高中数学选修21电子书-高中数学2018年高考全国1卷
高考总复习
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题
x
1.(2010·山东日照模考)a=
?
xdx,b
=e
?
??
dx,c=
?
?
sinxdx,则a、b、c的
大小关系是
000
222
( )
A.a
1
22
22
x
2
x222
[解析] a=
?
xdx=x|
0
=2,b=
?
edx=e|
0
=
e-1>2,c=
?
sinxdx=-cosx|
0
=1
?
0
?
0
?
0
2
-cos2∈(1,2),
∴c2.(2010·山东理,7)由曲线y=x
2
,y=x<
br>3
围成的封闭图形面积为( )
A.
1
12
1
B.
4
1
C.
3
D.
7
12
B.aD.c[答案] A
2
?
?
y=x
[解析]
由
?
3
得交点为(0,0),(1,1).
?
y=x
?<
br>1
23
?
1
x
3
-
1
x
4
??
0
1
=
1
. ∴S=
?
(x-x)d
x=
?
0
?
34
??
12
[点评] 图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函
数表达式减去下方曲线对应函
数表达式的积分,请再做下题:
(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y=x
2
上从原点到A(2,4)移动,如果把由直线OP,直
线y=x
2
及直线x=2所围成
的面积分别记作S
1
,S
2
.如图所示,当S
1
=S
2
时,点P的坐标是
( )
416
?
A.
?
?
3
,
9
?
415
?
C.
?
?
3
,
7
?
[答案] A
t
2
2
[解析] 设P(t,t)(0≤t≤2),则直线OP:y=tx,
∴S
1
=
?
(tx-x)dx=;S
2
=
?
(x-
?
0
?
t
6
2
t
2
3<
br>
416
?
B.
?
?
5
,
9
?
413
?
D.
?
?
5
,
7
?
8t4416
t
x)dx=-2t+,若S
1
=S
2
,则t=,∴P
?
,<
br>?
.
?
39
?
363
3.由三条直线x=0、x=
2、y=0和曲线y=x
3
所围成的图形的面积为( )
A.4
4
B.
3
C.
18
5
D.6
含详解答案
3
高考总复习
[答案] A
x
4
?
2
[解析]
S=
?
?
0
xdx=
4
?
0
=4.
2
3
1
4.(2010·湖南省考试院调研)
?
?
-1(sinx+1)dx的值为( )
A.0
B.2
D.2-2cos1 C.2+2cos1
[答案] B
11
[解析]
?
?
-1(sinx+1)
dx=(-cosx+x)|
-
1
=(-cos1+1)-(-cos(-1)-1)
=2.
5.曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1所围成的图形面积是( )
A.2π
C.
3π
2
B.3π
D.π
[答案] A
[解析] 如右图,
S=∫
0
(1-cosx)dx
=(x-sinx)|
0
2π
=2π.
[点评] 此题可利用余弦
函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为
2π
?
π
,π?
,则对称性就无能为力了.
?
6
?
6.函数F(x)=?
?
t(t-4)dt在[-1,5]上( )
0
x
A.有最大值0,无最小值
32
B.有最大值0和最小值-
3
32
C.有最小值-,无最大值
3
D.既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析]
F′(x)=x(x-4),令F′(x)=0,得x
1
=0,x
2
=4,
73225
∵F(-1)=-,F(0)=0,F(4)=-,F(5)=-.
333
32
∴最大值为0,最小值为-.
3
[点评]
一般地,F(x)=
?
φ(t)dt的导数F′(x)=φ(x).
?
0<
br>x
x
1
2
7.已知等差数列{a
n
}的前n项和S<
br>n
=2n+n,函数f(x)=
?
?
1
t
dt,若f
(x)3
,则x的取
含详解答案
高考总复习
值范围是( )
A.
?
3
,+∞
?
?
6
?
C.(e
-
11
,e)
[答案] D
x
1
x11
[解析] f(x)=
?
dt=lnt|
1
=lnx,a
3
=S
3
-S
2
=21-10=11,由lnx<11得,0
1
t
B.(0,e
21
)
D.(0,e
11
)
8.(2010·福建厦门一中)如图所示,在一个
长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y=
sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,
向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形
OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部
分的概率是( )
1
A.
π
2
B.
π
3
C.
π
π
D.
4
[答案] A
[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积
.由题意得S=
?
sinxdx=-cosx|
0
π
=-(cosπ
-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率P=
21
=.
2ππ
x+2?-2≤x<0?
?
?
9.(2010·吉林质检)函数f(x)=
?
π
的图象与x轴所围成的图形面积S为
?
?
2cosx?0≤x≤
2
?
( )
3
A.
2
B.1
C.4
1
D.
2
S
?
0
π
=<
br>S
矩形
OABC
[答案] C
ππ
0
[解析] 面积S=∫
-
2
f(x)dx=
?
-2(x+2)dx+∫2cosxdx=2+2=4.
?
22
0
10.(2010·沈阳二十中)设函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-
1.2]
x
=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数g(x)=-,f(x)在区间(0
,2)上零点的个数记为m,f(x)与g(x)
3
的图象交点的个数记为n,则
?<
br>g(x)dx的值是( )
?
m
n
5
A.-
2
4
B.-
3
含详解答案
高考总复习
5
C.-
4
[答案] A
7
D.-
6
[解析] 由题意可得,当0
xx
4
5
所以m=1,n=4,则
?
g(x)dx=
?
?-
?
dx=-
?
1
=-.
?
m
?<
br>1
?
3
?
6
?
2
n4
2
11.(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1]
上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、<
br>c可以相等),若关于x的方程x+2bx+c=0有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比
赛中甲获胜的概率为( )
1
A.
3
2
B.
3
1
C.
2
3
D.
4
2
[答案] A
[解析] 方程x
2
+2bx+c=0
有实根的充要条件为Δ=4b
2
-4c≥0,即b
2
≥c,
12
?
?
0
bdb
1
由题意知,每场比赛中甲获胜的概率
为p=
1×1
=.
3
12.(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点
分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),曲
线y=x
2
(
x≥0)与x轴,直线x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点
落在区域M内的概
率是( )
1
A.
2
1
C.
3
1
B.
4
2
D.
5
[答案]
C
2
[解析] 如图,正方形面积1,区域M的面积为S=
?
x
?
dx
0
1
111
=x
3
|
0
1<
br>=,故所求概率p=.
333
二、填空题
1
13.(2010·芜
湖十二中)已知函数f(x)=3x
2
+2x+1,若
?
?
-1f(
x)dx=2f(a)成立,则a=
________.
1
[答案] -1或
3
[解析] ∵
?
?
-1f(x)dx=
?
?-1(3x+2x+1)dx=(x+x+x)|
-
1
=4,
?
?
-1f(x)dx=2f(a),
∴6a+4a+2=4,
2
1123211
含详解答案
高考总复习
1
∴a=-1或.
3
π
1
14.已知a=∫
0<
br>(sinx+cosx)dx,则二项式(ax-)
6
的展开式中含x
2
项的系数是
2
x
________.
[答案] -192
ππππ
[解析] 由已知得a=∫
0
(sinx+cosx)dx=(-c
osx+sinx)|
0
=(sin-cos)-(sin0-cos0)
2222<
br>=2,
(2x-
1
)的展开式中第r+1项是T
r
+
1
=(-1)×C
6
×2
x
6rr6
-
r
×x
3
-
r
,令3-r=2得,r=1,
故其系数为(-1)1
×C
6
1
×2
5
=-192.
15.抛物线y=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积为________.
[答案] 18
2
?
?
y=2x
y
2
[解析] 由方程组
?
解得两交点A(2,2)、B(8,-4),选y作为积分变量x=、
2
?
y=4-x
?
2
x=4-y
y
2
y
2
y
3
2
∴S=
?
?
-4[(4-y)-
2
]dy=(4y-
2
-
6
)|
-
4
=18
.
2
4
16.(2010·安徽合肥质检)抛物线y
2
=ax(a>0)与直线x=1围成的封闭图形的面积为,
3
若直线l与抛物线相切
且平行于直线2x-y+6=0,则l的方程为______.
[答案] 16x-8y+1=0
[解析]
由题意知
?
?
0
1
2
axdx=,∴a=1,
3
含详解答案
高考总复习
设l:y=2x+b代入y
2
=x中,消去y得,
4x
2
+(4b-1)x+b
2
=0,
1
由Δ=0得,b=,
8
∴l方程为16x-8y+1=0.
1
7.(2010·福建福州市)已知函数f(x)=-x
3
+ax
2
+bx(
a,b∈R)的图象如图所示,它与x
1
轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围成区域(图中
阴影部分)的面积为,则a的值为
12
________.
[答案]
-1
[解析] f ′(x)=-3x
2
+2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b
=0,∴f(x)=-x
3
+ax
2
,令f(x)=0,
得x=0或
x=a(a<0).
S
阴影
=-
?
?
(-x+ax)dx
=
a
0
32
1
4
1
a=,∴a=-1.
1212
三、解答题
18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线y=x
2
,试在此区间内确定t的值,使图中阴影
部分的面积S
1
+S
2<
br>最小.
2
3
t
2
[解析]
由题意得S
1
=t·t
2
-
?
xdx=t,
?
0
3
含详解答案
高考总复习
S
1
?
2
dx-t
2
(1-t)=
2
t
3
-t
2
+
1
2
=
?
x,
t33
所以S=SS
41
1
+
2
=
3
t
3
-t
2
+
3
(0≤t≤1).
又S′(t)=
4t
2
-2t=4t
?
1
?
t-
2
??
,
令S′(t)=0,得t=
1
2
或t=0.
因
为当0
2
时,S′(t)<0;当
1
2
所以S(t)在区间
?
?
0,
1
2<
br>?
?
上单调递减,在区间
?
1
?
2
,1?
?
上单调递增.
所以,当t=
11
2
时,S
min
=
4
.
含详解答案
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