西安成才刘欣高中数学老师-广东高中数学学考试卷
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高中数学选修4-4知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系:
①理解坐标系的作用.
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. <
br>③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的
区
别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆
心在极点的圆)的方程.通过比较
这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面
图形时选择适当坐标系的意
义.
2.参数方程:①了解参数方程,了解参数的意义.
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结:
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
1.伸缩变
换:设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?
:
?
的作用下,
?
y?
?
?y,(
?
?0).
?
点
P(x,y)
对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换
。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点
O
,叫做极点;自极点
O引一条射线
Ox
叫做极轴;再选
定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及
其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个
极坐标系。
3.点
M
的
极坐标:设
M
是平面内一点,极点
O
与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径,记为
?
;
以极轴
Ox<
br>为始边,射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极角
,记为
?
。有序数对
(
?
,
?
)
叫做点<
br>M
的极坐标,记为
M(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,<
br>?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点
O
的坐
标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极
点对称,即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?
0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示;同时,
极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化:
6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,
r
为半径的圆的极坐
标方程是
?
?r
;
在极坐标系中,以
C(a,0)(a?0)为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
;
?
在极坐标系中,以
C(a,)
(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asin
?
;
27.在极坐标系中,
?
?
?
(
?
?0)
表示以
极点为起点的一条射线;
?
?
?
(
?
?R)
表示过
极点的一条直
线.
在极坐标系中,过点
A(a,0)(a?0)
,且垂直于
极轴的直线
l
的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.
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8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
x?f(t),
并且对于
t
的每一个允许值,由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在这条
曲线上,那么这
?
y?g(t),
?
个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系
变数
x,y
的变数
t
叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
?
x?a?r
cos
?
,
9.圆
(x?a)
2
?(y?b)
2<
br>?r
2
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)
.
y?b?rsin
?
.
?
?
x?acos
?<
br>,
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?
1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数).
ab
?
y?bsin
?
.
?
x?2px<
br>2
,
(t为参数)
. 抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
?
y?2pt.
2
?
x?x
o
?tco
s
?
,
经过点
M
O
(x
o
,y
o
)
,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
(
t
为参数).
y?y?tsin
?
.
o
?
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,
必须使
x,y
的取值范围保持一致.
练习
1.曲线
?<
br>?
x??2?5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是().
?
y?1?2t
2
5
1
2
1
5
1
2
5
9
(8,0)
A.
(0,)、(,0)
B.
(0,)、
(,0)
C.
(0,?4)、(8,0)
D.
(0,)、
2.把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是().
1
?
?
x?sint
?
x?cost
?
x?tant
?
x?t
2
?
??
A.
?
B.C.D.
1
1
1
?
??
1
?
y?
y?y?
?
y?t
2
?
??
sint
costtant
?
??
?
3.若直线的参数方程为
?
2
3
2
3
3
2
?
x?1?2t
(t为参数)
,则直线的斜率为().
?
y?2?3t
3
2
A.B.
?
C.D.
?
4.点
(1,2)
在圆
?
?
x??1?8cos
?
的().
?
y?8sin
?
A.内部 B.外部
C.圆上D.与
θ
的值有关
1
?
?
x?t?
5.
参数方程为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是().
?
?
y?2
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A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线
?
x??3?2cos
?
?
x?3cos
?
6.两圆
?
与
?
的
位置关系是().
y?4?2sin
?
y?3sin
?
?
?
A.内切
B.外切 C.相离 D.内含
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为(). 7.与参数方程
为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2
2
A.
x??1
B.
x??1(0?x?1)
4
4
2
y
2
y
2
2
C.
x??1(0?y?
2)
D.
x??1(0?x?1,0?y?2)
4
4
2<
br>?
x?5cos
?
?
8.曲线
?
(?
??
?
)
的长度是().
y?5sin
?
3
?
A.
5
?
B.
10
?
C.
5
?<
br>10
?
D.
3
3
9.点
P(x,y)
是椭
圆
2x
2
?3y
2
?12
上的一个动点,则
x?2
y
的最大值为().
A.
22
B.
23
C.
11
D.
22
1
?
x?1?t
?
2
10.直线
?
则
AB
的中点坐标为().
(t为参数)
和
圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点,<
br>?
?
y??33?
3
t
?
?2
A.
(3,?3)
B.
(?3,3)
C.
(3,?3)
D.
(3
,?3)
?
x?4t
2
(t为参数)
上,则
|P
F|
等于(). 11.若点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
?
y?4t
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
12.直线
?
?
x??2?t
(t为参数)
被圆
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25所截得的弦长为().
?
y?1?t
1
4
A.
98<
br>B.
40
C.
82
D.
93?43
t?t
?
?
x?e?e
(t为参数)
的普通方程为___________
_______. 13.参数方程
?
t?t
?
?
y?2(e?e)
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2,3)<
br>的距离等于
2
的点的坐标是_______.
14.直线
?
?
?
y?3?2t
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15.直线
?
?
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?
与圆
?
相切,则
?
?
_______________
.
?
y?tsin
?
?
y?2sin
?
16.设
y?tx(t为参数)
,则圆
x
2
?y
2
?4y?
0
的参数方程为____________________.
?
?
x?1
?t
17.求直线
l
1
:
?
(t为参数)
和直线<
br>l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标,及点
P<
br>与
?
?
y??5?3t
Q(1,?5)
的距离.
1
8.已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
(1)写出直线
l
的参数方程.
?
6
,
(2)
设
l
与圆
x
2
?y
2
?4
相交与两点A,B
,求点
P
到
A,B
两点的距离之积.
1
t?t
?
x?(e?e)cos
?
?
?
19.分别在下列
两种情况下,把参数方程
?
2
化为普通方程:
1
?
y?(
e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
(1)<
br>?
为参数,
t
为常数;(2)
t
为参数,
?
为常数.
20.已知直线
l
过定点
P(?3,?)
与圆
C
:
?
3
2
?
x?5cos
?
(
?
为参数)
相交于
A
、
B
两点.
?
y?5
sin
?
求:(1)若
|AB|?8
,求直线
l
的方程;
(2)若点
P(?3,?)
为弦
AB
的中点,求弦
AB的方程.
3
2
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