y
P
P
0
O
x
问题2：直线l经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为k。设点
P(x,y)
是直线l上的任意一点，
请建立
x,y
与
k,x
0
,y
0
之间的关系。
（二）研探新知
1、根据斜率公式，当
x?x
0
时，
k?
y?y
0
，即
y?y
0
?k(x?x
0
)
（1）
x?x
0
问题（1）过点
P
0
( x
0
,y
0
)
，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1） 吗？
是，由以上的推导过程可得。
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过
P0
(x
0
,y
0
)
，斜率为k的直线l上吗？

71

若点
P
，即
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
，若
x
1
?x
0
，则
1
(x
1
,y
1
)
的坐标
x
1
，
y
1
满足方程（1）
y< br>1
?y
0
，说明点P
1
与P
0
重合，于是可 得点P
1
在直线l上；若
x
1
?x
0
，则
k?
y
1
?y
0
，这
x
1
?x
0
说明过点P
1
和P
0
的直线的斜率为k，于是可得点P
1< br>在过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，斜率 为k的直线上。
2、直线的点斜式方程：方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点 斜
式方程，简称点斜式。
问题3：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
（1）x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？
（y = 0，x = 0）
O
x
y
P
0
（2）经过点
P
0(x
0
,y
0
)
且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什 么？
（y = y
0
，k = 0）
（3）经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方 程是什么？
（x = x
0
，k不存在）
3、直线的斜截式方程：
问题4：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），求直线l的方程。
结论：直线的斜截式方程：y = kx + b。
其中，直线l与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。
思考：截距是距离吗？
4、直线的斜截式方程与一次函数的关系：
（1）观察方程
y?kx?b
，它的形式具有什么特点？
左边的系数恒为1 ，右边x的系数k和常数b项均有明显的几何意义：k是直线的斜率，
b是直线在x轴上的截距。 （2）如何从直线方程的角度认识一次函数
y?kx?b
？一次函数中k和b的几何意义< br>是什么？请说出一次函数
y?2x?1,y?3x,y??x?3
图象的特点。
（三）例、习题剖析
例1、直线l经过点P
0
(– 2，3)，且倾斜角
?
?45?
，求直线l
的点斜式方程，并画出直线l。

72

分析：直线l的点斜式方程为y
–
3 = x + 2，图象如右。
例2、已知直线
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
，试讨论：
（1）
l
1
l
2
的条件是什么？ （2）
l
1
?l
2
的条件是什么？
结论：
l1
l
2
?k
1
?k
2
,
且
b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k1
k
2
??1
。
（四）课堂练习：
课本P95，练习1，2，3，4。

（五）归纳小结：
（1）本节课我们学过那些知识点；
（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？
（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
（六）作业：
课本P100，习题3.2 [A组] 第1（1）（2）（3），3，5。

教学反思：














73

3.2.2 直线的两点式方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：掌握直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法： 在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、
分析、应用获得新知识的特点。
3、情感态度与价值观：认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点
看问题。
二、教学重点、难点：
重点：直线方程的两点式。
难点：直线两点式推导过程的理解。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
思考：利用直线的点斜式方程解答下列问题：
（1）已知直线
l
经过两点< br>P
1
(1,2),P
2
(3,5)
，求直线
l
的方程。[
y?2?
3
(x?1)
]
2
（2）已知两点
P
求通过这两点的直线方程。
1
(x< br>1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2< br>)
其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
)
，
（二）讲授新课
1、直线的两点式方程：
问题解答 ：因为
x
1
?x
2
，所以
k?
y
2
?y
1
，由直线的点斜式方程，得：
x
2
?x
1
y?y
1
?
y?y
1
x?x
1
y
2?y
1
?(x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
)
为
(x?x
1
)
，因为
y
1< br>?y
2
，所以
y
2
?y
1
x
2?x
1
x
2
?x
1
直线的两点式方程。
说明（1）这个方程由直线上两点确定；
（2）当直线没有斜率或斜率为0时，不能用两点式求出它们的方程。（此时方程如
何得到？）
思考：若点
P
1
(x
1
,x
2
),P2
(x
2
,y
2
)
中有
x
1
?x
2
，或
y
1
?y
2
，此时这两点的直线方程是
什么？

74

（1）当
x
1
? x
2
时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：
x?x
1
；
（2）当
y
1
?y
2
时，直线与y轴垂直，直线方程为：
y ?y
1
。
2、直线的截距式方程：
例1、如图，已知直线l与x轴的交点 为A
(a,0)
，与y轴的交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b? 0
，求直线l的方程。
分析：由直线的两点式方程得：
直线的截距式方程。
其中，直线与x轴交点 (a , 0) 的横坐标a叫做直线在x轴的截距。
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线。
3、例题巩固：
例2、已知三角形的三个顶点A（– 5，0），B（3，– 3），C（0，2），求BC边所在直线
的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
分析：BC边所在直线的方程：由两点式方程即得：5x + 3y
– 6 = 0；BC的中点为M
(,?)
（中点坐标公式），所以AM
所在直线的方程为：x + 13y + 5 = 0。
拓展：（1）求BC边上的高线AH所在直线的方程；
（2）求线段BC的垂直平分线的方程。
（三）课堂练习：课本P97，练习1，2，3。
补充练习：1、下列四个命题中的真命题是（ ）
（A）经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线都可以用方程
y?y0
?k(x?x
0
)
表示；
（B）经过任意两个不同的点P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x2
,y
2
)
的直线都可以用方程
y?0x?a
xy????1
，为
ab
b?00?a
3
2
1
2< br>(y?y
1
)(x
2
?x
1
)?(x?x
1
)(y
2
?y
1
)
表示；
（C）不经过原点的直线都可以用方程
xy
??1
表示；
ab
（D）经过定点的直线都可以用
y?kx?b
表示。



75

2、求过点P (1 , 2) 且满足下列条件的直线方程：
（1）倾斜角的正弦值是
4
；
5
（2）倾斜角是直线
3x?y?3?0
的倾斜角的一半；
（3）倾斜角是直线x – 3y + 4 = 0的倾斜角的两倍；
（4）与直线3x – y + 5 = 0平行；
（5）与直线x – 2y – 3 = 0垂直。




3、（1）已知点A (7 , – 4)，B (– 5 , 6)，求线段AB的垂直平分线的方程。
（2）求过点P (1 , 2) 且到两坐标轴的截距相等的直线方程。
（3）求过点P (1 , 2) 且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小的直线方程。



（四）归纳小结：
（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
（五）作业：
课本P100，习题3.2 [A组] 1（4）（5）（6），4，8，9。

教学反思：







76

3.2.3 直线的一般式方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）探索并掌握直线方程一般式的形式特征；
（2）掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化的方法；
（3）了解在直角坐标系中，平面上的直线与x
、
y的一次方程是一一对应的。
2、过程与方法
通过直角坐标系中直线与二元一次方程对应关系的探究，体会直线的 一般式与平面上直
线的关系，学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情感态度与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法；
难点：平面上的直线与x
、
y的一次方程的一一对应关系。
三、教材分析：
1、提示概念内涵，反映客观事物的本质属性
（1）联系旧知识，引入新概念；—— 回顾直线方程的特殊形式，说明它们都具有局限
性，通过扩大概念的外延，引出新概念：一般式。 （2）充分用课本，剖析新概念；——“讲授新课”一段，分两个方面，每方面又分两种
不同情况进 行讨论；教学过程中又适当借助图形，最后得出“平面上的直线与二元一次方程
一一对应”的结论。 < br>（3）设计小例题，强化新概念；——例1具体地说明了直线方程的点斜式转化为一般
式，把握直 线方程一般式的特点；例2除了说明一般式化斜截式，由已知直线方程的一般式
求直线的斜率和截距的方 法，强化这堂课的新概念外，也重温了前面所学过的知识——由方
程如何画直线。
2、进行概念教学，注意运用数学方法，培养学生能力
（1）抓住课题是字母系数方程的机会，进行“两分法”教学，培养全面、系统、周密地讨

77

论问题的能力；
（2）抓住“特殊式”与“一般式”在一定条 件下可以互化，在解题中可以培养多向思维的
能力。
四、教学过程
（一）复习引入：
1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：
练习1：由下列条件，写出直线的方程：
（1）经过点A（8，– 2），斜率是
?
1
1
；（
y?2??(x?8)
）
2
2
（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（y – 2 = 0）
（3）经过点P
1
（3，– 2），P
2
（5，– 4）；（
y?(?2)x?3
?
）
?4?(?2)5?3
（4）在 x轴，y轴上的截距分别为
3
xy
，– 3。（
??1
）
3
2
?3
2
方 程 应用范围
k存在
k存在
2、直线方程的几种形式：
形式
点斜式
斜截式
条 件
过点
P
1
(x
1
,y
1< br>)
，斜率为k
斜率为k，在y轴的截距为b
y?y
1
?k(x?x
1
)

y?kx?b

y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
两点式
过不同两点
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)

k存在
k存在且
k?0
且不过原点
截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a、b
xy
??1

ab
思考：以上方程有什么共同的特点？
（二）讲授新课：
1、直线与二元一次方程的关系：
问题1：平面直角坐标系中的 每一条直线都可以用一个关于x
、
y的二元一次方程表示
吗？
对直线的倾斜角α进行讨论：
① 当
?
?90?
时，
y
O
78
l
x

直线斜率为
k?tan
?
，其方程可写成：
y?kx?b
，可变 形为：
（如图）
Ax?By?C?0
，其中：A = k，B = – 1，C = b；A
、
B不同时为零。
② 当
?
?90?
时，直线斜 率不存在，其方程可写成
x?x
1
的形式，
也可以变形为：
Ax?By?C?0
，其中：A = 1，B = 0，
C?x
1
。
（如图）
y
Ox
1
x

结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x
、
y 的二元一次方程
Ax?By?C?0
（A、B不同时为零）来表示。
问题2：每一个关于x
、
y的二元一次方程都表示一条直线吗？
对B分两种情况进行讨论：
① 当
B?0
时，
Ax?By?C?0
可化为：
y??
在y轴上的截距为
b??
ACA
x?
，它表示斜率为
k??
，
BBB
C
的直线；
B
C
，表示与y轴平行（
C?0
）
A
② 当B = 0时，则
A?0
，
Ax?By?C?0
可化为
x??
或重合 （C = 0）的直线。
结论2：任何关于x
、
y的二元一次方程
Ax?B y?C?0
（A
、
B不同时为零）都可以
表示平面直角坐标系中的一条直线。
2、直线的一般式方程：
把关于x
、
y的二元一次方程
Ax?By ?C?0
（A
、
B不同时为零）叫做直线的一般式
方程，简称一般式。 注：（ⅰ）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x
、
y的一次方程；
反之，每一个关于x
、
y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。
（ⅱ）直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化。
3、探究：
在方程
Ax?By?C?0
中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴； （2）平行于y轴；
（3）与x轴重合； （4）与y轴重合。
说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究。

79

4、练习2：把练习1中的直线方程化成一般式方程。
（三）例题剖析： < br>例1、已知直线经过点
A(6,?4)
，且斜率为
?
解：点斜式方程：
y?4??
4
，求直线点斜式和一般式的方程：
3
4
(x?6)
； （2）一般式方程：
4x?3y?12?0
；
3
例2、把直线l的一般式方程x – 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x
轴与y轴上的截距，并画出图形。
解：将直线l的一般式方程化成斜截式
y?
轴上的截距是3。
在直线l的方程x – 2y + 6 = 0中，令y = 0，得x = – 6，即直线在x轴上的截距是 – 6。
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A（– 6，0），B（0，3），过点A
、
B作直
线，就得直线l的图形（如图）。
注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式，再由截距式观察而得。
（四）课堂练习：课本P99，练习第2、3题。
（五）归纳总结
1、我们学到了什么？
（1）通过对直线方程的各种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程 的一般形式：
11
x?3
，因此，直线的斜率
k?
，它在y
22
Ax?By?C?0
（A
、
B不同时为零）
（2）通过直线方 程的一般式与特殊式的互化与解题，进一步理解直线方程解集和直线
上点集的一一对应关系，从而概括出 互推关系：
点
(x
0
,y
0
)
在直线
Ax?By?C?0
上
?Ax
0
?By
0
?C?0

2、数学思想方法：分类讨论思想、数形结合思想。
补充练习：1、已知直线l
1
，l
2
的方程分别是l
1
：A
1
x + B
1
y + C
1
= 0（A
1
，B
1
不同时为0），
l
2
： A
2
x + B
2
y + C
2
= 0（A
2
，B
2
不同时为0），且A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0，求证：l
1
⊥l
2
。
拓展：若l
1
l< br>2
，则A
1
、B
1
、C
1
、A
2< br>、B
2
、C
2
应满足什么条件？
（六）布置作业：课本P100，习题3.2 [A组] 第10、11题； [B组]第4，5题。
（七）教学反思：



80

3.3.1 两直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
（2）掌握直角坐标系两点间的距离公式，会用坐标法证明简单的几何问题。
2、过程和方法 ：（1）学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，归纳过定
点的直线系方程；
（2）推导两点间距离公式，充分体会数形结合的优越性。
3、情感态度与价值观：通过两直 线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间
的内的联系，能用代数方法解决几何问题。
二、教学重点、难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系，应用两点间距离公式解决几何问题。
三、教学方法：
启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点 与二元一次方程组的的相互关
系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一 次方程组解的问
题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
四、教学过程：
（一）两条直线的交点坐标
1、设置情境，导入新课
问题1：已知两条直线l
1
：3x + 4y – 12 = 0，l
2
：2x + y + 2 = 0相交，求这两条直线的
交点坐标。
问题2：已知两条直线 l
1
：A
1
x + B
1
y + C
1
= 0，l
2
：A
2
x + B
2
y + C
2
= 0相交，如何求这两
条直线的交点的坐标？
2、讲授新课
几何元素中，点A可用坐标A (a , b) 表示，直线l可用方程Ax + By + C = 0表示，因
此，求两条直线的交点坐标，可联立方程组求解（代数方法）。
结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；

81

（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
（3）若方程组有无数解，则两条直线重合。
练习：课本P104，练习1。
3、探究：当λ变化时，方程3x + 4y – 2 + λ (2x + y + 2) = 0表示什么图形？图形有何特
点？
演示：借助几何画板作出方程所表示的图形，改变的值。
猜想：方程表示一条直线，其共同特点是经过同一点，该点的坐标可由l
1
：3x + 4y – 2 =
0，l
2
：2x + y = 0的交点求得。
4、例题：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l
1
：x – y = 0，l
2
：3x + 3y – 10 = 0；
（2）l
1
：3x – y + 4 = 0，l
2
：6x – 2y – 1 = 0；
（3）l
1
：3x + 4y – 5 = 0，l
2
：6x + 8y – 10 = 0。
5、练习：P104，练习2。
（二）两点间的距离
1、情境设置，导入新课
复习：数轴上两点间的距离公式：|AB| = |x
2
– x
1
|。
思考：已知平面上两点
P
1
(x
1,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)，如何求P
1
，P
2
的距离？
2、讲授新课
解决问题：分别向x轴和y轴作垂线相交于点Q (x
2
, y
1
)，
所以
|P
2
Q|?|y
2
?y
1
|,|P
1
Q|?|x
2
?x
1
|，所以
22
|P(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

1
P
2< br>|?|P
2
Q|?|P
1
Q|?
（两点间的距离公式）
说明：（1）若P (x , y)，则
|OP|?x
2
?y
2
；
（2）公式的形式特点：勾股定理。
3、应用举例
例2、已知点A (– 1，2)，B (2，
7
)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值。
分析：设所求点P (x，0)，由|PA| = |PB|得
x?2x?5?x?4x?11
解得x = 1，
22

82

所以，所求点P (1，0)且
|PA|?(1?1)
2
?(0?2)
2
?22
。
例3、证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标 系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数
运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为
x轴，建立直角坐标系，有A (0 , 0)，设B (a , 0)，D (b , c)，由平
行四边形的性质的点C的坐标为 (a + b , c)，
因为
|AB|?a,|CD|?a,|AD|?b?c?|BC|
，
222 22222
|AC|
2
?(a?b)
2
?c
2
,| BD|
2
?(b?a)
2
?c
2
，
所以，
|AB|?|BC|?|CD|?DA|?2(a?b?c)?|AC|?|BD|
，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：是否还有其它的解决办法？（还可用综合几何的方法证明这道题。）
4、课堂练习：课本P106，练习1，2。
（三）课堂小结：
1、直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标；
2、两点间距离公式的推导及应用；
3、建立适当的直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决。
（四）作业：课本P109，习题3.3 [A组]1，3，5，7。
（五）教学反思





222222222

83

3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式； 会求两条
平行直线间的距离。
2、过程与方法：探索点到直线距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。
3、情感态度与价值观：认识事物之间在一定条件下的转化，会用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点
重点：点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式。
难点：点到直线距离公式的理解与应用。
三、教学内容分析
本节课是在研究了直线 的方程和两条直线的位置关系的基础上，探索如何用坐标和方程
来定量研究距离问题，既是对前面知识体 系的完善，又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置
关系奠定基础，具有承上启下的作用。同时，教材通过 让学生经历点到直线距离公式的探究
与应用过程，进一步体会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题 。
学生已经有的相关知识是：两点间距离公式，直线的倾斜角、斜率，直线方程的各种形
式， 直线间关系判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定
的用坐标法思想解 决问题的经验与各种具体方法。这一节课的任务是：给出已知点的坐标与
已知直线的方程，求点到直线的 距离，建立点到直线的距离的公式。从学生已经有的知识与
经验看，不难知道，可以把点到直线的距离问 题转化为点到点的距离问题，从而完成任务。
从课型来说，应该属于“问题教学”，以一个问题为载体 ，学生在教师的引导与帮助下，
分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。
通过一个数学问题的解决，让学生参与教学过程，在这个过程中，教师尊重学生的思维
过程，充分发挥 学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。
因此，本节课的重点是点到直线距离公式的建立，难点是选择恰当的解决问题的方法。
2、对 公式的推导，关键是“怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造直角三角形，从
而推出公式”。对于这个 问题，教材的处理是：直接作辅助线（呈现教材），这样做，无法展
现为什么会想到要构造直角三角形这 一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式

84

的推导 和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生
灌注式教学。事实上 ，为了真正实现以学生为主体的教学，起关键作用的是设计出有利于学
生参与教学的内容组织形式。 < br>因此，在备课时没有像教材中的那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和
铺垫，构建 出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用由特殊到一般
的方法，引导学生通过对 特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的直角三角形，
从而引出 | PQ |。在此基础上 进一步将特殊问题还原到一般，学生十分自然地想到在坐标系
中探寻令PQ的直角三角形，找不到，自然 想构造，此时再过点P作x轴和y轴的平行线就
显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。
本设计力求 以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破关
键，导出公式。
四、教学策略分析
1、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中构建和发展数学认知结 构的过程，
是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体、教师为主导”的启发式教学。 < br>2、根据“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，形成其健全个性”的
原则，力求 营造民主的教学氛围，使学生或显性（答问、板演等）或隐性（聆听、苦思等）
地参与教学全过程，给学 生以思考时空，让学生自己导出公式。
3、采用多媒体教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。
五、教学过程设计
（一）创设情景，提出问题
问题1：求点P
0
(– 1 , 2) 到直线l：3x = 2的距离。
问题2：求原点O到直线l：3x + 2y – 26 = 0的距离。
方法1：设直线交两坐标轴于A、B两点，则
A(
26< br>,0),B(0,13)
，从而
3
|OA|?
262613
,|OB|?13,|AB|?()
2
?13
2
?13
，
333
因为
S
?AOB
26
?13
|OA|?|OB|11
3
??213
。
?|OA|?|OB|?|AB|?d
，所 以
d?

13
|AB|
22
13
3
方法2 （求点H的坐标）：作OQ⊥l，垂足为Q，直线OQ的方程为2x – 3y = 0，与直

85

线l的方程联立，解方程组
?
两点间的距离公式得|OQ|?
?
3x?2y?26?0
?
x?6
，得
?< br>，所以点Q的坐标为 (6 , 4)，由
?
2x?3y?0
?
y?4
(6?0)
2
?(4?0)
2
?213
。
（二）类比探究，推导公式
问题3：已知点P的坐标为
(x
0
,y
0
)
，直线
l:Ax?By?C?0
，如何求点P到直线
l
的
距离呢？
学生首选坐标法（因为从问题2可以看出，坐标法比面积法简单。） < br>分析：设点P到直线
l
的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥
l
可知， 直线PQ的斜率为
B
A
（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由
l
与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据
两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线
l
的距离为d
王新敞
果真在运算时受阻，所有的学生都没有信心完整地算出，于是只有放弃。
自然的便有学生用面积法进行尝试，而此时问题便可迎刃而解：
设A ≠ 0，B ≠ 0， 这时
l
与
x
轴、过点P作
x
轴的平行线，交
l于点
R(x
1
,y
0
)
；
y
轴都相交 ，
作
y
轴的平行线，交
l
于点
S(x
0
, y
2
)
，
R
y
d
Q
o
S
l
x
P(x
0
,y
0
)
?
A
1
x
1
?By
0
?C?0
?By
0
?C?A x
0
?C
,y
2
?
由
?
得
x1
?
，
Ax?By?C?0
AB
2
?
0Ax
0
?By
0
?C
所以，｜PR｜=｜
x
0
?x
1
｜= ，
A
｜PS｜=｜
y
0
?y
2
｜=
Ax
0
?By
0
?C
，
B
A
2
?B
2
×｜
Ax
0
?By
0
?C
｜
AB
｜RS｜＝
PR?PS?
22
由三角形面积公式可知：d
·｜RS｜＝｜PR｜·｜PS｜，所以
d?
可证明，当A=0时仍适用。
（三）深入探究，发展思维
追问：用坐标法真的算不下去吗？你的目标是什么？
设
Q(x
1
,y
1
)
，所以
|PQ|?

Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
。 (x
1
?x
0
)
2
?(y
1
?y0
)
2
，已知条件：
86

k
PQ< br>?
y
1
?y
0
1BB
???,?y
1
?y
0
?(x
1
?x
0
)
，
Ax
1
?By
1
?C?0
，
x
1
?x
0< br>kAA
有必要求出
x
1
,y
1
吗？（没有必要，换元 法可以帮大忙。）
设
u?x
1
?x
0
,v?y
1
?y
0
,m?Ax
0
?By
0
?C
，则：
?
B
u?
?
?
v?u
??
?
?< br>A
?
?
v?
?
Au?Bv??(Ax
0
?B y
0
?C)??m
?
?
?
?mA
A
2?B
2
，
?mB
A
2
?B
2
(mA )
2
?(mB)
2
?
所以
|PQ|?u?v?
(A
2
?B
2
)
2
22
|m|
A?B
22
?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
2 2
。
可证明，当A = 0时仍适用。
归纳：点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
（四）知识迁移应用
例1、 已知点A（1，3），B（3，1），C（– 1，0），求三角形ABC的面积。
解：设AB边上的高为h，则S
△
ABC < br>=
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
。
1
|AB|?h
，
|AB|?4?4?22
，
2
AB边上的高h就是点C到AB的距离，AB边所在直线方程为x + y – 4 = 0。
所以点C到直线AB的距离
h?
|?1?0?4|
1?1
?< br>5
2
，因此，S
△
ABC
=
15
?22??5
。
2
2
例2、已知直线l
1
：
2x?7y?8?0
，
l
2
：
6x?21y?1?0
，
l
1
与
l
2
是否平行？若 平
行，求
l
1
与
l
2
间的距离。
分析： （1）因为
k
1
?k
2
?
2
，所以
l1
∥
l
2
；
7
（2）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
（3）如何取点，可使计算简单？
（4）推广到一般：已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax? By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22
。
（5）应用（4）的结论求解例2，应注意什么问题？

87

（五）课堂演练，巩固提高
课本P108、P109，练习。

（六）反思总结、深化认识
请学生谈谈自己的收获。
1、今天我们学习了点到直线 的距离公式，两条平行直线间的距离公式，要熟记公式的
结构，应用时要注意将直线的方程化为一般式。
2、当A = 0或B = 0（直线与坐标轴垂直）时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的
关系。
（七）作业
课本P109，习题3.3 [A组]9，10；[B组]2、4、5。

教学反思：


















88

第三章《直线与方程》小结与复习
一、教学目标
1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合应用知识的能力。
2、过程与方法：对 本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直
观，易于识记，同时凸现数学知识的发 展和联系。
3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会直线的方程及其相互联系，进一步培养学生的数形结合思想和解决问题的能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系。
难点：利用直线方程相关知识解决问题。
三、教学过程
（一）整合知识，发展思维
1、直线的倾斜角和斜率公式：
k?tan
?
?
2、直线方程的五种形式：
y
2
?y1
(x
1
?x
2
)
；
x
2
?x
1
k?
点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0)
两点式：
y
2
?y
1< br>x
2
?x
1
y?y
1
x?x
1
?< br>
y
2
?y
1
x
2
?x
1
过点（0，b） 过点（a，0），（0，b）
斜截式：
y?kx?b
截距式：
一般式：Ax + By + C = 0
3、两条直线的位置关系：
（1）两条直线相交：
求两条直线的交点（解方程组） ；两条直线垂直：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
。
（2）两条直线平行：：
l
1
l
2?k
1
?k
2
；
xy
??1

ab
d?
点到直线的距离公式：

Ax
0
?By< br>0
?C
A?B
22
d?
；两条平行直线间的距离：
C
1
?C
2
A?B
22
。

89

（二）应用举例，深化巩固
例1：直线
3x?y?3?0
的倾斜角是 。
变式：（1）若
0?
?
?
练习1：若
?
?
2
，则直线x cot α – y – 3 = 0的倾斜角是 。
?
2
?
?
?0
，则直线x cot α – y – 3 = 0的倾斜角是 。
（2）直线x sin α – y – 3 = 0的倾斜角的变化范围是 。
练习2：直线x cos α –
3
y – 3 = 0的倾斜角的变化范围是 。
（3）直线y = k x + 3必经过一定点，这个定点的坐标是 。
练习3：①不论m取何值，直线(m – 1) x – y + 2m + 1 = 0恒过一定点，这个定点的坐标
是 。
②若p , q满足p + 2q – 1 = 0，则直线p x + 3y + q = 0必过点 。

（4）若直线ax + y + 2 = 0与直线AB有交点，其中A (– 2 , 0) , B (4 , 2)，求a的取值范
围。

（5）上题中，直线ax + y + 2 = 0过定点P，AB的中点为D，求直线PD的方程。

（6）已知ΔABC的一个顶点A (1 , 3)，它的两条中线所在的方程为BE : x – 2y + 1 = 0
和CF : y – 1 = 0，求三角形各边所在的直线方程。


练习4：①ΔABC中，∠A的平分线所在的直线为x轴，若A (3 , 0) , B (1 , 2)，求AC边
所在直线的方程。


②ΔABC中，BC边上的高所在的直线方程为x – 2y + 1 = 0，∠A的平分线所在的直
线方程为y = 0，若点B的坐标为（1 , 2），求点A和点C的坐标。



90

例2、已知直线l
1
: y = x与
l
2:y??
3
x
，在两直线上方有一点P，P到l
1
, l
2
的距离
3
分别为
22
和
23
，又过 点P分别作l
1
, l
2
的垂线，垂足为A , B，求：
（1）点P的坐标； （2）|AB|的值。





（三）课堂练习（作业）
已知直线l : (2 + m) x + (1 – 2m) y – (4 – 3m) = 0，
（1）不论m为何值时，直线l恒过一定点P，求点P的坐标；
（2）若l夹在两坐标轴间的线段被点P平分，求l的方程；
（3）若l在x轴、y轴上的截距相等，求l的方程；
（4）若l与线段AB有交点，其中A (– 2 , 0) , B (4 , – 2)，求m的取值范围；
（5）设l与x轴、y轴的正半轴交于M , N两点：
① 若
S
?ABC
?
25
，求l的方程；
6
② 当S
ΔABC
取最小值，求l的方程；
③ 当|PM| |PN|取最小值时，求l的方程。

教学反思：









91

专题训练：对称问题
目标
：能运用直线方程的知识解决与直线有关的对称和最值问题。
一、基本对称：

点(1 , 2)
P (x
0
, y
0
)
直线Ax + By + C = 0
练习：2x + 3y – 6 = 0
方程：f (x , y) = 0
函数y = f (x)
规律
图象

应用：y = x
2
+ 2x + 3
(x –1)
2
+ (y +1)
2
= 4



















x轴








y轴








原点








直线y = x 直线y = - x








二、点对称（中心对称）
——图像旋转180°后重合
1、举出中心对称的例子：
如：正方形、正多边形、圆、奇函数的图像。
2、点与点对称：
例1：点M（4，3）关于N（5，– 3）的对称点是 。
一般结论：点P (x
0
, y
0
) 关于点Q (a , b) 的对称点是 。
解题思路：中点坐标公式。

3、直线关于点对称：
例2：直线y = 3x - 4关于点 (1 , 1) 对称的直线方程是 。
解题思路：（1）直线上任取两点，求关于 (1 , 1) 的对称点——确定一条直线；
（2）两对称直线平行，直线的方程可设为3x – y + m = 0，由点到直线的距离相等可得；
（3）设P (x
0
, y
0
)为直线y = 3x - 4上任一点，∴ y
0
= 3x
0
– 4 …… ①，

92

又P (x
0
, y
0
)关于 (1 , 1) 的对称点为P (x , y)，得
?
x?x
0
?1
?
?
x
0?2?x
?
2
?
代入 ① 即得。
??
y?yy? 2?y
0
?
0
?
?1
?
?
2
注： 本题用（2）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。
练习：1、方程x
2
+ y
2
= 1关于点（1，1）对称的方程为 。


2、点A (3，– 1) 关于点B（2，1）的对称点是 。


3、直线2x – y + 1 = 0关于点 (2 , 4) 对称的直线方程是 。
直线x + y + 1 = 0关于点 (2 , 3) 对称的直线方程是 。



三、轴对称（直线）
——沿直线翻折后图像重合
1、举出轴对称的例子：
如：正多边形、圆、偶函数的图像、互为反函数的图像。
2、点关于直线对称：
例3：点M (2 , 4) 关于直线l: 2x – y + 1 = 0的对称点是 。
解题思路：设N (x
0
, y
0
)，则l为MN的垂直平分线，得
y
0
?4
?
(1)PQ?l??2??1
?
x
0
?2
?

?
?
(2)PQ的中点M(
x
0
?2
,
y
0
?4
)在直线l上?2?
x
0
?2
?
y
0
?4
?1?0
?
2222
?
联立方程组求解。

练习：1、点M (2 , 3) 关于直线x + y + 1 = 0的对称点是 。



93

2、点 (4 , 0 ) 关于直线5x + 4y + 21 = 0的对称点是 。


3、点A (4 , 5) 关于直线l的对称点是B (- 2 , 7)，则l的方程是 。


3、直线关于直线对称：
例4：直线l
1
: x – y – 2 = 0关于直线l
2
: 3x – y + 3 = 0对称的直线方程为 。
解题思路：（1）夹角相等——求斜率；过交点——解方程组。
（2）l
1上任取一点，求关于l
2
的对称点坐标，所求直线必过对称点及交点。
（3）设P (x
0
, y
0
) 是l
1
上的任一点，∴ x – y – 2 = 0 …… ①
P关于直线l
2
的对称点为Q (x , y)， 得：
y?y
0
?
(1)PQ?l??3??1
2
?
x?x
0
?< br>
?
?
(2)PQ的中点M(
x?x
0
,
y ?y
0
)在直线l上?3?
x?x
0
?
y?y
0< br>?3?0
2
?
2222
?
把x , y看成常数，求得x
0
, y
0
，代入 ① 即得。
注：本题用（1）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。

练习：1、求直线2x + 3y – 6 = 0关于直线x + y – 1 = 0的对称直线方程。


2、已知直线l: x + y – 2 = 0，一束光线过点P (0 ,
3?1
) 以120°的倾斜角投射
到l上，经l反射后，求反射线所在直线的方程。


3、有一光线从点A (2 , 13) 射到直线l: 3x – 4y – 4 = 0以后，再反射到点
B (- 3 , 3) ，求这条光线的入射线的反射线所在直线的方程以及这条光线从A到B所经
过的路程。


94

4、光线沿着斜率为
13
的直线l
1
射在斜率为的直线l
2
上反射，若l
1
和l
2
的 交点
22
为点 (- 1 , 2) ，求反射线所在的直线方程。


一般结论：求直线Ax + By + C = 0关于直线y = ± x + b的对称直线的方程。
设P (x
0
, y
0
)，则Ax
0
+ By
0
+ C = 0，P关于直线y = ± x + b的对称点为Q (x , y)，
则有
?
?
y
0
?x?b
?
y
0
??x?b
或
?
。
y?x?b?x?y?by??x?b?x?b?y
0000
??< br>注：在解答题中，把满足的条件（方程组）写出后，可直接得出结论。
如：练习1，2。（检验）

四、最值问题
例5：已知P为x轴上一动点，A (0 , 3) , B (4 , 5) 为两定点，求 |PA| + |PB| 的最小值。


引申：求函数
y?


练习：1、求函数
y?
2、求函数
y?



例6：在直线l: x + y – 8 = 0上求一点M，使之与两定点A (- 4 , 0) 及B (4 , 0) 的距离之
和最短。



x
2
?4?x
2
?2x?10
的值域。
x
2
?4x?5?x
2
?4x?8
的值域。
x
2
?2x?5?x
2
?2x?2
的值域。

95

五、高考题选
1（93）和直线3x – 4y + 5 = 0关于x轴对称的直线方程是 。

2（90）如果直线y = ax + 2与直线y = 3x - b关于直线y = x对称，那么a = ,
b = 。

3（92）已知直线l
1
和l
2
夹角的平分线为y = x，如果l
1
的方程是ax + by + c = 0 (ab > 0)，
那么l
2
的方程是 。

4（91）点P (2 , 5) 关于直线x + y = 0的对称点坐标是 。

5（92）原点关于直线8x + 6y = 25的对称点坐标为 。

6（92上海）如果直线l与直线x + y – 1 = 0关于y轴对称，那么直线l的方程是 。

(x?3)
2
(y?2)
2
??1
关于直线x + y = 0对称，则椭圆C的方7（97）椭圆C与椭圆
94
程是 。

小结归纳：
对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴 对称用对称点连线
的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。特别是关于原点对称 、坐
标轴对称、直线
x
±
y
= 0对称都要熟练掌握。
最值问题常用的方法是目标函数法和几何法。






96

第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
（2）会用待定系数法求圆的标准方程。
2、过程与方法：进一步培养学生用解析法研究几何 问题的能力，渗透数形结合思想，
通过圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题 和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学 习数
学的热情和兴趣。
二、教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、教学过程：
（一）问题情境设置
问题1：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？
问题2：什么叫圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
问题3：在平面直角坐标系中， 任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，
圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方 程又有什么特征呢？

（二）探索研究
设圆的圆心坐标为A (a , b)，半径为r。（其中a
、
b
、
r都是常数，r > 0），求圆的方程。
分析：设M (x , y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是P = {M | |MA| = r}，
由两点间的距离公式可得出点M适合的条件
(x?a)?(y?b)?r

化简可得：
(x?a)?(y?b)?r

222
22

97

问题4：以上方程是否表示以为A (a , b)圆心，r为半径的圆？
结论：以A (a , b)为圆心，半径长为r的圆的标准方程为：
(x?a)?(y?b)?r
。
（三）知识应用与解题研究
例1：写出圆心为A（2，– 3），半径长等于5的圆的方程， 并判断点
222
M
1
(5,?7),M
2
(?5,?1)< br>是否在这个圆上。
分析：可以从计算点到圆心的距离入手。
圆的方程：
(x ?2)?(y?3)?25
；M
1
在圆上，M
2
不在圆上。
拓展：点M
2
是在圆内还是在圆外？
探究：点
M(x
0< br>,y
0
)
在圆
(x?a)?(y?b)?r
内的条件是什么？ 在圆外呢？
结论：点
M(x
0
,y
0
)
与圆(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法：
2222
22
（1）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
，点在 圆外；（2）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
=
r< br>，点在圆上；
22
2
（3）
(x
0
?a)?(y< br>0
?b)
<
r
，点在圆内。
22
222
222

例2：△ABC的三个顶点的坐标是
A (5,1),B(7,?3),C(2,?8),
求它的外接圆的方程。
分析：从圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
可知，要确定圆的标准方程， 可用待
定系数法确定
a、b、r
三个参数。[
(x?2)?(y?3)?25
]

例3：已知圆心为
C
的圆经过点
A(1,1)
和
B(2,?2)
，且圆心在直线
l:x?y?1?0
上，
求圆心 为
C
的圆的标准方程。
分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心 为
22
222
C
的圆经过点
A(1,1)
和
B(2 ,?2)
，由于圆心C与A，B两点的距离
相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又 圆心C在直线
l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于
CA
或
CB
。
归纳：求任意△ABC外接圆的标准方程的两种求法：
（1）根据题设条件 ，列出关于
a、b、r
的方程组，解方程组得到
a、b、r
得值，写出

98

圆的标准方程。
（2）根据确定圆的要素，以及题设条件 ，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出
圆的标准方程。
（四）练习反馈：课本P120练习。

（五）提炼小结：
（1）圆的标准方程；
（2）点与圆的位置关系的判断方法；
（3）根据已知条件求圆的标准方程的方法。

（六）作业：课本124习题4.1第2、3、4题。

教学反思：


















99

4.1.2 圆的一般方程
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程
的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0
表示圆的条件。
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数
法求圆的方程。
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法：通过对方程x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培
养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情 感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生
的整体素质，激励学生创新，勇于 探索。
二、教学重点、难点
重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化 ，根据已知条
件确定方程中的系数：D、E、F。
难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
三、教学过程：
（一）课题引入
思考：方程x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 1 = 0表示什么图形？方程x
2
+ y
2
– 2x – 4y + 6 =
0表示什么图形？
思路分析：以上是关于x，y的二元二次方程，与圆的标准方程进行比较，得
知应进行配方：
(x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4表示圆；(x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= – 1不表示任何图形。
拓展问题：方程
x?y?Dx?Ey?F?0
表示什么图形？
（二）探索研究

100
22