高中数学讲题-高中数学类比推理咋做
高中数学难题100道(1-10题)
第1题(函数与求导题)
【湘南中学2019届高三试题】已知函数
f(x)?a
x
?x
2<
br>?xlna
?
a?0,a?1
?
.
(Ⅰ)求函数
f(x)
的单调区间;
(Ⅱ)若a>1,存在
x1
,x
2
?
?
?1,1
?
,使得
f(
x
1
)?f(x
2
)?e?1
(
e
是自然对数的底
数),
求实数
a
的取值范围。
第2题(椭圆题)
1.
已知椭圆
的右焦点为
F
,直线
l
经过
F
且与椭圆交于
A
,
B
两点.
给定椭圆的离心率为
.
①
若椭圆的右准线方程为
,求椭圆方程;
②
若
A
点为椭圆的下顶点,求
;
若椭圆上存在点
P
,使得
的重心是坐标原点
O
,求椭圆离心率
e
的取值范围.
高中数学难题100道
第
1 页 共 16 页
第3题(函数与求导题)
11
已知函数
f(x)?(x
2
?x)lnx?x
2
?(a?1)x?1
,
a?R
.
24
(1)试讨论函数
f(x)
极值点个数;
(2)当
?
2?a?ln2?2
时,函数
f(x)
在
?
1,
上最小值记
为
g(a)
,求
g(a)
的取值范围.
??)
第4题(函数与求导题)
已知
f(x)?lnx?ax?a,a?R
(1)讨论
f(x)
的单调性;
1
g(x)?f(x)?(x?1
)
2
2
(2)若有三个不同的零点,求
a
的取值范围.
高中数学难题100道
第 2 页 共 16
页
第5题(函数与求导题)
2
f(x)?a(x?x)
?lnx?b
的图象在点
(1,f(1))
处的切线方程为
3x?y?3?0
已知函数
(1)求
a,b
的值;
(2)如果对任何
x?
0
,都有
f(x)?kx?[f'(x)?3]
,求所有
k
的值;
第6题(函数与求导题)
(2018浙江)已知函数
f(x)?x?lnx
.
(1)若
f(
x)
在
x?x
1
,
x
2
(
x
1<
br>?x
2
)处导数相等,证明:
f(x
1
)?f(x
2
)?8?8ln2
;
(2)若
a≤3?4ln2
,证明:对于任意
k?0
,直线
y?kx?a
与曲线
y?f(x)
有唯一公共点.
高中数学难题100道
第 3 页
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第7题(函数与求导题)
2
设 a为实数,函数
f(x)=(x﹣a)+|x﹣a|﹣a(a﹣1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)讨论 f(x)的单调性;
(3)当a≥2 时,讨论f(x)+ 在区间
(0,+∞)内的零点个数.
第8题(函数与求导题)
已知函数
.
若函数 在 处的切线与直线
平行,求实数
a
的值;
若存在 ,使得不等式
成立,求实数
a
的取值范围;
当 时,设函数
,
其中
e
为自然
对数底数,
m
为参数 记函数
个数.
,试确定函数 的零点
高中数学难题100道
第
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第9题(函数与求导题)
已知函数
f(x)?
1
?x?alnx
.
x
(1)讨论
f(x)
的单调性;
(2)若
f(x)存在两个极值点
x
1
,x
2
,证明:
第10题(函数与求导题)
已知函数
f(x)?e?ax
.
(1
)若
a?1
,证明:当
x≥0
时,
f(x)≥1
;
(2)若
f(x)
在
(0,??)
只有一个零点,求
a
.
x2
f(x
1
)?f(x
2
)
?a?2
.
x
1
?x
2
高中数学难题100道
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高中数学难题100道(参考答案)
第1题(函数与求导题)
xx
解:(Ⅰ)
f
?
(x)?alna+2x?lna?2x+(a?1)lna
.
1
分
因为当
a?1
时,
lna?0
,
a
?1lna
在
R
上是增函数,
因为当
0?a?1
时,
lna?0
,
a?1lna
在
R
上也是增函数,
所以当
a?1
或
0?a?1
,总有
f
?
(x)
在
R
上是增函数,
3
分
又
f
?
(0)?0
,所以
f
?
(x)?0
的解集为
(0,+?)
,
f'
?
x
?
?0
的解集为
?
??,0
?
,
故函数
f(x)
的单调增区间为
(0,+?)
,单调减区间为
?
??,0
?
.
6
分
(Ⅱ)因为存在
x
1
,x
2
?[?1,1]
,使得
f(x
1
)?f(x
2
)≥e?1
成立,而当
x?
[?1,1]
时,
?
x
?
?
x
?
f(x<
br>1
)?f(x
2
)≤f(x)
max
?f(x)
mi
n
所以只要
f(x)
max
?f(x)
min
≥e?1即可.
又因为
x
,
f
?
(x)
,
f(x)
的变化情况如下表所示:
x
(??,0)
?
减函数
0
0
极小值
(0,+?)
f
?
(x)
f(x)
+
增函数
所以
f(x)
在
[?1,0]
上是减函数
,在
[0,1]
上是增函数,所以当
x?[?1,1]
时,
f
?
x
?
的最小值
f
?
x
?
min
?f
?
0
?
?1
,
f
?
x
?<
br>的最大值
f
?
x
?
max
为
f
?<
br>?1
?
和
f
?
1
?
中的最大值.
8
分
1
?2lna
,
a
1
1
21
2
令
g(a)?a??2lna(a?0)
,因为
g
?
(a)?1+
2
??(1?)?0
,
aaa
a<
br>1
所以
g(a)?a??2lna
在
a?
?
0,??
?
上是增函数.
a
因为
f(1)?f(?1)?(a+1
?lna)?(+1+lna)?a?
而
g(1)?0
,故当
a?1
时,
g
?
a
?
?0
,即
f(1)?f(?1);所以,当
a?1
时,
f(1)?f(0)≥e?1
,
即
a?lna≥e?1
,
函数
y?a?lna
在
a?(1
,??)
上是增函数,解得
a≥e
;
12
分
高中数学难题100道
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1
a
第2题(椭圆题)
解:
由题意可得,解得
,
,
椭圆方程为
.
,
,
直线
AB
的方程为
,
,
,
,
即直线
AB
方程为
,
联立方程组
,消元得
,
或
,
点横坐标为
2b
,
.
设
,
,
,
依
题意直线
l
的斜率不能为
0
,故设直线
l
的方程为:
,
由
,得
.
,
要使
的重心是坐标原点
O
,则有
在
上,得
,
,
,
,
椭圆上存在点
P
,使得
的重心是坐标原点
O
,则方程
必成立.
,
,
椭圆离心率
e
的取值范围为
.
第3题(函数与求导题)
高中数学难题100道
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(x?1)lnx?2?a
, 解
:(1)∵
f
?
(x)?
111
记
h(x)?(x?1)l
nx?2
,则
h
?
(x)?lnx?1?
,
h
??
(x)??
2
?0(x?0时)
xx
x
(0,?
?)
∴
h
?
(x)
在上递增且
h
?
(1)
?0
.
∴当
0?x?1
时,
h
?
(x)?0,当
x?1
时,
h
?
(x)?0
.
(1,??)
(0,1)
∴
h(x)
在上递减,在上递增,
又
x?0
时,
h(x)???
,
x???
时,h(x)???
,
h(x)
min
?h(1)??2
,
?
当
a??2
时,
f
?
(x)?0,
f(x)
在定义域上递增,
?
无极值点,
当
a??
2
时,
y?f
?
(x)
有两变号零点,
?
有两极值
点.
(2)由(1)知,
f
?
(x)
在
?
1
,??
?
上递增,
又∵
f
?
(1)??2?a?0
,
f
?
(2)?ln2?2?a?0
.
?
存在唯一实数
t?(1,2)
使
f
?
(t)?0
,
?a?(t?
1)lnt?2
,
?f(x)
在
(1,t
?
上递减
,在
?
t,??
?
上递增,
11
?f(x)
mi
n
?g(a)?(t
2
?t)lnt?t
2
?(a?1)t?1
24
11
??t
2
lnt?t
2
?t?1
24
又明显
a?(t?1)lnt?2
在
?
1,??
?
上递增,
?
对任意一个
a?
?
?2,ln2?2?
,都存在唯一
t?
?
1,2
?
与之对应,反之亦然.
11
设
u(t)?
?t
2
lnt?t
2
?
t?1
,
t?
?
1,2
?
24
(1,2
)
u
?
(t)??t(lnt?1)?1?0
?u(t)
在上递减,
?u(2)?u(t)?u(1)
,
即
2?2ln2?u(t)?
77
?g(a)
的取值范围为.
(2?2ln2,)
44
第4题(函数与求导题)
解:(
1
)由已知
f(x)
的定
义域为
(0,??)
,又
f'(x)?
当
a?0
时,
1?ax
,
x
f'(x)?0
恒成立,
0?
x?
当
a?0
时,
1
,f'(x)?0,f(x)
单调递增;
a
11
,f'(x)?0,f(x)
单调递增;
x?,f'(x)?0,f(x)
单调递减
;
aa
11
2
(
2
)由题
g(x)?l
nx?ax?a?(x?1)
,
g'(x)?x??1?a
2x
0?x?
①当
a?1
时,
g'(x)?1?
a?0
,此时
g(x)
单调递增,最多存在一个零点,不符合题意
②当
a?1
时,
x
2
?(a?1)x?1
,令
h(x)?x
2
?(a?1)x?1
,此时
??(a?3)(
a?1)?0
,
g'(x)?
x
高中数学难题100道
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令
h(x)?0
两根分别为x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
,由
x
1
?x
2
?a?1?0,x
1
x
2
?1
,可以知道
0?x
1
?1?x
2
0
?x?x
1
,h(x)?0,g'(x)?0,g(x)
单调递增;当
x1
?x?x
2
,h(x)?0,g'(x)?0,g(x)
单调递减;<
br>
x?x
2
,h(x)?0,g'(x)?0,g(x)
单调递增;
其中
g(1)?0
,
g(x)?0,g(x)?0,g(e
12因此有
?x?(e
1
?a?
1
2
?a?
12
)?0
,
g(2(a?1))?0
,
,
1)
使得
g(x
1
)?0
,
?x
2
?1<
br>使得
g(x
2
)?0
;
?x
3
?(1,2(
a?1))
使得
g(x
3
)?0
综上:
a?(1,??)
注
1
:当
0?x?1<
br>时,
1111
(x?1)
2
?
,因此有
g(x)?l
nx?ax?a??lnx?a?
,令
2222
lnx?a?
1
1<
br>?0
,解得
x?e
?a?
2
2
注
2
:当
x?1
时,
g(x)?lnx?ax?a?
得
x?2
(a?1)
第5题(函数与求导题)
1
2
111x?x??x
2
?(a?1)x
,令
x
2
?(a?1)
x?0
,解
2222
1
,由题知
f'(1)?3,f(1)?0,解得
a?2,b?0
x
1
2
(2)令
g(
x)?f(x)?kx?[f'(x)?3]?2(x?x)?lnx?kx[4x?5?]
,
x
1
g'(x)?2(2x?1)??k(8x?5)
,其中
g(1)?0<
br>,又因
g(x)?0
,则必有
g'(1)?0
,解得
k?1<
br>
x
(1?x)(4x?1)
当
k?1
时,
g'(x
)?
,
x
解:(1)
f'(x)?a(2x?1)?
0?x?1,
g'(x)?0,g(x)
单调递增;
x?1,g'(x)?0,g(x)
单调递减,
g(x)?g(1)?0
,符合题意
综上:
k?1
第6题(函数与求导题)
高中数学难题100道
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p>
【解析】(1)函数
f(x)
的导函数
f
?
(x
)?
1
?
,
2x
x
1
由
f
?<
br>(x
1
)?f
?
(x
2
)
得
111
1
???
,
2x
1
x
1
2x
2
x
2
111
??
.
x
1
x
2
2
因为
x
1
?x
2
,所以
由基本不等式得
1
x
1
x
2
?x
1
?x
2
≥24
x
1
x
2
.
2
因为
x
1
?x
2
,所以
x
1
x
2
?256
.
由题意得
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1?lnx
1
?x
2
?lnx
2
?
1
x
1
x
2
?ln(x
1
x
2
)
.
2
1
x?lnx
,
2
1
(x?4)
,
则
g
?
(x)?
4x
设
g(x)?
所以
x
g
?
(x)
g(x)
(0,16)
16
0
(16,??)
+
?
2?4ln2
所以
g(x)
在
[256,??)
上单调递增,
故
g(x
1
x
2
)?g(256)?8?8ln2
,
即
f(x
1
)?f(x
2
)?8?8ln2
. <
br>(2)令
m?e
?(|a|?k)
,
n?(
|a|?1
2
)?1
,则
k
f(m)?km?a?|a|?k?k?a≥0
,
f(n)?kn?a?n(
1a|a|?1
??k)≤n(?k)?0
n
n
n
所以,存在
x
0
?(m,n)
使
f(x
0
)?kx
0
?a
,
所以,对于任意的
a?R
及
k?(0,??)
,直线
y?kx?a
与曲线
y?
f(x)
有公共点.
高中数学难题100道
第 10 页 共 16 页
由
f(x)?kx?a
得
k?
x?lnx?a
.
x
设
h(x)?
x?lnx?a
,
x
lnx?<
br>x
?1?a
?g(x)?1?a
2
?
,
x
2
x
2
则
h
?
(x)?
其中
g(x)?<
br>x
?lnx
.
2
由(1)可知
g(x)≥g(16)
,又
a≤3?4ln2
,
故
?g(x)?1?a≤?g(16)?1?a??3?4ln2?a
,
所
以
h
?
(x)≤0
,即函数
h(x)
在
(0,??
)
上单调递减,因此方程
f(x)?kx?a?0
至多
1个实根.
综上,当
a≤3?4ln2
时,对于任意
k?0
,直线
y?kx?a
与曲线
y?f(x)
有唯一
公共点.
第7题(函数与求导题)
2
解:(1)若f(0)≤1,即:a+|a|﹣a(a﹣
1)≤1.可得|a|+a﹣1≤0,
当a≥0时,a,可得a [0,].
当a<0时,|a|+a﹣1≤0,恒成立.
综上a.
;
∴a的取值范围:
(2)函数 f(x)==
,
当x<a时,函数f(x)的对称轴为:x=
y=f(x)在(﹣∞,a)时是减函数,
高中数学难题100道
=a+>a,
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当x≥a时,函数f(x)的对称轴为:x=
y=f(x)在(a,+∞)时是增函数,
=a﹣<a,
(3)F(x)=f(x)+=,
,
当x<a时,
所以,函数F(x)在(0,a)上是减函数.
当x≥a时,因为a≥2,所以,F′(x)=
=,
═
,
所以,函数F(x)在(a,+∞)上是增函数.
F(a)=a﹣a+.当a=2时,F(2
)=0,此时F(x)有一个零点,当a>2时,F(a)=a﹣
a+,
2
2
F′(a)=1﹣2a==.
所以F(ah)在(2,+∞)上是减函数,
所以F(a)<,即F(a)<0,
当x>0且x→0时,F(x)→+∞;当x→+∞时,F(x)→+∞,所以函数F(x)有两个零点.
综上所述,当a=2时,F(x)有一个零点,a>2时F(x)有两个零点.
第8题(函数与求导题)
解:
函数
的导数为
,
可得函数
在
处的切线斜率为
,
由切线与直线
平行,可得
,
解得
;
高中数学难题100道
第 12 页
共 16 页
存在
,使得不等式
成立,
即为
的最大值,
,
,
令
,
由
,即
,
由于
的导数为
,即
在
递增,
且
时,
,
则
为
的极值点,
当
时,
递减,当
时,
递增,
则
时,
取得极大值,且为最大值
1
,
则
;
当
时,设函数
,
,
则当
,
;
当
,
.
当
时,
,依题意,
,
无零点;
当
时,
,
,
若
,即
,则
e
是
的一个零点;
若
,即
,则
e
不是
的零点;
当
时,
,
所以此时只需考虑函数
在
上零点的情况.
因为
3e^{2}-m'>
,所以
0'>
,
在
上单调递增. 当
时,
又
,所以
当
时,
,
在
上无零点;
时,
,
又
,
所以此时
在
上恰有一个零点;
当
时,令
由
由
,得
.
,得
;
0'>
,得
.
所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
因为
,
,
所以此时
在
上恰有一个零点;
综上,
时,
没有零点;
时,
有一个零点;
高中数学难题100道
第 13 页 共 16 页
时,
有两个零点.
第9题(函数与求导题)
1ax
2
?ax?1
【解析】(1)f(x)
的定义域为
(0,??)
,
f
?
(x)??<
br>2
?1???
.
2
xxx
x?1
时
f?
(x)?0
,(i)若
a≤2
,则
f
?
(x
当且仅当
a?2
,所以
f(x)
在
(0,??)
)
≤0
,
单调递减.
a?a
2
?4a?a
2
?4<
br>(ii)若
a?2
,令
f
?
(x)?0
得,
x?
或
x?
.
22
a?a
2
?4a?a
2
?4
当
x?(0,)U(,??)
时,
f
?
(x
)?0
;
22
a?a
2
?4a?a
2
?4a?a
2
?4
当
x?(,)
时,
f
?
(x)?0
.所以
f(x)
在
(0,)
,
222
a?a
2
?4a?a
2
?4a?a
2
?4
(,??)
单
调递减,在
(,)
单调递增.
222
(2)由(1)知,
f(x)
存在两个极值点当且仅当
a?2
.
由于
f(x)
的两个极
值点
x
1
,
x
2
满足
x?ax?1?0
,
所以
x
1
x
2
?1
,不妨设
x
1
?x
2
,
则
x
2
?1
.由于
2
f(x
1
)?f(x
2
)lnx
1
?lnx
2lnx
1
?lnx
2
?2lnx
2
1
???1
?a??2?a??2?a
,
1
x
1
?x
2
x<
br>1
x
2
x
1
?x
2
x
1
?
x
2
?x
2
x
2
所以
f(x
1
)
?f(x
2
)
1
?a?2
等价于
?x
2
?
2lnx
2
?0
.
x
1
?x
2
x
2
1
?x?2lnx
,由(1)知,
g(x)
在
(0,?
?)
单调递减,又
g(1)?0
,从而
x
设函数
g(x)?
当
x?(1,??)
时,
g(x)?0
.
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
1
?x
2
?2lnx
2
?0
,即
?a?2
.
x
2
x
1
?x
2
高中数学难题100道
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第10题(函数与求导题)
【解析】(1)当
a?1
时,
f(x)
≥1
等价于
(x
2
?1)e
?x
?1≤0
. 设函数
g(x)?(x
2
?1)e
?x
?1
,则
g'(x)??(x
2
?2x?1)e
?x
??(x?1)
2e
?x
.
当
x?1
时,
g'(x)?0
,所
以
g(x)
在
(0,??)
单调递减.
而
g(0)?0<
br>,故当
x≥0
时,
g(x)≤0
,即
f(x)≥1
.
(2)设函数
h(x)?1?ax
2
e
?x
.
f
(x)
在
(0,??)
只有一个零点当且仅当
h(x)
在
(
0,??)
只有一个零点.
(i)当
a≤0
时,
h(x)?0,
h(x)
没有零点;
(ii)当
a?0
时,
h'(x)?ax(x?2)e
.
当
x?(0,2)
时,
h'(x)?0
;当
x?(2,??)
时,
h'(x)?0
.
所以
h(x)
在
(0,2)单调递减,在
(2,??)
单调递增.
故
h(2)?1?
?x
4a
是
h(x)
在
[0,??)
的最小值.
2<
br>e
e
2
①若
h(2)?0
,即
a?
,
h(x)
在
(0,??)
没有零点;
4
e
2
②
若
h(2)?0
,即
a?
,
h(x)
在
(0,??
)
只有一个零点;
4
e
2
③若
h(2)?0
,即
a?
,由于
h(0)?1
,所以
h(x)
在
(0,
2)
有一个零点,
4
由(1)知,当
x?0
时,
e?x
,
x216a
3
16a
3
16a
3
1
所以
h
(4a)?1?
4a
?1?
2a2
?1??1??0
.
4
e(e)(2a)a
故
h(x)
在
(2,4a)
有一个零点
,因此
h(x)
在
(0,??)
有两个零点.
e
2
综上,
f(x)
在
(0,??)
只有一个零点时,
a?
.
4
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