高中数学选修1-2、4-4试题

高中数学选修1-2、4-4期末复习题

第I卷（选择题）
一、选择题
1．已知z为复数，
A、 B、
（i为虚数单位），则＝
C、 D、
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设复数满足，则 = （ ）
A． B． C． D．
4．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是
A．2日和5日 B．5日和6日
C．6日和11日 D．2日和11日
5．有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数
是函数
是函数
的极值点 ，因为函数在
，如果，那么
，所以，处的导数值
的极值点.以上推理中（ ）
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
6．观察按下列顺序排列的等式：
，?，猜想第
A．
C．
B．
D．
，，，
个等式应为（ ）


7．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A. 假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
8．下面说法正确的有 ( )
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1

9．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提）
已知直线∥平面
则直线∥直线
.，直线
（结论）
；（小前提）
那么这个推理是 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
10．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab 不能被5整除，则a与b都不能被5整除”
时，假设的内容应为（ ）
A．a，b都能被5整除 B．a，b不都能被5整除
C．a，b至少有一个能被5整除 D．a，b至多有一个能被5整除
11．用反证法证明命题“
A．
C．
B．
D．
”,其反设正确的是

12．下列表述正确的是（ ）．
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤．
13．复数
A．
14．
等于
C． D． B．
的值为 （ ）
C. D.

A. B.
15．复数满足（是虚数单位），则
A． B． C． D．
16．已知复数满足 （其中i为虚数单位)，则的虚部为 （ ）
A． B． C． D．
17．若复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
18．如果复数

，满足条件,那么实数a的取值范围是：
2

A． B．（-2，2） C．（-1，1） D．
19．某全日制大学共有学生5400 人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究
生有900人．现采用分层抽样的方法调查学 生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的
样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生 中分别抽取
A．55人，80人，45人 B．40人，100人，40人
C．60人，60人，60人 D．50人，100人，30人
20．在两 个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数
如下，其中拟合效果最好的模 型是（ ）
A、模型1的相关指数
C、模型3的相关指数
21．样本点
为0.87 B、模型2的相关指数
为0.50 D、模型4的相关指数
的样本中心与回归直线
为0.97
为0.25
的关系
A.在直线上 B.在直线左上方 C. 在直线右下方 D.在直线外
22．在下列各量之间，存在相关关系的是 （ ）
①正方体的体积与棱长之间的关系； ②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系； ④家庭的支出与收入之间的关系；
⑤某户家庭用电量与电价之间的关系。
A.②③ B.③④ C.④⑤ D.②③④
23．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产 品，数量分别为120件、80件、60件．为
了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法 抽取了一个容量为n的样本进
行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A．9 B．10 C．12 D．13
24．已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是 （ ）
．．．
A、平均数是3 B、中位数是4 C、极差是4 D、方差是2
25．如果数据x
1
、x
2
、 、x
n
的平均值为，方差为S ，则3x
1
+5、3x
2
+5、 、3x
n
+5 的
平均值和方差分别为（ ）
A．和S B．3+5和S
22
2
C．3+5和9S D．3+5和9S+30S+25
22
26．在极坐标系中，关于曲线的下列判断中正确的是
A、曲线关于直线对称 B、曲线关于直线对称
C、曲线关于点对称 D、曲线关于极点对称
27．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐 标系，点M（2，
）的直角坐标是（ ）
A．（2，1） B．（

，1） C．（1，） D．（1,2）
3

28．曲线的极坐标方程
A.
C.
29．极坐标方程
.直线；.射线 ；
B.
D.
化为直角坐标为（ ）


表示的曲线是（ ）
. 圆；.椭圆
30．曲线为参数）的对称中心（ ）
A、在直线y=2x上 B、在直线y=-2x上
C、在直线y=x-1上 D、在直线y=x+1上
31．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（ ）
A、线段 B、直线 C、圆 D、射线
32．若直线的参数方程为
A． B．
(为参数)，则直线的斜率为（ ）
D． C．
33．曲线(为参数)的焦距是 ( )
A.3 B.6 C. 8 D. 10
34．若实数 满足：，则x+y+10的取值范围是( )
A．[5,15] B．[10,15] C．[ -15,10] D．[ -15,35]
35．曲线与坐标轴的交点是（ ）
A、
36．设
B、
是方程x
C、 D、
和 =0的两个实根，那么过点
（）的直线与曲线 (为参数)的位置关系是
A．相交 B． 相切 C．相交或相切 D．相离
37．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
4

在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法
38．下列表示图书借阅的流程正确的是（ ）
A．入库
B．入库
C．入库
D．入库


阅览< br>找书
阅览
找书
借书
阅览
借书
阅览
找书
借书
找书
借书
出库
出库
还书
还书
还书
还书
出库
出库
第II卷（非选择题）


二、填空题（题型注释）
39．已知（1＋2i） z＝3－i（i为虚数单位），则复数z = ．
40．设复数，在复平面的对应的向量分别为
2
，则向量对应的复数所对应的点的坐标为____________．
41．半径为r的圆的面积S( r)＝r,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，
2
则(r)’＝2r ； 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类
似于上述的式子:________ _______________.
42．从
概括出第个式子为
43．已知
。
，则__________．
，
，为虚数单位，若
44．某高中共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽
取1人，抽到高二年级女生的概率是0 ．19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学
生，则在高三年级应抽取 名学生．

高一 高二 高三
女生
男生

45．用分层抽样 的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为
80，其中有50件甲型号产品，乙 型号产品总数为1800，则该批次产品总数为________.
46．已知下列表格所示数据的回归直线方程为 y = 3.8x + a， 则a的值为__________.
373
377
m
370
n
p


47．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当 村官，每个乡镇至少分配一名，则大学
生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答）
48．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点

到直线的距离等
5

于
49．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
的弦长为____________．
50．点P的极坐标为（，
被圆截得
），那么它的直角坐标系表示为 _________ ．
51．已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）
处的切 线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直
角坐标方程为 .
52．在极坐标系中，已知两圆
C
1
：ρ＝2cos θ和
C
2
：ρ＝2sin θ，则过两圆圆心的直
线的极坐标方程是____ ____________________________________．
53．在极坐标系中，极点到直线
54．化极坐标方程
的距离为_______.
为直角坐标方程为 ．（请化为一般方程）
55．已知曲线
曲线
：为参数)和直线：（为参数）, 则
上的点到直线距离的最小值为__________.
56．已知点Q的球坐标为，则它的直角坐标为 。
57．曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是 ．
58．直线（为参数）被曲线所截的弦长_____
59．将参数方程化为普通方程为 ．
60．直线
_______。


三、解答题（题型注释）
61．(本小题满分12分)
上与点的距离等于的点的坐标是
6

已知数列
（1）计算
满足
，，，
，
的值；
.
（2）根据以上计算结果猜想



62．在
的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
中，三个内角A、B、C的对 边分别为a,b,c，且A、B、C成等差数列，a,b,c
为等边三角形。 成等比数列，请用分析法证明：





63．已知



都是正数，求证：
64．已知


，且，用分析法求证：．
65．（Ⅰ）计算（6分）
（Ⅱ）已知复数满足:



66．计算：
（1）、
求的值.（6分）
（2）、
（3）、




7

67．（本题满分8分）复数
（1）若，求；
（），
（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求的范围．


68．（本小题满分13分）已知复数
（1）求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程

的一个根，求实数的值？



69．（本小题满分13分）某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯
谜竞 赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有
200名学生参加知识 测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（2）将 进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120
分，进入最后抢答阶段 ．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，
猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对 每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概
率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等 ，您做为场外观众想
支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？








8

70 ．（本小题共12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数
学成绩（均为整数 ）分成六段， 后画出如下部分频率分布直
方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中
位数．
（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的
概率．
（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生中
数学成 绩为80分以上（包括80分）的人数为X,（以该校学生的成绩的频率估计概率），
求X的分布列和数 学期望．








71． 选修4-4： 坐标系与参数方程
在极坐标系中， 已知圆C的圆心C(
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
)， 半径r =．
（Ⅱ）若 α ∈ ， 直线的参数方程为为参数）， 直线交圆
C于A、 B两点， 求弦长|AB|的取值范围．










9

72．把下列方程化为直角坐标方程(并说明对应的曲线)：
① ②






73．在极坐标系中，圆ρ=2 cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值








74．直线
值.





是参数）上两点对应的参数值分别为，求的
75．己知圆的参 数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，圆
（1）将圆
（2）圆










的极坐标方程为．
的参数方程他为普通方程，将圆
，
的极坐标方程化为直角坐标方程；
是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
10

76．求直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长.









77．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为：
．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线被曲线C截得的弦长．






78．选修4—4：坐标系与参数方程
（t为参数），曲线C的极坐标方程为：
在极 坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）
作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。
(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐
标系， 写出曲线L和直线的普通方程；
(Ⅱ)求|BC|的长。









11

79．已知曲线C：（为参数）.
(1)将C的参数方程化为普通方程；
(2)若把C上各点的坐标经过伸缩变换
到两坐标轴距离之积的最大值．












80．(本小题12分) 已知曲线
后得到曲线，求曲线上任意一点
的极坐标方程为，曲线的方程是
, 直线的参数方程是：
（1）求曲线
（2）求曲线
的直角坐标方程，直线的普通方程；
上的点到直线距离的最小值.
.
12

参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由题意，得
考点：1.复数的运算；2.共轭复数.
2．D
【解析】
，则.
试题分析：由，
所以复数的虚部为，故答案选.
考点：1.复数的计算；2.复数的定义.
3．C
【解析】
试题分析：因为
考点：复数的运算．
4．C
【解析】
，所以选C．
试题分析：这12天的日期之和，，甲、乙、丙的各自的日期之和是，
对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，
12日； 对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必
定值班的日期是6日 和11日，故答案为C.
考点：等差数列的前项和.
5．A
【解析】
试题分析：由题可知，本题的大前提是“对于可导函数
是函数
满足
，如果
，如 果
，那么
，且的极值点。”它不是真命题，应改为“对于可导函数
和时，导函数的值异 号，那么是函数的极值点”，故大前提错
误；
考点：演绎推理的基本方法
6．B
【解析】
试题分析：由题可知，根据

，，，，?，
13

可归纳推理猜想第个等式为；
考点：归纳推理
7．B
【解析】
试题分析：由题可知，“至多有一个”的反设词为“至少有两个”，故用反证法来证 明命题时，
应假设三角形的内角至少有两个钝角；
考点：常见结论的否定形式
8．C
【解析】
试题分析：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故（1）正确，
演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实，
推理的形式是否正确，故（2）不正确，
演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故（3）正确，
演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关，（4）正确，
总上可知有3个结论是正确的，
考点：演绎推理.
9．A
【解析】
试题分析：在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；
已知直线b?平面α，直线α?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”中
直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提由线面平行的性质易得，这是一个假命
题
故这个推理过程错误的原因是：大前提错误
考点：逻辑推理。
10．C
【解析】
试题分析：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．
而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，
考点：反证法。
11．B
【解析】
试题分析：反证法首先要假设要证明 的结论反面成立，全为0的反面是不全为0，
即至少有一个不为0
考点：反证法
12．D
【解析】
试题分析：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由 特殊到特殊的推理；演绎推
理是由一般到特殊的推理．所以①③⑤正确．
考点：推理。
13．B
【解析】
14

试题分析：
考点：复数的四则运算．
14．C
【解析】
试题分析：由=1，则==
，故答案为B．
。
考点：复数的运算。
15．D
【解析】
试题分析：由得，
；
故选D.
考点：复数的运算.
16．A
【解析】
试题分析：由题意
考点：复数的概念与运算.
17．C
【解析】
试题分析：
在第三象限。
考点：复数的运算及几何意义。
18．D
【解析】
试题分析：
考点：复数的模
19．D
【解析】
试题分析：专科生：本科生：研究生
，，虚部为.
，故复数在复平面内对应的点为，

，抽取的专科生人数
人，
抽取的本科生人数

人，抽取的研究生人数人，故答案为D．
15

考点：分层抽样的应用．
20．B
【解析】
2
试题分析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R，越接近于1，这个模型的拟
合 效果越好，
在所给的四个选项中0.97是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．
考点：回归模型.
21．A
【解析】
试题分析：根据线性回归方程可知 ，样本点
直线的关系，由于
的样本中心与回归
，两式联立可知样本中心点在直线上。
考点：线性回归方程.
22．D
【解析】
试题分析：相关关系是一种非确定的关系，而①和⑤均是两个有确定关系的量。
考点：相关关系。
23．D
【解析】
试题分析：由分层抽样是按比例抽取可知
考点：分层抽样
24．B
【解析】

试题分析：平均数
项错误
考点：样本统计
25．C
【解析】
，中位数为3，极差为，方差为2，因此B
试题分析：，，
，其方差为：

考点：样本平均数与方差
26．.
16

【解析】
试题分析：由得即，
所以曲线是圆心为，半径为的圆，所以曲线关于直线对 称，关于点
对称；故选.
考点：1.极坐标方程化为直角坐标方程；2.圆的性质；3.转化与化归思想.
27．B
【解析】
试题分析：根据极坐标与直角坐标互换公式易知，，即可求出点
的直角坐标
考点：极坐标公式.
28．B.
【解析】
试题分析：∵
，即
.故选B.
，∴
.
，又∵，，∴
考点：圆的参数方程与普通方程的互化.
29．C
【解析】
试题分析：根据极坐标方程中
圆，故答案为C.
考点：曲线的极坐标方程
点评：主要是考查了圆的极坐标方程的运用，属于基础题。
30．B
【解析】 < br>表示的为圆心在原点的单位
试题分析：由题可知：，故参数方程是一个圆心为
（-1,2 ）半径为1的圆，所以对称中心为圆心（-1,2），即（-1,2）只满足直线y=-2x的方
程。
考点：圆的参数方程
31．D
【解析】
试题分析：消去参数t，得

,故是一条射线，故选D.
17

考点：参数方程与普通方程的互化
32．D
【解析】
试题分析：∵，消t得3x+2y-7=0，则该直线斜率为，故选D
考点：本题考查了直线的参数方程
点评：此类问题要掌握把参数方程化为普通方程的方法，根 据直线的方程求直线的斜率，属
于基础题
33．B
【解析】
试题分析：由曲线(为参数)知，该椭圆a=5,b=4，所以，，
椭圆的焦距为6，选B。
考点：椭圆的参数方程，椭圆的几何性质。
点评：简单题，由椭圆的参数方程，明确a,b，进一步可求c。
34．A
【解析】
试题分析：∵，∴(为参数) ，∴
x+y+10=
∴
， 其中tan，又，
，故x+y+10的取值范围是[5,15]，故选A
考点：本题考查了椭圆参数方程的运用
点评：利用椭圆的参数方程把问题转化为三角函数的求最值问题，属基础题
35．B
【解析】
试题分析：直接令x=0与y=0，分别求出相应的t，从而求得曲线与坐标轴的交 点．解：当
x=0时，t=，而y=1-2t，即y=，得与y轴交点为（0，）；当y=0时，t=， 而x=-2+5t，
即x=，得与x轴的交点为（，0）．故选B
考点：直线的参数方程 < br>点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及求与坐标轴的交点问题，考查计算能力，属于
基础题 ．
36．C
【解析】
试题分析：由于

是方程x=0的两个实根，则判别式大于等于零，
18

可知tan
2
+8cos ,a+b=tan,ab=-2cos,那么直线AB的斜 率为k=b+a，那么即为
k=tan,而曲线,直线AB：y-,联立方程组可知
结论为相交 或相切，选C.
考点：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的运用。
点评：解决该试题的 关键是利用方程有两个实根，得到方程的两个根，然后利用联立方程组
的思想得到直线与椭圆的位置关系 。
37．A
【解析】
试题分析：本题涉及到有关综合法和分析法的思维方式，综 合法是由因导果，分析法是执果
索因，故选A.
考点：综合法和分析法的根本所在.
38．B
【解析】
试题分析：流程图是由图形符号和文字说明构成的图示，流程图 可以用来表示一些动态过程，
它可直观、明确的表示动态过程的开始到结束的全部步骤。在绘制流程图之 前，要弄清实际
问题的解决步骤和事物发展的过程。可以按以下步骤：①将实际问题的过程划分为若干个 步
骤；②理清各部分之间的顺序关系；③用简洁的语言表述各步骤；④绘制流程图，并检查是
否 符合实际问题。本题是一个图书借阅的流程，把借书的过程分为以上6个步骤，正确的顺
序为B选项。
考点：框图中流程图的相关概念
39．
【解析】

试题分析：
考点：复数的基本运算．
40．
【解析】
试题分析：由题知
故应填入.
，
.
．
，所以，
考点：1.复数的几何意义；2.向量的坐标运算.
41．
【解析】
试题分析：类比圆的面积的导数是圆的周长，所以球的体积的导数应该是球的表面积.
19

考点：类比推理
42．
【解析】
试题分析：由前几个式子得出正负相见，分别平方得

考点：逻辑推理。
43．
【解析】
试题分析：因为，，所以
考点：复数的概念．
44．16
【解析】
试题分析：分层抽样的实质就 是按比例抽样．高二年级女生人数为m，所以
，所以向三年级的人数为，在高
三年级应抽取的人 数为
考点：1、古典概率；2、分层抽样．
45．
【解析】

．
试题分析：由题知乙型号产品所占比例为，所以该批次产品总数为

考点：分层抽样.
46．
【解析】
试题分析：因为回归直线方程恒过点，则

，
，
得

代入

20

考点：回归直线方程
47．
【解析】
试题分析：将4名大学生分配到A 、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件
个数为，每个乡镇至少分配一名，大学生甲分 配到乡镇A的个数是,所
以概率是
考点：1．古典概型的概率；2．排列组合
48．2
【解析】
试题分析：直线在直角坐标系下的方程为，点在直角坐标系下为
，点
考点：参数方程
49．
【解析】

到直线的距离等于2
试题分析：直线
方程为，∵圆心
的直角坐标方程为
到直线的距离,半径
，圆的直角坐标
. ，∴截得的弦长为
考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.
50．（-1,1）.
【解析】
试题分析：由极坐标与直角坐标的转化公式及点P 的极坐标为（，）
知，，.所以，，故其直角坐标系表示为
（-1,1）.
考点：简单曲线的极坐标方程.
51．
【解析】
试题分析：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线


点
21

,因为点
方程为
在圆
,故填
上,故圆在点
.
处的切线
考点：极坐标 圆的切线
52．
C
1
(1,0)，
C
2
(0,1)
【解析】由极坐标系与直角坐标系的互化关系知：
2222
圆
C
1
的直角坐标方程为
x
＋
y
－2
x
＝0，即(
x
－1)＋
y
＝1，
C
1
(1,0)．同理可求
C
2
(0,1)．
53．2
【解析】
试题分析：极点的直角坐标为
的距离为2．
考点：极坐标方程．
54．
【解析】
试题分析：由得，
化为直角坐标方程为
考点：极坐标方程与普通方程的互化
点评：简单题，极坐标方程化为普通方程，常用的公式有，，
。

，直线的直角坐标方程为，到
等。
55．
【解析】

试题分析： 曲线：为参数)和直线：
，直线l：
（为参数）,化为
，圆心到直线距离为普通方程分 别是圆C：
，直线与圆相离，所以，曲线
。
上的点到直线距离的最小值为
22

考点：简单曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式。
点评：中 档题，简单曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，是极坐标、参数方程
的基本要求，熟记互化 公式及互化方法。
56．
【解析】
试题分析：球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:
x=rsinθcosφ=2sincos=-1，
y=rsinθsinφ =2sinsin=1，
z=rcosθ =2cos=-，所以点M的直角坐标。
考点：点的球坐标与在极坐标的互化。
点评：简单题，球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:
x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ。
57．
【解析】
试题分析：首先将所给的曲线的参数方程化成普通方程，即联立方程 组消去参数可得曲线
的普通方程：
.故应填.
；然后令得，，即曲线与x轴交点的直角坐标是
.
考点：曲线的参数方程；参数方程与普通方程的互化.
58．
【解析】因为曲线
所以


所以曲线的直角坐标方程为，即
所以曲线为圆心，半径为的园；
23

由直线的参数方程，消去参数得
圆心到直线的距离
所以直线被园的截得弦长等于
故答案为.
【考点】直线的参数方程；极坐标方程；直线与园相交的弦长问题.
59．
【解析】

试题分析：
两边平方并相加得，
，即
，即为所求。

考点：参数方程与普通方程的互化
点评：简单题，参数方程化为普通方程，常用的“消参”方 法有，代入消参、加减消参、平
方关系消参等。
60．和
【解析】解：因为直线
是和
上与点的距离等于的点的坐标
61．(1)
【解析】
；（2）详见解析.
试题分析：(1)根据递推公式，令
纳法进行证明，当
成立.
时，原式成立，并令
分别求出每一项;(2),

时，假设成立，那么
并用数学归
时，证明
24

试题解析：解：（1）由和，得
，，
，. （4分）
（2）由以上结果猜测：

用数学归纳法证明如下：

（6分）
（Ⅰ）当时 ，左边，右边，等式成立. （8分）
（Ⅱ）假设当
那么，当时，
时,命题成立，即成立.

这就是说，当时等式成立.
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测
考点：1.递推公式；2.数学归纳法.
62．见解析
【解析】
对于任意正整数都成立.（12分）
试题分析：由A，B，C成等差数列， A+B+C=π得，B=，由a，b，c成等比数列，余弦定< br>理得到两边相等说明两角相等，又B=可得△ABC为等边三角形。
试题解析：证明一（综合法）：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C， ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π②由①②得，B=

， ③
25

由a，b，c成等比数列，有b=ac，④
2222222
由余弦定理及③，可得b=a+c-2accosB=a+c-ac， 再由④，得a+c-ac=ac，
2
即(a-c)=0，因此a=c，从而A=C，⑤，由② ③⑤，得A=B=C=
证明二：（分析法）要证明△ABC为等边三角形
2
，所以△ABC为等边三角形。
只需证A=B=C=
只需证A=C且B=
而由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π， 所以B=
要证明A=C 只需证a=c，
222
只需证(a-c)=0，即证a+c-ac=ac

而余弦定理及B= ，可得b=a+c-2accosB=a+c-ac
222
22 222
又因为a，b，c成等比数列，有b=ac，所以有a+c-ac=ac成立
所以△ABC为等边三角形
考点：解三角形。
63．见解析．
【解析】
试题分析：由基本不等式
个相应的不等式相加即可．
试题解析：证明：因为
同理
①②③相加得
从而
由都是正数，得，
．
②
，所以①
③ 4分
， 6分
及得，，同理得出三
因此
考点：基本不等式的应用．
64．见解析
． 10分
26

【解析】
试题分析：由分析法证明两边平方得
结论。
试题解析：因为
所以
即 证
即
因为
所以
考点：分析法证明。
65．（Ⅰ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先将复数平方,然后再分母实数化将其化简. （Ⅱ）设,
;（Ⅱ）.
，
，
，且，
，
，从而只需证明，得到
，要证明原不等式成立，只需证明
，从而只需证明
，
，
成立，故原不等式成立．
，
根据及复数的模长公式,可求得的值.再 代入,先将分子
的复数平方化简,再将分母实数化求的值.
试题解析：(Ⅰ)
(Ⅱ) 设，而
6分
即
则
. 12分
考点：1复数的运算;2复数的模.
66．（1）-13+11i （2）51-27i（3）2-i
【解析】
试题分析：本题属于复数的基本运算让实部和虚部直接相加，求出结果。
试题解析：（1）

=（-7-9+3）+（5+8-2）i=-13+11i .
27

（2）=(24-8i+6i-2)+(28-21i-4i+3)=51-27i
（3）+=2-2i+i=2-i
考点：复数的运算。
67．（1）0或6（2）
【解析】
试题分析：将复数化简得
复数对应点为
，在第一象限得到不等式，求得范围
试题解析：
（1）由
分
知，，故
，
．当时，；当时，． 4
（1）中，所以虚部为0，（2）中

（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即
所以． 8分
，即，
考点：复数运算及相关概念
68．（1）
【解析】
试题分析：（1）将复数化简成
程中的，得，所以
，
，解出．
；（2）将（1）得到的代入方
;（2）
试题解析：解：（1）
∴ 6分
的一个根
4分
（2）∵复数Z是方程
∴
由复数相等的定义，得：
9分
28

11分
解得： 13分
考点：1．复数的代数运算；2．模的计算．
69．（1）；（2）支持票投给甲队.
【解析】
试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积 和是相等
的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从< br>何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求解离散随机变量
分布 列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计
算出相对应的概率 ，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
试题解析：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，

解得：． 2分
．
，
∴测试成绩中位数为
进入第二阶段的学生人数为200×（0 ．003＋0．0015）×20＝18人． 4分
（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，
则
∴
， 5分
． 6分
， 8分 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为
∵，，
，
∴
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为
∴，
，
， 10分
． 12分
∴支持票投给甲队．． 13分
考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望.
29

70．（1）中位数为
为:
数学期望为．
；（2）

；（3）其分布列
【解析】
试题分析：（1）在频率分 布直方图中，各组的频率和等于1，由此可求得第四组的频率，中
位数是把频率分布直方图中小矩形的面 积平分的那个点；（2）， ，
的人数分别是18,15,3，所以从成绩是70分以上（包括70分） 的学生中选两人，他们在同
一分数段的概率是
为:
；（3）人数
．
,所以其分布列
试题解析：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
1分
直方图如下所示 2分
中位数是

计这次考试的中位数是73．33分 4分

（2）， ，”的人数 是18,15,3．所以从成绩是70分以上（包括
70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率 ．

（3） 因为
8分
,所以其分布列为:

30

数学期望为 12分
考点：频率分布直方图，中位数，古典概型，随机变量的分布列与数学期望．
71．（Ⅰ）
【解析】
（Ⅱ）
试题解析：Ⅰ）由
所以圆的直角坐标方程为
得，直角坐标,
,
由得，圆的极坐标方程为

（Ⅱ）将
得
设，
，代入的直角坐标方程
,
,
，则
对应参数分别为，
，
，则
,
，
因为
所以
，所以
的取值范围为
所以
.
,
考点：圆的极坐标方程，参数方程
72．①
②
【解析】
试题分析：①
②
3分 表示的曲线为圆。 5分
8分 表示的曲线为抛物线的一部分。 10分

，表示的曲线为圆。
， 表示的曲线为抛物线的一部分。
考点：简单曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化。
点评：正方体，利用“互化公式”，将极坐标方程、参数方程化为普通方程，认识曲线。“化
31

生为熟”。
73．
【解析】
试题分析：解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：
，
，
，或
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：
又圆与直线相切，所以解得：，或
考点：曲线的极坐标方程
点评：本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力
74．
【解析】方法一：
方法二：
变为（其中），故
，所
；
以
，故.
75．（1）
【解析】
，；（2）相交，
试 题分析：（1）利用
边同时乘以，并结合，
消去参数得
，
由
得
两
；
（2）计算圆心距与半径和、差的关系，可判断两圆相交，首先求相交弦所在直线方程， 然
后放在一个圆中利用垂径定理结合勾股定理求解．
试题解析：（1）由得 2分
又
即

5分
32

（2）圆心距得两圆相交， 6分
由得直线的方程为 7分
所以，点到直线的距离为 8分
10分
考点：1、圆的极坐标方程和参数方程；2、点到直线的距离公式；3、垂径定理．
76．2
【解析】设圆的半径为R,直线被圆截得的弦长为L,
把直线方程化为普通方程为x+y=2.
将圆化为普通方程为x
2
+y
2
=9.
圆心O到直线的距离d==,
所以弦长L=2=2=2.
所以直线,被圆截得的弦长为2.
77．(1) (2)
【解析】
试题分析：解：（1）由曲线
得化成普通方程
① 5分
（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程
（为参数） ②
把②代入①得：



33

整理，得
设其两根为
则
从而弦长为
，

8分
10分
考点：参数方程，极坐标方程与直线与圆的位置关系
点评：解决该试题的关键是将参数方程和极坐标方程化为普通方程， 结合直线与圆的位置
关系来求解，属于基础题。
78．(Ⅰ)

【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意得，点
曲线L的普通方程为：
直线l的普通方程为：
（Ⅱ）设B（）C（
的直角坐标为
???3分
??????5分
）

，
(Ⅱ)
联立得
由韦达定理得
由弦长公式得
，
???8分

??10分
考点：极坐标方程直线与曲线相交的弦长
点评：极坐标方程
79．⑴的普通方程为．⑵曲线
，弦长
上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为
3.
【解析】
试题分析：⑴的普通方程为． (4分)
⑵(方法一)经过伸缩变换后，（为参数）， (7分)
∴≤3，当时取得“=”.
34

∴曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)
(方法二) 经过伸缩变换后，，∴. (7分)
∵≥，∴≤3.
当且仅当
∴曲线
时取“=”.
上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)
考点：本题主要考查参数方程，曲线的伸缩变换，基本不等式的应用。
点评：容易题，所涉及的公式要牢记，应用基本不等式确定最值，体现解题的灵活性。
80．解: (1) ；（2）到直线距离的最小值为。
【解析】
222试题分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．
22
（Ⅱ） 曲线C
1
的方程为4x+y=4，设曲线C
1
上的任意点（cosθ，2si nθ），利用点到直线
距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．
解: (1) 曲线
（2）设曲线
的方程为
上的任意点
，直线的方程是：
,

该点到直线距离.
到直线距离的最小值为。
考点：本题主要考查 了曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中
档题．
点评：解决该试题的关键是对于椭圆上点到直线距离的最值问题，一般用参数方程来求解得
到。

35