高中数学优质课竞赛方案-n在高中数学代表什么数集
高中数学知识总结归纳(打印版)
引言
1.课程内容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)
必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:算法初步、统计、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内
容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、
函数、数列、不等式、解
三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打
好基础的同时,进一步强调了这些知识
的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上
做过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:由2个模块组成。
选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列2:由3个模块组成。
选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数
选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。
系列3:由6个专题组成。
选修3—1:数学史选讲。
选修3—2:信息安全与密码。
选修3—3:球面上的几何。
选修3—4:对称与群。
选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:三等分角与数域扩充。
系列4:由10个专题组成。
选修4—1:几何证明选讲。
选修4—2:矩阵与变换。
选修4—3:数列与差分。
选修4—4:坐标系与参数方程。
选修4—5:不等式选讲。
选修4—6:初等数论初步。
选修4—7:优选法与试验设计初步。
选修4—8:统筹法与图论初步。
选修4—9:风险与决策。
选修4—10:开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数
难点:函数、圆锥曲线
高考相关考点:
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件
第
1
页
⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值
域与最值、反函数、三大性质、函数图象、
指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数:有关概
念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、
三角函数的图象与性质、三角函数
的应用
⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用
⑹不等式:概念与性
质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等
式的应用
⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻
圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲
线的应用
⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间
向量
⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用
⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数:复数的概念与运算
第
2
页
高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法
N
表示自然数集,
N
?
或
N
?
表示正整数集,
Z
表示整数集,
Q
表示有理数集,<
br>R
表示实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是
a?M
,或者
a?M
,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:{
x
|
x
具有的性质},其中
x
为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集
合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合
叫做空集(
?<
br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
A中的任一元素都
属于B
(2)
??A
(3)若
A?B
且
B?C
,则
A?C
(4)若
A?B
且
B?A
,则
A?B
(1)
??A
(A为非空子集)
?
性质 示意图
A?B
子集
(或
A(B)
BA
B?A)
A
?
B
?
或
A?B
,且B中至
少有一元素不属于
A
真子集 (或
B
?
A)
?
(2)若
A?B
且
B?C
,则
A?C
???
BA
集合
相等
A?B
A中的任一元素都
(1)A
?
B
属于B,B中的任
(2)B
?
A
一元素都属于A
n
A(B)
nn
(7)已知集合
A
有
n
(n?1)
个元素,则它有
2
个子集,它有
2?1
个真子集,它有<
br>2?1
个非空子集,它
有
2?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质
(1)
AA?A
(2)
A???
(3)
AB?A
AB?B
示意图
n
交集
AB
{x|x?A,
且
x?B}
AB
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3
并集
AB
{x|x?A,
或
x?B}
(1)
A
(2)
A
(3)
A
A
A?A
??A
B?A
B?B
1
A(?
U
A)??
A
B
补集
?
U
A
{x|x?U,且x?A}
痧B)?(
U
A)(?
U(A
U
B)
痧B)?(
U
A)(?
U
(AU
B)
2
A(?
U
A)?U
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)
|x|?a(a?0)
{x|?a?x?a}
x|x??a
或
x?a}
把
ax?b
看成一个整体,化成
|x|?a
,
|ax?b|?c,
|ax?b|?c(c?0)
|x|?a(a?0)
型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法
判别式
??b
2
?4ac
二次函数
??0
??0
??0
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
一元二次方程
O
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
(其中
x
1
?
x
2
)
x
1
?x
2
??
b
2a
无实根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}
{x|
x??
b
}
2a
R
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x
1
?x?x
2
}
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
?
?
(1)函数的概念
①设
A
、
B
是两
个非空的数集,如果按照某种对应法则
f
,对于集合
A
中任何一个数
x
,在集合
B
中
都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么
这样的对应(包括集合
A
,
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
)叫
做集合
A
到
B
的一个函数,记作
f:A?B
.
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
页 第
4
③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
(2)区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数,且
a?b,满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间,记做
[a,b]
;满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做开区间,记做
(a,
b)
;满足
a?x?b
,或
a?x?b
的实数
x
的
集合叫做半开半闭
区间,分别记做
[a,b)
,
(a,b]
;满足<
br>x?a,x?a,x?b,x?b
的实数
x
的集合分别记做
[a,??
),a(?,?),?(?b,]?,?(b
.
注意:对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
,前者
a
可以大于或等于
b
,而
后者必须
(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).
a?b
,
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①
f(x)
是整式时,定义域是全体实数.
②
f(x)
是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
③
f(x)
是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.
⑤
y?tanx
中,
x?k
?
?
?
2
(k
?Z)
.
⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
⑦若
f(x)
是由
有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的
定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知
f(x)
的定义域为
[a
,b]
,其复合函数
f[g(x)]
的
定义域应由不等式
a?g(x
)?b
解出.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
(4)求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实
上,如果在函数的值域中存在一个
最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与
值域,其实质是相同的,只是
提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:
①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:将函数解析式化
成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的
值域或最值.
③判别
式法:若函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关于
x
的二次方程
a(y)x
2
?b(y)x?c(y)?0
,则在
a(
y)?0
时,由于
x,y
为实数,故必须有
??b
2
(y)
?4a(y)?c(y)?0
,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.
⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简
、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题.
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5
⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互
逆关系确定函数的值域或最值.
⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
⑧函数的单调性法.
【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:就是用数学表
达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之
间的对应关系.图象法:就
是用图象表示两个变量之间的对应关系.
(6)映射的概念
①设
A
、B
是两个集合,如果按照某种对应法则
f
,对于集合
A
中任何一
个元素,在集合
B
中都有
唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合
A
,
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
)
叫做集合
A
到
B
的映射,记作
f:A?B
.
②给
定一个集合
A
到集合
B
的映射,且
a?A,b?B
.如果元
素
a
和元素
b
对应,那么我们把元素
b
叫
做元素<
br>a
的象,元素
a
叫做元素
b
的原象.
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x
1
、x
2
,当x<
1
.
..
x时,都有f(x)
...
..........
那么就说f(x)在这个区
间上是
增函数.
...
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值
x
1
、x
2
,当x<
1
.
..
x时,都
有f(x)>f(x),
212
...
..........
那么就说f(x
)在这个区
间上是减函数.
...
图象 判定方法
(1)利用定义
(2)利用已知函数
的单调性
(3)利用函数图象
(在某个区间图
象上升为增)
(4)利用复合函数
(1)利用定义
(2)利用已知函数
的单调性
(3)利用函数图象
(在某个区间图
象下降为减)
(4)利用复合函数
y
y=f(X)
f(x
)
1
f(x
)
2
o
x
1
x
2
x
函数的
单调性
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x
)
2
o
x
1
x
2
x
②在公共定
义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为
增函数,减函数
减去一个增函数为减函数.
③对于复合函数
y?f[g(x)]
,令
u?g
(x)
,若
y?f(u)
为增,
u?g(x)
为增,则
y?
f[g(x)]
为增;
若
y?f(u)
为减,
u?g(x)
为减,则
y?f[g(x)]
为增;若
y?f(u)
为增,
u?g(
x)
为减,则
y?f[g(x)]
为减;若
y?f(u)
为减,u?g(x)
为增,则
y?f[g(x)]
为减.
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6
(2)打“√”函数
f(x)?x?
a
(a?0)
的图象与性质
x
y
f(x)
分别在
(??,?
a]
、
[a,??)
上为增函数,分别在
[?a,0)
、
(
0,a]
上为减函数.
(3)最大(小)值定义
①一般地,设函数y?f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足:(1)对于
任意的
x?I
,都有
f(x)?M
;
(2)存在x
0
?I
,使得
f(x
0
)?M
.那么,我们
称
M
是函
数
f(x)
的最大值,记作
f
max(x)?M
.
②一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为
I<
br>,如果存在实数
m
满足:(1)对于任意的
x?I
,都有
(2
)存在
x
0
?I
,使得
f(x
0
)?m
.
那么,我们称
m
是函数
f(x)
的最小值,记作
f(x)?m
;
o
x
f
max
(x)?m
.
【1.3.2】奇偶性
(4)函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x)定义
域内任意一个x,都有
f
(-x)=-f(x),那么函数
...........
f(x)叫做奇函数.
...
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义
域内
任意一个x,都有
f(-f(x),那么函数
...
x)=
.......<
br>f(x)叫做偶函数.
...
②若函数
f(x)
为奇函数
,且在
x?0
处有定义,则
f(0)?0
.
③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或
奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义域; ②化解函数解析式;
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
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图象 判定方法
(1)利用定义(要
先判断定义域是否
关于原点对称)
(2)利用图象(图
象关于原点对称)
(1)利用定义(要
先判断定义域是否
关于原点对称)
(2)利用图象(图
象关于y轴对称)
要准确记忆一次函数、二次函
数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象.
①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位
y?f(x)??????
??y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
②伸缩变换
0?
?<
br>?1,伸
y?f(x)?????y?f(
?
x)
?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)
y?f(x)????y??f(x)
y?f(x)?
?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)
y?f(x)?????y?f
?1
(x)
去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)????
??????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去
(2)识图
对于
给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域
、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(3)用图
函数图象
形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,
获得问题结
果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果
x?a,a?R,x?R,n?1
,且
n?N
?
,那么<
br>x
叫做
a
的
n
次方根.当
n
是奇数时,a
的
n
次
方根用符号
n
a
表示;当
n
是偶数时,正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a表示,负的
n
次方根用符号
?
n
a
表示;0的
n
次方根是0;负数
a
没有
n
次方根.
②式子
n
a
叫做根式,这里
n
叫做根指数,
a
叫做被开方数.当n
为奇数时,
a
为任意实数;当
n
为
偶数时,
a?0
.
③根式的性质:
(
n
a)
n
?a
;当
n
为奇数时,
n
n
n
a
n
?a;当
n
为偶数时,
?
a (a?0)
.
a
n
?|a|?
?
?
?a (a?0)
m
n
(2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:
a
0.
②正数的负分数指数幂的意义是:
a
?
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
.0的正分数指数幂等于
1
m
1
?()
n
?
n<
br>()
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
.0的负分数
aa
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指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
(3)分数指数幂的运算性质
①
a?a?a
r
rsr?s
(a?0,r,s?R)
②
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)<
br>
③
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数
函数名称
定义
x
rr
指数函数
函数
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1
y
y?a
x
(0,1)
0?a?1
y?a
x
y
图象
y?1
y?1
(0,1)
O
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性 在
R
上是增函数
x
R
(0,??)
O
x
图象过定点<
br>(0,1)
,即当
x?0
时,
y?1
.
非奇非偶
在
R
上是减函数
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
图象的影响
在第一象限内,
a
越大图象越高;在第二象限内,
a
越大图象越低.
a
变化对
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
x
①若
a?N(a?0,且a?1)
,
则
x
叫做以
a
为底
N
的对数,记作
x?loga
N
,其中
a
叫做底数,
N
叫
做真数.
②负数和零没有对数.
x
③对数式与指数式的互化:
x?log
a
N?a?N(a?0,a?1,N?0)
.
(2)几个重要的对数恒等式
log
a
1?0
,
log
a
a?1
,
lo
g
a
a
b
?b
.
(3)常用对数与自然对数
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9
常用对数:
lgN
,即
log
10
N
;自然对数:
lnN
,即
log
e
N
(其中
e?2.71828
…).
(4)对数的运算性质
如果
a?0,a?1,M?0,N?0
,那么
①加法:
log
a<
br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法:
log
a
M?log
a
N?log
a
logNn
③数乘:
nlog
a
M?log
a
M(n?R) ④
a
a
?N
M
N
⑤
log
a
b
M
n
?
log
b
N
n
(b?0,且b?1)
log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式:
log
a
N?
log
b
a
b
【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数
函数
名称
定义
对数函数
函数y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1
0?a?1
y?log
a
x
y
x?
1
y
1x?
图象
O
(1,0)
x
O
y?log
a
x
(1,0)
x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
在
(0,??)
上是增函数
(0,??)
R
图象过定点
(1,0)
,即当
x?1
时,
y?0
.
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)
log
a
x?0(x
?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x
?1)
log
a
x?0(0?x?1)
图象的影响
a
变化对
(6)反函数的概念
在第一象限内,
a
越大图
象越靠低;在第四象限内,
a
越大图象越靠高.
设函数
y?f(x)
的定义域为
A
,值域为
C
,从式子
y?f(x)
中解出<
br>x
,得式子
x?
?
(y)
.如果对
于
y在
C
中的任何一个值,通过式子
x?
?
(y)
,
x
在
A
中都有唯一确定的值和它对应,那么式子
x?
?
(
y)
表示
x
是
y
的函数,函数
x?
?
(y
)
叫做函数
y?f(x)
的反函数,记作
x?f
?1
(y)
,习惯上改
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