(完整word版)高中数学(沪教版)知识点归纳

高中数学知识点归纳

高一(上)数学知识点归纳
第一章 集合与命题
1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、
并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。
2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、
真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解
交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意
义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个
简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件
的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点
是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。
4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B，那么A是B的
子集，记作A
?
B.(2)相等的集合:如果A
?
B,且B
?
A，那么A=B.(3).真子集：
A
?
B且B中至少有一个元素不属于A，记作A
?
B.
5.集合的运算：(1)交集：
A?B?{xx?A且x?B}.

(2 )并集:
A?B?{xx?A或x?B}.
（3）补集：
C
U
A?{ xx?U且x?A}.

6.充分条件、必要条件、充要条件
如果
P
?Q
,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
如果
P
?Q
,那么P是Q的充要条件。也就是说，命题P与命题Q是等价命题。
有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。
2.数集有：自然数集N，整数集Z，有理数集Q,实数集R。
3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图
叫做文氏图。
1

5.真子集，交集，并集，全集，补集。
6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。
7充分条件与必要条件。
注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。
2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。
3.证明A是B的充要条件：（1）充分性的证明：A
?
B.(2)必要性的证明：
B
?
A.
4.原命题与它的逆否命题同真（假），因此它们是等价命题，逆命题与否
命题互为逆否命题。
第二章 不等式
1.主要内容：不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式（组）的解法、
分时不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不
等式的解法、基本不等式、不等式的证明。
2.基本要求：掌握不等式的基本性质及常用的不等式的性质，掌握一元二次不
等式的解法，掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法，会解简单的无
理不等式和高次不等式，掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思
路，并会用这些方法证明简单的不等式。
3.重难点：重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法，基本不等式及
其证明。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法，解不等式的应用，比较
法、综合法、分析法证明简单的不等式。
不等式的基本性质:1.如果
a?b,b?c;那么a?c.

2. 如果
a?b,那么a?c?b?c.

3.如果
a?b,c?0,那么ac?bc:如果a?b,c?0,那么ac?bc.

4.如果
a?b,c?d,
那么a?c?b?d.

5.如果
a?b?0,c?d?0,那么ac?bd.

6.如果
a?b?0
，那么
0?
11
?.

ab
7.如果
a?b?0
，那么
a
n
?b
n
(n?N
?
)
.
2

8.如果
a?b?0
,那么n
a?
n
b(n?N
?
,n?1).

一元二 次不等式的解法：这个知识点很重要，可根据
?
与0的关系来求解，注意
解的区间的表 示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整
式不等式。
两个基本不等式 ：1.对于任意实数
a和b,
有
a
2
?b
2
?2a b,
当且仅当
a?b
时等号
a
2
?b
2
?ab
，当且仅当
a?b
时等号 成立。 2.对任意正数
a和b,
有
2
a
2
?b
2
和ab
分别叫做正数
a、b
的算术平均数和几何平均数。 成立。我们把
2
第三章 函数的基本性质
1.主要内容：函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大
值或最小值。
2.基本要求：理解函数的概念，能使用函数的记号
y?f(x)
表示
y是x的函数
，会
求函数值
f(a)
，会求简单函数的定义域和值域。理解函数运算意义，会求两
个函数的和与积。掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函数
的最大值和最小值。
3.重难点：重点是函数关系的建立，函数奇偶性、单调性、周期性等的判定，以
及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。难点是求函数
的值域、最大值和最小值。
注意：⑴函数的运算中一定要考虑函数自变量的定义域，定义域会随着函数的运
算改变而改变。
⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。
⑶偶函数的性质：
f(x)
=
f(?x)
.
⑷奇函数的性质：
f(x)??f(?x)
.
⑸单调性和最值性。
⑹零点的概念，实际上，函数
y?f(x)
的零点就是方程
f( x)
=0的解，也
就是函数
y?f(x)
的图像与
x
轴的交点的横坐标.
3

第四章 幂函数、指数函数和对数函数(上)
1.主要内容：幂函数的概念及其在
(0,??)
内的单调性。指数函数及其性质，
2.基本要求：掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在
(0,??)
内的单调性会画 幂
函数的图像，掌握指数函数的图像及其性质。
3.重难点：重点是幂函数性质的探求，指数函数的图像和性质；难点是幂函数性
质的运用指数函数的单调性。
注意：1.幂函数的定义：一般地，函数
y?x
k(k为常数，k?Q)
叫做幂函数。
2.指数函数的定义：一般地，函数< br>y?a
x
(a?0且a?1)
叫做指数函数。其
中x是自变量，函数的定义域是R. 幂函数与指数函数的形式一定要区分开。
指数函数的性质：1.指数函数
y?a
x
的函数值恒大于零.性质
2.指数函数
y?a
x
的图像经过点（0，1）.
3.函数
y?a
x
（
a
>1）在
(??,??)
内 是增函数；
函数
y?a
x
(0<< br>a
<1)在
(??,??)
内是减函数.


高一(下)数学知识点归纳
第四章 幂函数、指数函数和对数函数(下)
1.主 要内容：幂函数的概念及其在
(0,??)
内的单调性。对数；反函数；指数函数、
对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。
2.基本要求：掌握幂函数的定义域及 其性质，特别是在
(0,??)
内的单调性。会画
幂函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。对数积、商、幂的运算性质，
掌握换底公式并会灵活运用，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像
上的关系。指数函数与对数函数互为反函数的结论，会解简单的指数方程和对
数方程。
3.重难点：幂函数性质的探求及其运用。对数的意义与运算性质，反函数的概念，
指数函数与对数函数的图像和性质（单调性）。
4

说明：①幂函数
y?x
?
(
?
?Q,
?
是常数)
的定义域
D
由常数
?
确定，但总有
（0，+?）?D.D不外乎是（0，+?）,[ 0,+?),(-?,0)?(0,+?),(-?,+?)
四种。当
D?(??,0)U(0 ,??)或D=(-?,+?)时
，幂函数
y?x
?
是奇函数或偶函数，因此 研
究幂函数的性质，主要是研究幂函数在
(0,??)
上的性质。当
?
?0时，y?x
?
在（0，+?）+?）
是增函数；当
?
?0时， y?x
?
在（0，
上是减函数，
幂函数的图像都经过
(1,1)。
②指数函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
有些同学常会与 幂函数
y?x
?
(
?
?Q,
?
是常数)

混淆。
③换底公式
log
b
N?
log
a< br>N
.(其中a?0,a?1,b?0,b?1,N?0)

log
a
b
④函数
y?f(x)
的定义域是它的反函数
y?f
?1< br>(x)
的值域；函数
y?f(x)
的值域
就是它的反函数
y? f
?1
(x)
的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线
y?x
对称。
⑤对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
与指数 函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
互为反函数。
⑥在解对数方程时 必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程
变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。
第五章 三角比
第1节 任意角的三角比
1.主要内容：正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有重
合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的弧
长公式，扇形的面积公式。任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、
正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。终边相同的两个角的同名三角比
的关系，单位圆。
2.重难点：任意角的三角比的定义，由角的范围求三角比的取值范围和由三角比
的取值范围求角的范围。
5

第2节 三角恒等式
1.主要内容：同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系）、诱导公式、
两角和与差的正弦、余弦和正切，两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、
余弦和正切。【理】三角比的积化和差与和差化积。
2.重难点：三角恒等变形，如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形，三角公式
的变式训练。
第3节 解斜三角形
1.主要内容：已知三角形的两边及夹角，求三角形的面积。正弦定理、余弦定理、
扩充的正弦定理。解斜三角形。
2.重难点：正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。
第六章 三角函数
第1节 三角函数的图像与性质
1.主要内容：正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、
奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正弦
函数、余弦函数和正切函数的图像。
2.重难点：掌握正弦函数的概念性质和图像并领悟有关方法。在此基础上类似地
研究并掌握余弦函数和正切函数。研究三角函数式的性质，设法把已知函数表
达式转化为形如
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)< br>的表达式。
第2节 反三角函数与最简三角方程
1.主要内容：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程，简单的三
角方程。
2.重难点：掌握反正弦函数的概念并领悟其研究方法，在此基础上，研究并掌握
反余弦函数和反正切函数。含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。三角
函数的图像分析方法。

高二(上)数学知识点归纳
第七章 数列与数学归纳法
1.主要内容：第1节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项
6

与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。
第2节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的一般步骤，
数学归纳法的应用。
第3节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用
的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。
2.基本要求：第1节数列：理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义，
会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，掌握等差数列与等比数
列的通项公式。
第2节数学归纳法：会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的
等式，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。
第3节数列的极限：掌握数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，掌握无
穷等比数列前n项和的极限公式。
3.重难点：第1节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的概念及由计算
数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式。
第2节数学归纳法：用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用及通过
归纳猜想命题的一般结论。
第3节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。
公式 ：(1)等差数列
{a
n
}
的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
.
(2)等差数列
{a
n
}
的前n项和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
.
22
(3)等比数列
{a
n
}
的通项公式：< br>a
n
?a
1
q
n?1
.

(4)等比数列
{a
n
}
的前n项和公式：
S
n
? na
1
(q?1)

a?a
n
q
a
1(1?q
n
)
或S
n
?
1
(q?1)

S
n
?
1?q1?q
(5)当
q?1时，l imq
n
?0
,
lim
1
?0
(
n??< br>)
n
a
1
(q?1)
.
1?q
(6)无穷等比数列各项的和：
S?
第八章 平面向量的坐标表示
7

1.主要内容：平面向量及其运算，平面向量的坐标表示及其运算，基向量、平面
向量分解定理，平面向量的数量积及其坐标表示，平面向量的夹角，平面向量
的平行和垂直。
2.基本要求：理解平面向量的有关概念：向量的方向，向量的模，单位向量，位
置向量，负向量，向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角，向量
的加减法，向量的数乘，向量的数量积，一个向量在另一个向量上的投影等。
掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标表示方法，
线段的定比分点公式和中点公式。会判别两个向量的平行关系和垂直关系，会
运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。理解基向量和
平面向量分解定理。
3.重难点：重点是向量的数量积，向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角。难
点是向量的夹角的概念和向量的数量积。
?
?
x?
注意：(1)有向线段的 定比分点的坐标公式：
?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
（
?
??1
）
y
1
?
?
y
2
1?
?
(2)向量
a与向量b
的夹角
?
的取值范围是
0?
?
?
?
.
(3)向量
a与向量b
的数量积：
a?b?abcos
?

(4)向量
a与向量b
垂直的充要条件是：
a?b?0

(5)向量
a?(x,y)
的模的计算公式：
a?x
2
?y
2
.
第九章 矩阵和行列式初步
1.主要内容：矩阵及矩阵有关运算，二阶行列式、三阶行列式，二元、三元线性
方程组的矩阵表示，二元、三元线性方程组的解的讨论。

2.基本要求：理解矩阵的意义，会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。掌握行列
式的意义，理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式，掌握二阶、三阶行列
式的对角线展开法则，掌握三阶行列式按照某一行（列）的代数余子式展开的
方法，会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、三
元线性方程组的解的情况进行讨论，会根据二元线性方程组的解的情况判断直
8

角坐标系平面内两条直线的位置关系。
3.重难点：重点是运用行列式研究二元、三元线性方程组，难点是对含字母系数
的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。
注意：(1)经过往年高考试题分析代数余子式这个知 识点常考，一般是出在填空
?
a
1
x?b
1
y?c
1
题； (2)二元一次方程组
?
（
?
）的解的判别：（i）D≠ 0,方程组
ax?by?c
22
?
2
（
?
）有唯一 解.（ii）D=0：①
D
x
、D
y
中至少有一个不为零，方程组 （
?
）无
解；②
D
x
?D
y
?0
，方程组（
?
）有无穷多解。
第十章 算法初步
1.算法的表述：主要有三种表述方法：（1）通常语言（2）程序框图（3）计算机
程序
2.算法的思想方法：主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方法。
3.高考每年必考一道填空题，学生大部分能做对，难度不大。

高二(下)数学知识点归纳
第十一章 坐标平面上的直线
1.主要内容：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方
程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离，两直线的夹角以及两
平行线之间的距离。
2.基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直
线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。熟练判断点与直线、直线与直线的
不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3.重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示
进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条件
求出直线方程。熟练运用待定系数法。
(1)图形与方程
9

图形
直线l
方 程

ax?by?c?0
(
a,b
不同时为零) ①
(2)直线的几何特征与二元一次方程的代数特征
几何特征
点A在直线上
直线l的法方向
直线l平行的向量
倾斜角
(3)直线的已知条件与所选直线方程的形式
直线的已知条件
已知直线
l
经过点
A(x
0
,y
0
)
且与向量
d=（u,v）平行
已知直线
l
经过点
A(x
0
,y< br>0
)
且与向量
n
=（a,b）垂直
已知直线
l经过点
A(x
1
,y
1
)
和点
B(x
2
,y
2
)

已知直线
l
的斜率为k,且经
过点
A(x
0
,y
0
)



(4)两直线的位置关系：
l
i
:y?k
i
x?bi
(i?1,2).

位置关系
l
1
与l
2
相交
代 数 特 征
点A的坐标（x,y）是方程①的解。
r
法向量
n?(a,b)

r
方向向量
d?
（
b
,
?a
）
a
斜率k=
?

b
所选择直线方程的形式
点方向式方程
x?x
0
y?y
0
?

uv

点法向式方程
a(x?x
0
)?b(y?y
0
)?0


一般式方程
ax?by?c?0


点斜式方程
y?y
0
?k(x?x
0
)

系 数 关 系

k
1
?k
2

10

l
1
与l
2
平行
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

l
1
与l
2
重合
l
1
与l
2
垂直
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2


k
1
?k
2
??1

(5)点到直线的距离公式< br>d?
ax
0
?by
0
?c
a?b
22

(6)两直线的夹角公式
cos
?
?
a
1
a< br>2
?b
1
b
2
a
1
?b
1
22
a
2
?b
2
22

(7)直线的倾斜角
?
的范围是
0?
?
<
?
,当直线
l
的斜 率不存在时，直线的倾斜
?
2
.

第十二章 圆锥曲线
1.主要内容：直角坐标系中，曲线C是方程F（x,y）=0的曲线及方程F（x,y）
=0是曲线C的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线
的标准方程及它们的性质。
2.基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是
否在曲线上及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这
些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用
直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析
法解决相应的几何问题。
3.重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究
几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几
何问题。



4.椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格
图
形
椭 圆 双 曲 线 抛 物 线
11

几
何
条
件

标
准
方
程

对
称
轴

顶
点
坐
标

焦
点
坐
标
渐
近
线
方
平面内到两个定点
F
1
,F
2
的距离和等于
平面内与两个定 点
F
1
,F
2
的距离之差的绝

平面上与一定点< br>F
和
一条直线
l
（
F
不在
l
上）的 距离相等
常数
2a(2a?F
1
F
2
)

对值等于常数
2a(2a?F
1
F
2
)

x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
ab
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
y
2
?2px

x
2
?2py
(p?0)


(p?0)

其中
c
2
?a
2
?b
2
其中
c
2
?a
2
?b
2

x
轴，长轴为2
a

x
轴，
y
轴，原点都对称

x
轴

y
轴，短轴为2
b

y
轴
(?a,0)

(a,0)

(0,?b)

(0,b)

(?a,0)

(a,0)


原点

(?a
2
?b
2
,0)

(a
2
?b
2
,0)

(?a
2
?b
2
,0)

(a
2
?b
2
,0)


p
(,0)

2

p
(0,)

2


y??
b
x

a

12

程
准
线
方
程


x??
p

2
y??
p

2
第十三章 复数
1.主要内容：⑴复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部，复
数的相等，复数的共轭。⑵复平面的有关概念：复平面，实轴与虚轴，复数的
坐标表示，复数的向量表示，复数的模，复平面上两点的距离。⑶复数的运算：
加、减、乘、除、乘方，平方根，立方根（仅限于1的平方根的应用），复数
的积、商与乘法的模，实系数一元二次方程。
2.基本要求：掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，会进行复数的四则
运算法则，会求复数的平方根，会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数
的模，会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论
z?z?z
的结论，
会求复数的模的最大值与最小值。会在复数集内解实系数一元二次方程。
3.重难点：复数的模，模是实数，复数的模的综合问题。
2

高三数学知识点归纳
第十四章 空间直线与平面
1.主要内容：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法画
简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理，
等角定理，异面直线的概念，异面直线所成的角，空间直线与平面的位置关系，
空间平面与平面的位置关系。
2.基本要求：掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，理解异面直线所
成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。
3.重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、
13

平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线，
运用平面的基本性质进行说理证明问题。
知识结构图



空
间
直
线
与
平
面
两条直线的位置
关系
直线和平面的位置
关系



平行
平面和平面的位置关系
相 交




相交
平面的基本性质

3个公理及3个推论
第十五章 简单几何体
图形的性质
?
多面体
??
?简单几何体
??
--
?
体积和表面积的计算

旋转体
??
?
直观图的画法
?
14

1.“斜二侧”画图法：图中的x轴、y轴、z轴分别表示现实中的前后方向、左右方向、铅垂方向。现实中1cm长的线段，在x轴、y轴、z轴方向上的直
观图中的长度分别是0 .5cm、1cm、1cm.
2.祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截 面面积相
等则这两空间图形的体积必然相等。
3.多面体和旋转体共同性质和度量公式：

柱体
锥体
球
多面体
棱柱
棱锥
球
旋转体
圆柱
圆锥
球
主要特征
侧棱或母线平行，两底面平行
侧棱或母线共点，只有一个底面
球面上的点到球心的距离相等
体 积
S?h

1
Sh

3
4
3
?
r

3
4.设几何体的底面周长为
c
（有两个不同底面时，周长分别记为
c
1
，c
2
），母线
或斜高长为
h
'
.
(1)圆柱和直棱柱的表面积分别为
S
圆柱
=
?
c
2
2
?ch
'
，
S< br>直
?
ch
'
+地面面积
?2

(2)圆锥和 正棱锥的表面积分别为
S
圆锥
?
?
c
2
?ch'
2
，
S
正
?
1
'
ch
+底 面面积
2
(3)半径为
r
的球的表面积为
S
球
?
4
?
r
2
.
5.球面距离：通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。
第十六章 排列组合和二项式定理
1 .乘法原理：如果完成一件事需要
n
个步骤，第1步有
m
1
种不同的 方法，第2
步有
m
2
种不同的方法，……，第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事
共
有
N?m
1
m
2
?m
n
种不同的方法。
2.加法原理：如果完成一件事有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，
在第2类办法中有
m
2
种不同的方法，……，在第n 类办法中有
m
n
种不同的
15

方
法，那么完成这件事共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
3.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m
?n
)个元素，按一定的次序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4.排列数公式：
P
nm
?n(n?1)(n?2)?(n?m?1).

特别地：
P< br>n
n
?n(n?1)(n?2)???3?2?1?n!
. 此外排列数公式还可写成

P
n
m
?
n!
.
(n?m)!
5.组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m
?n
)个元素组成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合。
P
n
m
n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
6.组合数公式：
C?
m
?.
（其中
m?n
）此外组合
m!
P
m
m
n
m
?
数公式还可以写成
C
n
n!
.

m!(n?m)!
mm
n?mm?1m
7.组合数性质：①
C
n
=
C
n
. ②
C
n
+
C
n
=
C
n?1
.
8.二项式定理：一般地，对于任意正整数
n
有
0n1n?11rn?rr nn
a?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b< br>
(a?b)
n
?C
n
rn?rr
ab.< br>（
n?N
?
）
T
r?1
?C
n
9.二项式系数的性质：①
(a?b)
n
的二项式展开式中，与首末两项“等距离”
的两项的二项式系数相等。
②(a?b)
n
的二项式展开式中 ，所有二项式系数的和等于
2
n
.

10.本章数学思想：化归思想和分类计数法。

第十七、十八章 概率论初步、基本统计方法
知识结构图：


样本空间
?

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随机事件A、B
对立事件
A

P(A)

事件的和
A?B

独立事件的积
A?B

P(A?B)

P(A?B)

样本空间
?

随机变量
?

分布律
数学期望
方差
标准差
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知识点：基本事件、随机事件、试验、必然事件、不可能事件、对立事件、随机
事件的概率、 概率的基本性质、随即事件的频率、频率的“大数定律”性质、互
不相容事件、独立事件、事件和的概率 、独立事件积的概率、随机变量、数学期
望。
1.在古典概率中，事件A出现的概率为
P(A)?
事件A所包含的基本事件数

试验中所有的基本事件数
2.必然 事件记作
?
，其概率为1；不可能事件记作
?
，其概率为0.
3.E和F叫做对立事件，如果⑴
E?F??;
⑵
E?F??

P(A)?P(A)?1

4.频率的大数定律：频率在大数次试验中稳定于某一个常数（概率）。
5.总体;统计问题中，研究对象的全体。总体的每一个对象叫做个体。
6.总体均值
?
?
1
(x
1
?x
2
???x
N
)

N
7.中位数：把总体的各个个体依从小到大的顺序排列，当N为奇数时，位于该数
列正中位置的数。当N为偶数时，位于正中位置两个数的平均数。
8.总体方差公式：< br>?
2
?
1
[(x
1
?
?
)
2
?(x
2
?
?
)
2
???(x
N
?
?
)
2
]
，总体方差
?
2
反
N
映的是数据的离散程度。其中
?
叫做总体标准差。
9.总体 均值的点估计值公式：
x?
x
1
?x
2
???x
n

n
(x
1
?x)
2
?(x
2
? x)
2
???(x
n
?x)
2
总体标准差的点估计值公式：
s?

n?1
10.抽样方法：随机抽样、系统抽样、分层抽样。


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