高中数学知识点分析北师大版必修2

高中数学必修2知识点
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角 < br>定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线
与x轴平行或重合 时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°
≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 。直
线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
?
?0
?
,90
?
?
时，
k? 0
； 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不
存在。
②过两点 的直线的斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
?
注 意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率 不存在，倾斜角
为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序 无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的
坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。
当直线的 斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表
示．但因l上每一点的横坐标都等于x< br>1
，所以它的方程是x=x
1
。
②斜截式：
y?kx?b< br>，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
（
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2< br>?

?
y
2
?y
1
x
2
? x
1
④截矩式：
?
y
?1

b
其中直线< br>l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分 别
x
a
为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为
常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

1

（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的 常数）的直线系：
A
0
x?B
0
y?C?0
（C为常数）
（二）垂直直线系
垂直于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的 常数）的直线系：
B
0
x?A
0
y?C?0
（C为常数）
（三）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
y?y
0
?k< br>?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线
系方程为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为参数）
（5）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k< br>2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（7 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（8）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A? B
22

（9）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，

2

定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
22
（2）一般方程< br>x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

当
D< br>2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
r?
1
D
2
?E
2
?4F
2
?
DE
?
?
?,?
?
2
??
2
，半径为

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示
任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆
的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心
的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心< br>C
?
a,b
?
到l的距
离为
d?
Aa?Bb ?C
A?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与 C相切
；
d?r?l与C相交

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证 是否成立②k存在，设点斜式方程，
用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)，则过此点
的 切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比
较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确
定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

3

当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
几何特征：两底面是对应边平行的全 等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；
侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比< br>等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱
锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：①底面 是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④
侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图
是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：主视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；左视图（从左向
右）、
俯视图（从上向下）
注：主视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度； 左视图
反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

2
S
圆锥侧面积
?
?
rl


4

S
正棱台侧面积
?
1
(c
1?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
S< br>圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'22
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

V
圆台
?(S?SS?S)h?
?
(r?rR?R)h
< br>33
3
（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R
2

3
4、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个
平面内。
应用： 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A??
,B?
?
?l?
?

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行
直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的
依据
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公
共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
P?AIB?AIB?l,P?l

公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线
是异面直线
④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条
异面直线所成角 的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们
就说这两条异面直线互相垂直。
求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到 某个特殊的
位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用
三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相

5

等或互补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．



三种位置关系的符号表示：a
?
α a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此
平面平行。
线线平行
?
线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行
?
线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平 行。（面面平
行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行
→线线平行）
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直
线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和
这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个
半平面所组成的 图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂
直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

6

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他 们的交线的直线
垂直于另一个平面。
9、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0
?
。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所
成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平
行的直线
a
?
,b
?
，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角
叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
?
。 ②平面的垂线与平面所成的角：
规定为
90
?
。
③平面的斜线与平 面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐
角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时， 注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过
斜线上的一点或过斜线的平面与 已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条
直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于
． ．．．．
棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 ，那么这两个平面垂直；反过来，
如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平
面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线
所成的角为二面角的平面 角


7