高中数学重点知识

高中数学重点知识

精
编
（第一辑）
目录：
第一部分 基本知识框架
第二部分 知识与方法归纳 （巩固基础版）
1，函数
2，数列
3，不等式
4，直线与曲线方程
5，综合
第三部分 思维方法与解题技巧（能力提升版）
第四部分 学习方法推荐 （综合发展版）


1

第一部分：高中数学知识基本框架
1，基本定义理解：
所有高中的数学知识与六部分的内容相关：数，式，方程，函数，几何，以及简单的数学
理论基础与应用 。
什么叫数？简单的说，数就是用来表示某种量的多少的，比如3，67，－9。也可以用字 母
或其他符号来表示数，比如a, m, 这种符号可称为未知数，或者“代数”。
什么叫式？数和数学符号组合在一起，便构成“式”。比如1+2, a
2
,y=x+5. 其中，不含字母
的式可称为算术式，含字母的成为代数式。但按照初中课本的定义，算术式也可以当作是 代数
式的一部分。特殊的，含有关系符号（比如＜，=）的称为关系式。
什么叫方程？当“算 术式”中含有等号的时候，就叫做等式；当“代数式”中含有等号的
时候，就叫做方程。所以方程即是特 殊的等式。它需要两个条件：1，含等号，2，含未知数。
什么叫函数呢？简单的说，当等式中含有两 个相关变化的未知数（也就是说，任意确定其
中一个未知数的值，就能对应得到另一个未知数的唯一的值 ）时，这个等式就叫做函数。所以
说，函数也就是一种特殊的方程，特殊的等式。
什么叫数列 ？简单的说，当函数中的自变量只能为正整数的时候，就可成为数列的通项或
者求和函数。所以，数列就 是特殊的函数。
而几何，也就是与数相对应的图形。
当数与几何相结合，就成为 平面向量；当整数与函数相结合，就构成数列，排列组合；当
函数与几何相结合，就成为直线方程、曲线 方程。

2，基本知识框架：
平面向量 第五章
数 复数 第十四章
算术式：
代数式：极限 第十二章
式 不等式：不等式 第六章
关系式
等式

高中数学 直线与圆的方程 第七章
方程 圆锥曲线方程 第八章

二次函数 第二章
函数 数列 第三章
三角函数 第四章
导数与微分 第十三章

几何 直线、平面、简单几何体 第九章

集合与简易逻辑 第一章
理论与应用 排列组合 第十章

2

概率与统计 第十一章
第二部分：知识与方法归纳
第一篇 函数
在高中数学中，函数、不等式、数列和方程大约占到百分之七十五的比例。因此，我们在
这里重点讲解 这几章。
函数是高中数学的基础，其知识点主要有三个部分：函数的基本分类；函数的基本性质与证明，以及有关函数的求解。
一，函数的基本分类（解析式、定义域、值域）

基本解析式
函数名称
定义域
R

R

x≠0，
R
（0，+∞）
R
R
值域
R




基
本
函
数





特
殊
函
数

一次函数 y=kx+b（k≠0）
y=ax
2
+bx+c (a≠0)
二次函数
y=a(x-x
1
)(x-x
2
) (a≠0)
y=a(x-m)
2
+n (a≠0)
反比例函数
指数函数
对数函数
三角函数
三次函数
分式函数
根式函数
幂函数
高次函数
4ac-b
2
(,
+∞)（a﹥0时）

4a
4ac-b
2
或（-∞
，
）

4a
y≠0
(0,+∞)
R
[-1,1]
R,且有两个极值
因题而异
(0,+∞)
因a而定
因题而异
因题而异
a
因题而异
因题而异
因题而异
y=
k
(k ≠0)
x
y=a
x
（a≠1且a＞0）
y=㏒a x（a≠1且a＞0）
y=sinx y=cosx
y=ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0)
y=
ax?b
（a、c不为0）
cx?d
y=
ax?b
(a≠0)
y=x
a
(a∈N+)
y=x
n
+x
n-1
+…x
2
+x+c
d

c
b
X≥-
a
x≠-
R
R
R
R
绝 对 值 函 数 y=∣x±a∣±∣x±b∣
常 数 函 数
分段函数
复合函数

简单超越函
数
y=ax
0
=a
y=g(x), x ≧a 因题而异
y=f(x) , x ﹤a
y=g[f(x)]
y=g(x)±f(x) [g(x)、f(x)为不
同类的基本函数，且一次函
数与二次函数在一起不算]
3
因题而异
因题而异

以上共有十六种函数形式，其中前十三种为基本初等函数，须背住！
二，函数的基本性质
（五种）

1， 单调性.
在定义域中的某 一区间内，任取两个点x
1
,x
2
,当x
1
﹥x
2
时，都有f(x
1
)﹥f(x
2
),则称该函数在
这一区间 内单调递增，为增函数。反之为减函数。
奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单
调性。
单调性的证明：第一步，取点x
1
,x
2
属于某区间，第二步，规定 x
1
,x
2
的大小，第三步，做f(x
1
)
与f( x
2
)的差或者商，再与0或者1比较。见例1.也可求导，判断导函数的正负，再判断单调性 。

2， 奇偶性.
定义：对于函数f(x),如果对于任意的一个x,都有f( -x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；如果
f(-x)=-f(x),则为偶函数。
性质：（1）奇函数、偶函数的定义域关于0对称；奇函数的图像关于原点对称，而偶函
数的图像关于y 轴对称。
（2）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数。
（3）两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数。
（4）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数。
（5）f(x)为偶函数，则f(x)=f(∣x∣)
(6 )若f(x)为奇函数，定义域包含0，则f(0)=0.
（7）若f(x)既是奇函数也是偶函数，则f(x)=0.
奇偶性的证明：若能证明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)+ f(x)=0，则为奇函数；若 能证明等式
f(-x)=-f(x)或f(-x)-f(x)=0，则可证得为偶函数。见例2.

3，周期性.
对函数f(x),存在常数T（不等于0），使得f(x)=f(x +T).则称f(x)为周期函数。T为函数的
周期。且kT也为函数的周期。
若f(x)满 足f(x+a)=f(x+b)恒成立，其中a,b均为常数，且a≠0,则T=a－b是函数的一个
周 期。

4，反函数性.
求反函数：先解出x,然后互换x,y,再标出定义域。（若先交换x,y也可求出。）见例3.
（1）反函数与原函数的图像关于直线y=x对称。
（2）反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域。
（3）反函数一定具有单调性。奇函数的反函数也是奇函数。而偶函数不一定具有。

5，图像平移与对称性.
水平平移：y=f(x〒a)（a>0）的图像是由y=f(x)的图像向左或向右平移a个单位得到；
竖直平移：y=f(x) 〒b(b>0)的图像是由y=f(x)的图像向上或向下平移b个单位得到。
（1）若对定义域内的 一切x均有f(x+m)=f(m－x),则y=f(x)的图像关于直线x=m对称；y=f(x)
与 y=2b－f(2a－x)的图像关于点（a,b）中心对称。
（2）把函数y=f(x)的图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，就得到y=∣f(x) ∣< br>图像；把函数y=f(x)的图像位于y轴右边的部分以y轴为对称轴翻折到左边，就得到y=f(∣x∣ )
在y轴左边部分的图像。
（3）若f(a+x)=f(b－x),x∈R恒成立，则y =f(x)的图像关于x=(a+b)2成轴对称图形。
（4）若函数f(x)关于x=m和x=n对称，则f(x)是周期函数，且2∣m－n∣是它的一个周期。
（5）函数y=f(a+x)与函数y=f(b－x)的图像关于直线x=(b－a)2对称。



4

三，函数的求解
（五种）

1, 求函数的解析式
方法一：直接代入法。已知f(x)与g(x),求f[g(x)],直接把g(x)代入f (x)即可。见例4.
方法二：换元法。有几种换元的方式。已知f(x)和f[g(x) ]求g(x)；或已知f[g(x)]和g(x).求
f(x).用换元法。见例5，6.
方法三：待定系数法.已知函数的类型时，用待定系数法。见例7.
方法四：解函数方程组。要求给出的函数关系式是对称的。通常先用赋值法得出函数方程
组，再求解， 即可。见例8。

2，求函数的定义域
（基本思路：转化为解不等式）
步骤：写出使函数有意义的不等式组；解不等式组；用区间或集合的形式写出定义域。
（1）判断函 数定义域的主要依据：（1），分式的分母不为0，（2），偶次方根的被开方数不
小于0，0的0次方 无意义 ；（3）对数函数的真数必须大于0；指数函数与对数函数的底数必须
大于0且不等于1.见例9.
（2）求复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为【a,b】,则复合函数f[g(x)]的定 义域为
不等式a≤g(x)≤b的解。见例10.
（3）若遇到实际问题，还要考虑实际问题有意义。

3，求函数的值域（最值）
方法一：基本函数法。对于基本函数，如果定义域无特殊规定，那么可根据函数的图像性
质直接求解。见 例11.
方法二：配方法（二次函数法）。对于形如F(x)=a[f
2
(x)+ bf(x)+c]的函数，可用配方法求值域。
（见例 ）见例12.
方法三：分区讨论法 。对于定义域有特殊规定的二次函数，一般采用分区讨论（以两个零
点和对横轴横坐标点为分界，可以把 整个区间分成四段，加上对称轴的情形，共有五种可能情
况，如果二次项系数不定，还需要讨论开口方向 ），再借助于区间单调性来求（见例）。定义域
有规定的其他类型（对数函数、指数函数、根式函数、幂 函数、一次函数、高次函数等）基本
函数都可直接利用函数的单调性来判断函数的最值。分段函数也用分 区讨论法。见例13，14.
方法四：反函数法。对于y=
ax?b
（a、c不为0 ）的一次分式的形式，可以通过求反函数
cx?d
的定义域来求。（见例15）. 简单结论为 y∈R且y≠ac. 也可用分离常数法来求解。但是，当
定义域有特殊规定时，就要求出反函数后解不等式。(见例16.)
方法五：判别式法。对于形如y=(ax
2
+bx+c)dx
2
+e x+f 的二次分式形式,可先转化为关于x的
方程，此方程必须有解，故当二次项系数不为0时，△≥ 0。解出便得到值域。注意，定义域不
能有特殊规定。见例17。
方法六：辗转求值法。对于 复合函数，首先看它化简出来是否还是基本函数，若是，先化
简出最简表达式，再用基本函数的求值域法 求；若不是，就可以先求出y=f[g(x)]中y=g(x)的值
域T，再把T当作y=f(x)的定 义域，求出其值域。见例18.
方法七：单调性法。 对于超越函数，首先判断是否具有单调性，若 有，则直接利用单调性
来求。若没有，则通过换元法转化成复合函数，再求值域。见例19.判断单调性 的常用方法：
（1）增＋增﹦增 减＋减﹦减 增－减﹦增 减－ 增﹦减
（2）f(x)与1f(x) 的单调性相反
（3）当c大于0时，f(x)与cf(x)的单调性相同；当c小于0时，二者单调性相反。
（4）f(x)﹦x+
a
,当a﹥0时，在（－∞，－√a）和（√a，∞）为增函数，在（ －√a，
x
0）和 (0, √a)为减函数。

5

< br>（5）若f(t)与t(x)的单调性相同，则f[t(x)]为增函数；若相反，则f[t(x)]为减 函数。
方法八：换元法。对于由一次函数和根式函数合成的超越函数（y=ax+b+
cx?d
）,用换
元法化成二次函数，再求值域。见例20还有的函数可用三角换元。（见例 21）
此外，还有平方法（对于两个二次根式的组合函数，且不具备单调性时，平方后可以化简，例22），几何法（可将绝对值、根式等构造成点与点、点与线的距离时，例23），不等式法（对
于定义域有限定的分式函数、绝对值函数等，例24），函数有界性法（主要是对于三角函数，例
25） 导数法（对于三次函数）等。
常用运算技巧：
1， 分式分部法（分离常数法）：对于y=( ax
2
+bx+c)x的形式，可化简为y=ax+ b+cx,再
利用函数f(x)﹦x+
a
的单调性来求出值域。见例26.
x
2， 取倒数法：对于y=x (ax
2
+bx+c)的形式，取导数，就化成1[( ax
2
+bx+c)x].再用分式
分部法求解。见例27.
3， 分子有 理化法。对于y=
x?1
－
x-1
,此函数不具有单调性，也无法通过换元化 简，
这时可先用性质（a+b）(a-b)=a
2
－b
2
,化为y= 2(
x?1
+
x-1
),然后可根据单调性求解。
见例28.

4，求值。
本质上说，这就是解方程。一般的，解开一个未知数需要一个方程式， 解开两个就需要两
个方程。列方程的方法：
（1） 根据题目已知等量关系列出方程。
（2） 常用隐含等式：①f(x)为奇函数，且x可以等于0，则f(0)=0. 见例29.
②f(x)为二次函数且有两个相同的解，则判别式△=0.
③已知y=f(x)，a若原式可写成关于y的二次函数，则有y
1
+y
2
=a+b,y
1
y
2
=ab 。例30.
（3） 赋值法：对于某些特殊类型函数，可以通过赋特殊值把函数转化为方程，再解。例31。
（4）特殊情况下，一个方程也可以解出多个未知数。
特殊情形：在多项式等式中，可以有多 项式相等的条件，得到每两个相同次数的项的系数
都相等，从而可以分离出多个等式，再求解。（见例3 2）
（5）有时，通过解不等式也能解出值来。由不等式解出等式（值），也有三种情形：
①，取整法。就是说，先通过解不等式得出一个范围，再根据已知条件取其中的整数，再验
证，删去无效 解。（ 见例33）
②，配方法，即通过配方得出 (x-a）
2
≦0的形式, 从而可解出 x=a 。例34.
③, 两边夹逼法，即通过解不等式组得出 x≦a 且x≧a, 进而解出 x=a. 例35.

5，求参数范围
什么叫参数？即不确定的常数 。很多时候需要我们求函数中参数的范围，其基本的解题思
路就是解不等式：将题中与参数相关的所有条 件所蕴含的不等关系都表述成不等式，再求解即
可。
由等式（函数）转化出不等式的方法：
对于二次函数，（1），根据根的存在状况，有△﹥0或△﹤0.
（2），根据对称轴的范围确定不定式。
（3），根据零点可确定其附近某些点的函数值与0的大小。
（4），根据开口可确定二次项系数与0的大小。
（5），可根据两根的范围来确定两根之和与两根之积的范围。
总之，把所有可能的限定条件都找出来，再解不等式组，即可得到所求参数的范围。例36.
对于其他函数，(1)首先是根据定义域，比如根号里面要大于等于0，对数的真数要大于0；
(2)其 次，是根据根的分布做草图，用数形结合来判断某些值的大小。(3) 知道函数单调性时，

6

也可用单调性得出不等式。(4)此外，还可以在计算中利用均值不等式等 特殊的性质来得出不等
式。例37。
第二篇 数列
数列是函数在整数定义域内的引申，也是高中数学的重要板块之一。这部分的内容也 可分
为三类：1，数列的类型；2，数列的性质及应用；3，数列的求解。
一，数列的类型
按照数列的项数可分为有限数列与无限数列；
根据数列项的变化情况可分为：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
常用的特殊数列类型有：
等差数列，比如1,3,5,7,9??；
等比数列，比如1,2,4,8,16??；
自然数数列，即1，2，3，4，??
2222
自然数的平方数列，即1，2，3，4??
3333
自然数的立方数列，即1，2，3，4??
斐波拉挈数列，即1，2，3，5，8，13??(
a
n=
a
n-1
＋
a
n-2
)

分式数列：①11×2,12×3,13×4,14×5??
②1,1(1+2),1(1+2+3),1(1+2+3+4)??（通项可化为a
n
=2[ n(n+1)]

二，数列的性质及应用
1，等差数列的单调性：
d>0?递增数列； d<0?递减数列； d=0?常数列
2, 对于等差数列，
a
n
=a
m
+(n-m)d
， d=
(a
m
－a
n
)(m－n)
见例38
.

3，若m+n=p+q,则有：a
m
+an
=a
p
+a
q
(等差)；a
m
×a
n
=a
p
×a
q
（等比） 见例39.
特别的，若m+n =2p，则有a
m
+a
n
=2a
p
(等差中项)，am
×a
n
=a
p
2
（等比中项）见例40.
4，抽项数列：对于等差（等比）数列，若项数成等差，则对应项也成等差（等比）数列。例41。 < br>5，分群数列：设
s
n
是等差数列前n项的和。则，
s
k,< br> s
2
k
―
s
k,
s
3k
―
s
2k,
??构成的数列还是等差；
且{
s
n

n}也是等差数列。例42。
6, 若{a
n
}和{b
n
}均为等差数列，则{pa
n< br>},{a
n
+q},{a
n
±b
n
}也是等差数 列。若{a
n
}和{b
n
}均为等
比数列，则{pa
n},{1a
n
},{a
n
〃b
n
},{a
n
b
n
},{∣a
n
∣}也是等比数列。例45。
7，设
s
n
是等比数列前n项的和。则，
s
k,
s
2
k
―
s
k,
s
3k
―
s2k,
满足关系式（
s
2
k
―
s
k
）
2
=
s
k·
（
s
3k
―
s
2k
）
8，若等差或等比数列的项数为2n,
s
偶

s
奇
= a
n+1

a
n
（等差）
s
偶
－
s
奇
=nd(等差)，
s
偶

s
奇
=q(等比 )
9，若等差数列的项数为2n+1,则
s
奇

s
偶=（
n+1）

n
（等差），
s
奇
－
s
偶
=
a
n+1
（中间项）
10, 对于项数为2n-1的等差数列，有
s
2n-1
= (2n-1)a
n·
(即中间项乘以项数) 例46.
11，若有两个等差数列{a
n
}和{b
n
}，则a
n
b
n
=
s
2n-1


T
2n-1
例47。
证明等差：（见例48，49，50，51）
1， 利用定义a
n
-a
n-1
=d(常数)证明；
2， 利用等差数列 的性质a
n+1
+a
n-1
=2
a
n
(n≥2)证 明。
3, 若通项公式为a
n
=kn+b(k,b为常数)，则数列{a
n
}为等差数列。
4，若前n项和
s
n
=An+Bn(A,B为常数 )。则{a
n
}为等差数列。
证明等比：（见例52，53）
1，利用定义：a
n
a
n-1
=q(q为不等于0的常数)来判定。
2，利用等比中项性质：a
n+1·
a
n-1
= (a
n
)
2
来判定。
2

7

三，数列的求解
1，求通项
（1） 观察法：对于给出若干项的数列，可通过观察直接得出通项公式。见例54。
（2） 公式法：对于等差或等比数列，可根据通项公式来求： 见例55.
n
－
1n－
m
等差：
a
n
=a
1
+(n－1)d=a< br>m
+(n－m)d
等比：
a
n
=a
1
q=a
m
q
（3） 已知
s
n
的表达式时，可根据
a
n
与
s
n
的关系求解： 例56.
s
1

(n=1)
a
n

=
s
n
－s
n－1
(n≥2)
（4） 已知
a
n与
a
n
-1
的递推关系，可用累 加法，累乘法，构造法等求解。
①对于
a
n－
a
n
-1
=f(n)，有 （例57）
a
n=(
a
n－
a
n-1
)+(a
n-1
－
a
n-2
)+(
a
n-2
－
a
n-3
)……+(
a
2
－
a
1
)+
a
1
(累加法)
②对于
a
n
a< br>n-
1
=f（n）满足一定条件，则有 （例58）
a
n=(a
n
a
n-
1
)(
a
n-
1

a
n-
2
)……（
a
2

a
1）
a
1
（累乘法）
③对于
a
n=

k
a
n
-1
+b ,
可以设
a
n－
m
=

k(
a
n
-1
－m),
从而构造出数列
{
a
n－
m}
为等比，进而
n-1
可得：
a
n=（
a
1
－m< br>）
k
+m.其中m=b(1－k)
（例59）
④对于a
n
= a
n-1
(ka
n-1
+b)，两 边取倒数，再分式分部，进而可得1an=(b an-1) ＋k,再用上
面第③种递推法解。 （例60）
⑤
对于
a
n=

k
a
n-1
+
b
n-1
，构造新的等比数列{
a
n－mbn
}，m=1(b-k).
再解。（例61）

⑥对于
a
n=

a
a
n
-1
+b
a
n-
2。
构造等比数列{
a
n－k
a
n
-1
},化为两项的关系式，再解。(例62。) < br>⑦
a
n=
k
a
n
-1
+pn+m,
构造等比数列{
a
n
－xn－y}
, x=p (1－k)
；y=(m
－
kx) (1
－
k)
再解
。
（例63）


(5) 对于周期数列，已知f (x)=f(x+T),先求出a
1
,a
1
,?a
T

,
再把各项都化为a
1
到a
T
的值.(例64.)
（6）对于特殊数列，可以先求出前几项，推测通项公式，再用归纳法证明。 （例65）
2，求和
（1）基本数列：用求和公式或者用待定系数法先设出表达形式，再解出系数。 （例66，67）
等差：
s
n
=(a
1
+a
n
)n2=（a
m
+a
n-m
）n2
=na
1
+n(n－1)d2
=中间项×项数（有奇数项时）=中间两项之和×项数÷2(有偶数项时).
n
等比：
s
n
=na
1
(q=1)或
s
n
= a
1
(1－
q
)1－q =(a
1
－
a
n
q)(1－q) *(q≠1)
2222
(2) 特殊数列：例如
s
n
=1+2+3+??+n=n(n+1)(2n+1)6 （例68）
（3）已知
s
n
与
s
n-1
的递推关系，则用 由a
n
与a
n-1
的递推关系求通项的方法求出
s
n。（例69）
（4）已知a
n
与
s
n
的关系，利用a
n
=s
n
－s
n－1

把a
n
消去，则转化为（3）的形式。（例70）
（5）由等差与等比复合而成的数列，用错位相减法。（见例71。）
（6）某些特别的分式数 列，形如
a
n
=1n(n－1)的，可用裂项相消法解。（见例72。）此外，
有时还需要用到分组求和法、并项、通项、消项、降次等运算技巧。（例73-76 ）
3，求最值
（1）通常可以转化为求函数y=f(n)的最值，再用函数求最值的方法去解。（例77）
（2）对于等差、等比数列，可以分析函数单调性，用单调性求解。注意临界点的选取。例78。
（3）根据最值含义用不等式求解。若有最大值
a
n
，则有a
n
>a
n-1,
且

a
n
>a
n+1.
可解出n,再求a
n
。
4，求项数、项值。
若有最大值
s
n
，则有
a
n
>0, a
n+1
<0. 见例79。
（1）对于基本数列，可运用数列的性质来解。见例80，81.
（2）一般的，可以根据已知条件列出方程，求解即可。已知三项成等差，可设为a-d,a,a+d

8

已知四项成等差，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d .已知3项成等比，可设为aq,a,aq.（例82，83）

第三篇 不等式
一，
不等式的基本类型与基本表达形式
：
一元一次不等式：kx+b>0 或kx+b<0.
一元二次不等式：ax
2
+bx+c>0或ax
2
+bx+c<0
分式不等式： h(x)g(x) >a或h(x)g(x) 含绝对值的不等式：∣x∣>a或∣x∣∣b x∣
简单的高次不等式：如，ax
3
+bx
2
+cx+d>0 或ax
3
+bx
2
+cx+d>0 (a≠0)
对数不等式：f(log
a
x)>0或f(log
a
x)> f(log
a
y)
指数不等式：f(a
x
)>0或f(a
x
)> f(a
y
)
幂不等式
根式不等式（无理不等式）：
复合不等式 （图像法）



二，
不等式的性质
：
1，传递性：a>b,b>c => a>c 2，对称性：a>b ? b3，可加性：a>b ? a+c>b+c 加法规则：a>b, c>d ? a+c>b+d
4，可积性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac5，乘法规则：a>b>0, c>d>0, 则 ac>bd
乘方规则：a>b>0, n∈N,且n>1,则a
n
>b
n

开方规则：若a>b>0, n∈N,且n>1,则
n
√a>
n
√b
6, 倒数性质：a>b，ab>0, => 1a <1b a<01a < 1b
a>b>0,0ac >bd 01b< 1x < 1a
7, 取绝对值的不等式性质：
a
2
>b
2
? ∣a∣>∣b∣
若a 0, 则当b> －a时，有∣x∣ 8，乘方、开方性质
当a>b, n∈N﹡,则a
2n+1
>b
2n+1
；
2n+1
√a >
2n+1
√b
若b2n
2n

9，分数不等式的性质：
若a>b>0, 则
bb?mbb?maa?maa?m
<； > (b－m>0) >； < (b－m>0)
aa?maa?mbb?mb
b?m

三, 均值不等式的性质与应用
基本形式：如果a,b∈R, 那么(a+b)2≥√ab （当且仅当a=b时取等号）。
2
2
重要结论1：如果a,b∈R , 则a+b≥2ab.(当且仅当a=b时取等号。)这又称为基本不等式。
+
333
重要结论2：如果a,b,c∈R,则a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）
+
重要结论3：如果a,b,c∈R,则(a+b+c)3≥
3
√abc （当且仅当a=b=c时取等号）
+
重要结论4：如果a
1
,a
2
,a
3
?a
n
∈R, 则(a
1
+a
2
+?a
n
) n≥
n
√a
1
a
2
?a
n
（当且仅当a=b=c时取等
号）



均值不等式“四注意”： 正，定，等，同（多次使用均值不等式时，要求每次相等的条件相
同）。
均值不等式的应用技巧：
1，平方后再用 2，整体代换用 3，裂项之后用 4，重新组合用

9
+

5，凑配用


四，不等式的求解

一元一次不等式：kx+b>0.
一元二次不等式：ax
2
+bx+c>0
分式不等式： h(x)g(x) >0
含绝对值的不等式：f(∣x∣) >0
简单的高次不等式：如，ax
3
+bx
2
+cx+d>0 或ax
3
+bx
2
+cx+d<0 (a≠0)
对数不等式：f(log
a
x)>0或f(log
a
x)> f(log
a
y)
指数不等式：f(a
x
)>0或f(a
x
)> f(a
y
)
根式不等式（无理不等式）：
绝对值不等式解法：
1， 公式法，
2， 分类讨论法
3， 平方法
4， 巧用性质
5， 利用绝对值的几何意义
6， 转化为函数

无理不等式的解法
1， f(x)与g(x)的单调性相同
2， f(x)与g(x)的单调性相反

含参数的恒成立的不等式解法汇总
1，构造函数法 2，不等式解集法， 3，分离参数法 4，配方法 5，判别式法
6，变量代换法 7，分类讨论法 8，几何意义法 9，向量法 10，图像法



五，不等式的证明
：
方法：赋值法，淘汰法，拆添项法，配凑法，两用不等式法，数 形结合法，判别式法，导数法，
分离参数法，配方法，换元法，单调性法。
证明：比较法，综 合法，分析法，数学归纳法，反证法，构造法，放缩法，换元法，判别式法，
三角代换法，均值不等式法 ，几何法，向量法，函数法，方程法，导数法。
公式：

柯西不等式：ab+cd≦√a
2
+c
2
√b
2
+d
2

222
三角代换:1,x+y=a => x=a
sin
θ
,
y=a
cos
θ
2,


构造法证明不等式：
1，构造函数 2，构造对偶式， 3，构造两点距离 4， 构造斜率公式


数列求和型不等式的证明：
1，求和后放缩 2，放缩后求和 3，构造函数法 4，构造数列法

构造函数法证明不等式：

10

1，构造一次函数 2，构造二次函数 3，构造三次函数 4，构造指数函数
5，构造对数函数 6，构造三角函数


数形结合法证明不等式：
1，借用三角形证明不等式 2，借用直线证明 3，借用抛物线证明
4，借用椭圆证明

图像在解题中的应用
1， 求方程解的个数
2， 利用图像求参数的范围
3， 利用图像解不等式
4， 利用图像求最值
5， 利用图像求值






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