高中数学-三角函数知识点(1)

三角函数知识点
知识点 内 容 典 型 题
1.

α
是第一象限角，则
2α
是第

象
限的角
.
2.

终边在
＝－
x
上的角的集合是
.
理解角的定义

角的相
正角、负角、零角的定义

关概念
象限角与轴线角的表示

3.

与－
135°
与角
α
终边相同的角的集合为：

角终边相同的角的集合为：
{β│β
＝
α
＋
k·360°
，
k
∈
Z
}

，或

.

终边相
2
π
，
k
∈
Z
}
或
{β│β
＝
α
＋
k·
4.

在－
720°
同的角 ～
720°
之间的与－
60°
角终
注意：角度与弧度不能混用.
边相同的所有角为
.
两个终边相同的角相差＝
2kπ ( k
∈
Z
)
l
α
的弧度数的绝对值：
│
α
│
＝

角
弧度制

R
、角度

180°
＝
π
弧度

弧度的
p
1°
＝弧度
≈0.017453
弧度

180
换算

1
弧度
≈57.3°
＝
57°18′
nR
弧长

L
弧长
＝
│
α
│R
＝
p

180
扇形

2
11
nR
p
面积

S
扇
＝
2
L
R
＝
2
│
α
│
R
2
＝
360

5.

π

rad
＝
°.
6.

315°
＝
rad .

7.

75°
＝
rad .

8.

已知扇形的半径为
10cm
，圆心角为
3
π rad
，则弧长为
cm
.
4
9.

一个半径为
5 cm
，面积为
15cm
2
的
扇形的圆心角为

弧度
.
5
8
y
r
x
余弦
cos
α
＝

r
三角函
正切
tan
α
＝
y

x

x
数定义
余切
cot
α
＝

y
r
正割
sec
α
＝

x
r
余割
csc
α
＝

y
点
P(x , y)
是角
α
的终边上一点，
10.

已知角
α
终边上一点
P
（
m
，< br>m
＋
r
＝
│OP│
＝
x
2
＋
y
2
，则：

10），且tan
α
＝－4，则
m
＝ .
正弦
sin
α
＝

y
O
11.

己知
cosQ
＝
3
, P( m,
－
1)
是角
Q
2
x
终边上的一点，则
m
＝

.

12.

已知角
α
终边上一点
P（3，
m
），
且cos
α
＝，则
m
＝ .
13.

已知角
x
终边上一点
P
（－
1
，－
2
），
则的
tanx
＋
cosx
的 值是

.
14.


已知角
α
终边上一点
P
（
x
，
1
），
且
tanα
＝－
3
，则
x
的值是

.
P
( , )
x
y
3
5
yyy
－
x
－
x
－
x
三角函
－

－

－

限的角
.
OOO
数在各< br>－
－
－－
－
－
16.

若
sinα·cosα
＜
0
，则
α
是第

象
象限的
sinα
、
cscα cosα
、sec
α tanα
、
cotα
限的角
.

符号
三角函数知识点
1

15.

tan
α
＞
0
且
cos
α
＜
0
，则
α
是第

象

知识点 内

容

平方
sin
2
α
＋
cos
2
α
＝
1
sec
2
α
－
tan
2
α
＝
1
17.

sin
α
＝－
3
5
典 型 题
12
，那么
cos
α
＝

；

13
同角三
角函数
的基本
csc
α< br>－
cot
α
＝
1
商
tan
α
＝
sin
a
cos
a

，
cot
α
＝
cos
a
sin
a
22
18.

cos
α
＝，
sinα
＜
0
，则
tan
α
＝

；

19.

tan
α
＝
－
4, cos
α
＞
0,
则
sin
α
＝

20.

tan
α
＝
2
，则
sin
α
·cos
α
＝

；

sin
a
－
2cos
a
＝
.
3sin
a
＋
cos
a
21.

tan1°tan2°tan3°…tan88°tan89°
＝
.

cot
α
＝
1
关系
倒数
tan
α
·
sin
α
·csc
α
＝
1

cos
α
·sec
α
＝
1

cos(
－
α
)
＝
cos
α

sin(
－
α
)
＝－
sin
α

tan(
－
α
)
＝－
tan
α

cos(
α
＋
k·2
π
)
＝
cos
α
sin(
α
＋
k·2
π
)
＝
sin
α

tan (
α
＋
k·2
π
)
＝
tan
α

诱导
诱导公式记忆：
符号看象限，奇变偶不变
.

利用诱导公式计算或化简三角函数式的

一般步骤：

公式
tan203
?
sin330
?
＝
.
cos225
?
tan517
?
23.

sin
2
392°
＋
cos
2
148°
＝
.
22.

24.

tan(
－
840°)
的值是
.
17
p
25.

cos(
－
)
＝
.
6
19
p
26.

sin
（）＝
.
3
1
27.

sin(π
＋
α
)＝
,
则
cos(π
＋
α
)
＝
.
3
⑴把所有负角的三角函数化为正角的
1
5
p
三角函数 ；

28.

若
sin(
－
α
)
＝，则
cos(3π
＋
α
)
⑵把一般角的三角函数化为
0 °
～
360°
范
3
2
围内的三角函数；

＝
.
⑶
然后
0°
～
90°
的三角函数；

3
p
A
1
29.

若
tan
＝，则
cos(
－
A)
＝
.
⑷
计算特殊角的三角函数值
.
2
2
2
即：负 化正
←→
大化小
←→
小化锐

sin(
α
±
β
)
＝
sin
α
cos
β
±
c os
α
sin
β
30.

sin63°cos18°sin63°
－
cos18°
＝
.

31.

cos48°cos12°sin12°
－
sin48°
＝
.
cos(
α
±
β
)
＝
cos
α
cos
β
?
sin
α
sin
β
tan(
α
±
β
)
＝
tan
a
?tan
?

1?tan
a
tan
?
和角
差角
公式
32.

tan23
?
+tan37
?
＝

.
1
－
tan23
?
tan37
?
倍角
公式

及

万能
公式
sin2
α
＝
2sin
α
cos
α
cos2
α
＝
cos
2
α
－
sin
2
α
＝
2cos
2
α
－
1
＝
1
－
2sin
2
α

tan2
α
＝
sin2
α
＝
2tan
a

1
－
tan
2
a
33.

1
sin15°cos15°
＝

，

2
2tan
a

1
＋
tan
2
a
1
－
tan
2
a
cos2
α
＝

1
＋
tan
2
a
34.

1
－
2sin
2
67.5°
＝
.
1
35.

cos
2
15°
－＝
.
2
36.

若
tan
α
＝
2
，则
sin
α
cos
α
＝
.
37.

若
sin2
α
＝
,
α
为第一象限角，

则
sin
α
＋
cos
α
＝
.
4
5
三角函数知识点
2

知识点
cos＝±
半角

公式
内

容

1
＋
cos
a
a

2
2
1
－
cos
a
a
sin＝±
2
2
1
－
cos
a
a
tan＝±
1
＋
cos
a
2
1
－
cos
a
sin
a
＝＝
sin
a
1
＋
cos
a
典 型 题
1
半角公式
38.

cos
2
15°
－＝

.
2
根号前的
B
正负号，
39.

在
△AB C
中，若
cosAcos
2
－
2
由α2角
AA所在的象
sincossinB
＝
0
，
∠A
＝
∠C.
求证：
22
限确定.
①根据已知三角函数值确定所求
角在第几象限或终边落在坐标轴上的
位置；
②求出这个三角函数值的绝对值
40.

∠A
是△
ABC
的一个内角，且
tan(B+C)
＝－
3
，则
∠A
＝（

）

A
.
30° B
.
45° C
.
60° D
.
90°
41.

若
α
、
β
∈
(0
，)
且
tan
α
＝
,
p
2
3
4
已知三
所对应的一个锐角α
1
；
1
角函数
③写出0°～360°间的适合条件的
tan
β
＝ ，则

α
＋
β
＝（

）

7
值求角
A.30° B.45° C.60° D.90°
的步骤
角，其中第二、三、四象限的角依次是
1
180°－α
1
、180°＋α
1
、360°－α
1
；
42.

已知
sin
α
＝－，求
α
.
2
④
根据终边相同的角的同一个三
1

α
已知＝－，
α
∈
(
－
2π
，
2π),
角函数值相等，写出适合条件的所 有
2
角
.
求
α
.
三角函数
y
＝
sin x
，
y
＝
cos x
的最
小正周期是
2
π
；

三角函数
y
＝
tan x
，
y
＝
cot x
的最
44.

函数
y
＝
5sin(
x< br>p
+
)
的最小正周期
26
是

；最小值是
.
三角

小正周期是
π
.
45.

若函数
y
＝
3sin
ω
x
的最小正周期为

函数

正弦型
y = Asin(wx
＋
φ)
、余弦型
y
4π
，则
ω
＝
.
的最

=Acos(wx
＋
φ)
函数最小正周期的确定：

小正

46.

函数
y
＝
2cos
2
x
－
1
的最小正周期为
2
p
周期


最小正周期
T
＝
w
＝
.
函数最大值
y
max
＝
│A│
函数最小值
y
min
＝－
│A│
xx
?3cos
的最小正
22
周期是 ；最大值是 .
2
48. △ABC的内角A满足sin2A＝，
3
则sinA+cosA＝( )
15
15
55
A. B.－ C. D.－
3
33
3
47. 函数y＝sin
22
asin
?
?bcos
?
?a?bsin(
?
?
?
)
辅助角
因此：

公式

│asin
?
±
b cos
?
│
≤
a
2
?b
2


三角函数知识点
3

知识点
正弦

定理

内

容

bc
a
=== 2R
sinA
sinBsinC
（
R
为三角形外接圆半径）

典 型 题
49.

三角形
ABC
中
,a
＝
2 , b
＝
2
,
∠A
＝
45°,
则
∠B
＝
.
50.

在△
ABC
中，
AB
＝
4 , BC
＝
5 , AC
＝
7
，则
cosB
＝
.
51.

三角形
ABC
中
,
若
a2
－
b
2
－
c
2
＝
22
a< br>2
＝
b
2
＋
c
2
－
2bc cosA
b
2
＝
c
2
＋
a
2
－
2ac cosB
c
2
＝
a
2
＋
b2
－
2ab cosC
余弦

定理

求角公 式：
cosA
＝
b
＋
c
－
a

2 bc
c
2
＋
a
2
－
b
2

cosB
＝
2ac
a
2
＋
b
2
－
c
2
cosC
＝
2ab

2
2
bc,
则
∠A
＝

.

52.

三角形
ABC
中
,
若
a
∶
b
∶< br>c
＝
3
∶
5
∶
7,
则最大角
∠C
＝
.
53.

三 角形
ABC
中
,
若
acosB
＝
bcosA
，
则三角形
ABC
是

三角形
.
111
Sahbh
a
＝
b
＝
ch
c
S
三角形
?ABC
＝
54.

边长为
1
的正三角形的面积
222
面积
为
.
111
＝
absinC
＝
bcsinA
＝
ac sinB

公式

222

三角函数的常用性质：

函数

定义域

值域

x
＝
2kπ
＋
y
＝
sin x
R

[
－
1
，
1]
y
＝
cos x y
＝
tan x
{x
│
x
≠
kπ
＋
y
＝
cot x
{x│x
≠
kπ
}

p
}

2
R

p
, y
max
＝
1
x
＝
2kπ
，
y
max
＝
1
2
极值

p
x=2kπ
＋
π
，
y
min
=
－
1
x
＝
2kπ
－
, y
min
＝－
1
2
最小正周期

无

无

2π
[2kπ
－
[(2k
－
1)π
，
2kπ]
增函数

[2kπ
，
(2k
＋
1)π]
减函数

偶函数

有界函数

│cosx│
≤
1
π
pp
，
2kπ
＋
]
22
增函数

单调性

3
p
p
[2kπ
＋，
2kπ
＋
]
2
2
减函数

奇偶性

有界性


奇函数

有界函数

│sinx│
≤
1
(kπ
－
pp
, kπ
＋
)
22
增函数

[kπ , (k
＋
1)π]
减函数

奇函数

无界函数

奇函数

无界函数

三角函数知识点
4