高中数学课程标准导读-高中数学极限概念
让我
再看你一
眼
高中数学知识点回顾
姓名:
答 题 技 巧
一、技术矫正:
考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学
们注意:
⑴、按序答题,先易后难:一定要选择熟题先做、有把握的题目
先做;
⑵、不能纠缠在
某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千
万不能感觉自己被卡住,这样会心慌,影响下面做题的情
绪;
⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位,不要先做一下,
等回过头来再想
再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上
再来思考;
⑷、做某一选择题时如果
没有十足的把握,初步答案或猜估的答
案必须先在卷子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要
是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。
二、规范化提醒:
这是取得高
分的基本保证,规范化包括:?解题过程有必要的文
字说明或叙述;?注意解完后再看一下题目,看你的
解答是否符合题
意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分,总之,要
吃透题“情”
;?合理分配时间,做到一准、二快、三规范,特别是
要注意解题结果的规范化。
例如:
⑴、解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不
等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通
解中必须加
k?Z.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号
或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间
用逗号隔开;
⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”,如利用法向量求
出的空间角的余弦,应用题等都要作答;
⑶、分类讨论题,最后一定要写综合性结论;
⑷、任何结果要最简.如
2
?
1
,
42
1
2
?
2
2
等.
⑸、排列组合题,无特别声明,要求出数值.
⑹、函数解析式后面一般要注明定义域;
⑺、参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围;
⑻、注意轨迹与轨迹方程的区
别:轨迹方程一般用普通方程表示,
轨迹则需要说明图形形状,且有条件限制的轨迹方程必须注明
x
或
y
的范围.
三、考前寄语:
①、先易后难,先熟后生;
②、一慢一快:审题要慢,做题要快;
③、不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做;
④、我易人易我不大意,我难人难我不畏难;
⑤、考试不怕题不会,就怕会题做不对;
⑥、基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识
题力争不失分;
⑦、对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上
水平,有时“放弃”是一种策略。
让 我 再 看 你 一 眼
——
高中数学知识点回顾
一、集合与简易逻辑
1、常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集
;有理数集 ;
实数集 ;正实数集 。
2、注意区分集合中元素的形式,如:
2
A?{x|y?x?1}
表示 ;
2
B?{y|y?x?1}
表示
;
2
C?{(x,y)|y?x?1}
表示
;
D?{z|y?x?2x?1,z?
2
y
}
表示
;
x
3、空集是指不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集,也是任何非空集合的真子集。
(1)注意
{0}
、
?
和
{
?
}
的区别:
{0}
表示
;
?
表示
;
{
?
}
表示 。
(2)注意:当条件为
A?B
时在讨论的时候不要遗忘了
A??
的情况
如:
A?{x|ax?2x?1?0}
,如果
A
2
R
?
??
,则
a
的取值为
.
4、含
n
个元素的集合的子集个数为 ;真子集个数为
。
5、若
p?q
且
q??p
,则
q
的
条件是
p
6、注意命题的否定与它的否命题的区别:
命题
p?q
的否定是 ,
p?q
的否命题是
;命题“
p
或
q
”的否定是
;
“
p
且
q
”的否定是
;命题“
?x?R,f(x)?M
”的否定是 。
二、函数
1、映射
f
:
A?B
:
(1)集合
A
中的元素在
B
中必有象且
A
中不同元素在B
中可以有 ;
(2)集合
B
中的元素在
A
中不一定有 。
(3)若
A?{1,2,3,4}
,
B?{a,b,c}
;问:
A<
br>到
B
的映射有 个,
B
到
A
的映射有
个;
2、复合函数
f[g(x)]
的定义域:
(1)若
f(x)
定义域为[-1,2],则f(21)的定义域为 ;
(2)若f(x)定义域为[-1,2],则f(x)的定义域为 ;
3、复合函数单调性由“同增异减”判定。
即:对于复合函数
f[g(x)]
,设
t?g(x)
,若
t关于x
的单调性与
f关于t
的单调性相同时
f[g(x)]
就
是
x
的 ;若<
br>t关于x
的单调性与
f关于t
的单调性相异时
f[g(x)]
就是
x
的 。
提醒:(1)求单调区间时要注意定义域;(2)单调性一般用区间表示,不能用集合表示。
2
如:函数
y?log
1
(?x
2
?2x)
的单调递增区间是
_____________
.
2
4、函数的奇偶性
(1)函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于 ;
(2)若
f(x)
是偶函数,则
f(x)?f(?x)?
;
如,偶函数
f(x)
在上是增函数,则不等式
f(2x)?f(x?1
)
的解集为 ;
(0,??)
(3)定义域内可取零的奇函数必满足 ;
(4)
f(x?a)
是偶函数
?f(x?a)?
;
))
(5)若
f(x)
是偶函数,则
f(x?1
的对称轴是
;若
f(x?1
是奇函数,则
f(x)
的对称
中心是
。
5、函数图象的几种常见变换
(1)平移变换:左右平移“左加右减”(注意是针对
x
而言);
上下平移“上加下减”(注意是针对
f(x)
而言).
(2)翻折变换:
y?f(x)?
y?f(|x|)
;
y?f(x)?y?|f(x)|
.
(3)伸缩变换(
a?0
):
f(x)?f(ax)
;
f(x)?
af(x)
(4)对称变换:
函数
f(x)
的图像与
f(?x)
的图像关于 对称;
函数
f(x)
的图像与函数
?f(x)
的图像关于
对称;
函数
f(x)
的图像与函数
?f(?x)
的图像关于
对称;
函数
f(x)
的图像与它的反函数的图像关于
对称;
若函数
f(x)
满足
f(a?x)?f(b?x)<
br>,则
f(x)
的图像关于 对称;
b?a
对称(由
a?x
2
对于两个函数<
br>y?f(a?x)
,
y?f(b?x)
,则它们图像关于直线
x?
?b?x
求得)
6、反比例函数:
定义域
值 域
单调性
y?
a
(x?0)
x
y?c?
a
(x?b)
x?b
a?0
a?0
对称中心
渐近线
7、双钩函数(又叫函数)
y?x?
k
(k?0)
x
定义域: ;值域:
;
奇偶性: ;
单调性: 是增函数;
是减函数。
x
8、指数函数:
y?a(a?0,a?1)
定义域
值 域
函数值
0?a?1
a?1
x?0
x?0
单调性
9、对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
定义域
值 域
函数值
0?a?1
a?1
x?0
x?0
单调性
注意:(1)
y?a
x
与
y?log
a
x
的图象关系是 ;
(2)对数运算法则: ;
; ;
(3)
log
a
n
b?
;换底公式:
;对数恒等式: ;
(4)已知函数
f(x)
?log
1
(x?kx?2)
的定义域为
R
,则
k
的取值范围为 。
2
2
m
(5
)已知函数
f(x)?log
1
(x?kx?2)
的值域为
R
,则
k
的取值范围为 。
2
2
10、
f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a;
f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
max
?a
三、导数
1、导数的定义:
f(x)
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
?x?0
.
2、函数
y?f(x)
在点<
br>x
0
处的导数的几何意义:曲线
y?f(x)
在点
P(x0
,f(x
0
))
处切线的斜率,
即曲线
y?f(
x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
是
f
?
(x
0
)
,切线方程为
y?f(x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
(x)
?
= ;
(sinx)
?
=
;
(cosx)
?
= ;
3、常见函数的导数公式
C
?
(
C
为常数);
(log
a
x)
?
=
;
(a
x
)
?
= ;
(e
x
)
?
= ;
(lnx)
?
= 。
4、导数的四则运算法则:
[f(x)?g(x)]
?
?
;
[f(x)?g(x)]
?
?
;
[
n
f(x)
]
?
?
g(x)
5、利用导数判断函数的单调性:
设函数
y?f(x
)
在某个区间内可导,如果
f
?
(x)?0
,那么
f(x)
为
;如果
f
?
(x)?0
,那么
f(x)
为
。
6、利用导数求函数极值:
若
x?x<
br>0
方程
f
?
(x)?0
的根,当
x?x
0<
br>时
f
?
(x)?0
且
x?x
0
时
f
?
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在
x?x
0
处取得 值;当
x?x
0
时
f
?
(x)
?0
且
x?x
0
时
f
?
(x)?0
,那么
函数
y?f(x)
在
x?x
0
处取
得最大值;那么函数y?f(x)
在这个根处取得 值;
将
y?f(x)
在[a,b]
内的极值与
f(a)
、
f(b)
比较,其中最大的一
个为最大值,最小的一个为最小值。
7、定积分
(1)定积分概念:设函数f
(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x
0
<…<
-<
br>1
<<…=b把区间[a,b]
等分成n个小区间,在每个小区间[
-
1
,]上取任一点
ξ
i
(i=1,2,…n)作和式=
?
f
(ξ)△x(其中
i
n
i=1
△x为小区间长度),把n→∞即△x
→0时,和式的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记作:
?
b
a<
br>f(x)dx
,即
?
f(x)dx
=
lim
?
f
(ξ
i
)△x。
a
b
n
n??
i?
1
这里,a与b分别叫做定积分的下限与上限。区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函
数,x
叫做积分变量,f(x)叫做被积式。
(2)定积分的计算:
如果f(x)是区间
?
a,b
?
上的连续函数,并且
F
?
(x)?f(x),
那么
?
a
f(x)dx?
F(b)(a)。这个结论叫
b
做微积分基本定理。又叫莱面尼兹公式。
称F(x
)为f(x)的原函数,
为了方便,我们常常把F(b)(a)记成
?
b
a<
br>f(x)dx?F
?
x
?
a
?F
?
b
?
?F
?
a
?
b
(3).定积分求曲边梯形面积
由三条直线x=a,x=b(a积
S??
a
f
?
x
?
d
x
b
如果图形由曲线y
1
=f
1
(x)
,y
2
=f
2
(x),及直线x=a,x=b(a求图形的面积
S??
a
f
1
?
x
?
?f
1
?
x
?
d
x
b
(6)定积分的物理应用:.
物体做变速直线运动经过的位移s等于其速度函数(t)在时间区间
?
a,b
?
上的定积分
s??
a
v
?t
?
d
t
。
b
如果物体沿与变力F(x)相同的
方向移动,那么从位置到变力所做的功
W??
a
F
?
s
?<
br>d
s
b
四、不等式
1、均值不等式(又称基本不等式):
若
a
i
?
0(i
?
1,2,
?
,
n)
则
a
1
?a
2
?
?
?a
n<
br>n
?a
1
?a
2
?
?
a
n
,在
a
1
?a
2
???a
n
时取等号。
n
如:①若正数
x,y
满足
x?2y?1<
br>,则
11
?
的最小值
xy
②已知
0?x?
1
2
,则
y?x(1?5x)
的最大值
。
5
2
③
y?sinxcosx
,
x?
(0,
?
2
)
的最大值 。
2、绝对值的三角不等式:
|a|?|b|?
;
3、柯西不等式:
设
a
i
,b
i
?R
,则
(a<
br>1
?a
2
???a
n
)(b
1
?b
2
???b
n
)?
(在
2
22222
a
a
1
a
2
????
n
时取等
号)
b
1
b
2
b
n
4、高次不等式:序轴标根法的步骤:
(1)化成标准型
(x?x
1
)(x
?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0(?0)
,
(2)将每个因式的根标在数轴上;
(3)从右上方开始画出曲线依次通过每个数轴上的每个根。
五、三角函数:
1、在半径为
r
的圆内弧长为
l
的圆心角
?
的弧度数的绝对
值
?
?
2、诱导公式可用概括为:
, 。
sin(2k
?
?
?
)?
sin
?
,
cos(2k
?
?
?
)?
cos
?
,
tan(2k
?
?
?
)?
tan
?
;
sin(2
?
?
?
)?
sin
?
,
cos(2
?
?
?
)?
cos
?
,
tan(2
?
?
?
)?
tan
?
;
sin(
?
?
?
)?
sin
?
,
cos(
?
?
?
)?
cos
?
,
tan(
?
?
?
)?
tan
?
;
sin(
?
?
?
)?
sin
?
,
cos(
?
?
?
)?
cos
?
,
tan(
?
?
?
)?
tan
?
;
sin(?
?
)?
sin
?
,
cos(?
?
)?
cos
?
,
tan(?
?
)?
tan
?
;
?
?
)?
,
cos(?
?
)?
,
sin(?
?
)?
,
cos(?
?
)?
;
2222
3
?
3
?
3
?
3
?
?
?
)?
,
?
?
)?
,
sin(?
?
)?
,
?
?
)?
。
sin(
cos(
cos(
2222
sin(
3、两角和、差公式
?
?
?
?
cos(
?
?
?
)?
,
tan(
?
?
?
)?
;
sin(
?
?
?
)?
,
cos(
?
?
?
)?
,
tan(
?
?
?
)?
;
sin(
?
?
?
)?
,
4、二倍角公式
sin2
?
?
,
tan2
?
?
,
cos2
?
?
=
= ;
5、降次公式:
sin
?
?
;
cos
?
?
;
2
2
6、辅助角公式:
asin
?
?bcos
?
?
(其中
tan
?
?
)
7、三角函数的图象和性质:
y?sinx
y?cosx
y?tanx
图 象
定义域
值域
周期
奇偶性
对称性
单调性
最值
(指出
此时
x
的值)
对称轴
中心
增区间
减区间
最大值
最小值
8、正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0)
y?sinx
?
y?sin(x?)
3
y?sin(2x?
?
3
)
y?
1
?
sin(2x?)
23
(1)先平移后伸缩:
(2)先伸缩后平移:
y?sinx
y?sin2x
y?sin(2x?
?
3
)
y?
1
?
sin(2x?)
23
9、解斜三角形:
(1)正弦定理: = =
=
2R
(
R
为 )
222
(2)余弦定理:
a?
;
b?
;
c?
;
1
absinC?
=
2
abc
S
?ABC
?
?p(p?a)(p?b)(p?c)??r?p
<
br>4R
1
其中
p?(a?b?c)
,
R
、
r<
br>分别为
?ABC
的外接圆和内切圆的半径。
2
(3)面积公式:
S
?ABC
?
10、常用的利用三角换元
如:在圆
x?y?a
中,可设
x?acos
?
,y?a
sin
?
;在椭圆
222
x
a
2
2
?y
b
2
2
?1
中,可设
x?acos
?
,y?bsin
?
。
六、数列
1、
a<
br>n
和
S
n
之间的关系:
a
n
?
?<
br>?
____(n?1)
(如若
a
1
在
n?1
时也适合,则统一成一种形式)
______(n?2)
?
等比数列
①
q?1
时
S
n
?
②
q?1
时
S
n
?
若
m?n?p?q
,则 ;
2、等差数列、等比数列的性质:
等差数列
求和公式
S
n
?
=
性质
若
m?n?p?q
, 则 ;
当
m?n?2p
,则 ;
特别当
m?n?2p
,则 ;
3、根据数列递推公式求通项
(1)累加法:已知
{a
n
}
中
a
1
?1
,
a
n?1
?a
n
?3
n
,则
a
n
=
(2)累
乘法:已知
{a
n
}
中
a
1
?2
,
a
n?1
?
n?1
a
n
,则
a
n
=
n
q
,
p?1
(3)<
br>a
n?1
?pa
n
?q
(
p,q
为常数)型
:构造法:设
a
n?1
?x?p(a
n
?x)
,得到
x?
则
{a
n
?
q
}
为等比数列。如:已知
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?5
,则<
br>a
n
=
p?1
(4)
a
n?1
?pa
n
?q
n
(
p,q
为常
数)型:两边同时除去
q
n?1
得
a
n?1
p
a<
br>n
1
a
n
,令,
???b?
n
n?1nn<
br>q
q
q
qq
转化为
b
n?1
?
p1
b
n
?
,再用(3)法解决。
qq
4、常用结论
n(n?1)
2
(2) 1+3+5(21) =
n
2
n(n?1)
2
1
3333
]
(3)
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?
n(n?1)(2n?1)
(4)
1?2?3???n?[
2
6
(1): 1+2+3 =
(5) 裂项相消法:
a
n
?
1
?
;
n(n?k)
5、数学归纳法步骤:
(1)验证当
n?n
0
时结论成立
(2)假设当时结论成立,运用时的结论证明当1时结论也成立;
综合(1)(2),得出原命题的结论对给定的所有正整数都成立
七、平面向量
1、设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
.
(1)
|a|?
;(2)
ab(b?0)?
;(3)
a?b?
.
(4)
a?b?
=
;(5)
cosa,b?
2、向量
b
在
a
方向上的投影为
。
3、设
P
1
(x
1
,y
1
)
,
P
2
(x
2
,y
2
)
,则
(1)
P
1
P
2
=
x?_________,y?____________
(2)若
P(x,
y)
为线段
P
1
P
2
的中点,则
?
?PP
2
,则
x?_________,y?__________
(3)若
P(x,y)
为直线
P
1
1
P
2
上的一点,且
PP
(4)
P
1
,
P
,
P
2
三点共线
?
存在实数
?
、
?
使得<
br>OP?
?
OP
1
?
?
OP
2
,其中
.
4、三角形
?ABC
中向量性质:
(
1)已知
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2<
br>,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
),则重心
G
( , , )
(2)
AB?AC
?2AP
?
P
为
;
(3)
PA?PB?PC?0?
P
为
;
(4)
PA?PB?PB?PC?PA?PC?P
为
;
八、直线和圆的方程
1、直线的倾斜角
?
的范围是
;
2、点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax
?By?C?0
的距离公式 ;
3、两条
平行线
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
?0
的距离是 .
4、圆的方程
(1)以点
(a,b)
为圆心,
r
为半径的标准方程
.
(2)圆的一般方程
x
2
?y
2
?D
x?Ey?F?0
中圆心为 ,半径为
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y2
)?
; (3)以
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
为直径的圆的方程
5、圆的切线方程:
(1)过圆
x
2
?y
2
?r
2
上的点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
;
(2)过圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上的点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
;
6、圆的弦的直线方程:
(1)过圆
x
2?y
2
?r
2
外一点
P(x
0
,y
0
)
作圆的两切线,
A、B
为切点,则直线
AB
的方程为:
x
0
x?y
0
y?r
2
(2
)过圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
外一点
P(x
0
,y
0
)
作圆的两切线,
A、B
为切点,则直线
AB
的方
2
程为:
(x
0
?a)
(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
(3)相交两圆
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F1
?0
和
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的公共弦的直线方程:
九、圆锥曲线方程
x
2
y
2
1、椭圆
焦半径公式:设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上任一点,焦点为
F
1
(?c,
0)
,
F
2
(c,0)
,
ab
则
P
F
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
(“左加右减”);
2、抛物线焦半径公式:
设
P(x
0
,
y
0
)
为抛物线
y
2
?2px(p?0)
上任意一
点,
F
为焦点,则
PF?
;
若<
br>P(x
0
,y
0
)
为
x?2py(p?0)
上任意一点,
F
为焦点,则
PF?
.
2
x
2
y
2
3、共渐近线
y??x
的双曲线标准方程为
2
?
2
?
?
(
?
为
参数,
?
?0
).
a
ab
b
4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
=
2
5、抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦(过焦点的弦)为AB
,
A(x
1
,y
1
)
、
B(x<
br>2
,y
2
)
,则有如下结论:
(1)
|AB|?x
1
?x
2
?p
; (2)
x<
br>1
x
2
?
p
2
4
,
y
1<
br>y
2
??p
2
; (3)
1
|AF|
?<
br>1
|BF|
?
2
p
.
2
y
0
6、对于
y?2px(p?0)
抛物线上的
点的坐标可设为
(,y
0
)
,以简化计算.
2p
2
x
2
y
2
7、圆锥曲线中点弦问题
:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆
2
?
2
?1<
br>ab
b
2
x
0
x
2
y
2
中
, 以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线斜率
k??
2
;在双曲线
2
?
2
?1
中,以
P
(x
0
,y
0
)
为中点的弦
ay
0
ab<
br>b
2
x
0
p
所在直线斜率
k?
2
;
在抛物线
y
2
?2px(p?0)
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率
k?
.
ay
0
y
0
xxyy
x
2
y
2
8、过
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的点
P(x
0<
br>,y
0
)
的切线方程为
0
2
?
0
2
?1
ab
ab
x
2
y
2
9、过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
作两切线,
A、B
为切点,则直线
A
B
的方 程为:
ab
方程为
x
0
xy
0
y
?
2
?1
a
2
b
十、直线、平面、简单几何体
1、线线平行的判断:
(1)平行于同一 的两直线平行。
(2)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和
平行。
(3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的
平行。
(4) 于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断:
若一直线 于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
3、线面平行的判断:
(1)如果平面外的一条直线和
的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
(2)两个平面平行,
的直线必平行于另一个平面。
4、线面垂直的判断:
(1)如果一直线和平面内的两 垂直,这条直线就垂直于这个平面。
(2)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于 。
(3)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于 的直线必垂直于另—个平面。
5、面面平行的判断:
(1)一个平面内的
直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。
(2)
同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断:
一个平面经过另一个平面的
,这两个平面互相垂直。
7、空间角的求法:
(1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围: ;
设<
br>a
、
b
分别为异面直线
a
、
b
的方向向量,
则两异面直线所成的角的余弦为 .
(2)线面所成的角:即斜线与它在平面内的射影所成的角。
斜线与平面所成角的范围:
;
设
a
是斜线
l
的方向向量,
n
是
平面
?
的法向量,则斜线
l
与平面
?
所成的角的正弦的绝对
值
为 .
(3)二面角:
二面角大小的范围:
;
设
n
1
,
n
2
是二
面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量,则二面角
?
?l?
?
的平面角
?
的余弦的绝对
值为
cos
?
?
射影法:若棱锥的某侧面与底面所成的角为
?
,
则
cos
?
?
8、点到平面的距离:
设
n
是平面
?
的法向量,在
?
内取一点
B
,则
A
到
?
的距离
d?<
br>
9、多面体:
(1)棱柱:
①定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互
相平行,
由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面
底面是正多边形
棱柱斜棱柱
底面是平行四边形
直棱柱
侧棱垂直于底面
正棱柱;
底面是矩形
四棱柱
底面是正方形
平行六面体
棱长都相等
直平行六面体
长方体正四棱柱正方体。
②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形;
Ⅱ、两底面是全等多边形;
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形;
Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
③体积:
V<
br>棱柱
?Sh?
1
S
侧面
d
(
S
为底
面积,
h
为高,
d
为已知侧面与它对棱的距离)
2
(2)棱锥:
①定义:有一个面是多边形其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何体叫做
棱锥;
正棱锥:底面是正多边形,各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥;
侧棱长等于底面边长的正三棱锥又叫正四面体。
1
Sh
(
S
为底面积,
h
为高)
3
1
(3)圆台、棱台体积:
V
台
?(S
上<
br>?S
下
?S
上
?S
下
)?h
3
②体积:
V
棱锥
?
10、球
(1)性质:
①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小圆)
两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。
②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且
r?
为球心的到截面的距离。
(2
)面积公式:
S
球面
?4
?
R
(
R
为球半
径);
2
R
2
?d
2
,其中
R
为球半
径,
r
为截面半径,
d
V
球
?
(3)体积公
式:
4
3
?
R
3
(
R
为球半径)
十一、算法和复数(略)
十二、排列组合和二项式定理
1、排列数公式:
m
A
n
?n(n?1)(n
?m?1)?
m
n
n!
m!(n?m)!
(m?n,m,n?N*)
,当
m?n
时为全排列
A
n
n
?n!
.
m
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
0n
?Cn
?1
.
?(m?n)
,
C
n
2、组合数公式:
C?
m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
3、排列组合综合问题:
练习1、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中,恰有两个空盒的放法有 种;
解:分三步:第一步先选两个空盒;第二步把四个球分成两组:2个和2个,或1个和3个;第三步
22
C
4
A
2
12
把分成的两组放入余下的两个空
盒中。
C(?C
4
A
2
)?
2
A
2
2
4
练习2、四个不同的小球全部放入编号为1
、2、3、4的四个盒中,甲球只能放入第2或3号盒,而
乙球不能放入第4号盒的不同放法有
种;
A
1
解:甲球有
C
2
种放法,乙球有
C
3
种放法,另2个球各有
种放法,共
1
C
B
D
练习3:用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开,允许同一颜色涂
不同区域,但相邻区域不能是同一种颜色,则共有 种不同涂法;
4、二项式定理:()
n
0
n
n
1
n?1
r
n?rr
…+
nn
…
n
n
n
(n∈N)
n?rr
r
(1)展开式共有
项,其中C
r
n
(0,1,2…n)叫做
系数,
n
叫做二项式
的 ,即展开式的第
项;
kn?k
(2)二项式系数具有下列性质:?与首末两端等
距离的二项式系数相等,即
C
n
?C
n
;?展开
012n0
213
?C
n
?C
n
?????C
n
?2
n
;
C
n
?C
n
?????C
n
?Cn
?????2
n?1
.
式正中间的二项式系数最大;?
C
n
特别提醒:二项式的展开式的
项的系数与二项式系数是不同的两个概念。如在
(ax?b)
的展开式
r
rn
?rr
中,第r+1项的二项式系数为
C
n
,第r+1项的系数为
C
n
ab
;
n
十三、概率与统计
1、离散型随机变量的分布列:
?
x
2
x
1
…
…
x
n
…
…
.
p
p
1
p
2
p
n
?x
n
p
n
?
2、期望(又称均值)<
br>E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
?
3、方差
D
?
?(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)<
br>2
p
2
?????(x
n
?E
?
)
2
p
n
????
.
4、标准差
??
?<
br>D
?
;
E(a
?
?b)?aE
?
?b;D(
a
?
?b)?a
2
D
?
..
kk
n?k
5、二项分布:在
n
次试验中,每次发生的概率为
p
,满足<
br>P(
?
?k)?C
n
p(1?p)
,则称
随机变量
?
服从二项分布,记作
?
~B(n,p)
,则
E
?
?np
,
D
?
?npq(q?1?p)
.
6.正态总体的概率密度函数:
f(x)?
数与标准差;
7、回归方程
y?bx?a
必过样本点的中心(
x
,
y
)
8、 2×2列联表的独立性检验:
K?
2
1
2
??
e
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?R
,式中
?
,
?
是参数,分别表示总体的平均
^
n(ad?bc)
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
十四、几何证明选讲
1、圆内接四边形的性质与判定定理
圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。
2、弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所平的弧所对的圆周角。
3.与比例线段有关的定理
定理名称
直角三角
形的射影定理
相交弦定理
弦、相交于圆
内点P
割线定理
、是⊙
O
的割
线
··
切割线定理
切⊙
O
于A,
是⊙
O
的割线
(1)·
(2)⊿∽⊿
2
基本图形 条 件
⊿中,是斜边上
的高
结 论
·,
·,
·。
··
2
2
2
十五、坐标系与参数方程
1、极坐标与直角坐标的互化:
互化的前提条件:(1)极点与原点重合;(2)极轴与x轴正方向重合;(3)取相同的单位长度。
?
?
2
?x
2
?y
2
?
x??
cos
?
?
设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为
(
?
,
?
)
,则
?
或
?
y
?
y?
?
sin
?
?
tg
?
?
x
?
2、常见曲线的参数方程的一般形式:
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数)
(
1)经过点P
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为的直线的参数方
程为
?
称为直线
y?y?tsin
?
0
?
的数量<
br> 的标准参数方程。
设P是直线上的任一点,则t表示有向线段P
0
P
x?a?rcos
?
(2)
圆
?
x?a
?
2
+
?
y?b
?
2
=r
2
的参数方程为<
br>?
(
?
为参数)
?
?
y?b?rsin<
br>?
?
x?acos
?
x
2
y
2
的参
数方程为
?
(
?
为参数)
(3)
椭圆
2
?
2
?1
y?bsin
?
ab
?
十六、单峰函数和优选法
1、单峰函数
如果函数f(x)在区间[]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C,而在最
大值点(或最小值点)C
的左侧,函数单调增加(减少);在点C的右侧,函数单调减少(增加),则称
这个函数为区间[]上的单
峰函数。并规定,区间[]上的单调函数也是单峰函数。
2、黄金分割法——0.618法
x
1
=小+0.618×(大-小),<
br>x
2
=小+大-
x
1
,一般:
x
n
=小+大-
x
m
,口诀为“加两头,减中间”。
用黄金分割法寻找最佳点时
,n次试验后的存优范围与原始的因素范围的比值称为精度,n次试验
n?1
后的精度
?
n
?0.618
3、分数法
斐波那契数列.斐波那契数列:
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89,?
。
F
0
?1,F
1
?1
,F
2
?2,F
3
?3,F
4
?5,F
5
?8,F
6
?13,F
7
?21,F
8
?34,F
9
?55,?
黄金分割常数
?
的近似分数列:
F
12358
, , , , ,
?,
n
,?
235813F
n?1
优选法中,像这
样用渐进分数近似代替
?
确定试点的方法叫分数法.
按照分数法安排试验,能通过<
br>n
次试验保证从
(F
n?1
?1)
个试点中找出最佳点。
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