高中数学奥赛有 什么用-高中数学集合的知识点框架图
高中数学经典例题、错题
详解
【例1】
设M={1、2、3},N={e、g、h},从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是(
)
MNMNMNMN
1
2
3
A
e
g
h<
br>1
2
3
B
e
g
h
1
2
3<
br>C
e
g
h
1
2
3
D
e
g<
br>h
映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A
中的每一个元素x,在
集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到
集合B的一个映射。
函数的概念:一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集
合A中的每一个元素x,
在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函
数。(函数的本质是建立在两
个非空数集上的特殊对应)
映射与函数的区别与联系:
函数是建立在两个非空数集上的特殊对应;而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应;函数是特殊的映射,<
br>是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应。
1
可以是“一对一”;○
2
可以是“多对一”;○
3
不能“一对多
”;○
4
A中不能有映射与函数(特殊对应)的共同特点:○
5
B中可以有剩
余元素。 剩余元素;○
映射的特点:(1)多元性:映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集
或由图形组成的集合等;(2)
方向性:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个
映射;(3)映射中集合A的每一个
元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象;(
4)唯一性:映射中集合A中的任一元素在
集合B中的象都是唯一的;(5)一一映射是一种特殊的映射
方向性
上题答案应选 C
3
不能“一对多”,所以A、B、D都错误;
只有C完全满足映射与函数(特殊对应)【分析】根据映射的特点○
的全部5个特点。
本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题。
【例2】 已
知集合A=R,B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx:→(x+1、x
2
),(1)求
2
在B中的
对应元素;(2)(2、1)在A中的对应元素
【分析】(1)将x=
2
代入对应关系,可得其在B中的对应元素为(
2
+1、1);(2)由题意得:x+1=2,x
2
=1
得出x=1,
即(2、1)在A中的对应元素为1
【例3】
设集合A={a、b},B={c、d、e},求:(1)可建立从A到B的映射个数(
);(2)可建立从
B到A的映射个数( )
【分析】
如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有 n
m
个;集
合B到集合A的映射共有 m
n
个,所以答案为2
3
=9;3
2
=8
【例4】
若函数f(x)为奇函数,且当x﹥0时,f(x)=x-1,则当x﹤0时,有( )
A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0
D、f(x)-f(-x) ﹥0
奇函数性质:
1、图象关于原点对称;
2、满足f(-x) = - f(x) ;3、关于原点对称的区间上单调性一致;
4、如果奇函数在x=0
上有定义,那么有f(0)=0;
5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)
偶函数性质:
1、 图象关于y轴对称;
2、满足f(-x) = f(x) ;3、关于原点对称的区间上单调性相反; 4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0;5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)
基本性质:
唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x,f(x)=0)。
通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数;如x +
x
2
。
两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
两个偶函数的乘积为一个偶函数。
两个奇函数的乘积为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
两个偶函数的商为一个偶函数。
两个奇函数的商为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
一个偶函数的导数为一个奇函数。
一个奇函数的导数为一个偶函数。
两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数
【分析】
f(x)为奇函数,则f(-x) = -f(x),
当X﹤0时,f(x) =
-f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A正确,B错误;
f(x)·f(-x)=(x-1)(-x+1)﹤0,故C错误;
f(x)-f(-x)=
(x-1)-(-x+1)﹤0,故D错误
【例5】
已知函数f(x)是偶函数,且x≤0时,f(x)=
1?x
,求:(1)f(5)的值;
1?x
(2)f(x)=0时x的值;(3)当x>0时,f(x)的解析式
【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题,函数的性质及应用
【分析及解答】
(1)根据题意,由偶函数的性质f(x)=
f(-x),可得f(5)= f(-5)=
1?(-5)2
=—
1(--5)3
(2)当x≤0时,f(x)=0 可求x,然后结合f(x)=
f(-x),即可求解满足条件的x,
即当x≤0时,
1?x
=0
可得x=—1;又f(1)= f(-1),所以当f(x)=0时,x=±1
1?x
1?(?x)
1?x
=
1?(?x)
1?x
(3)当x>0时,根据偶函数性质f(x)=
f(-x)=
2
e?1
【例6】
若f(x)=e
x
+ae
-x
为偶函数,则f(x-1)<的解集为(
)
e
A.(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
【考点】 函数奇偶性的性质
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用
【分析及解答】
根据函数奇偶性的性质先求出a值,结合函数单调性的性质求解即可
∵f(x)=e
x
+ae
-x
为偶函数,∴f(-x)=e
-x
+ae
x<
br>= f(x)= e
x
+ae
-x
,∴a=1,
∴f(x)
=e
x
+e
-x
在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,
1
e
2
?1
则由f(x-1)<=e+, ∴ -1
<x-1<1, 求得 0 <x <2 故B正确
e
e
【点评】
本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a值是解题关键
【例7】 函数f(x)=
ax?b2
1
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=,(1)确定函数f(x
)的解析式;(2)证明f(x)
2
2
5
1?x
在(-1,1)上为
增函数;(3)解不等式f(2x-1)+ f(x) <0
【考点】
函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用
【分析及解答】
(1) 因为f(x)为(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=0,
1a
22x
2
1
由f(
2
)=,所以=,得出a=1,所
以f(x)=
1
2
55
1?x
2
1?()
2
(2)
根据函数单调性的定义即可证明
任取-1 <x
1
<x
2
<1,f
(x
1
)—f(x
2
)=
x
1
1?x
1<
br>2
—
x
2
1?x
2
2
=
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
(1?x
1
)(1?x
2
)
22
因为-1 <x
1
<x
2
<1,所以x
1
-x
2
<0,1—x1
x
2
>0,所以f(x
1
)—f(x
2
)
<0,
得出f(x
1
)
<f(x
2
),即f(x)在(-1,1)上为增函数
(3) 根据函数的奇偶性、
单调性可去掉不等式中的符号“f”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可:
f(2x-1)+
f(x)= <0,f(2x-1) <—f(x),由于f(x)为奇函数,所以f(2x-1)
<f(—x),因为f(x)在(-1,1)上为增
1
, 因为-1
<2x-1<1○
2
,-1
<x<1○
3
,联立○
1
○
2
○
3
得 0
< x<函数,所以2x-1<—x○
1
,所以解不等
3
式f(2x-1)+
f(x) <0的解集为(0,
1
)
3
【点评】 本题考查函数的奇偶性、
单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,
而抽象不等式常利用性质转化
为具体不等式处理。
【例8】 定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
又f(-3)=0,则不等式x f(x) <0的解集为( )
【考点】
函数单调性的性质 【专题】综合题;函数的性质及应用
【分析及解答】
易判断f(x)在(-∞,0)上的单调性及f(x)图像所过特殊点,作出f(x)草图,根据图像可解不等<
br>式。
解:∵ f(x)在R上是奇函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴
f(x)在(-∞,0)上也是增函数,由f(-3)=0,
可得-
f(3)=0,即f(3)=0,由f(-0)=-f(0),得f(0)=0
作出f(x)的草图,
如图所示:
由图像得:x f(x) <0
?
??
x?0
?
x?0
或
?
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
0﹤x﹤3或-3﹤x﹤0,
∴ x f(x) <0的解集为:(-3,0)∪(0,3),故答案为:(-3,0)∪(0,3)
【点评】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键。
【例9】 已知f(x+1)的定义域为[-2,3],则f(2x+1)的定义域为(
)
抽象函数定义域求法总结:(1)函数y=f[g(x)]的定义域是(a,b),求f(x)的定
义域:利用a<x<b,求得g
(x)的范围就是f(x)的定义域;(2)函数y=f(x)的定义域
是(a,b),求y=f[g(x)]的定义域:利用a<g(x)
<b,求得x的范围就是y=f[g
(x)]的定义域。
【考点】 函数定义域极其求法
【分析及解答】
由f(x+1)的定义域为[-2,3],求出 f(x)的定义域,再由2x+1在函数f(x)的定义域内求
解
x的取值集合,得到函数f(2x+1)的定义域。
解:由f(x+1)的定义域是[-2,3],得-1≤x+1≤4 ;再由-1≤2x+1≤4
?
0≤x ≤
∴ f(2x+1)的定义域是[0,
5
2
5
],故选A
2
【点评】 本题考查了复合函数定义域的求法,
给出函数f[g(x)]的定义域是(a,b),求函数f(x)的定义域,就
是求x∈(a,b)内的
g(x)的值域;给出函数f(x)的定义域是(a,b),只需由a<g(x)
<b,求解x的取值集
合即可。
【例10】
已知函数f(x)=x
7
+ax
5
+bx-5,且f(-3)=
5,则f(3)= ( )
A. -15 B. 15
C.10 D.-10
【考点】 函数的值;奇函数
【分析及解答】 令g(x)=
x
7
+ax
5
+bx,则g(-3)=
解法1:f(-3)=
(-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-(37+a35+3b-5)-10=-
f(3)-10=5,∴f(3)=-15
解法2:设g(x)=
x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数,f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5
∴g(3)=-10, ∴f(3)= g(3)-5=-15
【例11】
已知二次函数f(x)=x
2
+x+a
(a﹥0),若f(m)﹤0,则f(m+1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.零 D.符号与a有关
解法1:因为f(m)<0
所以m2+m+a<0,因为a>0.所以m2+m<0,所以-1
3
2
1
)-+a.
24
因为-1
2
1
)>,
所以f(m+1)>0 答案为A
24
解法2:
f(x)=x?+x+a=x(x+1)+a
∵ f(m)=m(m+1)+a<0
∴m(m+1) <-a , ∵ a>0,且m<m+1 ∴m<0,m+1>0
∵(m+1)? ≥0 即:f(m+1)=(m+1)?+(m+1)+a>0 ∴
f(m+1)>0 选A
【例12】 函数f(x)=
︱x
2
-2x︱—m有两个零点,m的取值范围( )
解:令f(x)= ︱x
2
-2x︱—m=0,则︱x
2
-2x︱=
m,作y=︱x
2
-2x︱和y= m的图像
要使f(x)=
︱x
2
-2x︱—m有两个零点,则图像y=︱x
2
-2x︱和y=
m有两个交点
【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,F(x)=a f(x)+b
g(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,那么F(x)在区
间(-∞,0)上的最小值为(
)
解法1:根据题意,得 a·f(x)+b·g(x)在(0,+∞)上有最大值3, 所以,a
·f(x)+b·g(x)在(-∞,0)上有最小
值-3,故F(x)=a·f(x)+b·g(x)
+2在(-∞,0)上有最小值-1.
解法2:F(x)=a f(x)+b
g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到,由题意G(x)=a
f(x)+b g(x)在(-∞,
0),(0,+∞)上是奇函数,在(0,+∞)上有最大值3,那
么在(-∞,0)上有最小值-3,那么F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2
在(-∞,0)上
有最小值-1.
【例14】对于每个实数x,设f(x)取y=x+1,y=2x+1,y=-
的解析式,求出f(x)的最小值为( )
【例15】已知函数f(x)=x
2
+ax+3,(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;(2)当x∈[-2,2]时
,f(x)
≥a恒成立,求a的取值范围
解(2)函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a/2,依题意得
①当-a/2≤-
2时,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a即:f(-2)=4-2a+3≥a,无解
②当-
2<-a/2<2,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a即:f(-a/2)≥a,得-4<a≤2 <
br>③当-a/2≥2时,当x∈[-2,2]时,f(x)最小值≥a即:f(2)=4+2a+3≥a,得
-7≤a≤-4
综上所述得:-7≤a≤2
解法2:
【例16】下列各组函数表示相等函数的是( )
1
x三个函数中的最大值,
用分段函数的形式写出f(x)
2
x
2
?9
A.
y=与y=x+3 B. y=
x
2
?1
与y=x-1
x?3
C. y=x
0
(x≠0)与y=1(x≠0) D.
y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)
x
2
?9
解:A.
y==x+3(x≠3)与y=x+3定义域不同,不是相等的函数;
x?3
B.
y=
x
2
-1=|x|-1与 y=x-1对应关系不同,不是相等的函数;
C. y=x=1(x≠0)与y=1(x≠0)是相等函数;正确
D.
y=2x+1,x∈Z 与y=2x-1,x∈Z对应关系不同,不是相等函数.
【例17】函数y
=4x
2
-mx+5在区间[-2,+∞)上时增函数,在区间(-∞,2]上是减函数,则f
(1)=( ) A.-7
B.1 C.17 D.25
解:由已知中函数的单调区间,可得函数y=4x
2
-mx+5的图像关于直线x=-
2对称,因为函数y=4x
2
-mx+5在区间
[-2,+∞)上时增函数,在区间(
-∞,2]上是减函数,故函数y=4x
2
-mx+5的图像关于直线x=-2对称,故
m=-16,y=4x
2
+16x+5,f(1)=25
【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为:_________
(1)、
f(x)?
0
m
??2
,
8
(x?3)(x?5)
,
g(x)?x?5
(2)、
f(x)?x?1x?1
x?
3
、
f(x)?
3
x
4
?x
3
,
g(x)?x
3
x?1
x
2
(4)(3)
、
f(x)?x
,
g(x)?
2
(5)、
f(x)?(2x
?5)
,
g(x)?2x?5
【例19】函数
f(x)?ax?4
(a?1)x?3
在区间[-2,+∞)上递增,则a的取值范围______
【例20】函
数
f(x)?x?2(a?1)x?2
在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是
( ) A.a
≤3 B.a≥3 C. a≥-3 D. a≤5
E. a≤-3
【例21】已知
f(x)
是定义在(-2,2)上的减函数,并且<
br>f(m?1)?f(1?2m)
>0,求实数m 的取值范围
2
2
【
例22】若集合
A?xx?1,x?R
?
2
?
,
B?
?
yy
2
?x
2
,x?R
?
,则A∩B=(
)
A.{x∣-1≤x≤1} B. {x∣0≤x≤1} C. {x∣x≥0}
D.Φ
设
f(x)
是定义在R上的奇函数,当x≤0时,
f(x)
=2x
2
-x,则
f(1)
=( )
A.-3
B. -1 C. 1 D.3
?
1?x
2
,x?1
函数
f(x)
=
?
2
则
?
x?x?3,x?1
?
1
?
f
?
?
f(3)
?
?的值为( )
??
1?x
2
(x?0)
,那么
f(0)
等于( ) 【例23】已知
f(2x?1)?
x
2
【例24】已知集合
A?xx
2
?2x?3?0
?
,
B?
?
,若B∩A=B,实数a的值为( )
A.3
B. 6 C. 8 D.10
【例25】函数
y?
?
x(x?1)?x
的定义域为(
)
A.{x∣x≥0} B. {x∣x≥1} C. {x∣x≥1}∪{0}
D. {x∣0≤x≤1}
【例26】下列判断正确的是( )
x
2
?2x
A.函数
f(x)?
是奇函数
B.函数
f(x)?x?x
2
?1
是非奇函数
x?2
1?x
是偶函数 D.函数
f(x)
=1即是奇函数又
是偶
1?x
(-1,0)
C.函数
f(x)?(1?x)
函数 y
【例27】
y?
A.(-∞,-
?x
2
?3x?4<
br>的单调区间是( )
0
(3,0)
x
2222
]
B.[-,+∞) C.[-4, -] D. [ -,1]
3333
【例2
8】设
f(x)
是奇函数,且在区间(0,+∞)内是增函数,又
f(?3)
=0, 则
f(x)
﹤0的解集是(
)
A.{x∣-3﹤x﹤0或x>3} B.{x∣0﹤x﹤3或x﹤-3}
C.
{x∣x﹤-3或x>3} D. {x∣-3﹤x﹤0或0﹤x﹤}
【例29】函数<
br>f(x)?ax?bx?cx?3
,
f(?3)
=7,则
f(3)=_________
【思考】
1、已知二次函数y=x
2
-2x-3,试问x取哪些值时y=0?
代数法:求方程x
2
-2x-3=0的根,x
1
=-1
x
2
=3
几何法:求函数函数y=x
2
-2x-3的图象与x轴的
交点的横坐标(-1,3),此时,-1与3也称为函数y=x
2
-2x-3的零
点
[零点的定义:对于函数
y?f(x)
,我们把使
f(x)
=0的实数x叫做
函数
y?f(x)
的零点。] 注意:零点
指的是一个实数!
2
2
2
y?ax?bx?c
ax?bx?c?0
??b?4ac
方程(
a﹥0)的根:﹥0时,有两个不相等的实数根x1、x2,函数
53
(a﹥0)的图象与x轴
有两个交点(x1、0),(x2,0),函数的零点为x1、x2;
??b?4ac
=0时,
有两个相
2
y?ax?bx?c
??b
2
?4ac
等的实数
根x1=x2,函数(a﹥0)的图象与x轴有一个交点(x
1
、0),函数的零点为x
1
;
2
﹤0时,没有实数根,函数
y?ax?bx?c
(a﹥0)
的图象与x轴没有交点,函数没有零点。(即:函数
y?f(x)
2
的
零点就是方程
f(x)?0
的实数根,也就是函数
y?f(x)
的图象与x轴
的交点的横坐标。方程
f(x)?0
有实根
?
函数
y?f(x)的图象x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点)
※函数零点存在性定理:
如果函数
y?f(x)
在区间[a,b]上的图象
是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)?f(b)
<0,那么,函数
y?f(x)<
br>在
区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得
f(c)
=0,这个
c也就是方程
f(x)?0
的根,即
?
数
y?f(x)
在(
a,b)内有存在零点;
?
y?f(x)连续
?
函
?
f(
a)?f(b)?0
但是函数
y?f(x)
在区间(a,b)上有零点,则不一定有<
br>f(a)?f(b)
<0;
同样,若函数
y?f(x)
在区间(a,
b)上有零点,且有
f(a)?f(b)
<0,函数的零点个数是否唯一呢?答案是否
?
y?f(x)连续
?
定的,不一定唯一,零点个数唯一存在的条件:
?f(a)?f(b)?0?
函数
y?f(x)
在(a,b)内存在唯一零点 ?
y?f(x)单调
?
【例题】求函数
f(x)
=lnx+2x
—6的零点个数。
解:用计算器或计算机作出x,f(x)的对应表值(下表)和图象
x
f(x)
1
-4
2
-1.3
3
-1.1
4
3.4
5
5.6
6
7.8
7
10
8
12
由上表上图可知,f(2)<0,f(3)>
0即f(2)·f(3)<0,说明这
个函数在区间(2,3)内有零点,由于函数f(x)在定义域(
0,+∞)内是增函数,所以它仅有一
个零点。
2、求函数
f(x)
=3x+2的零点
解:令
f(x
)?0
,即3x+2=0,得x=
?
22
,所以
f(x)
=
3x+2的零点是
?
33
3、已知函数
f(x)
=x2
-2x+m有两个不同的零点,则m的取值范围是( )
A.m<1
B.m>1 C.m>2 D.1
解:根据题意
??b?4ac
﹥0,即4—4m>0,得出m<1。
4、函数
f(x)
=x
3
—x的图象与x轴有( )个交点
A.1 B.2 C.3 D.4
x
2
5、函数
f(x)?2?x?9
的零点所在的大致区间是(
)
A.(1,2) B.(2,3) C.3(3,4) D.(4,5)
6、若方程2ax
2
-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是(
)
A.a<-1 B.a>1 C.-1解:若a=0则原方程变形为-x-1=0 于是x=-1 不合题意,(错) ;
若a≠0该方程为一元二次方程 建立函数f(x)=2ax
2
-x-1,当Δ=1+
8a>0,即a>
-
-1*(2a-2)<0 得a>1 于是有a>1 ;
当Δ=1+8a=0,即a=-18时 方程变形为-14x
2
-x-1=0
即x
2
+4x+4=0 得x=-2 不合题意,(错); 综上a>1
7、若集合A={x︱1≦2x+1≦3},B={x︱(x-2)x≦0},则A∩B=(
)
A. {x︱-1≦x≦0} B. {x︱0
B:(x-2)x≤0,得x(x-2)≤0且x≠0,即0<x≤2,
故A∩B={x-1<x<1}∩{x0<x≤2}={x0<x<1},故选B
8、不等式(x+1)x≦3的解集为( )
解:当x>0,x+1≦3x,得出x≧12;当x<0,x+1≧3x,得出x≤12,
所以解集为{x︱x<0或x≧12}
9、关于x的不等式x
2
+x+c>0的解集是全体实数的条件时( )
A.c<14 B.c≦14 C.c>14 D.c≧14
10、
y?
2
1
时 有f(0)*f(1)<0
即
8
?2x
2
?12x?18
的定义域为____________
2
解: -2x+12x-18≧0,2x-12x+18≦0,(x-3)
2
≦0,则X=3,即:定义域为{3}
11、若不等式ax
2
+bx+2>0的解集为{
x︱-12
?
x?
x?????2?
2
?
1
a22
?
a=-2,b=3 2
解:由题意方程ax+bx+2=0的两个根为x
1
=-12,x
2<
br>=2即
?
c2
?
x
1
?x
2
???
?1
aa
?
12、不等式ax
2
+bx+c≧0的解集为{x︱-1
3≦x≦2},则不等式cx
2
+bx+a<0的解集为( )
b5
?
x?x???
12
?
a3
解:由题意方程ax
2
+bx+c=0的两个根为x
1
=-13,x
2
=2即
?
c2
?
x
1
?x
2
?
??
a3
?
不等式cx
2
+bx+a<0,转化为x
2+(bc)x+ca<0,即x
2
+52x-32<0,解得方程x
2
+
52x-32=0的两个根为x
1
=-3,x
2
=12),
因为x<
br>2
+(bc)x+ca<0,则解集为(-3,12)
13、不等式ax
2
+bx+c>0的解集为(-3,4),求b
x
2
+2ax-c-3b<0的解集
14、关于x的不等式(1+m)x
2
+mx+m
+1对x∈R恒成立,求实数x的取值
解:由(1+m)
x
2
+mx+m
+1
?
mx
2
+m
x+m-1<0
15、函数
f(x)?ax?bx
(a≠0)满足f(-3)=2,则f(3)的值为( )
16、函数
f(x)?-x-4x?1
(-3≦x≦3)的值域是( )
解:
f(x)?-x-4x?1
=—(x+2)
2
+5
(-3≦x≦3)
当x=-2时,函数最大值为5,当x=3时函数有最小值为-20
17、偶函数f(x)的定义域[-5,5],其在[0,5]的图象如图所示,则f(x)的解集为(
)
本题考查偶函数的性质,函数的单调性及应用和不等式的解法,数形结合思想.
2
2
2
当时,函数图像如图,由图知:只有当
因为函数
时,函数的图像在x轴
上方,即
时,函数
故选D
时,
的图像在x轴收偶函数,偶函数的图像关于y
轴对称,所以
则不等式的解集为上方时,只有
18、如果函数f(x)=x2+2(a-1)x
+2在区间(-∞,4]行单调递减,那么实数a的取值范围是( )A.a≦-3
B.a
≧-3 C.a≦5 D.a≧5
19、定义在R上的函数
f(
x)
对任意两个不相等实数a,b,总有
f(a)?f(b)
>0成立,则必有___
____ A.
a?b
f(x)
在R上是增函数
B.
f(x)
在R上是减函数 C.函数
f(x)
是先增加,后减少
D.函数
f(x)
是
先减少,后增加
解:利用函数单调性定义,在定义域上
任取x
1
,x
2
∈R,且x
1
,因
为
f(a)?f(b)
>0
a?b
所以f(a)-f(b)<0,所以
f(x)
在R上是增函数。 20、对于定义域R上的函数f(x),有下列命题:(1)若f(x)满足f(2)>f(1),则f(x
)在R上时减函数;(2)
若f(x)满足f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数;(3)
若函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间
(0,+∞)也是减函数,则f
(x)在R上也是减函数;(4)若f(x)满足f(-2)=f(2),则函数f(x)不是偶函数;
其中正确的是_____________________
21、函数f(x)=x∣x-2∣,(
1)求作函数Y=f(x)的图象;(2)写出函数f(x)的单调区间并指出在各区间上是
增函数还是
减函数?(不必证明)(3)已知f(x)=1,求x的值
22、函数F(x)是定义域为R的偶函数,当x≧0 时,f(x)=x(2-x),(1)画出函数
f(x)的图象(不列表);(2)
求函数f(x)的解析式;(3)讨论方程f(x)-k=0的根的
情况
23、已知f(x)的定义域为[-2,3],则f(2x-1)的定义域为( )
A.[0,52] B.[-4,4] C.[-5,5] D.[-3,7] <
br>?
a
2
?3x?6(x?0)
?
24、已知函数
f(
x)?
?
且f(a)=10,则a=( )
10
?(x?0)
?
x
?
A.-4 B.-1
C.1 D.-4或1
25、已知函数f(x)=x7+ax+bx-5,则f(3)=(
) A.-15 B.15 C.10 D.-10
26、若函数f(x)=4x-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是(
)
A.(-∞,0] B.[40,64] C.(-
∞,40]∪[64,+∞) D.(64,+ ∞)
27、已知二次函数f(x)=x+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)的值为(
)
A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关
28、函数f(x)=∣x
2
-2x∣-m有两个零点,m的取值范围__________
29、已知函数f(x)和g
(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2,在区间(0,+∞)有最大值5,那么h(x)在
区间(0,
+∞)的最小值为________
30、对于每个实数x,设f(x)取y=x
+1,y=2x+1,y=-2x三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出f(x)的解析
式,求出
f(x)的最小值
由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A(0,1)
;
y=x+1,y=-2x,解得x=-13,y=23,得到交点B(-13,23)
;
y=2x+1,y=-2x,解得x=-14,y=12,得到交点
C(-14,12).
由图像容易看出:
1)x<-13时,三直线的最大值是y=-2x,所以在此时
2)-13
≤x≤0时,三直线的最大值是y=x+1,所以此时的f(x)=x+1;
3)x>0时,三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的f(x)=2x+1.
所以f(x) =-2x;(x<-13) ,x+1;(-13≤x≤0) ,2x+1.
(x>0)
1)考察函数的图像(由射线—线段—射线组成的折线)可以看出函数的最小值是x=1
3时的y=23.
f(x)=-2x;
由方程组
由方程组
2
2
5
31、已知函数f(x)=x+ax+3,(1)当X∈R时,f(x)≧a
恒成立,求a的取值范围;(2)当X∈[-2,2]时,f(x)
≧a恒成立,求a的取值范围;(3
)若对一切a∈[-3,3],不等式f(x)≥a恒成立,那么实数x的取值范围
是什么?
1)f(x)≥a即x+ax+3-a≥0,要使x∈R时,x+ax+3-a≥0恒成立,
应有△=a-4(3-a)≤0,即a+4a-12≤0,解得-6≤a≤2;
(2)当x∈
[-2,2]时,令g(x)=x+ax+3-a,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,
转化为g(x)
min
≥a,
分以下三种情况讨论:
①当-a2≤-2,即a≥4时,g(x)在[-2,2]上是增函数,
∴g(x)在[-2,2]上的最小值为g(-2)=7-3a,∴a≤4
7-3a≥0,解得a无解
2
22
22
2
②当-a2≥-2,即a≤4时,g(x)在[-2,2]上是递减函数,
∴g(x)在[-2,2]上的最小值为g(2)=7+a,
∴a≤-4 7+a≥0
解得-7≤a≤-4
a
2
a
2
?a?3
?
③当-2
24
?
a
2
?
-?a?3
?
-4<a≤2,解得-4<a≤2,综上所述,实
数a的取值范围是-7≤a≤2;
?
4
?
?
?4?a?4
?
h(?3)?0
(3)不等式f(x)≥a即x+ax+3-a≥0.令h(a)=(x-1
)a+x+3,要使h(a) ≥0在[-3,3]上恒成立,只需
?
h(3)?
0
?
22
?
x
2
?3x?6?0
即
? 解得:x≥0或x≤-3
?
x?3x?0