高中数学知识点及经典例题-高中数学必修一教材剖析
高中数学试题(理科)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。
1.C 2.B
3.B 4.D
5.A 6.D 7.D 8.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分,单空题每题4分,满分36分。
9.
{x|x??2}
,
{x|x?3}
10.2,
7
12.4,
?4
14.[
1?2
,
1
11.2,
(2
n
?1)
2
13.2
1?5
]
2
15.2
三、解答题:本大题共5小题,共74分。
16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 由
acosB?bcosA
及正弦定理得
sinAcosB?sinBcosA
, .........1分
所以
sin(A?B)?0
,
故
B?A?
π
,
.........3分
6
所以
c?3a
,由余弦定理得
aa<
br>π
16?c
2
?()
2
?2c?cos
,
226
解得
c?
821
. .........6分
7
aa
(Ⅱ) 由
A?B
知
c?2acosA
,及
16?c
2
?()
2
?2c?cosA
,解得
22
a
2
?
64
. .........8分
2
1?8cosA
所以
?ABC
的面积
164sinAcosA
. .........10分
S?acsinA?
2
2sinA?9cos
2
A
由基本不等式得
S?
32
,.........13分
3
当且仅当
sinA?3cosA
时,等号成立.
所以
?ABC
面积的最大值为
32
. .........14分
3
17.本题主要考查空间线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空
间想象能力和运算求解能力。满分15分。
(Ⅰ)
设O为AC与BD的交点,作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得
CE=
所以BE=DE,从而得
∠DBC=∠BCA=45°,.........5分
所以∠BOC=90°,即
AC⊥BD. .........6分
由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC. .........7分
方法一:
(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H,连接DH.
由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC,故DO⊥PC.
所以PC⊥平面DOH,从而得PC⊥OH,PC⊥DH.
故∠DHO是二面角A<
br>-
PC
-
D的平面角,所以∠DHO=60°.
.........11分
在Rt△DOH中,由DO=
2
,得OH=
B
A
O
E
(第17题图)
C
P
BC?AD
=1,
DE=
DC
2
?CE
2
=3,.........3分
2
H
D
6
. .........12分
3
在Rt△PAC中,
x
3
PAOH
=.设PA=x,可得
=..........14分
2
6
PCOC
x?18
322322
,即
AP=. .........15分
1111
解得x=
方法二:
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD.以O为原点,OB,OC所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系<
br>O-xyz,如图所示..........8分
由题意知各点坐标如下:
A(0,-
2
,1), B(
22
,0, 0),
C(0,
22
,0), D(-
2
,0,
0)..........9分
由PA⊥平面ABCD,得PA∥z轴,故设点P(0,-
2
,t) (t>0).
设m=(x,y,z)为平面PDC的法向量,
B
x
(第17题图)
A
O
C
y
D
z
P
由
CD
=(-
2
,-
22
,0),<
br>PD
=(-
2
,
2
,-t) 知
?
?
?2x?22y?0,
?
?
?
?2x?2y?tz?0.
取y=1,得
32
). .........12分
t
又平面PAC的法向量为n=(1,0,0),于是
.........13分
|m?n|
2
1
|cos<
m,n>|===.
|m|?|n|
2
18
5?
2
t
m=(-2,1,
322322
,即 AP=. .........15分
1111
18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理
论证能力
,分析问题和解决问题的能力。满分15分。
(Ⅰ) 由题意得
解得t=
2a2
?b
2
f(x)?x?a??3a,x?
?
0,??
?
..........2分
x?a
所以,当
2a
2
?b
2
?a
2
时,即当
a
2
?b
2
时
,函数
f(x)
的单调递增区间为
?
0,??
?
;....
.....5分
22
当
a
2
?b
2
时,函数f(x)
的单调递增区间为
?
2a?b?a,??
.
.........7分
?
?
(Ⅱ)由
f(x)
的单调性得 <
br>?
b
2
a
2
?b
2
,
?
?
,
M(a,b)?
?
a
?
22a
2
?b
2
?3a,a
2
?b
2
.
?
b
2
由
???1
与
a
2
?b
2
得
a
.........10分
0?a?1
,
.........12分
由
22a
2
?b
2
?3a??
1
与
a
2
?b
2
得
1?a?3?22
.
.........14分
综上,
a
的取值范围为
0,3?22
?
?
.
.........15分
19.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,
同时考查解析几何
的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)由直线
O
A
斜率
k
1
?2
,得直线
OA
的方程为
y?2x
, .........2分
代入椭圆方程得
x
2
?
2
,
9
?
所以
OA?x
2
?(2x)
2
?
10
.
.........5分
3
(Ⅱ) 设点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,直线
A
B
的方程为
y?kx?b
.
?
x
2
2
?
?y?1,
由
?
2
消去
y
得
?
y?kx?b,
?
(1?2k
2
)x
2
?4kbx?2b
2
?2?0
. .........7分
故
??16k
2
?8b
2
?8?0
,且
4kb
?
x?x??,
12
?
?2k
2
?1
?
2
?
xx?
2b?2
.
12
?
2k<
br>2
?1
?
① .........9分
由
k
1
?k
2
?k
1
k
2
?1<
br>得
x
2
y
1
?
x
1
y
2
?y
1
y
2
?x
1x
2
,
将
y
1
?kx
1
?
b
,
y
2
?kx
2
?b
代入得
(k
2
?2k?1)x
1
x
2
?b(k?1)(x
1
?x
2
)?b
2
?0
,
b
2
??2k
2
?4k?2
.
.........12分
②
将①代入②得
联立
??0
与
b
2
?0
得
2
?
?
4k?4k?1?0,
.........13分
?
2
?
?
?2k?4k?2?0,
解得
k
的取值范围为
?
1?2
?
1?2,
?
?
?
2
??
?
1?2
?
,1?2?
?
..........15分
?
2
??
20.本
题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能
力、分析问题和解决
问题的能力。满分15分。
(Ⅰ)由题意知
a
n
?0
,故
a
n?1
?
1
1
2
??1
,
.........6分
1
2a
n
?1
a
n
?
2
?
1
?
所以数列
?
a
n
?
?
为
单调递减数列.
2
??
1
(Ⅱ) 因为
a
1
?
1
,
a
2
?
,所以,当
n?3
时
3
a
n
?
得
11
?
,
26
12
?a
n
?
,
33
故
a
n
?
1
(n?N*)
. .........8分
因为
故
所以
3
a
n?2
?a
n?1
2
a2a
?
6
, .........11分
n?1
?a
?
nn
?311
a
6
1
n?1
?a
n
?a
2
?a
1
?(11
)
n?
..........13分
1?(
6
)
n
S
n
?a
2
?a
1
?
11
?
22
?
5
(n?N*)
.
.........15分
1?
6
153
11
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