高中数学立体几何小题专题练

立体几何小题专题练(四)

1．若
l
，
m
是两条不同的直线，
m
垂直于平面
α
，则“
l
⊥
m
”是“
l
∥
α
”的( )
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．如图是一正方体被过棱的中点
M
、
N
和顶点
A
、D
、
C
1
的两个截面截去两个角后所得
的几何体，则该几何体的 正(主)视图为( )


3．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为
( )
A．63
C．83
B．8
D．12

第3题图 第4题图

4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧 视图均为半径是1的圆，则这个几
何体的体积是( )
A.
π

3
2π
B．
3
4π
D．
3
C．π
5．设直线
m
与平面
α
相交但不垂直，则( )
A．在平面
α
内有且只有一条直线与直线
m
垂直
B．过直线
m
有且只有一个平面与平面
α
垂直

1

C．与直线
m
垂直的直线不可能与平面
α
平行
D．与直线
m
平行的平面不可能与平面
α
垂直
6．已知< br>m
、
n
、
b
分别是三条不重合的直线，有两个不重合的平面< br>α
、
β
，且直线
b
⊥
平面
β
，有以 下三个命题：
①若
m
⊥
α
，
n
∥
b，且
α
⊥
β
，则
m
∥
n
；②若
m
∥
α
，
n
∥
b
，且
α
∥β
，则
m
⊥
n
；③若
m
⊥
α
，
n
⊥
b
，且
α
⊥
β
，则
m∥
n
.其中真命题的序号是( )
A．①②③
C．②
B．①
D．③
7．已知四棱锥
V
?
ABCD
的 顶点都在同一球面上，底面
ABCD
为矩形，
AC
∩
BD
＝
G
，
VG
⊥
平面
ABCD
，
AB
＝3，
AD
＝3，
VG
＝3，则该球的体积为( )
A．4π
C．123π
B．9π
D．43π
8．如图，正方体
AB CD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
P
在
BC
1
上运动，则下列三个命题：①三棱锥
A
-
D
1
PC
的体积不变；②
DP
⊥
BC< br>1
；③平面
PDB
1
⊥平面
ACD
1
.其中 正确命题的序号是( )
A．①②
C．②③
B．①③
D．①②③

第8题图 第10题图
9．若圆锥的内 切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为
________．
10． 如图，在正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N
分别是棱
C
1< br>D
1
，
C
1
C
的中点．给出以下四个
结论：
①直线
AM
与直线
C
1
C
相交；②直线
A M
与直线
BN
平行；③直线
AM
与直线
DD
1异面；④
直线
BN
与直线
MB
1
异面．其中正确结论的 序号为________．(注：把你认为正确的结论序号
都填上)
11．直三棱柱
ABC
?
A
1
B
1
C
1
中，∠
B CA
＝90°，
M
，
N
分别是
A
1
B1
，
A
1
C
1
的中点，
BC
＝
CA
＝
CC
1
，则
BM
与
AN
所成角的 余弦值为________．
12．如图，直线
PA
垂直于圆
O
所 在的平面，△
ABC
内接于圆
O
，且
AB
为圆
O< br>的直径，
点
M
为线段
PB
的中点．现有以下命题：①
BC
⊥
PC
；②
OM
∥平面
APC
；③点
B
到平面
PAC
的
距离等于线段
BC
的长．其中真命题的个 数为________．
13．已知点
P
，
A
，
B
，
C
，
D
是球
O
表面上的点，
PA
⊥平 面
ABCD
，四边形
ABCD
是边长为

2

23的正方形．若
PA
＝26，则△
OAB
的面积为______ __．
14．在三棱柱
ABC
?
A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC
＝90°，其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1
的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点
M
，
N
，
P
分别是棱
AB
，
BC
，
B
1
C
1
的中点，则三棱锥
P
?
A
1
MN
的体 积是________．
15．已知正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，若长度为2的线段的两个端点
P
，
Q
分别在
直线
AB
，
A
1< br>D
1
上，则线段
PQ
的中点
M
形成的轨迹的面积为_ _______．


小题专题练(四)
1．解析：选B.因为
m
⊥
α
，若
l
∥
α
，则必有
l
⊥
m
，即
l
∥
α
?
l
⊥
m
.
但
l
⊥
m

l
∥
α
，因为
l
⊥
m
时，
l
可能在
α
内．
故 “
l
⊥
m
”是“
l
∥
α
”的必要而不充分 条件．
2．解析：选B.通过分析可知，两个截面分别为平面
AMN
和平面
DNC
1
，所以易知正视图
为选项B中所示的图形．
3．解析：选A.依题 意可得三棱柱的底面是边长为4的正三角形．又由体积为123，
可得三棱柱的高为3.所以侧视图的面 积为63.故选A.
3
4．解析：选C.由三视图可知该几何体为一个球体的，球的半径为1 ，所以该几何体的
4
34π
3
体积
V
＝××1＝π，故选C .
43
5．解析：选B.对于A，过交点且与直线
m
垂直的直线有一条，在 平面
α
内与此直线平
行的直线都与
m
垂直，故不正确；对于B，过直 线
m
上的一点作平面
α
的垂线，与直线
m
确
定的一 个平面与平面
α
垂直，故正确；对于C，显然不正确；对于D，显然不正确．
6．解 析：选C.对于①，因为
b
⊥
β
，
n
∥
b
，所以
n
⊥
β
，又
m
⊥
α
，
α< br>⊥
β
，所以
m
⊥
n
，①错；对于②，因为
n
∥
b
，
b
⊥
β
，所以
n
⊥
β
，因为
m
∥
α
，
α
∥
β
，所 以
n
⊥
α
，
n
⊥
m
，②对；对于③，因为
m
⊥
α
，
b
⊥
β
，
α
⊥
β
，所以
m
⊥
b
，因为
n
⊥
b< br>，所以
m
、
n
位置
关系不定，③错．
7．解析：选 D.依题意，底面矩形
ABCD
的对角线长为（3）＋3＝23，因此矩形
22
ABCD
的中心到该四棱锥的各个顶点的距离均为3，题中的球的半径是3，其体积为
(3) ＝43π，故选D.
3
4π
×
3
8．解析：选B.
VA< br>-
D
1
PC
＝
VC
-
AD
1
P
，点
C
到平面
AD
1
P
的距离不变，且△AD
1
P
的面积不变，
所以三棱锥
A
-
D1
PC
的体积不变，故①正确；易知当且仅当点
P
位于
BC1
中点时，
DP
⊥
BC
1
，
故②错误；根据正 方体的性质，有
DB
1
⊥平面
ACD
1
，因为
DB
1
?平面
PDB
1
，所以平面
PDB
1
⊥

3

平面
ACD
1
，故③正确．
9．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△
ABC
及其内切圆⊙
O
1< br>和外接圆⊙
O
2
，且两
圆同圆心，即△
ABC
的内心 与外心重合，易得△
ABC
为正三角形，由题意知⊙
O
1
的半径为< br>r
1
＝1，所以△
ABC
的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3 ，所以
V
＝×π×3×3＝3
3
π.
答案：3π
10． 解析：
AM
与
C
1
C
异面，故①错；
AM
与
BN
异面，故②错；③，④正确．
答案：③④
11．解析：法一：由于 ∠
BCA
＝90°，三棱柱为直三棱柱，且
BC
＝
CA
＝< br>CC
1
，可将三棱柱
补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方 体棱长为2，则可得
A
(0，0，0)，
B
(2，2，0)，
M(1，1，2)，
N
(0，1，2)，所以
BM
＝(1，1，2)－(2 ，2，0)＝(－1，－1，2)，
→
→
AN
＝(0，1，2)．
→→
BM
·
AN
→→
所以cos〈
BM
，
AN
〉＝＝
→→
|
BM
||
AN
|
－1 ＋4
（－1）＋（－1）＋2×0＋1＋2
222222
＝
3
6×5
＝
30
.
10

法二：如图(2)，取
BC的中点
D
，连接
MN
，
ND
，
AD
， 由于
MN
1
B
1
C
1
2
BD
，因 此有
NDBM
，
则
ND
与
NA
所成角即为异面直线
BM
与
AN
所成角．设
BC
＝2，则
BM
＝
ND
＝6，
AN
＝5，
AD
＝5，
ND
2
＋
NA
2
－
AD
2
30
因此cos∠
AND
＝＝.
2
ND
·
NA
10
答案：
30

10
12．解析：易证
BC
⊥平面
PAC
，所以
BC
⊥
PC
；
OM
∥
PA
，易证
OM
∥平面
APC
；因为
BC
⊥
平面
PAC
，所以点
B
到平面
PAC
的距离等于线段
BC
的长；故①②③都正确．
答案：3
13．解析：把球
O
的内接四棱锥还原为长方体，则球
O
的直径即为长方体的体对角线，

4

设外接球的半径为R
，则(2
R
)＝(23)＋(23)＋(26)，可得
R
＝1 2.在△
OAB
中，设
AB
1
222
边上的高为
h
，则
h
＝
R
－(3)＝9，则
h
＝3，所以
S
△
OAB
＝×23×3＝33.
2
答案：33
14 ．解析：由三视图易知几何体
ABC
?
A
1
B
1
C
1
是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱
柱，
则
VP
?
A
1
MN
＝
VA
1
?
PMN
＝< br>V
A
?
PMN
.
1111
又
S
△
PMN
＝
MN
·
NP
＝××1＝，
222422222
A
到平面
PMN
的距离
h
＝，
11111
所以
V
A
?
PMN
＝
S△
PMN
·
h
＝××＝.
334224
1
答案：
24
15．解析：
1
2

连接
A
1
P
，
A
1
M
，则易知
A
1
M
是Rt△
A
1
PQ
斜边上的中线，所以|
A
1
M
|＝1，即
M
的轨迹是以
A
1
为球心，1为半径的球，又
M
在正方体的中截面上， 且该中截面平行于平面
ABCD
，所以
M
的轨迹是圆，于是圆的半径为
r
＝
3
答案：π
4


133
1－＝，所以
M
的轨迹的面积为π.
424

5