matlab能否算高中数学题-广东高中数学学习顺序
2013年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明:
1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他
各题的评阅,请严
格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2. 如果考
生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分,
解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为
一个档次,不要增加其他中间档次.
一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
1. 设集合
A?
?
2,0,1,3
?
,集合
B?
?
x|?x?
A,2?x
2
?A
?
.则集合
B
中所有元素的和为
.
答案 -5
,?3
时,
2?x
2
??2,?7
,解 易知
B?
?
?2,0,?1,?3
?
,当
x??2
有
2?x
2
?A
;而当
x?0,?1
时,
2?x
2
?2,1
,有
2?x
2
?A
.因此,根据
B
的定义
可知
B?
?
?2,?3
?
.
所以,集合
B
中所有元素的和为-5.
????????
2. 在
平面直角坐标系
xOy
中,点
A、B
在抛物线
y
2
?4x
上,满足
OA?OB??4
,
F
是抛物
线的焦点.则
S
?OFA
?s
?OFB
?
.
答案 2.
2
y
2
y
1
2
解 点
F
坐标为<
br>?
1,0
?
.设
A
?
x
1
,y1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?<
br>,则
x
1
?
,
x
2
?
,故
4
4
????????
1
2
?4?OA?OB?x
1x
2
?y
1
y
2
?
?
y
1<
br>y
2
?
?y
1
y
2
,
16
1
2
即
?
y
1
y
2
?8
??0
,故
y
1
y
2
??8
.
16<
br>2
?
1
??
1
?
1
S
?OFA?S
?OFB
?
?
OF?y
1
?
?
?
OF?y
2
?
??OF?y
1
y
2
?2<
br>.
?
2
??
2
?
4
3. 在
?A
BC
中,已知
sinA?10sinBsinC
,
cosA?10cosBc
osC
,则
tanA
的值为.
答案
11.
1
A?
解 由于
sincoAs?
?
10BsinC?sinBcCs??co
?
s
?
oB
?<
br>?1C0?cos
,
A
所以
10cos
sinA?11cos
A
,故
tanA?11
.
4.
已知正三棱锥
P?ABC
底面边长为1,高为
2
,则其内切球半径为.
答案
2
6
解 如图,设球心
O
在面
A
BC
与面
ABP
内的射影分别为
H
和
K
,
AB
中点为
M
,内
切球半径为
r
,则
P、K、M<
br>共线,
P、O、H
共线,
?PHM??PKO?
OH?OK?r
,
PO?PH?OH?2?r
,
?
2
P
,且
MH?
33
153
AB?
,
PM?MH
2
?PH<
br>2
?
,
?2?
66
126
K
O
A
H
M
B
C
于是有
OKMH1
??sin?KPO??
,
PM5
2?r
PO
r
2
解得
r?
.
6
5. 设
a,b
为实数,函数
f
?
x
?
?ax?b
满足:对任意
x?
?
0,1
?
,有f
?
x
?
?1
.则
ab
的最大值
为.
答案
1
.
4
解 易知
a?f
?
1?
?f
?
0
?
,
b?f
?
0
?
,则
22
111
??
1
ab?f
?
0
?
?
?
f
?
1
?
?f
?
0
?
?
??
?
f
?
0
?
?f?
1
?
?
?
?
f
?
1
??
?
?
f
?
1
?
?
?
.
244
??
4
2
当
2f
?
0<
br>?
?f
?
1
?
??1
,即
a?b??
1
11
时,
ab?
.故
ab
的最大值为.
4
24
6.
从1,2,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为.
答案
232
323
解 设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
取自1,2,…,20,若
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
互不相邻,则
1?a
1
?a
2
?1?a
3
?2?a
4
?3?a
5
?4?16
,
由此知从1,2,
…,20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,…,16中取5个不同的数的
5
选法相同,
即
C
16
种.所以,从1,2,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻
数
2
555
C
20
?C
1
6
C
16
232
的概率为.
?1??
55
C
20
C
20
323
7.
若实数
x,y
满足
x?4y?2x?y
,则
x
的取值范围是
.
答案
?
0
?
?
?
4,20
?
.
解
令
y?a
,
x?y?b
?
a,b?0
?
,此时x?y?
?
x?y
?
?a
2
?b
2
,
且条件中等式化为
a
2
?b
2
?4a?2b
,从而
a,b
满足方程
?
a?2
?
2
?
?
b?1
?
?5
?
a,b?0
?
.
2
b
4
2
O
B
C
如图所示,在aOb
平面内,点
?
a,b
?
的轨迹是以
?
1
,2
?
为圆心,
5
为半径的圆在
a,b?0
的部分,即点
O
与弧
?
ACB
的并集.因此
?
,从而
x?a
2
?b
2
?
?
0
?
?
?<
br>4,20
?
.
a?b?
?
0
?
?
?
2,25
??
22
1
A
a
8. 已知数列
?
a
n
?
共有9项,其中
a
1
?a
9<
br>?1
,且对每个
i?
?
1,2,?,8
?
,均有则这样的数列的个数为.
答案 491
a
i?1
?
1?i?
8
?
,则对每个符合条件的数列
?
a
n
?
有 a
i
8
a
i?1
?
1
?
?
?
2,1,?
?
,
a
i
2
??
解 令
b
i
?
8
?
b
i
?
?
i?1i
?1
a
i?1
a
9
1
??
??1
,且
b
i
?
?
2,1,?
?
?
1?i?
8
?
.
2
?
a
i
a
1
?
1
○
1
的8项数列
?
b
?
可唯一确定一个符合题设条件的9项数列
?
a
?
. 反之,由符合条
件○
n
n
1
的数列
?
b
?
的个数为
N
.显然
b
?
1?i?8
?
中有偶数个
?
记符合条件○
ni
11
,即
2k
个
?
;
22
继而有
2k
个2,易见
k
的可能值只有0,1,2,
8
?4k
个1.当给定
k
时,
?
b
n
?
的取
法有
C
8
2k
C
8
2
?
k
2k<
br>种,
所以
24
N?1?C
8
2
C
6
?C
8
4
C
4
?1?28?15?70?1?491
.
因此,根据对应原理,符合条件的数列
?
a
n
?
的个数为491
二、
解答题:本大题共3个小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
3
骤.
9. (本题满分16分)给定正数数列
?
x
n
?
满足
S
n
?2S
n?1
,
n?2,3,?
,这里
S
n
?x
1
???x
n
.证明:存在常数
C?0
,使得
x
n
?C?2
n
,
n?1,2,?
.
解
当
n?2
时,
S
n
?2S
n?1
等价于
x
n
?x
1
???x
n?1
.
1
○
…………4分
对常数
C?
1
x
1
,用数学归纳法证明:
4
x
n
?C?2
n
,
n?1,2,?
.
2
○
…………8分
n?1
时结论显然成立.又
x
2
?x
1
?C?2
2
.
1
式知 对
n
?3
,假设
x
k
?C?2
k
,
k?1,2,?,n
?1
,则由○
x
n
?x
1
?
?
x
2
???x
n?1
?
?x
1
?
?
C?2
2
???C?2
n?1
?
?C
?
2
2
?2
2
?2
3
???2
n?1
?<
br>?C?2
n
,
2
式成立.
所以,由数学归纳法知,○
…………16分
x
2
y
2
10. (本题满分20分)在平面直角坐标系
x
Oy
中,椭圆的方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0<
br>?
,
ab
A
1
、A
2
分别为椭圆的左、右顶
点,
F
1
、F
2
分别为椭圆的左、右焦点,
P
为椭
圆上不同于
A
1
和
A
2
的任意一点.若平面中两个点
Q、R
满足
QA
1
?PA
1
,
QA
2<
br>?PA
2
,
RF
1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
,
试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系,并给出证明.
解 令
c?a
2
?b
2
,则
A
1
?
?a,0
?
,
A
2
?
a,0
?
,
F
1
?
?c,0
?
,
F
2
?
c,0
?
.
22
x
0
y
0
设
P
?
x
0
,y
0
?
,
Q
?
x
1
,y
1
?
,
R
?
x
2
,y
2
?
,其中
2
?
2
?1
,
y
0
?0
.
ab
由<
br>QA
1
?PA
1
,
QA
2
?PA
2
可知
4
?????????
AQ?A1
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0
?0
,
1
??????????
A
2
Q?A
2
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0
?0
1
○
2
○
…………5分
22<
br>1
、○
2
相减,得
2a
?
x?x
?
?0
,即
x??x
,将其代入○
1
,得
?x?a?yy?0
, 将○
10
010
10
2
2
?
x
0
?a
2
x
0
?a
2
?
故
y<
br>1
?
,于是
Q
?
?x
0
,
?
.
y
0
y
0
??
…………10分
2
?
x
0
?c
2
根据
RF1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
,同理
可得
R
?
?x
0
,
y
0
?
?
?
.
?
…………15分
因此
22
x<
br>0
?a
2
x
0
?c
2
b
2
,
QR???
y
0
y
0
y
0
由于
y
0
?
?
0,b
?
,故
QR?b
(其中
等号成立的充分必要条件是
y
0
?b
,即点
P
为
?
0,?b
?
).
…………20分
11. (本题满分20分)求
所有的正实数对
?
a,b
?
,使得函数
f
?
x?
?ax
2
?b
满足:对任意实
数
x,y
,有
f
?
xy
?
?f
?
x?y
?
?f
?
x
?
f
?
y<
br>?
.
解 已知条件可转化为:对任意实数
x,y
,有
?
ax
2
y
2
?b
?
?a
?
x?y
?
?b?
?
ax
2
?b<
br>??
ay
2
?b
?
.
2
??
1
○
先寻找
a,b
所满足的必要条件.
22
1
式中令
y?0
,得
b?
?
ax?b
?
?<
br>?
ax?b
?
?b
,即对任意实数
x
,有 在○?
1?b
?
ax
2
?b
?
2?b
?<
br>?0
.
由于
a?0
,故
ax
2
可取到任意
大的正值,因此必有
1?b?0
,即
0?b?1
.
…………5分
42
1
式中再令
y??x
,得
?
ax?
b
?
?b?
?
ax?b
?
,即对任意实数
x
,有 在○
2
?
a?a
?
x
24
?2abx2
?
?
2b?b
2
?
?0
.
2
○
2
2
的左边记为
g
?
x
?
,显然
a?a?0
(否则,由
a?0
可知a?1
,此时将○
5
,于是
g
?
x
?
??2bx
2
?
?
2b?b
2?
,其中
b?0
,故
g
?
x
?
可取到
负值,矛盾)
?
ab
?
ab
??
g
?
x<
br>?
?
?
a?a
2
?
?
x
2
???
?
2b?b
2
?
2
?
2
a?a
?
a?a
?
2
2
b
?
b
?
?
?
a?a
?
?
x
2
??
?2?2a?b
?
?0
?
1?a
?
1?a?
2
2
对一切实数
x
成立,从而必有
a?a
2
?0
,即
0?a?1
.
进一步,考虑到此时
…………10分
?
b
?
b
b
?
再根据
g
?
可得
2a?b?2
.
?
0
,
?
?
1?a
?
1?a
?
2?2a?b
?
?0
,
1?a
??
至此,求得
a,b
满
足的必要条件如下:
0?b?1
,
0?a?1
,
2a?b?2
.
3
○
…………15分
3
的任意实数对
?a,b
?
以及任意实数
x,y
,总有○
1
成立,即 下
面证明,对满足○
h
?
x,y
?
?
?
a?a
2
?
x
2
y
2
?a
?
1?b
?
?
x
2
?y
2
?
?2axy?
?
2b?b
2
?
对任意
x,y
取非负值.
2
3
成立时,有
a
?
1?b
?
?0
,
a?a?0
,事实上,在○
b
?
2?2a?b
?
?
0
,再结合
1?a
x
2
?y
2
??2xy
,可得
h
?
x,y
?
?
?
a?a
2?
x
2
y
2
?a
?
1?b
??
?2xy
?
?2axy?
?
2b?b
2
?
??
a?a
2
?
x
2
y
2
?2abxy
?
?
2b?b
2
?
b
?
b
?
?<
br>?
a?a
?
?
xy?
?
2?2a?b
??0
?
?
1?a1?a
??
2
2
综
上所述,所求的正实数对
?
a,b
?
全体为
?
?
a
,b
?
|0?b?1,0?a?1,2a?b?2
?
.
…………20分
6
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