人教版b版高中数学-高中数学策略性知识
高中数学习题精选
第一部分·代数
三、解答题：
1、在
y?log
a
x
?
a?1,x?1
?
的图象上有A、B、C
三点，此三点横坐标分别为
m
、
m?2
、
m?4
。
①若S
△ABC
=S，求
S?f(m)
的表达式。②确定
S?f(m)
的单调性。③求
S?f(m)
的值域。
2
x?log
a
x?2?2log
a
x?2
?
a?1
?
（若仅知
a?0,a?1
呢？） 2、解不等式：
log
a
3、已知
f(x)?(
1
x?1
2
?x?2
。求
f
?1
(x)
)(x?1)
，
f
?1
(x)
为
f(x)
的反函数，又
g(x)?
?1
x?1
f(x)
的
定义域、单调区间和
g(x)
的最小值。
2
4、方程
x
2
?5xlog
a
k?6log
a
k?0
的两根中仅有一个较
小的根在区间
(1,2)
内，试用a表示k
的取值范围。
??
y?
3
5、
A?
?
?
x,y
?
?a?1
?，
B?
?
x,y
?
a
2
?1x?
?<
br>a?1
?
y?15
，a取何实数时
A?B??
？
x
?2
??
6、在非负整数集N上定义函数
f(n)
，且有
f(0)?
2
，
f(1)?3
，
f(k?1)?3f(k)?2f(k?1)
，
其
中
k?1
。试用n表示
f(n)
的公式，并用数学归纳法证明。
7、设x满足
3
2x
?90?3
x
?729?0
，
y?log
1
(a
2
x)?log
1
(ax)的最大值为0，最小值为
?
a
a
2
?
??
?<
br>1
。
8
求实数a。
8、
f(x)
是定义在
R
?
上的函数，且满足
f(x)?f()lgx?1
。
①求
f(x)
的定义域；②x为何值时
f(x)
取得最大值和最小值。 x
1
x
?
a
2
?1?a
?
?
。 9、已知
f(x)?log
1
?
a
??
2
??
①判定
f(x)
的奇偶性；②若
f(x)
在
?
?
?,??
?
为减函数，求a的取值范围。
10、已知关于x的方程
lg?
ax
?
?lgax
2
?4
的所有解均大于1，求a的
取值范围。
11、已知
f(x)
为单调函数，且
f(x?y)?f(x)?
f(y)
，
f(1)?2
，定义域为R。 ①求证
f(x)
为
奇函数；②若
f(x)
满足
f(klog
2
t)?f(log2
2t?log
2
2
t?2)?0(t?0)
，求k的取值范围
。
12、在
y?log
3
x
的图象上有三点A、B、C，其横坐标
分别为
m
、
m?2
、
m?4
。记△ABC的
??<
/p>
面积为S。
①实数m取何值时，S>1；②讨论
m?(1,
??)
时，S的单调性；③
m?1
，求S的取值范围。
13、已知集合A?
?
x|2?x??
?
，定义在集合A上的函数
y?log<
br>a
x
的最大值和最小值差1，求
底数a的范围。
14、a为何实数时
，对于区间[2，8]上任何实数x，不等式
log
2a
2
?1
x?
?1
恒成立？
15、给定函数
y?log
a
log
a(x?a)(a?0,a?1)
，求使y
?
0的x的取值范围。
x16、函数
y?lga
2x
?
?
ab
?
?2b
2x
?1(a?0,b?0)
，x取何值时y
?
0？
??
17、求
log
x
2
16?log
2x
64?3<
br>的解集。
18、若
f(x)?1?log
x
3
，
g
(x)?2log
x
4
。
①比较
f(x)
与
g
(x)
的大小；②解方程
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?4
。
19、若x
?
1，求证
log
x
?
x?1
?
?log
x?1
?
x?2
?
。
20、已知定义在R上的
偶函数
f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)
?
a?0
?
。
①求证
f(x)
是以2a为周期的周期函数；
②若解
x?
?
?a,a
?
时，
f(x)?2
x
?1
。试求f(x)
在R上的解析式。
③当a = 4时，
f(x)
=0在[0，
4]内有且仅有一根2，求
f(x)
=0在[0，2000]内所有根之和。
21、
已知
sin
2
??sin??1
，求
cos
2
??
cos
6
?
之值。
22、已知
tanx??
45sinx?8
，求之值。
35cos
x?9
23、已知函数
f(x)?2cos4x?12cos
2
x?12si
n
2
x?7
。
①求
f(x)?0
时，x的取值范围；
②求
f(x)
ma
x
和
f(x)
min
（最大值和最小值）。
24、求证：
cos
2
x?cos
2
(x?y)?2cosx?cosy?cos(x?y
)?sin
2
y
。
25、若
??(0,)
，求证
cos(sin?)?sin(cos?)
。
?
2
tan(???)
sin
2
x
2
??1
26、设，求证：
tanx?tan
??tan?
。
2
tan?
sin?
5x
1
2
(x?(0,?))
。
27、已知
f(x)???
x
2
2sin
2
sin
①将
f(x)
表示成
cosx
的多项式；
②求
f(x)
的最小值；
③若
2cos
2
x?c
osx?1?k(cosx?2)
中的
cosx
有两个不同的符号，求实数k的取值范
围。
?
的等差数列，求证：
tan??tan??tan??tan??tan??
tan???3
。
3
AC
29、△ABC中，三边a、b、c成等差数列，求
tan?tan
之值。
22
30、已知
sin??sin??p<
br>，
cos??cos??q
，求
sin(???)
、
cos(
???)
（
p?q?0
）
28、
?
、
?
、
?
组成公差为
31、已知△ABC中，
tanB?
cos(B?
C)
，求证：△ABC为Rt△。
sinA?sin(B?C)
32、已知
f(x)?sin
2
x?asin
2
x
，若
f(x)
在R上的最大值为6，求实数a。
2
33、若
sin
2
?
sin
2
?
?1?
tan(???)
且
???
，
求证：
tan?
、
tan?
、
tan?
成等差数列。 tan?
34、已知
tan??log
35
25
，
ta
n??log
7
25
，求证：
2sin(???)?sin?sin??0<
br>。
35、化简：
cos
5
24613
?
+
cos?
+
cos?
+4
cos??cos??cos??1
。 <
br>7
77777
36、设
x
2
?33x?4?0
的两根
分别为
tan?
、
tan?(?,??(0,?))
。求
???之值。
37、A、B、C为△ABC的三内角，a、b、c为其对边，求证：
cosA?cosB?cosC?1?
2?c?sinA?sinB
。
a?
b?c
?
?
?
38、当
x?
?
0,
?时，
sinx?1?sin2x?1?sin2x
，求
tan3x
。 <
br>?
2
?
39、已知
3sin??sin
?
2???<
br>?
，
tan??1
，求
tan(???)
。
40、
若
f(sinx)?sinx?sin5x
，化简
f
2
(sinx)
?4cos
2
2x?f
2
(cosx)
。
41、设
sin(x?y)?
tanx
11
，
sin(x?y)?
，求。
tany
34
A
??
42、△ABC的三内角为A、
B、C，若
lg
?
tan
?
?0
，且
sinB、
cosC
是方程
4x
2
?px?3?0
的
2
??
两根，求A和p。
43、已知：
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC?0
，
求证：
cos
2
A?cos
2
B?cos
2C?
定值。
sin2x?2sin
2
x
7?7?
?<
br>?
?
3
44、已知
cos
?
?x
?
?
，且，求之值。
?x?
1?tanx
124
?
4
?
5
45、已知
tanx?7
，求
cos2x?cos4x
sin3x
2
之值。
46、若
f(cos?)?cos2??cos?(
??2k?,k?Z)
，求
f(x)
的定义域和值域。
47、已知：
tan
2
??2tan
2
??1
，求证：
cos2??s
in
2
??0
。
48、已知：
?
与
?
是
关于x的方程
acosx?bsinx?c
的两根，且
?
???k?
（
k?Z
），
求证：
abc
。
??
????
?????
cossincos
222
49、解不等式：
ax?1?x
。
50、若
x
2
log
2
a?1a?1a?1
?2xlog
2
?2log
2
?0
（
x?R
）恒成立，求实数a。
2a2a2a
a
2
?b<
br>2
?c
2
?d
2
?a?c?b?d
。 51、若a?b?c?d?0
，求证：
2
52、已知：
a
i
、<
br>b
i
、
(i?1,2)
，且
a
1
?a
2
，
b
2
?b
1
，
a
1
b1
?c
1
?0
，
a
2
b
2
?
c
2
2
?0
，
2
)?(a
2
b
2
?c
2
求证：
a
1
b
2
?a
2
b
1
?2c
1
c
2
?2(a
1
b
1
?c
1
。
2
)
（问何时等号成立？
）
(a
2
?b
2
?c
2
)?(a?b?c)
53、a、b、
c?R
，求证：
a?b?c?
（问何时等号成立？）。 <
br>3
?
333
(a?1)
2
(a?1)
2
54
、关于实数x的两个不等式
x?
与
x
2
?3(a?1)x?2(3a
?1)?0
的解集分别
?
22
为A和B，求
A?B
时实数a
的取值范围。
55、解关于x的不等式：
n(x?2)
x?3
?1
。
56、解不等式：
log
2
9?x
2
?
x2
?5x?6
?
?0
。
57、解关于x的不等式：
l og
kx
x?log
x
(kx
2
)?0(k?0)
。
58、△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，且
角公差为
?
???0
?
。
①求证：
cos??
111
、、也成等差数列。设内
sin2Asin2Bsin2C
6
；
4
555
2n
②求和：
cos
2
?
+
cos
2
??log
3
?
tan?
?
+
cos< br>2
??log
2
3
?
tan?
?
????< br>+
cos??log
3
?
tan?
?
????
。
59、数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，
a
1
?1
，
n?N
时
S
n ?1
?4a
n
?2
。
①若
b
n
?a< br>n?1
?2a
n
，求
b
n
；
②若
c
n
?
③若
d
n
?
1
，求数列
?
c
n
?
的各项和S；
a
n?1
?2a
n
a
n
2
n
，求证：
?
d
n
?
成等差数列。
60、
?
a
n
?
中，
a
1
?hsina
0
，n?2
时
a
n
?hsina
n?1
(0?h?1)，且
sin
①证明：
|a
n?1
?a
n
|?h
n
|a
1
?a
0
|
（
n?N
）；
?
a
n
?a
n?1
1
?a
n
?a
n?1
22
。
h
q
|a
1
?a
0
|
。 ②若
p,q?Z
且
p?q
，证明：
|a
p
?a
q
|?
1?h
z
61、等比数列
?
a
n
?
中，首项为复数z，
z?3
，公比
q?
。以该数列的任意连续三项在复平面< br>2
上的对应点的顶点的三角形都是直角三角形，且这三项对应的第一个点为直角顶点。求z 。
62、
z
1
、
z
2
、……、
z
1 0
成等比数列，|
z
1
| =1，
z
2
=
z
10
=1，
z
3
?z
1
，求Arg
z
1
。
2
63、
z
1
、
z
2在复平面对应的点为P、Q，且|
z
2
| = 4，
4z
1?2z
1
z
2
?z
2
2
?0
。
求：①S
△OPQ
； ②
(z
1
?1)?(z
1
?2)
的最大值。
64、 复数
z
0
?0
，
??
1?i
，
z
n
?z
0
?
n
(n?N)
。
2
①求证：对任意复数
z
0
，△O
Z0
Z
1
为直角等腰三角形；
②若
|z
0
|?
1
，令
?
n
?z
n
?z
n?1
(n?N)
，求
limS
n
?lim
n??
n??
?
?
j
。
j?1
n
65、已知<
br>z
k
?C(k?1,2,???,n)
，且
z
1
?1
，
z
n?1
1
?(1?3i)
。
z
n
4
n?n?
??
2
n
?<
br>?
cos?isin
?
33
??
①用数学归纳法证明：
z
1
?z
2
?????z
n
?
??
??
2
n
?2
n?1
?
cos?isin
?
3
3
??
②求
?
n?N
?
?
z
j?1
?z
j
。
j?1
?
66、已知复数
x
j
?y
j
i
在复平面上对应的点
P
j
(j?N)
位于单位圆在第一象限的圆弧上，且
x
n
y
n?1
?
。
x
n?1
1?x
2
n?1
①若
x
1?a
(a?0)
，求
?
x
n
?
与
?<
br>y
n
?
的通项；
②若
x
1
?y
1
，求
?
x
2
j
y
j?1
。
j?1
?
参考答案
(m?2)
2
9
1、①
S?log
a
；②
f(m)
单调递减；③
0?S?log
a
m(m?4)
5
3、[0，1]，递增，
x?
2、<
br>x?a
2
?
2?1
时
g(x)
取得最小值
22
2
2
?
2
2
4、
?log
a
k?1
；
a?1
时
a
3
?k?a
，
0?a?1
时
a?k?a
3
3
6、略 7、
a?
5
??
5、
a?
?
1,?1,?4,
?
2
??
1
2
2?1
8、
f(
x)?
lgx?1
lg
2
x?1
，
x?10
时f(x)
有最大值
1?2
，
x?10
?
2
2?
1
时
f(x)
有最小值
1?2
2
9、①奇函数②
0?a?
3
3
10、
0?a?0.01
11、
k??1?22
<
br>12、①
?2?6?a??2?6
，②单调递减，③
0?S?log
3
9
5
13、
2
?
?
4?
33
?
2
?
??
14、
?
??,?
1
?
??,?
??
?
?
,
?
?
3
???
?1,??
224
????
15、
a?1
时
x?2a
或
a?x?a?
11
；
0?a?1时
2a?x?1?a
或
a?a?x?a?
aa
16
、
a?b?0
时
x?log
a
2
；
b?a?0时
x?log
a
2
bb
?
?
34
?
?
17、
?
,4
?
?
?
2
?
?
18、
0?x?1
或
x?
19、
略
1616
16
时
f(x)?g(x)
；1?x?
时
f(x)?g(x)
；
x?
时
f(x)?g
(x)
；x = 4
33
3
20、①
f(x)?2
x?2
ka
?1
?
x?
?
2ka?a,2ka?a
?
,k
?Z
?
；
②（0，8]内有2，6，[0，2000]内有500个，和为500000。
22、x在二象限时
，值为
?1
；x在四象限时，值为
?
21、
35?5
2
2
3
?5?
??
23、①
x?
?
k??,k??
?
,k?Z
；
66
??
②
x?k??
?
(k?Z)
时，
f(x)
max
?2
1
；
x?k?(k?Z)
时，
f(x)
min
??3
2
25、诱导公式 26、差角公式 24、半、倍公式
27、①
f
(x)?2cos
2
x?cosx?1
；②
cosx??时,f
mi
n
??
；③
0?k?
28、和角正切
1
4
9
8
1
2
1
29、 <
br>3
p
2
?q
2
?2
30、
sin(???)
?
2
；
cos(???)?
2
2
p?q
2pq
31、略
38、
0?x?
32、
?6
33、略 34、略 35、0
39、2
36、
4
?
3
37、略
41、7
???2
时tanx?0,?x?时tanx?
44211
43、
40、0
42、
90?,?43
3
2
44、
?
28
75
45、
?4
?
9
?
46、
D?
?
?1,1
?
,M?
?
?,2
?
?
8
?
47、略 48、略
a
2
?aa2
?4a
2
?aa
2
?4
49、
?x?(a?
2)
22
50、
0?a?1
55、
n?0
时，
51、略 52、略 53、略
54、
a??1或1?a?3
2n?32n?3
；
n?1
时，
x?3
；
?x?
3
；
n?0
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