1994年全国高中数学联赛试题及解答

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
1994年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、设
a
，
b
，< br>c
是实数，那么对任何实数
x
，

不等式
a
sin
x
+
b
cos
x
+
c
>0都成立的 充要条件是
(
A
)
a
，
b
同时为0，且
c
>0 (
B
)
a
+
b=c

(
C
)
a
+
b
<
c
(
D
)
a
+
b
>
c

2、给出下列两个命题：⑴ 设
a
，
b
，
c
都是复 数，如果
a
+
b
>
c
，则
a
+
b
－
c
>0；⑵设
a
，
b
，
c
都是
复数，如果
a
+
b
－
c
>0，则
a
+
b
>
c
．那么下述说法正确的是
(
A
)命题⑴正确，命题⑵也正确 (
B
)命题⑴正确，命题⑵错误
(
C
)命题⑴错误，命题⑵也错误 (
D
)命题⑴错误，命题⑵正确
1
3、已知数列{
a
n< br>}满足3
a
n
+1
+
a
n
=
4(< br>n
≥1)，且
a
1
=
9，其前
n
项之和为< br>S
n
，则满足不等式|
S
n
－
n
－6|<的
125
最小整数
n
是
(
A
)5 (
B
)6 (
C
)7 (
D
)8
222222
222222
2222
22
π
log
b
sin
a
log
b
cos
a
log
b< br>cos
a
4、已知0<
b
<1，0<
a
<，则下列三 数：
x=
(sin
a
)，
y=
(cos
a
)，
z=
(sin
a
)
4
(
A
)
x (
B
)
y (
C
)
z (
D
)
x
5、在正
n
棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(
A
)(
n
－2
n
－1
πn
－2
n
－1
π
，
π
) (
B
)(
π
，
π
) (
C
)(0，) (
D
)(
π
，
π
)
nn
2
n n
|
x
+
y
||
x
－
y
|
6、在平面直角坐标系中，方程+
=
1 (
a
，
b
是不相等的两个正数)所代表的曲线是
2
a
2
b
(
A
)三角形 (
B
)正方形
(
C
)非正方形的长方形 (
D
)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)
1．已知有向线段
PQ
的起点
P
和终点
Q
的坐标分别为- 1 -

－1，1)和(2，2)，若直线
l
：
x
+
my
+
m=
0与
PQ
1

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
的延长线相交，则
m
的取值范围是 ．
?
x
+sin
x
－2
a=
0，
2．已知
x
，
y
∈[－，]，
a
∈
R
且
?
3
则cos(
x
+2
y
)
=
．
44
?
4
y
+sin
y
cos
y+
a=
0
ππ
3
5
2
5
22222< br>3．已知点集
A=
{(
x
，
y
)|(
x－3)+(
y
－4)≤()}，
B=
{(
x
，
y
)|(
x
－4)+(
y
－5)>()}，则点集
A
∩
B
22
中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ．
4．设0<
θ
<
π
，，则sin(1+cos
θ
)的最大值是 ．
2
5．已知一平面与一正方体的12条棱的 夹角都等于
α
，则sin
α=
．
6．已 知95个数
a
1
，
a
2
，
a
3
， …，
a
95
， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和
θ
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+…+
a
94
a
95
的最小正值是 ．
- 2 -

2

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
第二试
一、(本题满分25分)
x
的二次方程
x+
z
1
x
+
z
2
+
m=
0中
,z
1
，
z
2
，
m
均是复数，且
z
1
－4
z
2
=
16+20
i
，设这个方
程的两个根
α
、
β
，满足|
α
－
β
|
=
27
,
求|
m
|的最大值和最小值.







二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。







E
2
2
三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆
O
的半径为
R,
内心为
I
，
∠
B=
60?
,
∠
A
<∠
C,
∠
A
的外角平分线交圆
O
于
E
．
证明:(1)
IO=AE
； (2) 2
R<
IO
+
IA
+
IC
<(1+3)
R
．




- 3 -

A
O
I
B
C
3

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚





四、 (本题满分35分) 给定平面 上的点集
P=
{
P
1
，
P
2
，…，
P
1994
}
,

P
中任三点均不共线
,
将
P
中的所有的点
任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组， 然后将在同一组的任两点用一条线段相
连
,
不在同一组的两点不连线段
,这样得到一个图案
G
，不同的分组方式得到不同的图案，将图案
G
中所含
的以
P
中的点为顶点的三角形个数记为
m
(
G
)．
(1)求
m
(
G
)的最小值
m
0
．
(2)设
G
*是使
m
(
G
*)
=m
0的一个图案，若
G
*中的线段(指以
P
的点为端点的线段)用4种颜色染 色
,
每条
线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案
,
使
G
*染色后不含以
P
的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
- 4 -

4

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
1994年全国高中数学联赛解答
第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、设
a
，
b
，< br>c
是实数，那么对任何实数
x
，

不等式
a
sin
x
+
b
cos
x
+
c
>0都成立的 充要条件是
(
A
)
a
，
b
同时为0，且
c
>0 (
B
)
a
+
b=c

(
C
)
a
+
b
<
c
(
D
)
a
+
b
>
c

解：
a
sin
x
+
b
cos
x
+
c=a
+
b
sin(
x
+
φ
)+
c
∈[－
a
+
b
+
c
，
a
+
b< br>+
c
]．故选
C
．
2、给出下列两个命题：(1)设
a
，
b
，
c
都是复数，如果
a
+
b>
c
，则
a
+
b
－
c
>0．(2)设
a
，
b
，
c
都是
复数，如果
a
+
b
－
c
>0，则
a
+
b
>
c．那么下述说法正确的是
(
A
)命题(1)正确，命题(2)也正确 (
B
)命题(1)正确，命题(2)错误
(
C
)命题(1)错误，命题(2)也错误 (
D
)命题(1)错误，命题(2)正确
解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴< br>a
+
b
>
c
，成立时，
a
+
b与
c
都是实数，故此时
a
+
b
－
c
> 0成立；
⑵ 当
a
+
b
－
c
>0成立 时
a
+
b
－
c
是实数，但不能保证
a
+< br>b
与
c
都是实数，故
a
+
b
>
c< br>不一定成立．故
选
B
．
1
3、已知数列{
a
n
}满足3
a
n
+1
+
a
n
=
4(
n
≥1)，且
a
1
=
9，其前
n
项之 和为
S
n
，则满足不等式|
S
n
－
n
－6 |<的
125
最小整数
n
是
(
A
)5 (
B
)6 (
C
)7 (
D
)8
11
解：(
a
n
+1
－1)
=
－(
a
n
－1)，即{
a
n
－1}是以－为公比的等比数列，
33
1
n
1－(－)
3
1
n
－1
1
n
11
∴
a
n
=
8(－)+1．∴
S
n
=
8 ·+
n=
6+
n
－6(－)，?6·
n
<，?
n< br>≥7．选
C
．
3133125
1+
3
222222 222222
222222222
222222
222222
222222< br>2222
22
π
log
b
sin
a
log< br>b
cos
a
log
b
cos
a
4、已知0<
b
<1，0<
a
<，则下列三数：
x=
(sin
a
)，
y=
(cos
a
)，
z=
(sin
a
)的
4
大小关系是
(
A
)
x (
B
)
y (
C
)
z (
D
)
x
- 5 -

5

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
解：0a
a
<1．log
b
sin
a
>log
b
cos
a
>0．
log
b
sin
a
log
b
cos
a
l og
b
cos
a
∴ (sin
a
)< (sin
a
)< (cos
a
)即
x
<
z
<
y
．选
A
．
5、在正
n
棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(
A
)(

解：设相邻两侧面所成的二面角为
θ
，易得< br>θ
大于正
n
边形的一个内角
时，
θ
趋于
π< br>，故选
A
．
|
x
+
y
||
x－
y
|
6、在平面直角坐标系中，方程+
=
1 (
a
，
b
是不相等的两个正数)所代表的曲线是
2
a
2
b
(
A
)三角形 (
B
)正方形
(
C
)非正方形的长方形 (
D
)非正方形的菱形
解：
x
+
y
≥0，
x
－
y
≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(
a
+
b
)
x
+(
b
－
a
)
y=
2
ab
；

x
+
y
≥0，
x－
y
<0时，(一、二象限角平分线之间)：(
b
－
a
)
x
+(
a
+
b
)
y=
2
ab< br>；

x
+
y
<0，
x
－< br>y
≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(
a
－
b
)
x
－(
a
+
b
)
y=
2
ab
；
n
－2
n
－1
πn
－2
n
－1
π
，
π
) (
B
)(
π
，
π
) (
C
)(0，) (
D
)(
π
，
π
)
nn
2
n n
n
－2
π
，当棱锥的高趋于0
n
x
+
y
<0，
x
－
y
<0时，(二、三象限角平分线之间)：－(
a
+
b
)
x
+(
a
－
b
)
y=
2
ab
．
四条直线在
a
≠
b
时围 成一个菱形(非正方形)．选
D
．
二、填空题(每小题9分，共54分)
1．已知有向线段
PQ
的起点
P
和终点
Q
的坐标分别为的延长线相交，则
m
的取值范围是 ．
1
解：即
x
+
my
+
m=
0与
y=
(
x
+1)+1的交点的横坐标>2．
3
147
m
2
∴
x
+
m
(
x
+)+
m=
0，(3+< br>m
)
x=
－7
m
．
x=
－>2．?－3<< br>m
<－．
33
m
+33
?
x
+sinx
－2
a=
0，
2．已知
x
，
y
∈ [－，]，
a
∈
R
且
?
3
则cos(
x< br>+2
y
)
=
．
44
?
4
y
+sin
y
cos
y
+
a=0
－1，1)和(2，2)，若直线
l
：
x
+
my+
m=
0与
PQ
ππ
3
3
解：2
a= x
+sin
x=
(－2
y
)－sin(－2
y
)，
令
f
(
t
)
=t
+sin
t，
t
∈[－，]，
f
?(
t
)
=
3
t
+cos
t
>0，即
f
(
t
)在[－， ]上单调增．∴
x=
－2
y
．
2222
- 6 -

6
3
3
ππ
2
ππ

1 994年全国高中数学联赛 冯惠愚
∴ cos(
x
+2
y
)
=
1．
5
2
5
22222
3．已知点集
A=
{(
x
，
y
)|(
x
－3)+(
y
－4)≤()}，< br>B=
{(
x
，
y
)|(
x
－4)+(
y
－5)>()}，则点集
A
∩
B
22
中的整点(即横、 纵坐标均为整数的点)的个数为 ．
解：如图可知，共有7个点，即(1 ，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，
3
y
(4,5)
(3,4)
(3，2)，(4，2)共7点．
1
2
4．设0<< br>θ
<
π
，，则sin
θ
2
(1+cos
θ< br>)的最大值是 ．
O
1
2
3
x
解：令
y=
sin (1+cos
θ
) >0，
2
2
322
?
4?
2
?
2
?
2
?
则
y=
4 sin cos
=
2·2sin cos cos ≤2( )．
222223
43 2
?
∴
y
≤ ．当tan
=
时等号成立．
922
5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等 于
α
，则
D'
C'
B'
D
A
B
C
?
sin
α=
．
解：12条棱只有三个 方向，故只要取如图中
AA
?与平面
AB
?
D
?所成角即可 ．设
3
AA
?
=
1，则
A
?
C=
3，
A
?
C
⊥平面
AB
?
D
?，
A
?
C
被平面
AB
?
D
?、
BDC
?三等分．于是sin
α=
．
3
A'
6．已知95个数
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a95
， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和
a
1a
2
+
a
1
a
3
+…+
a
9 4
a
95
的最小正值是 ．
解：设有
m
个+1，(95－
m
)个－1．则
a
1
+
a
2
+…+
a
95
=m
－(95－
m
)
=
2
m
－95
∴ 2(
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+…+
a
94
a< br>95
)
=
(
a
1
+
a
2
+ …+
a
95
)－(
a
1
+
a
2
+ …+
a
95
)
=
(2
m
－95)－95>0． < br>取2
m
－95
=
±11．得
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+…+
a
94
a< br>95
=
13．为所求最小正值．
.

第二试
一、(本题满分25分)
x
的二次方程
x
+
z
1
x
+
z
2
+
m=
0中
,z
1< br>，
z
2
，
m
均是复数，且
z
1
－4
z
2
=
16+20
i
，设这个方
程的两个根
α
、
β
，满足|
α
－
β
|
=
2 7
,
求|
m
|的最大值和最小值.
- 7 -

7
2
2
22222

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
解：设
m=a
+
bi
(
a
，
b< br>∈
R
)．则△
=z
1
－4
z
2
－4
m=
16+20
i
－4
a
－4
bi=
4[ (4－
a
)+(5－
b
)
i
]．设△的平方根
为< br>u
+
vi
．(
u
，
v
∈
R
)
即(
u
+
vi
)
=
4[(4－
a)+(5－
b
)
i
]．
|
α
－
β< br>|
=
27，?|
α
－
β
|
=
28， ?|(4－
a
)+(5－
b
)
i
|
=
7， ?(
a
－4)+(
b
－5)
=
7，
即表示复数< br>m
的点在圆(
a
－4)+(
b
－5)
=
7上 ，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。
111
解 ：由105
=
3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－)(1－ )(1－)
=
48个。
357
1000
=
48×20+48 －8， 105×20
=
2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．
∴ 所求数为2186。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O
的半径为
R,
内心为
I
，∠
B=
60?,
∠
A
<∠
C,
∠
A
的外角平分线交圆
O
于
E
．
证明:(1)
IO=AE
； (2) 2
R
<
IO
+
IA
+
IC
<(1+3)R
．

证明：∵∠
B=
60°，∴∠
AOC=
∠
AIC=
120°．
∴
A，O，I，C
四点共圆．圆心为弧AC
的中点
F
，半径为
R
．
∴
O
为 ⊙
F
的弧
AC
中点，设
OF
延长线交⊙
F
于
H
，
AI
延长线交弧
BC
于
D
． 由∠
EAD=
90°（内外角平分线）知
DE
为⊙
O
的 直径．∠
OAD=
∠
ODA
．
E
A
222
2222
2
2

E
A
O
I
B
C
但∠
OAI=
∠< br>OHI
，故∠
OHI=
∠
ADE
，于是
Rt
Δ
DAE
≌
Rt
Δ
HIO

∴
AE=IO
．
由Δ
ACH
为正三角形，易证
IC
+
IA=IH
．
由
OH=
2
R
．∴
IO
+
IA
+
IC=IO
+
IH
>
OH=
2
R
．
设∠
OHI=α
，则0<
α
<30°．

- 8 -

8
B
C
O
I
F
H
D

1994年全国高中数学联赛 冯惠愚
∴
IO
+
IA
+
IC=IO
+
I H=
2
R
(sin
α
+cos
α
)
=2
R
2sin(
α
+45°)
又
α
+45° <75°，故
IO
+
IA
+
IC
<2 2
R
(6+2)4
=R
(1+3)

四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集
P=
{
P
1
，
P< br>2
，…，
P
1994
}
,

P
中任 三点均不共线
,
将
P
中的所有
的点任意分成83组，使得每组至少有 3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线
段相连
,
不在同一组 的两点不连线段
,
这样得到一个图案
G
，不同的分组方式得到不同的图案，将 图案
G
中
所含的以
P
中的点为顶点的三角形个数记为
m(
G
)．
(1)求
m
(
G
)的最小值
m
0
．
(2)设
G
*是使
m
(
G
*)
=m
0的一个图案，若
G
*中的线段(指以
P
的点为端点的线段)用4种颜色染 色
,
每条
线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案
,
使
G
*染色后不含以
P
的点为顶点的三边颜色相同的三角形．

Σ< br>n=
1994．且3≤
n
≤
n
≤…≤
n
．< br>i
1283
83
解：设
G
中分成的83个子集的元素个数分别 为
n
i
(1≤
i
≤83)，
i=
1
则m
(
G
)
=

Σ
i=
1
83
C
n
3
．即求此式的最小值．
i
设
n
k
+1
>
n
k
+1．即
n
k
+1
－ 1≥
n
k
+1．则
C
n
3
+1
+

C
n
i
i
+1
3
－1
－(
32< br>
C
n
+

C
n
3
)
=

C
n
－
C
n
2
<0．这就是说，当
n
k
+1
与
n< br>k
的
ii
+1
ii
+1
差大于1时，可用
n
k
+1
－1及
n
k
+1代替
n
k
+1
及
n
k
，而其余的数不变．此时，
m
(
G)的值变小．
于是可知，只有当各
n
i
的值相差不超过1时，
m
(
G
)才能取得最小值．
1994
=
83×24+2． 故当81组中有24个点，2组中有25个点时，
m
(
G
)达到最小值． < br>m
0
=
81
C
24
+2
C
25=
81×2024+2×2300
=
168544．
⑵ 取5个点为一 小组，按图1染成
a
、
b
二色．这样的五个小
a
a
b
b
ab
a
b
b
a
c
d
d
c
d
c
d
d
c
33
组，如图2，每个小圆表示一 个五点小组．同组间染色如图1，不
同组的点间的连线按图2染成
c
、
d两色．这25个点为一组，共得
83组．染色法相同．其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线 ．即
得一种满足要求的染色．
- 9 -

c
图1
图2
9

冯惠愚
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1994年全国高中数学联赛