高中数学平面解析几何初步经典例题

直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(
x
1
，
y
1
)，B(
x
2
，
y< br>2
)在坐标平面上什么位置，都有
22
d=|AB|=
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
，特别地，与 坐标轴平行的线段的长|AB|=|
x
2
－
x
1
|或
|AB|=|
y
2
-
y
1
|.
2．定比分点公 式:定比分点公式是解决共线三点A(
x
1
，
y
1
)，B(
x
2
，
y
2
)，P(
x
，
y)
之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.
这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
?
x?
?
?
A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是
?
?< br>y?
?
?
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
λ=1，此时中点坐标公式是
?
.
y?y
2
?
y?
1
?
2
?
x
1
??
x
2
1?
?
.当P点为AB的中点时，
y
1
?
?
y
2
1?
?
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率
k
与倾斜角α之间的关系是
k
=tanα.
4．确定直线方程需要有两个互相 独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种
形式的直线方程的适用范围.
名称
斜截式
方程 说明 适用条件
倾斜角为90°的直线不
能用此式
倾斜角为90°的直线不
能用此式
与两坐标轴平行的直线
不能用此式
过（0，0）及与两坐标
轴平行的直线不能用此
式
A、B不全为零
y?kx?b

k
为直线的斜率
b为直线的纵截距
(
x
0
,y
0
) 为直线上的
已知点，
k
为直线的斜率
点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)

y?y
1
x?x
1
=
y
2
?y
1
x
2
?x
1
x
y
+=1
a
b
两点式
(
x
1
,y
1
)， (
x
2
,y
2
)是直
线上两个已知点
截距式
a
为直线的横截距
b为直线的纵截距
一般式
Ax?By?C?0

?
ACC
，
?
，
?
分别
BAB
为斜率、横截距和纵截距
k
2
≠ -1时，5 ．两条直线的夹角。当两直线的斜率
k
1
,
k
2
都存在且< br>k
1
·tanθ=
k
2
?k
1
，
1 ?k
1
k
2
当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到 角”公式与“夹角”公式的
1

区别.
6．怎么判断两直线是否平 行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率
都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的 斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件
来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线< br>l
1∶
y?k
1
x?b
1
，

l
2∶
y?k
2
x?b
2
，有以下结论：
①
l
1
∥
l
2
?
k
1
=
k
2
，且ｂ
1
＝ｂ
2

②
l
1
⊥
l
2
?
k
1
·
k
2
= -1
（2）对于直线
l
1∶
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2

∶
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，当
A
1
，
A
2
，
B
1
，
B
2
都不为零时 ，有以下结论：
①
l
1
∥
l
2
?
A1
B
1
C
=≠
1

A
2
B< br>2
C
2
②
l
1
⊥
l
2
?< br>A
1
A
2
+
B
1
B
2
= 0
③
l
1
与
l
2
相交
?
A1
B
≠
1

A
2
B
2
A1
B
1
C
1
==
A
2
B
2
C
2
④
l
1
与
l
2
重合
?
7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P（
x
0
,y
0
）及一条直线
l
：
Ax?By?C?0
，则点P到直线
l
的距离
d
=
|Ax
0
?By
0
?C|< br>A?B
22
；
（2）两平行直线
l
1
:

Ax?By?C
1
?0
，

l
2
:

Ax?By?C
2
?0
之间的距 离
d=
|C
1
?C
2
|
A?B
22
.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之
间 的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?r
2
，其中（
a
，b）是圆心坐标，
r
是圆的
半径；
22
（2）圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F
＞0），圆心坐标
DE
D
2
?E
2
?4F
为（-，-），半径为
r
=.
2
2
2
2

二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：
Ax?By?C?0< br>；圆：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
?
Ax?By?C?0
判别式
消元
????
一元二次方程
????
?
2
2
2
△?b?4ac
?
x?y?Dx ?Ey?F?0
?
△?0?相交
?
?
△?0?相切

?
△?0?相离
?
（2）方法二 直线:

Ax?By?C ?0
；圆：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2< br>，圆心（
a
，b）到
直线的距离为
d=
|Aa?Bb?C|
A
2
?B
2
?
d?r?相离
???
??
d?r?相切

?
d?r?相交
?

2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O
1
、O
2< br>，半径分别为
r
1
，
r
2
，|O
1
O
2
|为圆心距，则两圆位置关系如下：
|O
1
O
2|>
r
1
+
r
2
?
两圆外离；
|O
1
O
2
|=
r
1
+
r
2
?
两圆外切；
|
r
1
-
r
2
|<|O
1
O
2
|<
r
1
+
r
2
?
两圆相交；
| O
1
O
2
|=|
r
1
-
r
2
|
?
两圆内切；
0<| O
1
O
2
|<|
r
1
-
r
2
|
?
两圆内含.
三、经典例题导讲
［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解：设 直线方程为:
xy23
??1
,又过P(2,3),∴
??1
,求得 a=5
abab
xy
??1
的条件是:
a
≠0且b≠0, 本题忽略了
a?b?0
这一情
ab
3?03
?
,
2?02
∴直线方程为x+y-5=0.
错因：直线方程的截距式:
形.
正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直 线过(0,0)时,此时斜率为:
k?
∴直线方程为y=
3
x
2
3
x .
2
综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=< br>［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹
方程.
错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3
x?(x?1)?(y?3),

化简3
x
=x-2x+1+y-6y+9 .
22
22
当x≥0时得x-5x+y-6y+10=0 . ①
22
3

当x＜0时得x+ x+y-6y+10=0 . ②
错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方
程分 类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
5
2
211
2
3
2 2
(x- )+(y-3)= ① 和 (x+ )+(y-3)= - ②
2424
两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
5
2
211
22 2
正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x- )+(y-3)= ,方程②化为(x+ )+(y-3)= -
242
35
2
21
2
,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x- )+(y-3)=
424
(x≥0)
2222
［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2 m+m-1）x+（m-m+2）y+m+2=0的图象表示一个
圆？
22
错解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
222
得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m
1
=1，m
2
=-3，
22
∴当m=1或m=-3时，x和y项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
22
错因：A=C，是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：
F
A=C≠0且 ＜0.
A
正解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
222
得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m
1
=1，m
2
=-3，
22
(1) 当m=1时，方程为2x+2y=-3不合题意，舍去.
2222
1
(2) 当m=-3时，方程为14x+14y=1,即x+y= ,原方程的图形表示圆.
14
22
22
［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线 与圆
22
x+y-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.
错解：设反 射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对
称点A′(-3 ，-3)，于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
22
已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
2k?2?3k?3
2
?
5k?5
2
?1

k?1k?1
即
2
整理得12k-25k+12＝0
解得k＝
44
L′的方程为y+3＝(x+3)
33
即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0.
错因：漏解
正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)， 点A关于x轴的对
称点A′(-3，-3)， 于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
22
已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
4

2k?2?3k?3
2
?
5k?5
2
?1

k?1k?1
即
2
整理得12k-25k+12＝0
解得k＝
43
或k＝
34
43
L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。
34
即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线
x?2y?4? 0
和圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
的交点， 且满足下列条件之
一的圆的方程：
（1） 过原点；（2）有最小面积.
解：设所 求圆的方程是：
x?y?2x?4y?1?
?
?
x?2y?4
??0

22
即：
x?y?
?
2?
?
?
x?2
?
2?
?
?
y ?1?4
?
?0

22
（1）因为圆过原点，所以
1?4< br>?
?0
，即
?
??
故所求圆的方程为：
x?y?22
1

4
77
x?y?0
.
42
2
（2） 将圆系方程化为标准式，有：
2?
?
?< br>5
?
2
?
4
?
2
?
x?
?
?
?
y?2?
?
?
?
?
?
??
?

2
?
4
?
5
?
5?
当其半径最小时，圆的面积最小，此时
?
??
2
2
2
为所求.
5
2
4
??
8
?
4
?
故满足条件的圆的方程是
?
x?
?
?
?
y?
?
?
.
5
??
5
?
5
?
点评 ：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待
定系数法。（2 ）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面
积最小.
［例6 ］（06年辽宁理科）已知点A(
x
1
,y
1
)，B(
x< br>2
,y
2
)（
x
1
x
2
≠0）是抛 物线
y?2px(p?0)
上的两个动点，O是坐标原点，向量
OA,OB
满 足｜
OA?OB
｜＝｜
OA?OB
｜.设圆C的
方程为
x? y?(x
1
?x
2
)x?(y
1
?y
2
) y?0

（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线
x ?2y?0
的距离的最小值为
22
2
25
时，求
p
的值.
5
5

解：（1）证明 ∵｜
OA?OB
｜＝｜
OA?OB
｜，∴（
OA?OB
）＝（
OA?OB
） ，
整理得：
OA?OB
＝0 ∴
x
1
x
2< br>＋
y
1
y
2
＝0
设M（
x,y
） 是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
MA?MB
＝0
即
(x?x< br>1
)(x?x
2
)
＋
(y?y
1
)(y?y
2
)
＝0
整理得：
x
2
?y
2
?(x
1
?x
2
)x?(y
1
?y
2
)y ?0

故线段AB是圆C的直径.
（2）设圆C的圆心为C（
x,y
），则
22
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2

?
?< br>y?
y
1
?y
2
?
2
?
∵
y
1
?2px
1
，
y
2
?2px
2
(p?0)

22
yy
2
∴
x
1
x2
?
1
2

4p
又∵
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0 ，
x
1x
2
＝－
y
1
y
2

22
y y
2
∴－
y
1
y
2
?
1
2

4p
∵
x
1
x
2
≠0，∴
y
1
y
2
≠0
∴
y
1
y
2
＝－4
p

2
22
x?
x
1
?x
2
111
2222
? (y
1
?y
2
)?(y
1
?y
2
?2y< br>1
y
2
)?y
1
y
2

24p4p4p
＝
1
(y
2
?2p
2
)

p
22
所以圆心的轨迹方程为
y?px?2p

设圆心C到直线
x?2y?0
的距离为ｄ，则
＝
|x?2y|5
|
?
1
2
(y?2p
2
)?2y|
p
5
?
|(y?p)
2
?p
2
|
5p6

当
y
＝
p
时，ｄ有最小值∴
p
＝2.

四、典型习题导练
p
5
，由题设得
p
5
＝
25

5
y
y=2x+b
1．直线
3x?y?23?0
截圆
x?y? 4
得的劣弧所对的
圆心角为 （ ）
A.
ππππ
B. C. D.
64 32
22
22
A
O
B
1x
2.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)+y=4相切 ，那么a的值是
( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3. 如果实数x、y满足等式(x-2)+y＝３， 则
22
y
的最大值
x
为： .
22
4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x+y-6x+a=0（a <9），C、D点
所在直线
l
的斜率为
1
.
3
（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）如果在 x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，
求此抛物线的方程及直线l
的方程；
（3）如果ABCD的外接圆半径为2
5
，在x轴上方的A 、B两点在一条以x轴为对称轴
的抛物线上，求此抛物线的方程及直线
l
的方程.



















7

5.如图，已知圆C：（x+4）+y=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于
A、B两点，点P为(-3，0).
（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点 Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求
22
坐标；如果不存在，说明理由 .
8

出点Q