江苏高中数学典型题目

..
参变分离还是利用二次函数的图象
2
1. 已知函数
f(x)?x?mx?1
，若对于任意的
x?
?
m,m?1
?
都有
f(x)?0
，则实数
m
的取值范围为 .
利用函数的性质解不等式
2.已知知函数
f(x)?
x?1
2
，
x?R
，则不等式
f(x?2x)?f(3x?4)
的解集是 。(1，2)
|x|?1
2
2
3.已知函数
f
(
x
)＝
?
?
x
，
x
≥0，
， 则关于
x
的不等式
f
(
x
)＞
f
(3－2
x
)的解集是 ．(－∞，－3)∪(1，3)
?
x
，
x
＜0，
x
4.已知函数
f
(
x
)＝
x－1－(e－1)ln
x
，其中e为自然对数的底，则满足
f
(e)＜0 的
x
的取值范围
为 ．(0,1)

双变量问题 < br>5、已知正实数x,y满足
xy?2x?y?4
，则
x?y
的最小值是 ________
26?3
（消元法或判别式法）
6、若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为 ．（基本不等式法或消元法）
4xy
4
7、已知
x
，
y
为正实数，则＋的最大值为 ▲ ．（齐次式消元）
4
x
＋
yx
＋
y
3

















..下载可编辑..

..



已知函数奇偶性求参数
2. 若函数f(x)?a?x?x?a
2
?2
是偶函数，则实数
a
的值为 ________．2
两个变量的函数
17南京二模应用题
和零点有关的题目
已知零点个数求参数范围
3、已知函数
f
?
x
?
?x
2
?x?2
，
x?R
.若方程
f
?
x
?
?ax?2?0
恰有4个互异的实数根，则实数
a
的取值范围为 .
(0,1)?(9,??)
（可用参变分离）
9
2
9．设
f
(
x
)＝
x
－3
x
＋
a
．若函数
f
(
x
)在区间(1，3)内有零点，则实数
a
的取值范围为 (0，]
4
零点存在定理
3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
37
(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不 等的实
x
数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．
2
3.解： (1) f(x)＝2x(x－5)＝2x－10x(x∈R)．
37
32322
(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x－10x＋37＝0.设 h(x)＝2x－10x＋37，则h′(x)＝6x－20x＝2x(3x－
x
10)． < br>?
10
??
10
?
当x∈
?
0，
?
时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈
?
，＋∞
?
时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．
3
???
3
?
1
?< br>10
??
10
??
10
?
∵ h(3)＝1＞0，h
??
＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间
?
3，
?
，
?
，4
?
内分别有唯一实数
3
??
3
27
?
3
???
37
根，而在区 间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m ，m
x
＋1)内有且只有两个不同的实数根．（单调性+异号端点值）
3、函数f(x)?e?x?2
的零点所在的一个区间是
(n,n?1)(n?Z)
，则< br>n?_____
1或-2
7.已知函数
f(x)?(ax?x)e
， 其中ｅ是自然数的底数，
a?R
。当
a?0
时，求整数ｋ的所有值，使方程< br>2x
x
f(x)?x?2
在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
⑶当
a?0
时, 方程即为
xe
x
?x?2
，由于
e
x
?0
，所以
x?0
不是方程的解，所以原方程等价于< br>e
x
?
2
?1?0
，令
x
..下载可编辑. .

..
h(x)?e
x
?
2 2
?1
，因为
h
?
(x)?e
x
?
2?0
对于
x?
?
??,0
?
U
?
0, ??
?
恒成立，
xx
1
2
所以
h(x)
在
?
??,0
?
和
?
0,??
?
内是单调 增函数，又
h(1)?e?3?0
，
h(2)?e?2?0
，
h(? 3)?e
?3
??0
，
3
2
?
和
?
?3，?2
?
上，
h(?2)?e
?2
?0
，所以方程
f(x)?x?2
有且只有两个实数根，且分别在区间
?
1，
所以整 数
k
的所有值为
?
?3,1
?
复合函数的零点个数

2
10．已知函数
g(x)?ax?2ax?1?b
（
a ?0
）在区间
[2,3]
上有最大值
4
和最小值
1
．设
f(x)?
g(x)
．
x
（1）求
a
、
b
的值；
（3）若
f| 2?1|?k?
?
x
?
2
?3k?0
有三个不同的实数解， 求实数
k
的取值范围．（复合函数根的个数）
x
|2?1|
2解：（1）
g(x)?a(x?1)?1?b?a
，
因为
a?0
，所以
g(x)
在区间
[2,3]
上是增函数，故
?
x2 x
?
g(2)?1
?
a?1
，解得
?
．
?
b?0
?
g(3)?4
（3）原方程可化为
|2?1|?(3k ?2)?|2?1|?(2k?1)?0
，
x
t
2
，
t
2
?1
，
t
2
?(3k?2)t?(2k?1)?0
有两个不同的实数解
t
1
，令
|2?1|?t
，则
t?( 0,??)
，其中
0?t
1
?1
，
2
或
0 ?t
1
?1
，
t
2
?1
． 记
h(t)? t?(3k?2)t?(2k?1)
，则
?
?
2k?1?0
①
?
h(1)??k?0
?
?
2k?1?0
?
或?
h(1)??k?0
② 解不等组①，得
k?0
，而不等式 组②无实数解．所以实数
k
的取值范围是
(0,??)
．
?3k?2
?
0??1
2
?
14.设定义域为R的函数
f (x)?
?
▲．7
导数存在任意x1x2的题目
例1 已知函数
f(x)?lnx?ax?
?
|lgx|,x?0
,
若关 于
x
的函数
y?2f
2
(x)?3f(x)?1
的零点的个 数为
2
?
?x?2x,x?0
1
1?a
?1
( a?R)
.设
g(x)?x
2
?2bx?4.
当
a?
时，若对任意
x
1
?(0,2)
，存在
4
x
x< br>2
?
?
1,2
?
，使
f(x
1
)? g(x
2
)
，求实数
b
取值范围.
..下载可编辑..

..
当
a?
1
时，
f (x)
在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意
x
1
?(0,2)
，
4
有
f(x
1
)?f(1)=-
11
，又已知存在
x
2
?
?
1,2
?
，使
f(x
1
)?g(x
2
)
，所以
??g(x
2
)
，
x
2
?
?
1,2
?
，
22
9
9
1117
1
2
2
即存在
x?
?
1,2
?
，使
g(x)?x?2bx?4??
，即< br>2bx?x?
，即
2b?x?
2
?
[,]
，
24
2
2
x
17
所以实数
b
取值范围是
[,??)
。
8
?
?
－x＋4x， 0≤x<4，
(2016苏锡常镇二模12.) 已知函数f(x)＝
?
若存在x
1
，x< br>2
∈R，当0≤
x
1
<4≤
x
2
?
log
2
（x－2）＋2， 4≤x≤6，
?
2
?
256
?
≤6时，
f
(
x
1
)＝
f
(< br>x
2
)，则
x
1
f
(
x
2
)的取值范围是________．
?
3，
?

27
??
分段函数的单调性
?
(3a?1)x?4a,x?111
f(x)?
10、是
R
上的减函数，则
a
的取值范 围是_________
[,)

?
73
?
log
a
x,x?1
和切线有关的导数题目（三句话）
1,
过点
?
?1,0
?
.与函数
f
?
x
?
?e
x< br>(
e
是自然对数的底数)图像相切的直线方程是____
y?x?1

公切线
x
20、已知函数
f(x)?e,g(x)?lnx
，设< br>x
0
?1
,求证：存在唯一的
x
0
使得g(x)图象 在点A(
x
0
,g(x
0
)
)处的切线
l
与y=f(x)图象也相切；
（2）
g
?
x
?
在
x?x
0
处切线方程为
y?
x
1
x?lnx
0?1
①
x
0
设直线
l
与
y?e< br>图像相切于点
x
1
,e
x
1
，则
l:
y?e
1
x?e
1
?
1?x
1
?
②……(6分)
xx
1
③
?
x
?e
?
0
由①②得
?
1
??
x
?
lnx?e
x
1
?
1?x
?
x?1
1
?
0
?0
⑤ ④
?lnx
0
?
0
x
0
?1
下证
x
0
在
?
1,??
?
上存在且唯一.
x
2
?1
x?1
?0
?G
?
x
?
在
?
1,??
?
上
Z
. 令
G
?
x
?
?lnx?
?
x?1
?
，
G'
?
x?
?
2
x?1
x
?
x?1
?
?2e< br>2
?3
2
?0,G
?
e
?
?
2?0,
G
?
x
?
图像连续，
?
存在唯一
x
0
?

?
1,??
?
使⑤式成立，从而由③④ 可确又
G
?
e
?
?
e?1e?1
立
x1
.故得证
已知极值求参数（检验）
3、已知函数
f(x)?x?3 mx?nx?m
在
x??1
时有极值0，则
m?n?
．
322
..下载可编辑..

..
?
1?3m?n?m
2
?0
?
m?1
?
m?2< br>?
f(1)?0
对函数求导得
f'(x)?3x?6mx?n
,由题意 得
?
,即
?
解得:
?
或
?
,当?
n?3
?
n?9
?
f'(1)?0
?
3?6 m?n?0
2
?
m?1
?
m?2
22
f'(x)? 3x?6x?3?3(x?1)?0
时,故
?
,
m?n?11

?
n?3n?9
??
含参数不等式恒成立中参数是整数的题目
20.(本小题满分16分)己知函数
f(x)?lnx?
的最小值:
1< br>2
ax?x,a?R
若关于x的不等式
f(x)?ax?1
恒成立，求 整数 a
2
1
2
1?ax
2
?(1?a)x?1
g (x)?f(x)-(ax?1)?lnx?ax?(1?a)x?1
g
?
(x)?? ax?(1?a)?
xx
2
方法一：令，所以．
当
a≤0
时，因为
x?0
，所以
g
?
(x)?0
．所以
g( x)
在
(0,??)
上是递增函数，
又因为
g(1)?ln1?< br>13
a?1
2
?(1?a)?1??a?2?0
，所以关于
x
的不等式
f(x)≤ax?1
不能恒成立．
22
2
1< br>1
a(x?)(x?1)
?ax?(1?a)x?1
当
a?0
时，，令
g
?
(x)?0
，得
x?
．
a
g
?
(x)???
a
xx
所以当
x?(0,)
时，
g
?
(x)?0
；当
x?(,??)
时，
g
?
(x)?0
，
1
a
1
a
因此函数
g (x)
在
x?(0,)
是增函数，在
x?(,??)
是减函数． < br>1
a
1
a
故函数
g(x)
的最大值为
g() ?ln
1
a
111111
?lna
，
?a?()
2
?(1?a)??1??lna
．令
h(a)?
2a
a2aa2a
因为
h(1)?
11
?0
，
h(2)??ln2?0
，又因为
h(a)
在
a?(0,??)
是减函数．
24
所以当
a≥2
时，
h(a)?0
．所以整数
a
的最小值为2 ．
方法二：（2）由
f(x)≤ax?1
恒成立，得
lnx?
1
2
ax?x≤ax?1
在
(0,??)
上恒成立，
2lnx?x?1lnx?x?1
g(x)?
1
2
1
2
问 题等价于在
(0,??)
上恒成立．令，只要
a≥g(x)
max

x?xx?x
22
1
(x?1)(?x?lnx)
1
2因为
g
?
(x)?
，令
g
?
(x)?0
，得
?x?lnx?0
．
1
2
(x
2
?x)< br>2
2
a≥
..下载可编辑..

..
设
h(x)??
1
11
x?lnx
，因为
h
?
(x)????0
，所以
h(x)
在
(0,??)
上单 调递减，
2x
2
不妨设
?
1
x?lnx?0
的根 为
x
0
．当
x?(0,x
0
)
时，
g?
(x)?0
；当
x?(x
0
,??)
时，
g
?
(x)?0
，
2
所以
g(x)
在
x? (0,x
0
)
上是增函数；在
x?(x
0
,??)
上是减函数．
所以
g(x)
max
1
1?x
0
l nx
0
?x
0
?1
1
111
2
?g(x< br>0
)???
．因为
h()?ln2??0
，
h(1)???0

1
2
1
242
x
0
?x
0x
0
(1?x
0
)
x
0
22
所以1
1
?x
0
?1
，此时
1??2
，即
g(x)
max
?(1,2)
．所以
a≥2
，即整数
a的最小值为2．
x
0
2
绝对值函数
（2015泰州二模13）. 若函数
f(x)?(x?2)x?a
在区间
[ 2,4]
上单调递增，则实数
a
的取值范围是
▲ ．
(??,2]U[5,??)

(2016·苏州调研测试)已知函数
f
(
x
)
=x|x-a|
，
a
∈R，
g(
x
)
=x-
1
.
记函数
f
(x
)在区间[0，2]上的最大值为
F
(
a
)，求
F< br>(
a
)的表达式
.
(2)因为
x
∈[0，2]， 当
a
≤0时，
f
(
x
)
=x-ax
，则< br>f
(
x
)在区间[0，2]上是增函数，所以
F
(
a
)
=f
(2)
=
4
-
2
a.
2
2
2
?
-x
2
?ax，0?x?a，
?
a
??
a
?
0，，a
?
2
????
x-ax ，a?x?2，
?
上是减函数，在区当0
2时，
f
(
x
)
=
?
则
f
(
x
)在区间?
2
?
上是增函数，在区间
?
2
?
?
f
间[
a
，2]上是增函数，所以
F
(
a
)
=
max
?
?
?
a
?
，f(2)
???
?
2
?
?
，
?
a
?
a
2
?
a
?
a
2
????
2
??< br>4
而
f=
，
f
(2)
=
4
-
2
a
，令
f
?
2
?
(2)，即4
<
4
-
2
a
，解得
-
4
-
4
2
4
+
4
2
，
所以 当0
4
2
?
a
?
a
2
??
-
4时，
F
(
a
)
=
4
-
2
a
；令
f
?
2
?
≥
f
(2) ，即
4
≥4
-
2
a
，解得
a
≤
-
4
-
4
2
或
a
≥
-
4
+
4
2
，
所以当4
2
a
2
-
4≤
a<
2时，
F
(
a
)
=
4
.当
a
≥2时，
f
(
x
)
=-x
2+ax
，

2
?
a
??
a
??
a
?
a
a
0，，2
??
?
2
??
2
?
????
2
当1≤
<
2，即2≤
a<
4时，
f
(
x
)在区间上是增函数，在上是减函数，则
F
(
a
)
=f
?
2
?
=
4
； a
当
2
≥2，即
a
≥4时，
f
(
x< br>)在区间[0，2]上是增函数，则
F
(
a
)
=f
( 2)
=
2
a-
4；
..下载可编辑..

..
?
4-2a，a?42-4，
?
2
?
a< br>42-4?a?4，
?
，
?
4
?
2a-4，a?4.
综上，
F
(
a
)
=
?











先求轨迹的题目
(2017南京二模11)．在平面直角坐标系
xOy
中， 直线
l
1
：
kx
－
y
＋2＝0与直线
l< br>2
：
x
＋
ky
－2＝0相交于点
P
，则当< br>实数
k
变化时，点
P
到直线
x
－
y
－4＝0的距离的最大值为▲．32
已知圆
C:x
2
?y
2
?1
与
x
轴的两个交点分别为
A,B
（由左到右），
P< br>为
C
上的动点，
l
过点
P
且与
C
相 切，过点
A
作
l
的垂线且与直线
BP
交于点
M，则点
M
到直线
x?2y?9?0
的距离的最大值是 ▲ ．
（常州2016一模13）13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x＋y＝1，O
1
：(x－4)＋y＝4，动点P在直线x
＋3y－b＝0上，过P分别作圆O，O
1< br>的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b
?
20
?
的取值范围是____________．
?
－，4
?
（ 切线长公式）
?
3
?
uuuuruuur
22
x?y?1 6
PM?PN?0
．若在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
O
：，点
P(1,2)
，
M
，
N
为圆
O
上 不同的两点，且满足
uuuruuuuruuur
uuur
PQ?PM?PN
，则
PQ
的最小值为 ▲ ．
33?5

22
3、 已知A(-1，0)，B(0，1)，则满足
PA?PB?4
且在圆
x?y?4
上的点P的个数为______2
22
2222
阿波罗尼斯圆（苏北四市2016 一模13）已知点
A(0,1)
，
B
，
C(t,0)
，点< br>D
是直线
AC
上的动点，若
（1,0）
AD≤2BD
恒成立，则最小正整数
t
的值为 ▲ ．4
满足条件
AB
＝2,
AC
＝2
BC
的三角形ABC的面积的最大值是 22（也可以用解三角形的方法）

存在性的题目
22
1、在平面直角 坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
x?y?8x?15?0
， 若直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以该点为圆
心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值是 ▲ ．
..下载可编辑..

..
2
∵圆C的方程可化为：
?
x?4
?
?y?1
，∴圆C的圆心为
(4,0)
，半径为1。∵由 题意，直线
y?kx?2
上至少存在一
2
点
A(x
0
,kx
0
?2)
，以该点为圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点； ∴存在
x
0
?R
，使得
AC?1?1
成立，即
AC
min
?2
。∵
AC
min
即为点
C
到直 线
y?kx?2
的距离
4k?2
k
2
?1
，∴4k?2
k
2
?1
?2
，解得
0?k?
4。
3
∴
k
的最大值是
44
。【答案】。
3 3
22
(x?a)?(y?a)?4
上总存在两个点到原点的距离为1，则实数
a
的取值范围是.1、如果圆
(?
322232
,?)U(,)
2 222

22
（无锡2016一模13）已知圆C：(x－2)＋y＝4，线段EF在 直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，
→→
若圆C上存在两点A，B，使得 PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是____________．14
13. 在平面直角坐 标系xOy中,圆C的方程为(x-1)+y=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过点P作圆M的两条< br>切线PA,PB,切点分别为A,B,当点P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60°,则圆M的方程为 .
22
13. (x-1)+y=1 解析:自定圆M外的一点P向圆引两切线PA,PB .若∠APB为定值,则P到定圆圆心M的距离为定
值.依题意知点P在圆C上,P只能是到圆C的圆心 的距离为定值,故M与点C重合.由∠APB=60°知MP=CP=2,所以圆
22
M的半径 为1.圆M的方程为(x-1)+y=1.
2222
2、设圆
C
1
:x?y?10x?6y?32?0
，动圆
C
2
:x?y?2ax?2(8? a)y?4a?12?0
，
22
x
2
?y
2
? 1
上的点，过点P作圆
C
1
的一条切线，切点为
T
1
，过点
P
作圆
C
2
的一条切线，切点为设点
P
是 椭圆
4
T
2
，问：是否存在点
P
，使无穷多个圆
C
2
，满足
PT
1
?PT
2
？如果存在，求出所有这 样的点
P
；如果不存在，说
明理由.
设
P(x
0
,y
0
)
，则
PT
1
?x
0
2
? y
0
2
?10x
0
?6y
0
?32
，PT
2
?x
0
2
?y
0
2
?2ax< br>0
?2(8?a)y
0
?4a?12
，
PT
1?PT
2
即
?10x
0
?6y
0
?32??2 ax
0
?2(8?a)y
0
?4a?12
，整理得
(x0
?y
0
?2)(a?5)?0
（*）
?
x
0
?y
0
?2?0
?
存在无穷多个圆
C
2
，满足
PT
1
?PT
2
的充要条件为
?
x
2
有解，解此方程组得
2
0
?y
0
?1
?
?4
6
?
x?
?
x
0
?2
?
6 4
?
0
5
或
?
， 故存在点
P
，使无穷多 个圆
C
2
，满足
PT
1
?PT
2
，点P
的坐标为
(2,0)
或
(,
?
)
.
?
55
?
y
0
?0
?
y??
4
0
?
5
?
14．在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
1
：
(x?1)
2
?(y?6)
2
?25
，圆
C
2
：
(x?17)
2
?(y?30)
2?r
2
．
若圆
C
2
上存在一点
P
， 使得过点
P
可作一条射线与圆
C
1
依次交于点
A
，
B
，满足
PA?2AB
，则半径
r
的取值范围
55
?
是 ▲ ．【答案】
?
5 ，

（特殊位置）
22
13. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)+y =4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过点P作圆M的两条
切线PA,PB,切点分别为A,B, 当点P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60°,则圆M的方程为 .
..下载可编辑..

..
13.(x-1)+y=1 解析:自定圆M外的一 点P向圆引两切线PA,PB.若∠APB为定值,则P到定圆圆心M的距离为定值.
依题意知点P在圆 C上,P只能是到圆C的圆心的距离为定值,故M与点C重合.由∠APB=60°知MP=CP=2,所以圆M
22
的半径为1.圆M的方程为(x-1)+y=1.
→→
22
1 4．已知圆
C
：(
x
－2)＋
y
＝4，点
P
在直线
l
：
y
＝
x
＋2上，若圆
C
上存 在两点
A
、
B
使得
PA
＝3
PB
，则点< br>P
的横
坐标的取值范围是．[-2,2]（特殊位置法与轨迹法）
聚焦小题二十八14题
直线与圆相切
17年南通三模18题， 盐城三模17题
22
x
2
?y
2
?1
上一点，从原点
O< br>（南京2016一模18）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，设点
M(x0
,y
0
)
是椭圆
C:
4
222
向圆
M:(x?x
0
)?(y?y
0
)?r
作两条切线分别与椭 圆
C
交于点
P,Q
，直线
OP,OQ
的斜率分别记为
k
1
,k
2
.
（1）若圆
M
与
x轴相切于椭圆
C
的右焦点，求圆
M
的方程；
y
25
1
（2）若
r?
.①求证：
k
1
k
2??
；②求
OP?OQ
的最大值.
5
4
M





Q
·
P
O
x
解：（1）因为椭圆
C
右焦点的坐标为
(3,0)
，所以圆心
M
的坐标为
(3,?)
，
从而圆
M
的方程为
(x?3)
2
?(y?)
2
?
1
2
第18题图 < br>1
2
（2）①因为圆
M
与直线
OP:y?k
1
x
相切，所以
1
.
4
|k
1
x
0
?y
0
|
k
1
2
?1
?
25，
5
222
即
(4?5x
0
)k
1
?10x
0
y
0
k
1
?4?5y
0
?0< br>，
222
同理，有
(4?5x
0
)k
2
?10x
0
y
0
k
2
?4?5y
0
?0
，
222
所以
k
1
,k
2
是方程
(4?5x
0
)k?10x
0
y
0
k?4?5y
0
?0
的两根，
从而
k
1
k
2
?
4?5y
0
4?5x
0
2
2
15
4?5(1?x
0
2
)?1?x
0
2
1
44
????.
4?5x
0
2
4?5x
0
2
4
切点弦 17年盐城三模18题第3问
圆与圆相切：切点与两圆心三点共线
直线与圆相交问题 （南京2016一模12）过点
P(?4,0)
的直线
l
与圆
C :(x?1)?y?5
相交于
A,B
两点，若点
A
恰好是线段
PB
的
中点，则直线
l
的方程为 ▲ .
x?3y?4?0

（苏州2016一模12）12. 若直线l
1
：y＝x＋a和直线l
2
：y＝x＋b将圆(x－1)＋(y－2)＝8分成长度相等的
22
四段弧，则a＋b＝____________．18
《微专题：直线与圆，圆与圆》 反馈练习第7题：过圆
x
＋
y
＝4内一点
P
(1,1)作两 条相互垂直的弦
AC
，
BD
，
四边形
ABCD
的面 积的最大值为________．答案：6，最小值怎么求？
..下载可编辑..
22
22
22

..
求圆的方程
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的 方程为x＝
4，离心率e＝
2
.(1) 求椭圆C的标准方程；
2
(2) 设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到 x轴的距离最小时圆M
的方程．

xy
17. 解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程为
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)，
ab
22
?
?
则
?
c2
＝，
?
?a2
a
＝4，
c
2

xy
解得a＝22，c＝ 2.(4分)从而b＝a－c＝4.所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1.(6
84
22222
分)
(2) (方法一)由(1)知F(2,0)．由题意可设P(4，t)，t＞0.线段OF的垂直平分线方程为x＝1. ①
tt2
?
t
?
因为线段FP的中点为
?
3，< br>?
，斜率为，所以FP的垂直平分线方程为y－＝－(x－3)，
22t
?< br>2
?
x＝1，
?
?
26t
即y＝－x＋＋. ②联立 ①②，解得
?
t4
tt2
y＝＋，
?
?
2t
t4
因为t＞0，所以＋≥2
2t

?
t4
?
即 圆心M
?
1，＋
?
.(10分)
?
2t
?
t4t4
·＝22，当且仅当＝，即t＝22时，
2t2t
圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1,22)，半径为OM＝3.
22
故所求圆M的方程为(x－1)＋(y－22)＝9.(14分)
(方法二)由(1)知F(2,0)．由题意可设P(4，t)，t＞0.
22
因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x＋y＋Dx＋Ey＝0.
?
?
4＋2D＝0，
将点F、P的坐标代入得
?
2
?
?
16＋t＋4D＋tE＝0，

D＝－2，
?
?
解得
?< br>?
t＋
8
?
.E＝－
?
t
?
???
?


E
??
D
?
t4
?
所以圆心M的坐标为
?
－，－
?
，即
?
1，＋< br>?
.(10分)
2
??
2
?
2t
?
t4
因为t＞0，所以＋≥2
2t
t4t4
·＝22，当且仅当＝，即t＝ 22时，
2t2t
圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－42.
22
故所求圆M的方程为x＋y－2x－42y＝0.(14分)


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..




















直线方程的典型问题
截距式方程和点斜式方程
1、过点
M
(3， －4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________.
答案
x
＋
y
＋1＝0或4
x
＋3
y
＝0 3、已知直线
l
过点
P
(3,2)，且与
x
轴、
y
轴的正半轴分别交于
A
、
B
两点，如图所示，求（1）△
ABO
的面积的最小
值及此时直线
l
的方程；（2）求截距和最小时直线的 方程。
xy
32
解 方法一 设直线方程为＋＝1 (
a
>0，
b
>0)，将点
P
(3,2)代入得＋＝1≥2
abab
6
ab
，得
ab
≥24，
132
b
2
从而
S
△
AOB
＝
ab
≥12，当 且仅当＝时等号成立，这时
k
＝－＝－，从而所求直线方程为2
x
＋3
y
－12＝0.
2
aba
3
方法二 依题意知，直线
l
的斜率
k
存在且
k
<0.则直线
l
的方程为
y
－2＝
k
(
x
－3) (
k
<0)，
1
?
2
??
2
?
且有
A
?
3－ ，0
?
，
B
(0,2－3
k
)，∴
S
△< br>ABO
＝(2－3
k
)
?
3－
?

2
?
k
??
k
?
..下载可编辑..

..
4
?
1
?
＝?
12＋－9
k
＋
?

－
k
?
2
?
1
?
≥
?
12＋2
2
?
－9
k
·
4
?
?

－
k
?
1
＝×(12＋12)＝12.
2
42< br>当且仅当－9
k
＝，即
k
＝－时，等号成立.即△
ABO的面积的最小值为12.
－
k
3
故所求直线的方程为2
x＋3
y
－12＝0.
对称问题
6、已知直线
l
：2
x
－3
y
＋1＝0，点
A
(－1，－2).求：
(1)
B
(－1，－2)关于A的对称点；
(2)点
A
关于直线
l
的对称点
A
′的坐标； < br>(3)直线
m
：3
x
－2
y
－6＝0关于直线
l
的对称直线
m
′的方程；
(4)直线
l
关于点
A
(－1，－2)对称的直线
l
′的方程.
?
′(
x< br>，
y
)，再由已知
?
y
＋22
?
x
＋1
·
3
＝－1，
解 (补了一问)(2)设
A
?
?
2×
x
－1
2
－3×
y
－2
2
＋1＝0

?
x
＝－
33
13
，
解得?
?
∴
A
′(－
334
?
?
y
＝
4
13
，
13
).
13
.

(3)在直线
m
上取一点，如
M
(2,0)，
则
M
(2,0)关于直线
l
的对称点必在
m
′上.
设对称点为
M
′(
a
，
b
)，则
??
2×
a
＋2
－3×
b
＋0
?
22< br>＋1＝0，
解得
M
′(
630
?
?
b
－02
13
，
13
).
a
－2
×
3
＝－1.

设
m
与< br>l
的交点为
N
，则由
?
?
?
2
x< br>－3
y
＋1＝0，
?
?
3
x
－2
y
－6＝0.


得
N
(4,3).又∵
m
′经过点
N
(4,3)，
∴由两点式得直线方程为9
x
－46
y
＋102＝0.
( 4)设
P
(
x
，
y
)为
l
′上任意一点，
则
P
(
x
，
y
)关于点
A
(－1 ，－2)的对称点为
P
′(－2－
x
，－4－
y
)， ∵
P
′在直线
l
上，∴2(－2－
x
)－3(－4－< br>y
)＋1＝0，即2
x
－3
y
－9＝0.
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.

..
定比分点
南京二模卷18题
1、在直角坐标系中，中心在原点O，焦点在x轴上的 椭圆C上的点P(
22,1
)到两焦点的距离之和为
43
，
（1）求椭圆C的方程
（2）过椭圆C的右焦点
F
2
作直线
?
与椭圆C分别交于A,B两点，其中点A在x轴下方，且
AF
2
?3F< br>2
B
，求直线
x
2
y
2
??1
（3 ）
y?2(x?3)
（1）
?
的方程。
123
x
2
y
2
18．已知椭圆
C
∶
2
＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0)的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，焦距为2，一条准线方程为
x
＝2．
P
为椭 圆
C
上
ab
一点，直线
PF
1
交椭圆
C< br>于另一点
Q
．
（1）求椭圆
C
的方程；
1
→→→→
（3）若
F
1
P
＝
λQF
1
， 且
λ
∈[，2]，求
OP
·
OQ
的最大值．
2
18、（1）椭圆的方程为＋
y
＝1． …………………………………………2分
2

→→
（3）解法一：设
P
(
x
1
，
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y
2
)，则
F
1
P＝(
x
1
＋1，
y
1
)，
QF
1＝(－1－
x
2
，－
y
2
)．
?
x
1
＋1＝
λ
(－1－
x
2
)，
?
x
1
＝－1－
λ
－
λx
2
，
→→
因为
F
1
P
＝
λQF
1
，所以
?
即
?

?
y
1
＝－
λy
2
，?
y
1
＝－
λy
2
，
x
2
2
(－1－
λ
－
λx
2
)
2
＋
λy
2
2
＝1，
2
1－3
λ
所以
x
2
解得
x
2
＝． …………………………………………12分< br>2
λ
2
＋
y
2
2
＝1，
2
?
?
?
?
?
2
[来源:]

λ
2
→→
所以
OP
·
OQ
＝
x
1
x< br>2
＋
y
1
y
2
＝
x
2
(－ 1－
λ
－
λx
2
)－
λy
2
＝－
x
2
－(1＋
λ
)
x
2
－
λ
< br>2
2
λ
1－3
λ
2
1－3
λ
751
＝－()－(1＋
λ
)
·
－
λ
＝－(
λ< br>＋) ． …………………………………………14
22
λ
2λ
48
λ
分
11
因为
λ
∈[，2]，所以< br>λ
＋≥2
2
λ

λ
·
＝2，当且仅当
λ
＝，即
λ
＝1时，取等号．
λλ
11
1
→→
1
→→
所以
OP
·
OQ
≤，即
OP
·
OQ
最大值为． …………………………………………16分
22
解法二：当
PQ
斜率不存在时，
2
2
在＋
y
＝1中，令
x
＝－1得
y
＝±．
22
x
2
uuuruuur
221
1
?
所以
OP?OQ??1?(?1)??(?)?
，此时
?
?1?
?< br>,2
?
…………………………2
?
222
2
??
..下载可编辑..

..
当
PQ
斜率存在时，设为
k
，则
PQ
的方程是
y
＝
k
(
x
＋1)，
k
(
x
＋1)，
?
?
y
＝
2
222 2
由
?
x
得(1＋2
k
)
x
＋ 4
kx
＋2
k
－2＝0，
2
＋
y
＝1．
?
?
2
?4k
2
2k
2
?2
，x
1
x
2
=
韦达定理
x
1
?x
2
=
………………………………………4
1?2k
2
1?2k
2
设
P
(
x
1，
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y< br>2
) ，
uuuruuur
2
则
OP?OQ?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
2
?k(x
1
?1)(x
2
?1)

? (k
2
?1)x
1
x
2
?k
2
(x
1
?x
2
)?k
2
2
2k
2
?2
2
?4k
2
?(k?1)?k?k
1?2k
2
1?2k< br>2
k
2
?2
???????????????? 6分
2
1?2k
151
???。
2
22(1?2k)2
2< br>uuuruuur
1
?
1
?

OP?OQ的最大值为，此时
?
?1?
?
,2
?
………………………………8
2
?
2
?
18．（2015?南京二模）（本小题满分16分） < br>在平面直角坐标系
xOy
中，设中心在坐标原点的椭圆
C
的左、右焦点 分别为
F
1
、
F
2
，右准线
l
：
x
＝
m
＋1与
x
轴的交点为
B
，
BF< br>2
＝
m
．
（2）已知定点
A
(－2，0)．当< br>m
＝1时，记
M
为椭圆
C
上的动点，直线
AM
y
，
BM
分别与椭圆
C
交于另一点
P
，
Q
，
→→→→
若
AM
＝
λAP
，
BM
＝
?BQ
，求证：
λ
＋
?
为定值．
18．解：

（2）（方法一）设
M
(
x
0
，
y
0
)，
P
(
x
1
，
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y2
)．
??
则
AM
＝(
x
0
＋2，
y
0
)，
AP
＝(
x
1
＋2，
y
1
)．
?
x
0
＋2＝
?
(
x< br>1
＋2)，
?
x
0
＝
?x
1
＋2(
?
－1)，
??
由
AM
＝
?AP
， 得
?
从而
?

?
y
0
＝
?y< br>1
．
?
y
0
＝
?y
1
．
A
P
F
1
O
F
2
M
Q
l
B
x
（第18题图）
[
?x
1
＋2(
?
－1)]
2
因为＋
y
0
＝1，所以＋(< br>?y
1
)＝1．
22
2
x
0
22
即
?
(
2
x
1
2
2
2
＋
y
1
)＋2
?
(
?
－1)
x
1
＋ 2(
?
－1)－1＝0．
＋
y
1
＝1，代入得2
?
(
?
－1)< br>x
1
＋3
?
－4
?
＋1＝0．
22
22
因为
x
1
2
..下载可编辑..

..
由题意知，
?
≠1，故
x
1
＝－
3
?
－1
?
－3
，所以
x
0
＝．
2
?
2
－
?
＋3
?
－3－
?
＋3
同理可得
x
0
＝． 因此＝，所以
?
＋
?
＝6．
222
（方法二）设
M
(
x
0
，
y
0
)，
P
(x
1
，
y
1
)，
Q
(
x
2< br>，
y
2
)．
直线
AM
的方程为
y
＝
将
y
＝
因为
y
0
x
2
x
0
＋2
(
x
＋2)．
1
2222
22
(
x
＋2)代入＋
y
＝1，得((
x
0
＋2)＋< br>y
2
0
)
x
＋4
y
0
x
＋ 4
y
0
－(
x
0
＋2) ＝0(*)．
x
0
＋222
2
＋
y
0
＝1，所以（*）可化为(2
x
0
＋3)
x
＋4
y
2
0
x
－ 3
x
0
－4
x
0
＝0．
22
y
0
x
0
2
2
3
x
2
3
x
0
＋43
x
0
－4
0
＋4
x
0
因 为
x
0
x
1
＝－，所以
x
1
＝－．同理< br>x
2
＝．
2
x
0
＋32
x
0< br>＋32
x
0
－3
??
→
x
0
＋2< br>x
0
－2
x
0
＋2
x
0
－2
→
因为
AM
＝
?AP
，
BM
＝
?BQ< br>，所以
?
＋
?
＝＋＝＋
x
1
＋2
x
1
－23
x
0
＋43
x
0
－4
－＋2－2
2
x
0
＋32
x
0
－3
＝(
x
0
＋2)(2
x
0
＋3)(
x
0
－2)(2
x
0
－3)
＋＝6．即
λ
＋
?
为定值6．
x
0
＋2－
x
0
＋2
点差法
2、已知椭圆方程为 ＋＝1，一条不与坐标轴平行的直线
l
与椭圆交于不同的两点< br>A
、
B
，且线段
AB
中点为(2，
95
18
1)，求直线
l
的斜率．－
5
y
2
x
2
设线法
y
3、已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个
P
B
顶点恰好是抛物线
x
2
?83y
的焦点.
[来源:学科网]

A
O
Q
x
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧
的动 点,当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否
为定值,请说明理由.
解:(1)设椭圆的方程为则. 由,得

∴椭圆C的方程为
(2)当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为
..下载可编辑..

..
则的斜率为,的直线方程为 由
(1)代入(2)整理得 ………11分

同理
∴
的直线方程为,可得
……………14分
[来源

所以
17.（本小题满分14分）
的斜率为定值
x
2
y
2
2
已知椭圆
C
:
2< br>?
2
?1(a?b?0)
，离心率为，左准线方程是
x??2
，设
O
为原点，点
A
在椭圆
C
上，
2
ab
点
B
在直线
y
＝2上，且
OA
⊥
OB．
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）求Δ
AOB
面积取得最小值时，线段
AB
的长度．





A
O
x
y
B
?
c2
?
?
?
2
，17. 解析：(1)设椭圆的半焦距为< br>c
，则由题意的
?
a
2
?
a
?2
?
?
c
解得
?
?
a?2

?
??
c?b?1
所以椭圆
C
的方程为＋
y
2
＝1 .........4分
2
（2）由题意，直线
OA
的斜率存在，设直线< br>OA
的斜率为
k
，
若
k
＝0，则
A
(2，0)或(－2，0)，
B
(0，2)，此时Δ
AOB
面积为2，AB
＝6．6分
若
k
≠0，则直线
OA
：
y
＝
kx
与椭圆＋
y
2
＝1联立得：
2
..下载可编辑..

x
2
x
2

..

(1＋2
k
)
x
＝2，可得
OA
＝ 1＋
k
?
222

2
， 8分
1＋2
k
2

1
直线
OB< br>：
y
＝－
x
与
y
＝2联立得：
B
( －2
k
，2)，则
OB
＝2 1＋
k
2
， 10分
k
11＋
k
2
S
Δ
OAB
＝< br>OA
?
OB
＝2?，令t＝ 1＋2
k
2
>1， 12分
2
1＋2
k
2
t
2
－1
1＋
2
21
则
S
Δ
OAB
＝2?＝(
t
＋)>2，
t
2
t




所 以
S
Δ
OAB
的最小值为2，在
k
＝0时取得，此时
AB
＝6． ..........14分


(注：若利用< br>S
Δ
OAB
＝
21
(
t
＋)≥2，忽略k
≠0的条件，求出答案的，本问给2分)
2
t

x
2
y
2
+=1
的上顶点为
A
，直线
l:y=kx +m
交椭圆于
P,Q
两点，设直线
AP,AQ
的斜率已知椭圆
C:
42
分别为
k
1
,k
2
.
(1)若
m=0
时，求
k
1
×k
2
的值；
(2)若
k
1
?k
2
??1
时，证明直线
l:y=kx+m
过定点.

..下载可编辑..

..


设点法
5．
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
E:
x
2
a
2
?
y2
b
2
?1(a?b?0)
的焦距为2,且过点
(2,
6
)
.
2
..下载可编辑..

..
(1) 求椭圆
E
的方程;
(2) 若点
A
,
B
分别是椭圆
E
的左、右顶点,直线
l
经过点
B
且垂 直于
x
轴,点
P
是椭圆上异于
A
,
B
的任 意一
点,直线
AP
交
l
于点
M.
设直线
O M
的斜率为
k
1
,
直线
BP
的斜率为
k< br>2
,求证:
k
1
k
2
为定值;










23
+?1
,
22
a2b
1
x
2< br>y
2
2
4222
消去
a
可得,
2b?5b? 3?0
,解得
b?3
或
b??
(舍去),则
a?4
, 所以椭圆
E
的方程为
??1

43
2
【答案】
⑴由题意得
2c?2
,所以
c? 1
,又
⑵(ⅰ)设
P(x
1
,y
1
)(y
1
?0)
,
M(2,y
0
)
,则
k
1?
y
1
y
0
,
k
2
?
,
x?2
2
1
4y
1
y
0
y
14y
1
2
?
因为
A,P,B
三点共线,所以
y
0
?
, 所以,
k
1
k
2
?
,8分
2(x
1< br>?2)2(x
1
2
?4)
x
1
?2
4y1
2
3
3
2
??
因为
P(x
1
,y
1
)
在椭圆上,所以
y?(4?x
1
)
,故
k
1
k
2
?
为定值
2(x
1
2
?4)2
4
2
1
凤凰台47页第4题：关于原点对称的两点怎么 处理？重要结论。
xy3
关于y轴对称的两点怎么处理？如图，在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为，
ab2
以 原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM 与QN相交于点T，求证：
点T在椭圆C上．
22

17. (1) 解：由题意知b＝
2
2
＝2.(3分)
c3b
因为离心率e＝＝，所以＝
a2a
所以a＝22.
22
?
c
?
2
1
1－
??
＝.
?
a
?
2
xy
所以椭圆C的方程为＋＝1.(6分)
82
(2) 证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x
0
，y
0< br>)，(－x
0
，y
0
)，则
..下载可编辑..

..
y
0
－1
直线PM的方程为y＝x＋1， ①
x
0
y
0
－2
直线QN的方程为y＝x＋2. ②(8分)
－x
0
x
0
3y
0
－4
?
x0
，
3y
0
－4
?
.(11分) (证法1)联立①② 解得x＝，y＝，即T
??
2y
0
－32y
0
－3
?
2y
0
－32y
0
－3
?
x
0
y
0
22
由＋＝1可得x
0
＝8－4y
0
. 82
222
1
?
x
0
?
2
1
?
3y
0
－4
?
2
x
0
＋43y
0
－48－4y
0
＋43y
0
－4
因为
??
＋
??
＝
82y－3
2
＝
2
8
?
2y
0
－3
?
2
?
2y
0
－3
?
82y
0
－3
0
2
22

32y
0
－96y
0
＋728
＝
2
＝
82y
0
－38
2
2y
0
－3
2y
0
－3
2
2
＝1，
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．(14分)
韦达定理：什么情况下用韦达定理？韦达定理出现在哪里？是否要判断判别式？
x
2
y
2
6
18．如图，已知椭圆
2
?
2
（a ＞b＞0）的离心率
e?
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
ab
3
．
2
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E （-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径< br>的圆过E点?请说明理由.


x
2
7
?y< br>2
?1
；【答案】(1）（2)
k?
.
3
6
解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
?
c6
?，
?
?
a?3，
3
x
2
?
a< br>?y
2
?1
.[ 依题意
?
解得
?
∴椭圆方程为
3
3
?
b?1
?
ab
?
22
?
2
?
a?b
?
y?kx?2，
2
2(1?3k)
x?12kx?9?0
． （2）假若存在这样的k值，由
?
2
得
2
?
x?3y?3?0
∴
??(12k)?36(1?3k)?0
①
22
..下载可编辑..

..
12k
?
x?x??，
2
?
?
12
1?3k
② 设
C(x
1
，
y
1
)
、
D(x
2
，
y
2
)
，则
?
?
x
?x?
9
12
?
1?3k
2
?
而
y1
?
y
2
?(kx
1
?2)(kx
2
?2)?kx
1
x
2
?2k(x
1
?x
2
)?4
．
2
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则
y
1
?
y
2
??1
，即
y
1y
2
?(x
1
?1)(x
2
?1)?0
< br>x
1
?1x
2
?1
∴
(k?1)x
1
x
2
?2(k?1)(x
1
?x
2
)?5?0
③
将②式代入③整理解得
k?
综上可知，存在
k?
2
77
．经验证，
k?
，使①成立.
66
7
，使得以CD为直径的圆过点E.
6
南京三模18题（也是定值问题）
定值问题
连宿徐三模18题
x
2
y
2
6
1、 椭圆
C:
2
?
2
?1
的离心率位，直线l与x轴交于点E，与椭圆交于A,B两点，当直线l垂直于 x轴切
3
ab
点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为
26

3
（3）是否存在点E，使得
11
为定值？若存在，求出该定值，并指出点E的坐标 。

?
22
EAEB
11
22
(3)假设存在点< br>E
，使得
EA
+
EB
为定值，设
E
(
x
0
，0)，

2
11
12?2x
0
1 1
22
22
22
(x?6)(6-x)
(6-x
0
0
)
；

当直线
AB
与
x
轴重合时，有< br>EA
+
EB
=
0
+=
2
2
6
??
x
0
11
2
?
1-
?
2
2 2
6
6-x
??
0
.

当直线
AB
与
x
轴垂直时，
EA
+
EB
==
2
66
12?2x
0
3，
22
22
6-x6-x
0
=
2，

(6-x)
0
，解得
x
0
=±
0
由
=
所以若存在点
E
，此时
E
(
±
3
11
22
，0)，
EA
+
EB
为定 值2
.

根据对称性，只需考虑直线
AB
过点
E
(
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，

..下载可编辑..
3
，0)，

..
又设直线
AB
的方程为
x=my+
3
，与椭圆
C< br>联立方程组，化简得(
m
2
+
3)
y
2
+< br>2
3
my-
3
=
0，


-23m
-3
2
2
所以
y
1
+y
2
=m?3
，
y
1
y
2
=
m?3
，
1
22222
22
2
my?y(m?1)y
(x-3)?y
EA
11
111
又
===
，

1
22
2
(m?1)y
2
，

同理可得< br>EB
=
1
11
1
2
11
(y?y)-2y< br>1
y
212
11
2222
222
22
(m? 1)y(m?1)y
(m?1)yy
2
，

EAEB
12< br>1
所以
+=+=
11
22
将上述关系式代入，化简可得
EA
+
EB
=
2
.

综上所述，存在点
E
(
±
2015年江苏高考18题
3< br>11
22
，0)，使得
EA
+
EB
为定值2
.

2
x
2
y
2
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
2
＋
2
＝1(
a
＞
b
＞0)的离心率为，且右焦
2
ab
点
F
到左准线
l
的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过
F
的直线与椭圆交于
A
，
B
两点，线段
AB
的垂直平
分线分别交直线
l
和
AB
于点
P
，
C
，若
PC
＝2
AB
，
求直线
AB
的方程．
南京二模18（2）
x y
在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)的椭圆C：
2
＋
2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B
1
，
ab
→→
2
B
2
.FB
1
·FB
2
＝2b.(1) 求a，b的值；
(2) 过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且 平行于l的直线与椭圆的一个交点
2
为P.若AQ·AR＝3OP，求直线l的方程．
→→
18. 解：(1) 因为F(－c，0)，B
1
(0，－b)，B2
(0，b)，所以FB
1
＝(c，－b)，FB
2
＝(c，b )．
→→
2222
因为FB
1
·FB
2
＝2b， 所以c－b＝2b. ①(2分)
41
22
因为椭圆C过A(－2，－1)，代入， 得
2
＋
2
＝1. ②由①②解得a＝8，b＝2.
ab
所以a＝22，b＝2.(6分)
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22
P y
A
F
O
C
B
（第18题图）
x
l

..
y＋1＝k（x＋2），
?
?
22
(2) 由题意，直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．由
?
xy
得
＋＝1，?
?
82
(x＋2)[(4k＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.因为x＋ 2≠0，
8k＋48k＋4
所以x＋2＝
2
，即x
Q
＋2 ＝
2
.(10分)由题意，直线OP的方程为y＝kx.
4k＋14k＋1
y＝kx，
?
?
22
8
2222
由
?
xy
得(1＋4k)x＝8.则x
P
＝
2
.(12分)因为AQ·AR＝ 3OP，
1＋4k
＋＝1，
?
?
82
8
?
8k＋4
?
2
所以|x
Q
－(－2)|×|0－(－2)|＝3x
P
.即
?
2
?
×2＝3×
2
.
1＋4k
?
4k＋1
?
解得k＝1或k＝－2.当k＝1时，直线l的方程为 x－y＋1＝0；
当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.(16分)





2
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