高中数学选修知识点总结精华版

数学选修2-2知识点总结
一、导数
1．函数的平均变化率为
f( x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1：其中
?x
是自变量的改变量，可正，可负，可零 。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f( x
0
??x)?f(x
0
)
?y
，则
?lim?x?0
?x
?x?0
?x
称函数
y?f(x)
在点< br>x
0
处可导，并把这个极限叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，
即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x< br>3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数
函数 导函数








y'?
0






6、常见的导数和定积分运算公式:若
f
?
x
?
，
g< br>?
x
?
均可导（可积），则有：
和差的导数运算
积的导数运算
商的导数运算
复合函数的导数
微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性

特别地：
?
?Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x?

?
1
?
?g'(x)
特别地：
?

?
'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x
?
?

（其中
F'
?
x
?< br>?f
?
x
?
）
特别地：
?

b< br>a
kf(x)dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
a
b

用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检
查
f

(x)
在方程 根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果
左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无
极值
8.利用导数 求函数的最值的步骤:求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值 与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个是最大值 ，最小的一个是最小值。[注]：
实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲 边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限（“ 以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
?
1dx?b?a

a
b
性质5若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
，则
?
f(x)dx?0< br>
a
b
①推广：
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)

aaaa
bbbb
②推广:?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L
?
?
f(x)dx

aac
1
c
kbc
1
c
2
b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值， 也可能取
负值，还可能是0.
(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值
取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值
取负值，且等于x轴上方图形面积的相反 数；

（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积 分的
值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分 知识（1）位移的导数为速度，速度的
导数为加速度。（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归
．．．．．．．
纳推理。
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
．．．．
14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳 推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，
因此，它不能作为数学 证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点 ，
帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对 象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相
同，这样的推理称为类比推理。类比 推理是由特殊到特殊的推理。
．．．．
17.类比推理的思维过程
观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实 和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则
得到新结论的推理过程。演绎推理是由一 般到特殊的推理。
．．．．
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。
其中 ①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是
结论，它是根据一 般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公 理、定理，直接推证结论的
真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因 导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推
出要证的结论。
23.分 析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的
式子，可称为“由果 索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使
用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证 实结论的否定是错误的，
从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
．．．
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 反义词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
原结论词
对任意x不成立
p或q
p且q
反义词
存在x使成立
对所有的x都成立 存在x使不成立
?p
且
?q

?p
或
?q

27.反证法的思维方法:正难则反
．．．．
28.归缪矛盾
（1）与已知条件矛盾:
．．．．
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
．．．．．．．．．．
（3）自相矛盾．
．．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
．．．
?
(1)证明：当n取第一个值
nn?N
??
时命题成立；
00< br>．．．．
(2)假设当n=k(k∈N
*
，且k≥n
0
)时命 题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
．．．．．
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，
a
叫实部，
b
叫虚部，数集
．．．．
C??
a?bi|a,b?R
?
叫做复数集。
规定：
a?bi?c?di?
a=c且，
．．．．
b=d
．．．
强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
?
实数 (b?0)
?
31．数集的关系：
复数Z
?
?
一般虚数(a?0)

?
?
虚数 (b?0)
?
?
?
纯虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序 实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数
z?a?bi
，都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。
由于有序实数对
(a,b )
与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标
系中的点集之间可以建立一一 对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯
虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r< br>叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)
记作
z或a?bi
。由模的定义可知：
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
，则
z
1
?z
2< br>?a?c?(b?d)i
。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
．．
②复数的乘法法则：
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法 法则：
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
??
2
?< br>2
i
其中
c?di
叫做实数化因子
22
c?di( c?di)(c?di)c?dc?d
36.共轭复数:两复数
a?bi与a?bi
互 为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(9)< br>设
?
?
?1?3i
是1的立方虚根，则
1?
?
?
?
2
?0
，
?
3n?1
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
2